江苏省七校（基地学校）联考2023-2024学年高二年级上册阶段测试数学试题（含答案解析）

江苏省七校（基地学校）联考2023-2024学年高二上学期阶

段测试数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.抛物线y=2/的焦点坐标为（）

2.曲线/（耳=》3+1在点处的切线方程为（）

A.y=-3x-lB.3x+1

C.y=3x+3D.y=-3x-3

3.正项等比数列｛%｝中，%=1，〃5ali=81,则4=（）

A.V3B.3C.6D.9

4.已知数列也J的前〃项和为S〃，6=1,当〃>2时，2sl=〃，则S2021等于（）

A.1008B.1009C.1010D.1011

5.设Q,b都为正数，e为自然对数的底数，若俗。+1+6<加11人贝U（）

A.ab>eB.b>ea+i

C.ab<eD.b<ea+i

6.数学美的表现形式多种多样，我们称离心率e=。（其中二L）的椭圆为黄金

2

22

椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，+4=1,（。>6>0）,若以原点。为圆心，短轴长为

ab

直径作OO,P为黄金椭圆上除顶点外任意T点，过P作。。的两条切线，切点分别为42,

122

直线N8与羽V轴分别交于两点，则二（）

\OMI\ONI

11

A.—B.coC.-coD.——

0）CD

7.已知数列｛。〃｝满足q■!---^2---"3"'-----1---Q“二〃〃eN+）,设数列低｝满足：

23n

b“=,数列也｝的前"项和为心若7；<—2（，?eN+）恒成立，则实数2的取值

%。用«+1

范围为（）

A.B.C.[|,+3D.1，+°°]

8.如图，已知椭圆G和双曲线C?具有相同的焦点耳（-c,0）,g（c,0），/、8、C、。是

试卷第1页，共4页

它们的公共点，且都在圆-+y2=c2上，直线48与x轴交于点尸，直线CP与双曲线。2

交于点0,记直线ZC、的斜率分别为《、k2,若椭圆G的离心率为半，则匕能

二、多选题

9.已知函数/0)=$3-以+4(%6［0,3］),则()

A.函数/(x)在区间［0,2］上单调递减

B.函数/(x)在区间［0,3］上的最大值为1

C.函数/(x)在点(1,/■⑴)处的切线方程为y=-3x+g

D.若关于尤的方程/(x)=。在区间［0,3］上有两解，则

10.设数列｛g｝的前〃项和为S",关于数列｛《,｝,下列命题中正确的是()

A.若%+i=a“，则｛〃“｝既是等差数列又是等比数列

B.若S.=42+胡(〃€N)(/,8为常数),则｛%｝是等差数列

C.若S“=l-(-1)",则｛%｝是等比数列

D.若包｝是等比数列，则5,邑-5,£-邑”(〃€川也成等比数列

11.双曲线，-我=1(。>0,6>0)的左、右焦点分别为月，工.过且作其中一条渐近线

的垂线，垂足为P.已知2乙=2,直线尸鸟的斜率为-g,则()

A.b=2B.e=A/2

C.双曲线的方程为x2-且=1D.P

4语I5芽5J

试卷第2页，共4页

12.在平面直角坐标系中，/(4,0),8(1,4),点M在圆。：。+钎+/=16上运动，下列

说法正确的是()

A.点”到直线Z3的距离最大值是22?

B.疝.砺的最小值为56-4Vi砺

C.+的最小值为10

D.过直线N8上任意一点作圆C的两条切线，切点分别为尸,0,直线尸。过定点

三、填空题

13.等差数列｛%｝中，%=18,出。=30,则满足不等式与>"的正整数"的最大值

是.

14.已知直线/是抛物线C:必=2x的准线，抛物线的顶点为。，焦点为尸，若A为。上

一点，/与C的对称轴交于点B,在AABF中，sixiZAFB=桓sin/ABF，则|，目的值

为.

