应用随机过程课件第05章随机信号的功率谱密度

CH4随机信号的功率谱密度

4/4/20241随机过程的谱分析功率谱密度与自相关函数之间的关系功率谱密度的性质互谱密度及其性质白噪声提纲4/4/20242随机过程的谱分析频谱的简单回忆非随机信号的傅立叶变换 设s(t)是时间t的非周期实函数，其傅立叶变换存在的条件为： (1)s(t)在范围内满足狄利赫利条件 (2) 或备择条件信号的总能量有限4/4/20243随机过程的谱分析频谱的简单回忆假设s(t)满足上述条件，其傅立叶变换对存在〔正变换〕〔反变换〕其中S(w)称为信号s(t)的频谱，它反映了信s(t)中各频率成分的分布状况4/4/20244随机过程的谱分析频谱的简单回忆帕赛瓦尔等式其中被积函数称为能量谱密度上式说明，信号的能量也可以由能量谱密度在整个频率范围的积分乘以得到

4/4/20245随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度一个问题：随机过程的持续时间是无限的，其总能量也是无限的，不满足傅立叶变换的绝对可积条件，随机过程的频谱不存在解决：研究随机过程的平均功率4/4/20246随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度随机过程的截断函数任取随机过程X(t)的样本函数x(t)，定义其截断函数为4/4/20247随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度截断函数的傅立叶变换x(t)是随机过程X(t)的一个样本函数，因此，和都是实验结果的随机函数，表示为和4/4/20248随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度样本函数的平均功率4/4/20249随机过程的谱分析信号的平均功率可以分别由和在时域和频域内积分得到定义功率谱密度函数4/4/202410随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度样本函数的功率谱密度函数(1)当在整个频率范围内对它积分，得到信号的总功率(2)描述了信号功率在各个不同频率上分布的情况4/4/202411随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度随机过程的功率谱密度函数对所有的样本函数的功率谱密度取统计平均，得到的结果不再具有随机性，而是频率确实定函数，称为随机过程的功率谱密度函数4/4/202412随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度随机过程的平均功率对所有样本函数的平均功率取统计平均4/4/202413随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度随机过程的平均功率随机过程的平均功率可以由它的均方值的时间平均得到，也可以由它的功率谱密度在整个频域上积分得到4/4/202414随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度假设随机过程为平稳随机过程均方值为常数，与时间t无关，故平稳随机过程的平均功率等于该过程的均方值，它可以由随机过程的功率谱密度在全频域的积分得到4/4/202415随机过程的谱分析随机过程的功率谱密度假设随机过程为各态历经过程样本函数的功率谱密度和随机过程的功率谱密度以概率1相等4/4/202416随机过程的谱分析例：随机过程X(t)为 式中，是常数，是在上均匀分布的随机变量，求随机过程X(t)的平均功率解：4/4/202417随机过程的谱分析 显然不是常数，故这个过程不是平稳随机过程，因此平均功率为4/4/202418功率谱密度与自相关函数之间的关系自相关函数是从时间角度描述过程统计特性的最主要的数字特征功率谱密度是从频率角度描述过程统计特性的数字特征可以证明：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间构成傅里叶变换对4/4/202419功率谱密度与自相关函数之间的关系维纳-辛钦定理平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数为傅里叶变换对4/4/202420功率谱密度与自相关函数之间的关系证明：根据

故：4/4/202421功率谱密度与自相关函数之间的关系

令

4/4/202422功率谱密度与自相关函数之间的关系

定义为自相关函数的时间平均

得到：

结论：对于任意随机过程，它的自相关函数的时间均值与过程的功率谱密度互为傅里叶变换4/4/202423功率谱密度与自相关函数之间的关系 当X(t)为平稳随机过程时 故： 于是： 平稳过程的功率谱密度就是其自相关函数的傅里叶变换4/4/202424功率谱密度与自相关函数之间的关系几点讨论(1)利用自相关函数和功率谱密度都是偶函数的性质，维纳-辛钦定理可表示成4/4/202425功率谱密度与自相关函数之间的关系几点讨论(2)负频率只是为了数学上的处理方便，实际中并不存在，定义“单边谱密度”，也称“物理功率谱密度”，记为4/4/202426功率谱密度与自相关函数之间的关系几点讨论(3)维纳-辛钦公式在含有直流或周期性成分的平稳随机过程的推广平稳随机过程的功率谱密度与自相关函数互为傅里叶变换对要求绝对可积，即4/4/202427功率谱密度与自相关函数之间的关系几点讨论问题：对于直流信号或周期信号，由于有在离散的频率点上〔零带宽内〕的平均功率存在，这些频率点上的功率谱密度是无限值，不满足绝对可积条件解决：将直流分量在各个频率点上的无限值用一个函数来表示，借助函数的性质及其傅里叶变换对，将维纳-辛钦公式推广到含直流或周期成分的平稳过程中4/4/202428功率谱密度与自相关函数之间的关系几点讨论1)如果平稳过程有非零均值〔直流分量〕，非零均值可用频域原点处的函数表示，该函数的权值即为直流分量的功率2)如果平稳过程含有对应于离散频率的周期分量时，该成分就在频域的相应频率上产生函数4/4/202429功率谱密度与自相关函数之间的关系几点讨论3)函数的傅里叶变换对4/4/202430功率谱密度与自相关函数之间的关系例：假设随机过程X(t)的相关函数为 ，求功率谱密度解：4/4/202431功率谱密度与自相关函数之间的关系例：假设随机过程X(t)的自相关函数为，求功率谱密度解：4/4/202432功率谱密度与自相关函数之间的关系4/4/202433功率谱密度的性质功率谱密度的性质性质1：非负性性质2：是实函数性质3：是偶函数性质4：4/4/202434互谱密度及其性质定义互谱密度函数互平均功率4/4/202435互谱密度及其性质互谱密度与互相关函数的关系对于任意两个实随机过程X(t)，Y(t)，其互谱密度与互相关函数的时间均值成傅立叶变换对对于联合平稳的X(t)，Y(t)，其互谱密度与互相关函数成傅立叶变换对4/4/202436互谱密度及其性质互谱密度的性质性质1：性质2：互谱密度的实部为偶函数，虚部为奇函数4/4/202437互谱密度及其性质互谱密度的性质性质3：假设X(t)与Y(t)正交，那么有性质4：假设X(t)与Y(t)不相关，X(t)，Y(t)分别具有常数均值，4/4/202438互谱密度及其性质例：平稳过程X(t)，Y(t)的互谱密度为 式中，，a,b为实常数，求互相关函数解：4/4/202439白噪声理想白噪声定义：N(t)为一个具有零均值的平稳随机过程，其功率谱密度均匀分布在的整个频率区间其中为正实常数白噪声的自相关函数4/4/202440白噪声理想白噪声说明白噪声在任何两个相邻时刻的状态都是不相关的，即白噪声随时间的起伏很快，其功率谱极宽事实上，白噪声并不存在，实际中，当我们所研究的随机过程，在比有用频带宽得多的范围内