总体离散程度的估计 教学设计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

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课程基本信息学科数学年级高一学期春季课题9.2.4总体离散程度的估计教科书书名：普通高中教科书·数学必修第二册（A版）教材出版社：人民教育出版社教学目标1.通过实例，会计算极差、方差、标准差，理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义。2.掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养。教学内容教学重点：1.方差和标准差的意义与计算。2.已知两组数据的观测个数、平均数和标准差或方差时，两组数据合并后所有数据的平均数和标准差的计算方法与思想。教学难点：1.已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方差的计算公式。2.计算中的递推思想。教学过程一、课堂引入前面我们学习了总体集中趋势的估计，平均数、中位数和众数为我们提供了一组数据“中心位置”的重要信息，可以描述一组数据的集中趋势．但有时候仅仅知道“中心位置”不足以让我们做出有效的决策，请看下面的案例．问题1：有两位射击运动员在一次射击测试中各射击10次，每次命中的环数如下：甲：78795491074乙：9578768677如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况做出评价?如果这是一次选拔性考核，你应当如何做出选择?师生活动：学生提出评价标准，教师利用电子表格软件进行计算，并请学生回答如何决策，原因是什么．通过计算发现甲、乙两名运动品射击成绩的平均数、中位数和众数均为7．但甲运动员10次射击成绩的方差为4，乙运动员10次射击成绩的方差为1.2．由此估计甲运动员成绩的方差，乙运动员成绩的方差．由可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定．如果从这两名选手中选择一名参加比塞，要比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置．如果两人都排在前面，越稳定越好，可以选择成绩稳定的乙；如果两人的成绩都排在后面，希望比赛时有突出表现，可以选择成绩方差大的甲．概念回顾追问：为什么可以运用方差分析两个运动员的射击成绩?师生活动：学生回答问题，教师引导学生复习方差的定义．方差的定义：假设一组数据是，用表示这组数据的平均数，我们称为这组数据的方差．因为所以有时为了计算方差方便，也用上述表达式计算方差．设计意图：通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计含义．问题2：除了方差，你还能想到其他刻画一组数据的离散程度的统计量吗?师生活动：学生思考，讨论并分享，教师引导学生解释这些量的合理性．预案：(1)极差是数据的最大值与最小值的差，即，可以反映数据的波动范围．在一定程度上，极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小．因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他的数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少．(2)平均距离是每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，即这与方差的产生思想一样，都是运用“平均距离”刻画数据的离散程度．平均距离越大，数据的离散程度越大；平均偏差越小，数据的离散程度越小．平均距离计算公式中含有绝对值，计算不方便．设计意图：让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点．问题3：问题1中方差的单位是什么?师生活动：学生发表意见，教师进行评价，引导学生认识到方差的单位是原始数据单位的平方，与原始数据不一致，给使用带来不便．为了使二者的单位一致，可以用方差的算术平方根，即，我们称之为这组数据的标准差．标准差与方差一样，刻画了一组数据的离散程度或波动幅度．标准差越大，数据的离散程度越大;标准差越小，数据的离散程度越小．问题4：方差和标准差的取值范围是什么?如果方差和标准差为0，这组数据有什么特点?师生活动：学生自主探究并回答．教师进一步说明，方差和标准差都是刻画一组数据离散程度的指标，但是在解决实际问题中，一般多采用标准差．由于计算复杂，我们可以借助计算器或者计算机帮助计算．设计意图：巩固对方差和标准差的理解．实例应用（一）分层随机抽样样本方差的计算在实际问题中，如果能获得总体中所有个体的观测值，可以用方差的公式直接计算总体的方差．比如，要了解某中学教师年工资差别，可以直接从学校财务处获得所有教师的年工资收人数据，计算其方差即可判断．如果要了解某市中学教师年工资的差别，获取所有老师的年工资数据就比较困难，可以用简单随机抽样或分层随机抽样方法抽取样本，得到样本中所有个体的年工资数据，然后计算其方差，该方差是样本的方差，利用样本估计总体的思想，可以用样本方差估计总体方差．问题5：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170．6和12．59，抽取了女生27人．样本的平均数和方差分别为160．6和38．62．你能由这些数据计算出样本的方差吗?并对高-年级全休学生的身高方差作出估计吗?师生活动：教师引导学生明确题目的条件和结论，引导学生独立计算多组数据汇总后的方差．分析：把抽取的男生样本记为，样本的平均数记为，方差记为;把抽取的女生样本记为，样本的平均数记为，方差记为;把总样本数据的平均数记为，方差记为．根据方差的定义，总样本方差为，已知，，考虑分别插入和，则由，可得同理可得因此，（*）由，把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入（*）式，可得因此，总样本的方差约为51．49，据此估计高一年级学生身高的总体方差约为51．49．追问：比较总样本方差与男生组及女生组的方差，你能发现什么?你能解释在估计全校学生平均身高时，按性别分层随机抽样的理由吗?师生活动：学生可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差，教师解释相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果越好．男、女生的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好．设计意图：引导学生对统计结果进行解释，进而更好地理解分层随机抽样的使用范围．问题6：一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢?师生活动：教师引导学生由具体例子进行一般化归纳．一般地，如果已知第一组数据的个数是m，平均数和方差分别为和，第二组数据的个数是n，平均数和方差分别为和，那么，总样本平均数总样本方差为如果两组数据的平均数相等，那么总样本均值与两组数据的均值相同，总样本方差计算公式中的和都等于0，总样本方差是两组方差的加权平均，不会同时大于每组的方差．设计意图：将总样本均值和总样本方差的计算公式从问题5推广到一般，让学生体会由具体到一般的思想．追问：三组数据汇总后的数据方差如何计算呢?更多组呢?师生活动：学生思考讨论后得出结论，教师点评．设计意图：培养学生的递推思维，提高学生举一反三的能力．（二）用平均数和标准差反映数据取值信息问题7：平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起，是否也能反映数据的取值信息？师生活动：以100户居民用户的月均用水量数据为例，教师用电子表格软件计算出样本平均数和标准差，并计算和．可以发现，100个数据中大部分都集中在内，在区间外的只有7个数据，也就是说绝大部分的数据落在内．通过平均数和标准差两个统计量，就可以得到大部分数据的取值范围．方差越大，则这个区间越大;方差越小，则这个区间也越小．设计意图：让学生认识到利用平均数和标准差也可以部分反映数据的取值规律.梳理归纳问题8回顾这节课的学习，我们学习了哪些内容？重点是什么？师生活动：学生回答问题，教师引导学生对均值和方差等统计量的特点进行归纳概括．引导学生回顾样本方差的计算公式，并学会估计总体方差．设计意图：通过实际案例，让学生体会均值和方差等统计量的特点及应用．目标检测1．一组数据的平均数是7，标准差是s．若把其中一个数据4改为11，另一个数据9改为2，新数据的标准差为．比较s和的大小设计意图：考查学生对方差的统计含义的理解程度，2．某学校有高中学牛500人，其中男生320人，女生180人．有人希望获得全体高中学生的身高信息，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取样本量为50的样本，并计算得男生身高的样本均值为17