15.已知函数/(%)=无e"T-lnx-"，若存在%>0,使得/(尤。)=0,则实数a的最小

值为.

22

16.如图，双曲线=-4=l(a>0/>0)的两顶点为4，4，虚轴两端点为耳，B],

两焦点为耳，F],若以44为直径的圆内切于菱形甲?再乡，切点分别为4用C,。,则

菱形FXBXF2B2的面积&与矩形ABCD的面积邑的比值卷=.

四、解答题

17.已知圆C的圆心在直线y=-2x上，且过点(2,-1),(0,-3)

试卷第3页，共4页

(1)求圆。的方程；

(2)已知直线/经过原点，并且被圆C截得的弦长为2,求直线/的方程.

2

18.已知正项数列｛4｝的前"项和为S“，an+a„=2Sn+2,数列也,｝满足"=%.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

(2)求数列血,｝的前〃项和

19.已知函数/(x)=/-2(。+l)x+2alnx(a>0).

(1)当。=1时，求曲线了=〃x)在点(1,/⑴)处的切线方程；

(2)求/⑴的单调区间;

13

20.从①%,%成等差数列；②4,g+1，/成等比数列；③邑这三个条件

中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.

已知E,为数列｛凡｝的前〃项和，31=%+2%(“€^),且.

(1)求数列｛%｝的通项公式；

(a〃为偶数

⑵记"=1'为在独，求数列低｝的前2〃+1项和应,

[logs〃为奇数

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

21.函数/(x)=e*cosx.

⑴求/(x)在(-乃,乃)上的单调区间；

(2)当x»0时，不等式/'(x)Ve2工恒成立，求实数。的取值范围.

22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆G：5+i=1.>6>0)过点(2,1),离心率

为交，其左右焦点分别为耳，F2.

2

⑴若点P与耳，鸟的距离之比为g,求直线尤-后y+百=0被点P所在的曲线截得

的弦长；

⑵设4,4分别为椭圆。的左、右顶点，。为。上异于4,4的任意一点，直线4Q，

40分别与椭圆£的右准线交于点M,N,求证：以儿w为直径的圆经过x轴上的定点.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.c

【分析】化抛物线方程y=2/为标准方程从而可求解.

【详解】化抛物线方程y=2f为标准方程所以焦点坐标为

故选：C

2.C

【分析】求出/(-1)=0和/'(-1)=3,利用导函数几何意义求出切线方程.

【详解】/(-1)=T+1=。，/'("=3/,故/'(-1)=3,

所以/(#=/+1在点(-处的切线方程为"3(x+l),

即>=3x+3.

故选：C

3.B

【分析】根据题意和等比数列的性质计算即可.

【详解】设等比数列｛与｝的公比为9,

因为数列｛。“｝为正项等比数列，所以4>0,

由题为=1,

则=81=>&"为/=q8=8i,所以/=3,

所以&/=3.

故选：B

4.D

【分析】由"22时，%+25,1="得至1」.用+25“=〃+1,两式作差，整理可得：an+1+an=],

结合并项求和，即可求解.

【详解】解：由题意可得,当心2时,an+2Sn_x=n,an+l+2Sn=n+\,

两式作差可得an+i-an+2an=1,

即a”+i+a〃=1("-2),

答案第1页，共18页

即当〃22时，数列任意连续两项之和为1,又因为4=1,

2020

所以邑021=%+(出+%)+(44+%)~*---(^2020+。2021)=1----—=1011,

故选：D.

5.B

【分析】把不等式进行变形，引入函数/(x)=xlnx,由导数确定函数单调性，由单调性及

不等关系得结论.

【详解】由已知，aea+l<b(lnb-l)=bln-,则e"Ine"<.

eee

设/(x)=xIn%,

因为Q>0,则e“>l.又6(1口6-1)〉0,6>0,则为6>1,即6〉e,从而一>1.

e

当x〉l时，/"(x)=lnx+l>0,贝ij/(x)在(1,+8)内单调递增,

所以即

e

故选：B.

