平面几何中的向量方法教学设计 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

教学设计

课程基本信息学科高中数学年级高一年级学期春季课题平面几何中的向量方法教科书书名：普通高中教科书数学必修第二册教材出版社：人民教育出版社教学目标1.通过熟悉的具体实例，体会向量在解决数学问题中的作用，掌握平面向量解决平面几何问题的“三步曲”.2.通过用向量法解决平面几何问题的学习，培养学生数学运算、逻辑推理等数学素养.教学内容教学重点：1.用向量方法解决几何问题的基本方法和步骤教学难点：1.如何把几何问题转化为向量问题2.基底的选择和坐标系的建立教学过程（一）知识回顾构建框架前面，我们已经学习了平面向量的概念和运算，并通过平面向量基本定理，把向量的运算化归为实数的运算,建立了向量运算体系.通过学习，我们知道向量既有丰富的物理背景，又有深刻的数学内涵.它是沟通代数与几何的桥梁.由此我们很自然想到可以利用向量解决一些简单的平面几何问题和物理问题.这就是本节课开始，我们要学习的平面向量的应用.三角形是平面几何中最常见、最重要的图形之一，对三角形的边赋予方向，这些边就成了向量，本节中我们还将借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题.今天我们就来学习第一节——平面几何中的向量方法（二）创设情境提出问题平面几何的主要研究对象是图形的结构和度量性质，如长度、角度和位置关系等.而向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标.下面通过两个具体实例，感受向量运算的魅力.解决问题例题1如图，是的中位线，用向量方法证明：,这是同学们非常熟悉的三角形中位线定理.我们在初中曾经证明过这个结论，但往往需要添加辅助线.在几何问题中，那些“辅助线”虽然很漂亮，但它往往是一种神一般的存在，有时候同学们可能会想半天想不出来，思维难度较大，而且不同的几何问题通常缺乏统一的解法步骤，没有一般规律可循.现在我们已经学了平面向量问题1如何利用向量方法证明两直线平行？我们需要用到向量的数乘运算，存在着倍追问2如何证明?平面向量基本定理告诉我们，平面中的任意一个向量都可以用两个不共线的向量线性表示，所以我们要先选择合适的两个不共线的向量作为基底，把要求的两个向量都用同一组基底表示.有了基底，我们也就找到了的关系.这里我们可以取为基底.为了后面计算的方便，基底通常选为共起点.（四）总结提升（1）比较向量法和综合法，请你谈一谈向量在解决某些平面几何问题中的优势？由于向量能够运算，所以它可以把原本较为复杂的思辨过程转化为较为简单的运算过程，降低了思考问题的难度.向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用向量解决平面几何的问题，几何中的“证”，转化为向量的“算”，思路清晰，便于操作.（2）请总结向量法解决平面几何问题的基本思路和步骤？基本思路：先把几何图形中的元素用向量表示，再借助于向量的运算研究图形中几何元素之间的关系，然后把向量运算的结果翻译成平面几何的形式.具体步骤如下：向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：（1）建立平面几何和向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题（3）把运算结果“翻译”成几何关系.（五）巩固应用例题2平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图，已知平行四边形ABCD，你能发现和猜想出对角线AC和BD的长度与两条邻边AB和AD的长度之间的关系吗?平行四边形是平面几何中的又一种重要图形，它有很多的性质.平行四边形中与两条对角线对应的向量恰是与两条邻边对应的两个向量的和与差，我们可以通过向量运算来探索它们模之间的关系你能用自然语言叙述这个关系式？例题3如图所示，正方体ABCD中，EF分别是AB,CD的中点，求证：变式：F