江苏省南京鼓楼区重点达标名校2024届中考数学四模试卷含解析

江苏省南京鼓楼区重点达标名校2024届中考数学四模试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．老师随机抽查了学生读课外书册数的情况，绘制成条形图和不完整的扇形图，其中条形图被墨迹遮盖了一部分，则条形图中被遮盖的数是（）A．5 B．9 C．15 D．222．把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C．y＝﹣2（x+1）2 D．y＝﹣2（x﹣1）23．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）A．10 B．6 C．5 D．34．已知常数k＜0，b＞0，则函数y=kx+b，的图象大致是下图中的（）A． B．C． D．5．每个人都应怀有对水的敬畏之心，从点滴做起，节水、爱水，保护我们生活的美好世界．某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超出4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元．该地一家庭记录了去年12个月的月用水量如下表，下列关于用水量的统计量不会发生改变的是（）用水量x（吨）34567频数1254﹣xxA．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．众数、方差6．如图，△ABC中，AB=2，AC=3，1＜BC＜5，分别以AB、BC、AC为边向外作正方形ABIH、BCDE和正方形ACFG，则图中阴影部分的最大面积为（）A．6 B．9 C．11 D．无法计算7．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A． B．8 C． D．8．定义：一个自然数，右边的数字总比左边的数字小，我们称之为“下滑数”(如：32，641，8531等)．现从两位数中任取一个，恰好是“下滑数”的概率为()A． B． C． D．9．2017年，全国参加汉语考试的人数约为6500000，将6500000用科学记数法表示为（）A．6.5×105B．6.5×106C．6.5×107D．65×10510．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB＝1，点A在函数y＝﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y＝（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A． B． C． D．11．对于数据：6,3,4,7,6,0,1．下列判断中正确的是（）A．这组数据的平均数是6，中位数是6 B．这组数据的平均数是6，中位数是7C．这组数据的平均数是5，中位数是6 D．这组数据的平均数是5，中位数是712．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．14．某书店把一本新书按标价的九折出售,仍可获利20%,若该书的进价为21元,则标价为___________元.15．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线．做法中用到全等三角形判定的依据是______．16．比较大小：4（填入“＞”或“＜”号）17．已知正方形ABCD的边长为8，E为平面内任意一点，连接DE，将线段DE绕点D顺时针旋转90°得到DG，当点B，D，G在一条直线上时，若DG=2，则CE的长为_____．18．点A到⊙O的最小距离为1，最大距离为3，则⊙O的半径长为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）为支援雅安灾区，某学校计划用“义捐义卖”活动中筹集的部分资金用于购买A，B两种型号的学习用品共1000件，已知A型学习用品的单价为20元，B型学习用品的单价为30元．若购买这批学习用品用了26000元，则购买A，B两种学习用品各多少件？若购买这批学习用品的钱不超过28000元，则最多购买B型学习用品多少件？20．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数（k≠0）图象交于A、B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，其中A点坐标为（﹣2，3）．求一次函数和反比例函数解析式．若将点C沿y轴向下平移4个单位长度至点F，连接AF、BF，求△ABF的面积．根据图象，直接写出不等式的解集．21．（6分）《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？请解答上述问题．22．（8分）为了解某市市民上班时常用交通工具的状况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所示），并根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图：根据以上统计图，解答下列问题：本次接受调查的市民共有人；扇形统计图中，扇形B的圆心角度数是；请补全条形统计图；若该市“上班族”约有15万人，请估计乘公交车上班的人数．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）在x轴上是否存在一点P，使得S△AOP＝S△AOB，若存在，求所有符合条件点P的坐标；若不存在，简述你的理由．24．（10分）综合与探究如图，抛物线y=﹣与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过B，C两点，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，连接CM，将线段MC绕点M顺时针旋转90°得到线段MD，连接CD，BD．设点M运动的时间为t（t＞0），请解答下列问题：（1）求点A的坐标与直线l的表达式；（2）①直接写出点D的坐标（用含t的式子表示），并求点D落在直线l上时的t的值；②求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；（3）在点M运动的过程中，在直线l上是否存在点P，使得△BDP是等边三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）先化简，再求值：，其中与2，3构成的三边，且为整数.26．（12分）如图所示，直线y=﹣2x+b与反比例函数y=交于点A、B，与x轴交于点C．（1）若A（﹣3，m）、B（1，n）．直接写出不等式﹣2x+b＞的解．（2）求sin∠OCB的值．（3）若CB﹣CA=5，求直线AB的解析式．27．（12分）如图，已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数（x＜0）的图象交于点B（﹣2，n），过点B作BC⊥x轴于点C，点D（3﹣3n，1）是该反比例函数图象上一点．求m的值；若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、B【解析】