6.A

【分析】根据题意。、/、P、2四点在以。尸为直径的圆上，可设点尸坐标为尸(七,%),从

而得出四点所在圆的方程为x(x-Xo)+y(y-yo)=0,利用两圆方程之差求得切点/、5所在

直线方程，进而求得“、N两点坐标即可解决本题.

【详解】依题意有0/P8四点共圆，设点尸坐标为尸(%,%),则该圆的方程为：

x(x-xo)+y(y-yo)=O,

将两圆方程：/+/=/与X?-x°x+V一%>=0相减，得切点所在直线方程为

(入2、(入2、22

2

lAB:xxQ+yy0=bf解得M—,0,N0—,因为害+咚=1,所以

1/JIyQ)ab?

Na2b2a2_b2xl+a2yl_oV_a2_12_J_

\OM^+|ON二一史小/-P~~V~~V~l-<y2-V5-1-~m

"-2

%y0

故选：A

7.D

【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求数列的和，最

答案第2页，共18页

后利用函数的单调性求出结果.

【详解】数列｛4｝满足4+大。2+彳。3---1—a=n2+n,①

23nn

]]]2

当〃22时，—6Z2~^3---1----^%一1二(〃-1)+〃一1，②

①一②得，，%=2〃，故%=2",

n

2〃+12n+l111

贝坨=

4/("+1)24[/n+i)2

22

则T"=：1-£111

++••十—

2n几+1)24

由于《恒成立,

故；1-1n.

<----A,

n+\yn+1

〃+211

整理得：力>-----——I-------

4几+444(〃+1)，

11

因1+4(〃+,随〃的增加而减小，

11

所以当〃=1时,l+而包最大'且为|,

3

即4>工

8

故选：D

8.B

【分析】根据已知条件依次求得两点的坐标,由此可求得左•内的值.

.2,2.2,2

【详解】设椭圆标准方程为二+乌=1(°>6>0),双曲线的标准方程为，-吟=1,

abst

则"—，由/竽,—手

所以/=/-2=5/,所以椭圆方程可化为f+5/=。2

x2+5/=a2

由两式相减得4/=/c2=b2,y=±—b,

V+y'2

=±^~b,则/三岳三瓦111b,

x2=c2——b1=—62,x

22

4427

根据对称性可知4c关于原点对称，48关于X轴对称.

答案第3页，共18页

贝

直线CP的方程为

将/

代入9"得譬！=1,

15b2b2

由彳一彳二,解得§2=3/或$2=5〃,

s2+t2=a2-b2=4b2

而〃2=5Z?2,s<a,所以S2=3",

22

所以/=4/-3/=/,所以双曲线方程可化为二一乌=1,

3b2b1

消去y并化简得76/+47^-255一=0

设0("。)，解得/=小叵6,盟=」6,所以。1暝1瓦_以,

383813336

11,

k+b

[7b17z23S10z72

所以|="=为豆=正'2=用。=而卜176J3r/2=i-

-----b-----------b

238

故选：B

【点睛】本题中，涉及圆和双曲线、圆和椭圆、直线和双曲线等图象的“交点”，求交点的坐

标，主要是通过联立方程组来进行求解，要注意运算的准确性，另外也要注意运算的速度.

在双曲线和椭圆中，的关系是不相同的.

9.AC

【分析】利用导数分析函数/&)的单调性，进而判断AB选项；结合导数的几何意义可判断

C选项；画出函数〃x)大致图象，结合图象即可判断D选项.

