高考数学考前最后一轮基础知识巩固之第七章第1课空间几何体

第1课空间几何体

【考点导读】

1.观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中

简单物体的结构；

2.能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别

上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；

3.通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同

表示形式；

4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。

【基础练习】

1.一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有14条棱,8个面；②如果

它是棱柱，那么它有北—条棱6个面。

2.AA'5'C'是正AABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若AA'3'C'的面积为0，

那么AABC的面积为

3.（1）如图，在正四面体A—BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则aFFG

在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是③④。

（2）如图，E、F分别为正方体的面ADDA、面BCCB的中心，则四边形BFDE在该正方体的

11111

面上的射影可能是图的②③（要求：把可能的图的序号都填上）.

①②③@

4.一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成的角为

60。。

£两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5cm,4cm,3cm,把它们重叠在一起组成一个新

长方体，在这些新长方体中，最长的对角线的长度是57'攵机。

-1-/7

【X例导析】

例1.（1）下列结论中，正确的是。

（1）各个面都是三角形的几何体是三棱锥

（2）以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆

锥

（3）棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是六棱锥

（4）圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是圆锥的母线

（2）下列命题中，假命题是（1）（3）。（选出所有可能的答案）

（1）有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形的多面体是棱柱

（2）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

（3）有两个面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

（4）若一个几何体的三视图都是矩形，则这个几何体是长方体

分析：准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征是解决概念题的关键。

（1）（4）是正确的。（1）中可以是把两个三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形,

但不是三棱锥。（2）中要取决于三角形的形状，以及旋转方式，比如等腰直角三角形中以直

角边为旋转轴进行旋转就不是圆锥。（3）中若棱锥的所有棱都相等，则底面多边形是正六边

形，由几何图形可知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长。

（2）（1）和（3）是错误的。（1）中将两个斜棱柱对接在一起就是反例。（3）中是不是棱

台还要看侧棱的延长线是否交于一点。

点评：对于概念判断的类型，举反例是非常有效的方法。

例2.AA'8'C'是正^ABC的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若AA'3'C'的面积为,

那么4ABC的面积为o

解析：2屈。

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对

应关系。特别底和高的对应关系。

例3.多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的，如图，正方体的一个顶点A在平面a

内，其余顶点在a的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到a的距离分别为1,2和4,

P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面a的距离可能是：

①3；②4；③5；©6；⑤7

以上结论正确的为（写出所有正确结论的编号）

解析：如图，B、D、A1到平面a的距离分别为1、2、4,则D、的中

点到平面a的距离为3,所以［到平面a的距离为6；B、A1的市点到

511

平面a的距离为2,所以B1到平面a的距离为5；则D、B的中点到平

_3_

面a的距离为所以C到平面a的距离为3；C、A］的中点到平面a的

7一

距离为所以Q到平面a的距离为7；而P为C、C>B「？中的一

点，所以选①③④⑤。

点评：该题将计算蕴涵于射影知识中，属于难得的综合题目。

例4.（1）画出下列几何体的三视图_一

-2-/7

(2)某物体的三视图如下，试判断该几何体的形状

主祝困

分析：三视图是从三个不同的方向看同一物体得到的三个视图。

解析：(1)这两个几何体的三视图分别如下：

(2)该几何体为一个正四棱锥。

点评：画三视图之前，应把几何体的结构弄清楚，选择一个合适的主视方向。一般先画主视

图，其次画俯视图，最后画左视图。画的时候把轮廓线要画出来，被遮住的轮廓线要画成虚

线。物体上每一组成部分的三视图都应符合三条投射规律。主视图反映物体的主要形状特征,

主要体现物体的长和高，不反映物体的宽。而俯视图和主视图共同反映物体的长要相等。左

视图和俯视图共同反映物体的宽要相等。据此就不难得出该几何体的形状。

例5.如图，在四面体ABCD中，截面AEF经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)的球

心0,且与BC,DC分别交于E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A—

BEFD与三棱锥A—EFC的表面积分别是S/则S?的大小关系是SO

解析:连0A、OB、0C、0D,

则V=V+V+V

A-BEFDO-ABDO-ABEO-BEFD

V=v+v+v

A-即CO-ADCO-AECO-EFC

又V=v，

A-BEFDA-EFCF

而每个三棱锥的高都是原四面体的内切球的半径,

故S+S+S=S+S+SB

ABDABEBEFDADCAECEFC

又面AEF公共，故选CEC

点评：该题通过复合平面图形的分割过程，增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面

积首先要转化好平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

备用题：lo如图所示，在平行六面体ABCD—ARCR中，已知AB=5,AD=4,AA=3,AB_LAD,

1

兀

ZAAB=ZAAD=—o

13

(1)求证：顶点'在底面ABCD上的射影0在/BAD的平分线上;