条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．【详解】课外书总人数：6÷25%＝24（人），看5册的人数：24﹣5﹣6﹣4＝9（人），故选B．【点睛】本题考查了统计图与概率，熟练掌握条形统计图与扇形统计图是解题的关键．2、A【解析】

根据“上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“上加下减”的原则可知，把抛物线y＝﹣2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是：y＝﹣2x2+1．故选A．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．3、D【解析】

直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．【详解】解：∵55+55+55+55+55=25n，∴55×5=52n，则56=52n，解得：n=1．故选D．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．4、D【解析】

当k＜0，b＞0时，直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限，由此确定正确的选项．【详解】解：∵当k＜0，b＞0时，直线与y轴交于正半轴，且y随x的增大而减小，∴直线经过一、二、四象限，双曲线在二、四象限．故选D．【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数的图象与性质．关键是明确系数与图象的位置的联系．5、B【解析】

由频数分布表可知后两组的频数和为4，即可得知频数之和，结合前两组的频数知第6、7个数据的平均数，可得答案．【详解】∵6吨和7吨的频数之和为4-x+x=4，∴频数之和为1+2+5+4=12，则这组数据的中位数为第6、7个数据的平均数，即5+52∴对于不同的正整数x，中位数不会发生改变，∵后两组频数和等于4，小于5，∴对于不同的正整数x，众数不会发生改变，众数依然是5吨.故选B．【点睛】本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数的定义和计算方法是解题的关键．6、B【解析】

有旋转的性质得到CB=BE=BH′，推出C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，得到S△BEI=S△ABH′=S△ABC，同理：S△CDF=S△ABC，当∠BAC=90°时，S△ABC的面积最大，S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，推出S△GBI=S△ABC，于是得到阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，于是得到结论．【详解】把△IBE绕B顺时针旋转90°，使BI与AB重合，E旋转到H'的位置，∵四边形BCDE为正方形，∠CBE=90°，CB=BE=BH′，∴C、B、H'在一直线上，且AB为△ACH'的中线，∴S△BEI=S△ABH′=S△ABC，同理：S△CDF=S△ABC，当∠BAC=90°时，S△ABC的面积最大，S△BEI=S△CDF=S△ABC最大，∵∠ABC=∠CBG=∠ABI=90°，∴∠GBE=90°，∴S△GBI=S△ABC，所以阴影部分面积之和为S△ABC的3倍，又∵AB=2，AC=3，∴图中阴影部分的最大面积为3××2×3=9，故选B．【点睛】本题考查了勾股定理，利用了旋转的性质：旋转前后图形全等得出图中阴影部分的最大面积是S△ABC的3倍是解题的关键．7、D【解析】∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=1．设⊙O的半径为r，则OC=r－2，在Rt△AOC中，∵AC=1，OC=r－2，∴OA2=AC2+OC2，即r2=12+（r﹣2）2，解得r=2．∴AE=2r=3．连接BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．在Rt△ABE中，∵AE=3，AB=8，∴．在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=1，∴．故选D．8、A【解析】分析：根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数：根据题意得知这样的两位数共有90个；

②符合条件的情况数目：从总数中找出符合条件的数共有45个；二者的比值就是其发生的概率．详解：两位数共有90个，下滑数有10、21、20、32、31、30、43、42、41、40、54、53、52、51、50、65、64、63、62、61、60、76、75、74、73、72、71、70、87、86、85、84、83、82、81、80、98、97、96、95、94、93、92、91、90共有45个，

概率为．

故选A．点睛：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．9、B【解析】

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】将6500000用科学记数法表示为：6.5×106.故答案选B.【点睛】本题考查了科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法的表示形式.10、C【解析】分析：先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．详解：∵OB=1,AB⊥OB,点A在函数(x<0)的图象上，∴当x=−1时，y=2，∴A(−1,2).∵此矩形向右平移3个单位长度到的位置，∴B1(2,0)，∴A1(2,2).∵点A1在函数(x>0)的图象上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为,O1(3,0)，∵C1O1⊥x轴，∴当x=3时,∴P故选C.点睛：考查反比例函数图象上点的坐标特征,坐标与图形变化-平移，解题的关键是运用双曲线方程求出点A的坐标，利用平移的性质求出点A1的坐标.11、C【解析】