【详解】因为〃x)=§x3-4尤+4,xe[0,3],

所以/''(x)=/-4=(x+2)(x-2),

令/'(x)>0,即x>2；^f\x)<0,即0Vx<2,

答案第4页，共18页

所以函数〃X)在区间［0,2］上单调递减，在［2,3］上单调递增，故A正确;

因为"0)=4,/(3)=1,

所以函数〃x)在区间［0,3］上的最大值为4,故B错误；

因为八1)=一3,=

所以函数/⑴在点(1J⑴)处的切线方程为

即y=-3x+g,故C正确；

4

因为〃2)=-函数/⑴大致图象如图，

要使方程/(X)=。在区间［0,3］上有两解,

则一:<aVI,故D错误.

故选：AC.

10.BC

【分析】对于A：根据等差、等比数列的定义分析判断；对于BC：根据均与S“之间的关系,

结合等差、等比数列的定义分析判断；对于D：根据等比数列的和项性质分析判断.

【详解】对于选项A:因为%=%("—*),即氏+「为=(),可知数列缶,｝是等差数列，

当氏=0时，数列出,｝不是等比数列，故A错误；

对于选项B：因为S"=N"2+3〃，

当〃=1时，ax=Sx=A+B-

当〃22时，a”=S”—S0-i=(/斤+Bnj—［4〃-1)+及1)］=2Arn-B-A；

可知〃=1时,符合上式,

答案第5页，共18页

综上所述：a„=2An+B-A,

可得=所以数列｛%｝是等差数列，故B正确；

对于选项C:因为S“

当〃=1时，%=I=2；

当“22时，a“=S“-S.T=2x(-1)"，

可知〃=1时，符合上式，

综上所述：a„=2x(-l)-1,

可得—],所以数列｛。“｝是等比数列，故C正确;

a„2x(-1)

对于选项D:当数列｛%｝是等比数列时，取%=(-1)",贝！|邑=7+1=0,

此时显然邑，$4-$2，$6-S4不是等比数列，故D错误;

故选：BC.

11.ACD

【分析】根据点到线的距离公式可得6=2,可判断A；设/尸。8=6,根据渐近线的性质,

结合直角三角形中各边关系可得尸再根据直线质的斜率为列式化简求得

后，即可判断BCD.

【详解】因为a(c,0),不妨设渐近线方程为y=2x,即区-町=0,

a

IbeIbe

所以|%|==1=6，所以6=2,故A正确;

设/尸。巴=6,因为阊=c且卢巴|=6,所以|。尸|=°,

ab

因为=•力，所以力=约

,所以tan6="=上=力

22c

xpxpa

2

所以马=土，所以尸

C

答案第6页，共18页

ab

_ab_2a_a

所以kpF?c—，解得。=1,

4-Ca2-(«2+4)-2

所以c=右，则离心率0=£=右，故B错误,

a

所以双曲线方程为：x2-^=l,故C正确，

4

故选：ACD.

12.BCD

【分析】对A：求出直线的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质即可判

断；对B：利用三角代换转化为三角函数，通过三角函数求最值即可判断；对C：利用转化

思想，结合点〃在圆C上，探求一定点。，利用三点共线时+取最值，即可判断;

对D：设N为直线上任意一点，过点N作圆C的两条切线，切点分别为尸,。，先求出

切点R0所在圆G的方程，再与圆C的方程联立作差，得到直线尸。的方程，即可求其定点,

即可判断.

【详解】由圆的方程U(X+4)2+>2=16可知:圆心C(-4,0),半径厂=4,

由4(4,0),3(1,4)可知:直线的方程为胃=即4x+3k16=0,

|-4x4-16|32

对于选项A：圆心C到直线N8的距离为:d-/

A/42+325

所以点M到直线45的距离最大值是1+4二5，故A错误;

对于选项B：由M(xj)在C：a+4)2+/=i6上,

所以可设X=-4+4cosy=4sin^,0G[0,2兀),

所以AM=(8-4cos0,-4sin0),MB=15—4cos。,4—4sin9),

答案第7页，共18页

所以A//4.Affi=(8—4cos9X5—4cos9)+卜4sin9)g—4sin。)

