函数医学高等数学课件

医学高等数学

高等数学教研室

尹玲课程介绍33学时，考查课授课内容：前三章考试内容：前三章成绩计算：30%平时成绩（作业、出勤）70%卷面成绩参考资料医用高等数学学习指导与习题全解（第二版）马建忠主编科学出版社出版高等数学（第五版）上册同济大学应用数学系主编高等教育出版社出版Chapter1函数、极限与连续§1.1函数函数的概念函数的特性初等函数分段函数和反函数

一、函数的概念

1.常量与变量常量:在某一变化过程中始终保持同一个数值的量称为常量，一般用a,b,c表示。注意:常量与变量是相对于过程而言.变量:在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量,一般用x,y,z表示。2.函数的定义定义：设在某个变化过程中存在两个变量x、y，若对于某一非空数集中的每一个x值，按照某一确定关系ƒ都有唯一一个实数y与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为y=f(x).因变量自变量3.定义域、值域定义域：自变量所有允许值的集合称为函数的定义域。值域：所有函数值的集合称为值域。函数的三要素定义域对应关系值域EE’ƒ4.函数相同当且仅当两个函数的对应关系和定义域完全相同时，我们才说两个函数相同或者说这两个函数是相同的函数。例3公式法图像法表格法5.函数的表示法公式法如果两个变量之间的函数关系是借助于公式或分析式直接给定的,则我们称这种函数的表示方法为分析法或公式法。如y=x2。这是函数最常用的表示方法。例4:正常婴儿在出生后1～6个月的体重近似满足以下关系y=3+0.6x图像法由于函数的图像与函数是一一对应的，所以我们可以用函数的图像来表示函数，并称这种方法为函数的图像法。例5:监护仪记录某患者在一段时间内的体温T的变化情况,即用曲线描述了函数关系T=T(t).表格法在实际应用中，经常将一系列的自变量的值与对应的函数的值列成表格，如对数表，三角函数表等。称这种表示函数的方法为表格法。例6:某地区统计了某年1-12个月当地流行性出血热的情况(如图),即用数据表描述函数y=y(t).t123456789101112Y16.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.06.区间区间的定义:界于某两个实数a和b(a<b)之间的全体实数被称为一个区间.a,b称为区间的端点。7.邻域定义：以x0为中心,以（

>0）为半径的开区间称为x0的一个邻域,x0

叫做邻域的中心,

叫做邻域的半径.记为U(x0,

)或(x0),即

U(x0,

)=(x0-,x0+)例7:(-1,1)是一个开区间,也是0的一个1邻域.|y-y0|<是y0的一个邻域二、函数的特性单调性奇偶性有界性周期性

a.函数的单调性单调增

:设函数f(x)的定义域为D，如果在

D中某一个子区间I中任意取两个值x1、x2，当x1<x2

时，必有

f(x1)<

f(x2)，则称该函数f(x)在区间I上是单调增加的。单调增函数的图形是沿x轴的正向上升的。如下图所示xyxy设函数f(x)的定义域为D，如果在

D中某一个子区间I中任意取两个值x1、x2，当x1<x2时，必有f(x1)>

f(x2)，则称该函数f(x)在区间I上是单调减少的。单调减函数的图形是沿x轴的正向下降的。如下图所示单调减

xyxy说明：在整个区间I内单调增加或单调减少的函数称为单调函数。单调增加与单调减少不是相互对立的概念。有的函数可能既不单调增加又不单调减少。1.函数

y=x2

在(0,+)内是单调增加的,而在

(-,0)内是单调减少的。例8:2.函数

y=x3

在

(-,+)内是单调增加的。xyy=x3oxyy=x2ob.奇偶性奇函数

:

对于函数

y=f(x),x

D,如果

D是关于原点对称的

,而且对任意的

x

D,恒有

f(-x)=-f(x),则我们称函数

f(x)

为

D上的奇函数。奇函数的图形是关于原点对称的。偶函数

:

对于函数y=f(x),x

D,如果

D是关于原点对称的

,而且对任意的

xD,恒有

f(-x)=f(x),则我们称函数

f(x)

为

D上的偶函数。偶函数的图形是关于

y轴对称的。奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于y轴偶函数的图形是关于y轴对称的.奇函数的图形是关于原点对称的.例9：1.函数

y=x3,x

[-1,1]是一个奇函数2.函数

y=x2,x

[-1,1]

是一个偶函数3.函数

y=x2,x

[-1,2]

既不是一个偶函数,又不是一个奇函数。c.有界性有界函数

:对于函数y=f(x),xD,如果存在正数M,使得对任意的xD,恒有

|

f(x)|M,则我们称函数

f(x)为D上的有界函数。否则称为无界函数。例10：函数y=sinx在区间(-∞,+∞)内是有界的。注意：有界和无界是对立的,非此即彼的.例11：函数y=1/x在区间(1,+∞)上有界，但是在(0,1)上无界。有界性是相对于一定区间来讲的概念，函数在某一区间上有界，但是在另一区间上可能无界。具有下界的函数被称为下方有界函数,具有上界的函数被称为上方有界函数。说明：有界函数必同时为下方有界函数和上方有界函数。d.周期性周期函数

:对于函数

y=f(x),xD,如果存在正数

T,对任意的

xD,x+TD

,恒有

f(x+T)=f(x),则我们称函数

f(x)为

D上的周期函数。T称为函数

y=f(x),xD的周期,通常,周期函数的周期

T都是指最小正周期。周期函数的图形特点：注意：周期函数的图形在每一个周期中都是相同的。周期函数的定义域一定是一个无穷区域,但不一定是整个实数轴

(-,)

。函数

y=tanx

,

xn±/2

是一个

T=

的周期函数。三、初等函数基本初等函数复合函数初等函数1.六类基本初等函数幂函数y=x

(为常数)

指数函数y=ax(a>0,a1)

对数函数y=logax

(a>0,a1)

三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx

,y=cotx

反三角函数y=arcsinx，y=arccosx，

y=arctanx，y=arccotx

常数函数y=C(C为常数)幂函数指数函数a>10<a<1对数函数a>10<a<1三角函数反三角函数y=arccosx2.复合函数定义:设变量y是变量u的函数,变量u

是变量x的函数,即

y=f(u),u=

(x)

如果变量

x的某些值通过变量u可以确定变量y的值,

则称y是x的复合函数,记为

y=f[

(x)]

其中u

称为中间变量。3.复合函数的分解方法从最外层函数开始分析，找出最接近的基本初等函数形式开始分解，直到最后形式变成基本初等函数或基本初等函数经过四则运算所构成的函数（即简单函数）为止。例12：例13：例11解一：解二：例12解：综合起来，分解应该是4.初等函数定义

:由基本初等函数,经过有限次的四则运算及有限次的复合所构成的,仅用一个解析式子表达的函数,

称为初等函数。例14:

y=,y=xtanx

+sin等都是初等函数。四、分段函数和反函数

1.分段函数定义:某些函数,对于其定义域内自变量不同的值,不能用一个统一的解析表达式表示,而要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数。例如：例15:

设某药物的每天剂量为y(m