根据题目中的数据可以按照从小到大的顺序排列，从而可以求得这组数据的平均数和中位数．【详解】对于数据：6，3，4，7，6，0，1，这组数据按照从小到大排列是：0，3，4，6，6，7，1，这组数据的平均数是：中位数是6，故选C.【点睛】本题考查了平均数、中位数的求法，解决本题的关键是明确它们的意义才会计算，求平均数是用一组数据的和除以这组数据的个数；中位数的求法分两种情况：把一组数据从小到大排成一列，正中间如果是一个数，这个数就是中位数，如果正中间是两个数，那中位数是这两个数的平均数.12、D【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

D、是轴对称图形，符合题意．

故选D．【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、20【解析】

先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．【详解】设黄球的个数为x个，∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，∴＝60%，解得x＝30，∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).故答案为：20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.14、28【解析】设标价为x元，那么0.9x-21=21×20%，x=28.15、SSS．【解析】

由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．【详解】由图可知，CM=CN，又OM=ON，∵在△MCO和△NCO中，∴△COM≌△CON（SSS），∴∠AOC=∠BOC，即OC是∠AOB的平分线．故答案为：SSS．【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．16、＞【解析】

试题解析：∵＜∴4＜．考点：实数的大小比较．【详解】请在此输入详解！17、2或2．【解析】

本题有两种情况，一种是点在线段的延长线上，一种是点在线段上，解题过程一样，利用正方形和三角形的有关性质，求出、的值，再由勾股定理求出的值，根据证明，可得，即可得到的长.【详解】解：当点在线段的延长线上时，如图3所示.过点作于，是正方形的对角线，,,在中，由勾股定理，得：,在和中，，,，当点在线段上时，如图4所示.过作于．是正方形的对角线，，在中，由勾股定理，得：在和中，，,，故答案为或．【点睛】本题主要考查了勾股定理和三角形全等的证明.18、1或2【解析】

分类讨论：点在圆内，点在圆外，根据线段的和差，可得直径，根据圆的性质，可得答案．【详解】点在圆内，圆的直径为1+3=4，圆的半径为2；点在圆外，圆的直径为3−1=2，圆的半径为1，故答案为1或2.【点睛】本题考查点与圆的位置关系，关键是分类讨论：点在圆内，点在圆外.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）购买A型学习用品400件，B型学习用品600件．（2）最多购买B型学习用品1件【解析】

（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，就有x+y=1000，20x+30y=26000，由这两个方程构成方程组求出其解就可以得出结论．（2）设最多可以购买B型产品a件，则A型产品（1000﹣a）件，根据这批学习用品的钱不超过210元建立不等式求出其解即可．【详解】解：（1）设购买A型学习用品x件，B型学习用品y件，由题意，得，解得：．答：购买A型学习用品400件，B型学习用品600件．（2）设最多可以购买B型产品a件，则A型产品（1000﹣a）件，由题意，得20（1000﹣a）+30a≤210，解得：a≤1．答：最多购买B型学习用品1件20、（1）y＝﹣x+，y＝;(2)12;(3)x＜﹣2或0＜x＜4.【解析】

（1）将点A坐标代入解析式，可求解析式；（2）一次函数和反比例函数解析式组成方程组，求出点B坐标，即可求△ABF的面积；（3）直接根据图象可得．【详解】（1）∵一次函数y＝﹣x+b的图象与反比例函数y＝（k≠0）图象交于A（﹣3，2）、B两点，∴3＝﹣×（﹣2）+b，k＝﹣2×3＝﹣6∴b＝，k＝﹣6∴一次函数解析式y＝﹣，反比例函数解析式y＝.（2）根据题意得：，解得：，∴S△ABF＝×4×（4+2）＝12（3）由图象可得：x＜﹣2或0＜x＜4【点睛】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，待定系数法求解析式，熟练运用函数图象解决问题是本题的关键．21、共有7人，这个物品的价格是53元．【解析】

根据题意，找出等量关系，列出一元一次方程.【详解】解：设共有x人，这个物品的价格是y元，解得答：共有7人，这个物品的价格是53元.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用.22、（1）1；（2）43.2°；（3）条形统计图如图所示：见解析；（4）估计乘公交车上班的人数为6万人．【解析】