=4O-52cos0-16sin0+16sin20+16cos20

=56-52cos0-16sin0,

所以疝•丽二56—4"^"sin(。+夕),其中sin°=J_,cos0=-4=,

A/185A/185

故当sin(e+9)=l时，祝■砺的最小值为56-4A幅'，故B正确；

对于选项C：因为+=+

设存在定点。&0),使得点“在圆C：(x+4)2+/=16上运动时均有如。|=

设M(x,y),则有J(x-J+y2=1,J(x-4)2+y2,

化简可得3无2+3/+(8-&)X=16-4/，①

又因为C:(x+4)2+y2=i6,即/+y2+8x=0,②

②代入①化简可得-8(/+2卜=16-4产，

即(f+2)(2x-f+2)=0,

所以t=一2,所以+2|M3|==2(|Affi>|+|Affi|),

因为|A0|+|M5|z忸刈=5,当〃■在线段助上时，|A®|+|M5|=忸q=5,

所以+2=2+|MB|)210,

所以W伍|+2WM的最小值为IO,故选项C正确；

对于选项D：设N为直线上任意一点，过点N作圆C的两条切线，切点分别为尸,。,

连接CP,CQ,CN,如图所示：

由直线与圆相切的性质可知：CP±PN,CQ±QN,

所以C,P,N,0在以CN为直径的圆上，其圆心为CN的中点，设为£,

答案第8页，共18页

设,

所以£,ICN|=++Z?2,

半件为|C7V|=J5+"2+从,

22

所以c,p,N,°所在圆G的方程为：1-J+,-(J=("+?+”

2

整理得炉—(fl-4)x+y-by-4a=0f

(x+4)2+/=16

将圆。与圆G的方程联立

x2一(Q_4)x+y2_"_4。=0

作差得直线PQ的方程（。+4）X+如+4。=0,

因为点N（a,b）在直线45上,

416

所以4。+3b—16=0,b=—a-\,

33

416

代入直线PQ的方程得(。+4)x+(--a+—)y+4a=0f

整理得|-]+4]+(4工+')=0,

'4

x——y+4=0rx=-2

所以3；解得3，

.16„y=—

4x+-y=02

所以直线PQ恒过定点1-21],故D正确；

故选：BCD.

13.59

【分析】计算得到%=上『，解不等式。“=二亍”>"得到答案.

_63

%=+3d=18/曰％460+3〃60+3〃

【详解】由%o=q+19d=30倚3即an>n,解得〃<60,

4~4

d—

L4

故正整数〃的最大值为59.

故答案为：59.

【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，解不等式，意在考查学生的计算能力.

14.V2

答案第9页，共18页

【分析】在△48尸中，由$吊//尸3=后反二48尸结合正弦定理可得48=血/尸，在设抛

物线上点/,列式求解即可得产,则即|可求.

【详解】因为抛物线C:/=2x的准线，焦点为产，准线/与。的对称轴交于点B,

所以叫。d-别，

因为在AABF中，sinZAFB=s/lsmZABF，

所以由正弦定理可得，\AB\=42\AF\,

因为A为抛物线C上一点，所以可设为/

平方化简可得：/一2尸+1=0,即(--1)2=0,可得产=1,

幽=+/=也■

故答案为：V2.

【分析】对函数同构，利用ei'x中等号成立条件，将问题转化为。=上照有实根，构造

X

函数，求出函数的单调性和极值即可求解。的最小值.