求这个平行公面体的体积。

(2)

-3-/7

解析：⑴如图2,连结AQ则A/）,底面ABCD。作0MLAB交AB于M,

作0N_LAD交AD于N,连结AM1,A1N。

易得A]M_LAB,AN±ADo;NA】AM=NA^AN,

ARtAANiA^iRtAAMiA,iAAM=AN,

从而0M=0N。.,.点0在/BAD的平分线上。

n13AM3f-

(2)AM=AAcos—=3X—=—；.A0=-----=—、/2o

1322兀2

COS—

4

»99

又在RtAAOA中，A02=AA2-A0?=9--=-

11122

3[23/2

.•冉0=」1-,平行六面体的体积为V=5x4x与-=30”。

2.如图1是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征，并说出它的名称.

/A

图1俯视图图2

变式题1.如图2是一个几何体的三视图（单位：cm）

（T）画出这个几何体的直观图（不要求写画法）；

（II）求这个几何体的表面积及体积；

（III）设异面直线A4'与3C'所成的角为6,求cos。.

解：（I）这个几何体的直观图如图3所示.

（II）这个几何体是直三棱柱.

由于底面AABC的高为1,所以=J12+12=霹.

故所求全面积+S+2S

S=2S.BB'C'CABB'A'

-4-/7

=2x£x2x1+3x2+2x3x>/2=8+65/2(cm2).

这个几何体的体积V=S,BB'=J_x2xlx3=3(cm3)

AABC2

(III)因为A4'〃班'，所以A4'与3C'所成的角是ZB'BC'.

在RtABB'C中，BC'=^BB'2+B'C'2=4+22=7n,

八BB'

故cosB—

nC

【反馈演练】

1+271

1.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是F—

271

2.如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为r的实心铁球,

__R2J3

水面高度恰好升高r,则一=｛一。

r3

⑵

解析：水面高度升高r,则圆柱体积增加mR-r。恰好是半径为r的实心铁球的体积，因此

4R_2书2,/3

有丁…叱故丁丁。答案为丁。

点评：本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。

3.在AABC中，AB=2,BC=1.5,ZAB01200（如图所示），若将AABC绕直线BC旋转

3

一周，则所形成的旋转体的体积是豆兀。

4.如图所示，0A是圆锥底面中心。到母线的垂线，0A绕轴旋转一周所得曲

1

面将圆锥分成相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为0

5.若正棱锥的底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是六棱锥

-5-/7

6.正四棱柱的底面边长为。，高为b（a〈b）,一蚂蚁从顶点A出发，沿正四棱柱的表面爬到

顶点C,那么这只蚂蚁所走过的最短路程为'；4。2+从。

1--

7.空间四边形A3CD中，AC=8,BD=12,E、E、G、H分别是A5、3C、CD、ZM边上

的点，且EFGH为平行四边形，则四边形EFG”的周长的取值X围是_。6，%）0

8.设棱长为4的平行六面体ABCD-ABCD的体积为V,E、尸、G分别是棱AB、AO、A4

iiii1

上的点，且AE=1,AF=2,AG=3,则三棱锥A-EfG的体积口=/。

64

9.一个透明密闭的正方体容器中，恰好盛有该容器一半容积的水，任意南这个正方体，则

水面在容器中的形状可以是：（1）三角形；（2）菱形；（3）矩形；（4）正方形；（5）正六边形。

其中正确的结论是（2）（3）（4）（5）o（把你认为正确的庠号都填上）

10.三棱锥P-A3C中，PC=x,其余棱长均为1。

（1）求证：PC1AB；

（2）求三棱锥尸-ABC的体积的最大值。

解：（1）取中点M与AC43均为正三角形,

ABLPM,AB1CM,

：.A3,平面PCM。

AB±PC

⑵当PM_L平面ABC时，三棱锥的高为PM,

此时V=4-5-PM=4--<1-X3.=4-

max3MBC3428

11.已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心0且平行于母线AB的平面所截，若

截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦点到准线的距离）为p'的抛物线.

（1）求圆锥的母线与