（1）根据D组人数以及百分比计算即可．（2）根据圆心角度数＝360°×百分比计算即可．（3）求出A，C两组人数画出条形图即可．（4）利用样本估计总体的思想解决问题即可．【详解】（1）本次接受调查的市民共有：50÷25%＝1（人），故答案为1．（2）扇形统计图中，扇形B的圆心角度数＝360°×＝43.2°；故答案为:43.2°（3）C组人数＝1×40%＝80（人），A组人数＝1﹣24﹣80﹣50﹣16＝30（人）．条形统计图如图所示：（4）15×40%＝6（万人）．答：估计乘公交车上班的人数为6万人．【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23、（1）y＝；（1）（﹣1，0）或（1，0）【解析】

（1）把A的坐标代入反比例函数的表达式，即可求出答案；（1）求出∠A＝60°，∠B＝30°，求出线段OA和OB，求出△AOB的面积，根据已知S△AOPS△AOB，求出OP长，即可求出答案．【详解】（1）把A（，1）代入反比例函数y得：k＝1，所以反比例函数的表达式为y；（1）∵A（，1），OA⊥AB，AB⊥x轴于C，∴OC，AC＝1，OA1．∵tanA，∴∠A＝60°．∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠B＝30°，∴OB＝1OC＝1，∴S△AOBOA•OB1×1．∵S△AOPS△AOB，∴OP×AC．∵AC＝1，∴OP＝1，∴点P的坐标为（﹣1，0）或（1，0）．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，解直角三角形等知识点，求出反比例函数的解析式和求出△AOB的面积是解答此题的关键．24、（1）A（﹣3，0），y=﹣x+；（2）①D（t﹣3+，t﹣3），②CD最小值为；（3）P（2，﹣），理由见解析.【解析】

（1）当y=0时，﹣=0，解方程求得A（-3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），待定系数法可求直线l的表达式；（2）分当点M在AO上运动时，当点M在OB上运动时，进行讨论可求D点坐标，将D点坐标代入直线解析式求得t的值；线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，根据勾股定理可求点M运动的过程中线段CD长度的最小值；（3）分当点M在AO上运动时，即0＜t＜3时，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，进行讨论可求P点坐标．【详解】（1）当y=0时，﹣=0，解得x1=1，x2=﹣3，∵点A在点B的左侧，∴A（﹣3，0），B（1，0），由解析式得C（0，），设直线l的表达式为y=kx+b，将B，C两点坐标代入得b=mk﹣，故直线l的表达式为y=﹣x+；（2）当点M在AO上运动时，如图：由题意可知AM=t，OM=3﹣t，MC⊥MD，过点D作x轴的垂线垂足为N，∠DMN+∠CMO=90°，∠CMO+∠MCO=90°，∴∠MCO=∠DMN，在△MCO与△DMN中，，∴△MCO≌△DMN，∴MN=OC=，DN=OM=3﹣t，∴D（t﹣3+，t﹣3）；同理，当点M在OB上运动时，如图，OM=t﹣3，△MCO≌△DMN，MN=OC=，ON=t﹣3+，DN=OM=t﹣3，∴D（t﹣3+，t﹣3）．综上得，D（t﹣3+，t﹣3）．将D点坐标代入直线解析式得t=6﹣2，线段CD是等腰直角三角形CMD斜边，若CD最小，则CM最小，∵M在AB上运动，∴当CM⊥AB时，CM最短，CD最短，即CM=CO=，根据勾股定理得CD最小；（3）当点M在AO上运动时，如图，即0＜t＜3时，∵tan∠CBO==，∴∠CBO=60°，∵△BDP是等边三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=3﹣t，AN=t+，NB=4﹣t﹣，tan∠NBO=，=，解得t=3﹣，经检验t=3﹣是此方程的解，过点P作x轴的垂线交于点Q，易知△PQB≌△DNB，∴BQ=BN=4﹣t﹣=1，PQ=，OQ=2，P（2，﹣）；同理，当点M在OB上运动时，即3≤t≤4时，∵△BDP是等边三角形，∴∠DBP=∠BDP=60°，BD=BP，∴∠NBD=60°，DN=t﹣3，NB=t﹣3+﹣1=t﹣4+，tan∠NBD=，=，解得t=3﹣，经检验t=3﹣是此方程的解，t=3﹣（不符合题意，舍）．故P（2，﹣）．【