【详解】令f(x)=e'i-x,则«x)=eiT,由4x)=0得x=l,

由«x)=ei-l>0得x>l,所以函数《x)在(1,+8)上单调递增，

由(力=--1<0得x<l,所以函数f(x)在(-%1)上单调递减,所以《尤)>《1)=0,

答案第10页，共18页

所以eiAx,当且仅当x=l时，等号成立，

可知/(x)=xe-i-In无一依=etoM-1-(lnx+ax)>0,

当且仅当lnx+依=1时等号成立，原条件等价于方程。=匕叱有实根，

X

令g(x)=^詈，则g，(x)=@p,由g，(x)=O得x=e。

由g'(x)>0得x>,，所以函数g(x)在卜2,+动上单调递增，

由g'(x)<0得x<e"所以函数g(x)在(-叱e?)上单调递减，

所以g(x)而"=g@)=-5，所以0的最小值为

故答案为：--7

e

【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合

思想的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理.

u亚+2

10.----------

2

【分析】根据题意得到gbc=ga区闻，求得6=痔1,设包用0=6,可得

t

ZF2Ap=ZAOB2=d,进而求得岳=26c和星=T哄，即可求得1的值.

b+C»2

【详解】因为以44为直径的圆内切于菱形4男2当，可得点。到直线2刍的距离为。，

又因为虚轴的两端点为民,当，所以。鸟=。，

在A/O刍中，由三角形的面积公式值夫=；a忸典=；a病77,即bc=°病1

2

因为可得c,-3a2c2+。』,gp/-3e+l=0，

又因为e>l,解得e=S±L

2

设Nfi2£0=e,可得//。当:。，所以邑=2/sin28,

bc

在△耳08中，可得sin6>=cos6>=

yjb2+c2>Jb2+c2

所以星=4<72sin0cos0=4：气,

2b2+c2

菱形片即技的面积H=2bc,

答案第11页，共18页

2222

S|_26c_b+c_2c-a_2_1__6+2

所以亡歪廷一2a2-2A2e~2~F—.

故答案为：叵工.

2

3

17.(1)(尤一iy+(y+2)2=2；(2)尤=0或了=-1x.

(2一4+(-1+2h=/解得

【解析】(1)根据题意设圆心坐标为(。,-2a),进而得(0-0>+(-3+2a)2=/'肿何

a=l,r=应,故圆的方程为(x-l)2+(y+2)2=2

(2)分直线/的斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.

【详解】(1)圆C的圆心在直线>=-2》上，设所求圆心坐标为-2a)

•；过点(2,-1),(0,-3),

,f(2-a)2+(-l+2a)2-r2

"|(0-a)2+(-3+2a)2=r2

解得«=1,r=A/2

所求圆的方程为(x-1)?+(y+2>=2

(2)直线/经过原点，并且被圆C截得的弦长为2

①当直线/的斜率不存在时，直线/的方程为x=0,

此时直线/被圆C截得的弦长为2,满足条件；

②当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为》=依，

由于直线/被圆C截得的弦长为2,故圆心到直线/的距离为4=1

故由点到直线的距离公式得："=与空=1

yj\+k-

解得后=-：3，所以直线/的方程为y=-3：x

44

3

综上所述，则直线/的方程为％=0或了=-^X

【点睛】易错点点睛：本题第二问在解题的过程中要注意直线斜率不存在情况的讨论，即分

直线/的斜率存在和不存在两种，避免在解题的过程中忽视斜率不存在的情况致错，考查运

算求解能力与分类讨论思想，是中档题.

18.(l)a„=»+1

答案第12页，共18页

⑵T”手T

【分析】(1)利用S"与巴的关系，求解通项公式；

(2)利用错位相减法求解数列的前〃项和.

【详解】(1)当"=1时，a；+%=2E+2,即。；一%-2=0,4=2或4=-1(舍)

当〃22时，a"+a"-=2S"_]+2,

又因为%2+。”=2sH+21

两式相减得%*一%_[=0,整理得(%+%)(%-%-1)=0

｛%｝为正项数列，

an~an-\=1

数列｛劭｝为等差数列，公差为1.

an=%+-1)x1=〃+1

(2)a=0j3""=(〃+1)3用,

7；,=2X32+3X35+4X34+•••+R+1卜3(向)

3(,=2X33+3X34+4X35+•••+R+l卜3("+2)

两式相减得

-27；,=2X32+33+34+35+•••+x3(n+1)-R+l)<3(n+2)

2〃+l3“+29

4p4

19.(1)y=-3(2)详见解析

【解析】(1)分别求得/■⑴和r(i),从而得到切线方程；

(2)求导后，令/'(x)=o求得两根，分别在0<a<l、。=1和a>1三种情况下根据导函数

的正负得到函数的单调区间.

答案第13页，共18页

c2

【详解】(1),：a=\,/(x)=x2-4x+2Inx,/./'(%)=2x-4+—,

.J⑴=0,又/⑴=1-4=-3,

\y(尤)在(ij⑴)处的切线方程为尸-3.

(2)/,(x)=2x-2(a+l)+—=-----i——』------=二----——x>+

令/'(x)=0,解得：Xj=a,x2=l.

①当0<a<l时，若xe(0,a)和(1,+8)时，/0(x)>0；若xe(a,l)时，/,(x)<0；

\了(尤)的单调递增区间为(0,a),(1,+8)；单调递减区间为

②当°=1时，/'卜)20在(0,+8)上恒成立，

\/(x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

③当a>1时，若xe(0,1)和(a,+oo)时，/^(x)>0；若xe(l,a)时，f'(x)<0；

\了(尤)的单调递增区间为(0,1),(a,+8)；单调递减区间为(l,a)；

综上所述：当0<a<l时，〃X)的单调递增区间为(O,a),。,+向；单调递减区间为(d1);

当a=l时，〃x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间；

当a>l时,〃x)的单调递增区间为(0,1),(…)；单调递减区间为(La).

【点睛】本题考查利用导数的几何意义求解曲线在某一点处的切线方程、利用导数讨论含参

数函数的单调区间的问题，属于常考题型.

20.⑴条件选择见解析，%=„-

(2)^„+i=-«(»+l)log32-|-1-

【分析】(1)根据%,s”的关系确定数列｛%｝为等比数列，公比为-;，再结合条件求出首

项即可求解；

(2)分奇数项和与偶数项和分组求和即可求解.

答案第14页，共18页

【详解】(1)由3S〃=a〃+2q,〃EN*,当〃22时，3S〃T=Q〃T+24,

a1，、1

两式相减得力,=4t，即N=-J,所以数列｛%｝为等比数列，公比为一3.

an-\,2

选①，由外,生成等差数列，

4

可得q+出=2xI=J,即％—3%=5,解得%=1,

选②，由％,a2+1,成等比数列，得为。3=(%+1)2，

选③,得6=1,

(2)当〃为奇数时,=-(n-l)log2,

b„=皿3«„=log33

记前2〃+1项和心田中的奇数项之和为金，

e/、(n+lY2n./、

则0=々+&+々+—F%+1=-(0+2+4+—b2"log32=-Wlog32=-。H+)log3：.

当"为偶数时，”=|一；]=一(]"，记前2〃+1项和凡M中的偶数项之和为7a，

则

i.Lml

桑=…+%+…+%=一出+出+出+...+@JJ咛£

4-

答案第15页，共18页

故7L+l=f("+l)l°g32_g1-1j.

21.⑴单调递增区间为单调递减区间为，巴-1［和

⑵(-*2］

【分析】(1)求出/'(x),然后可得答案;

/、，后，“一1*/口smx-cosx2丫八八、门丁/\sinx-cosx2r八e

(2)由条件可得-----：----+e2-2ax>0,设〃(％)=----------+e2-2ax,则

exe

〃，⑺=言£+2/-2a,然后利用导数可得〃⑴在［0,+纥)上单调递增,

〃卜”〃⑼=4-2a,然后分042、a>2两种情况讨论求解即可.

【详解】(1)由题可得/''(X)=e*cosx-eJsinx=e*(cosx-sinx)=cos(?

令/(x)>0,得一奢及苦；

令得一万<X<一号，^<X<7t

所以人无)的单调递增区间为卜单调递减区间为1匹-今［和

/-、，/，/、x(•