《应用举例（2）》教学设计【人教版九年级数学下册】

第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第2课时一、教学目标能利用解直角三角形的知识来解决非直角三角形的问题．二、教学重点及难点重点：利用解直角三角形来解决一些实际问题．难点：利用数形结合的思想解决实际问题．三、教学用具电脑、多媒体、课件四、相关资源五、教学过程（一）复习导入1.在解直角三角形的过程中，一般要用到哪些关系？如图：（1）三边之间的关系（勾股定理）．（2）两锐角之间的关系∠A＋∠B=90°．（3）边角之间的关系：；；；；；．2.用直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤：设计意图：通过复习在解直角三角形过程中用到的三种关系，为完成本节课有关“航行触礁问题”和与“坡度相关的问题”应用举例打下基础．（二）例题解析例1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？解：如图，在Rt△APC中，PC=PA·cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵，∴．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130nmile．设计意图：进一步理解方位角的概念，根据实际问题画出相应的示意图，让学生进一步感受从实际问题中抽象出数学问题的过程．例2．如图，在旧城改造中，要拆除一建筑物AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区．现在从离B点24m远的建筑物CD的顶端C测得点A的仰角为45°，点B的俯角为30°，问离B点35m处的一保护文物是否在危险区内？解：在Rt△BEC中，CE=BD=24(m)，∠BCE=30°，∴BE=CE·tan30°=．在Rt△AEC中，∵∠ACE=45°，CE=24，∴AE=24．∴AB=24+≈37.9(m)．∵35＜37.9，∴离B点35m处的一保护文物在危险区内．设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．例3“村村通公路工程”拉近了城乡距离，加快了我区农村建设步伐，如图所示，C村村民欲修建一条水泥公路，将C村与区级公路相连，在公路A处测得C村在北偏东60°方向，前进500m，在B处测得C村在北偏东30°方向，为节约资源，要求所修公路的长度最短，画出符合条件的公路示意图，并求出公路长度.（结果保留整数）解：过点C作CD⊥AB,垂足落在AB的延长线上，CD即所修公路，CD的长度即为公路长度。在Rt△ACD中，根据题意得∠CAD=30°.∵tan∠CAD=∴AD=在Rt△CBD中，根据题意得∠CBD=60°.∵tan∠CBD=∴BD=又∵AD-BD=500∴,解得CD=433答：公路的长度约为433m.（三）课堂练习1．如图，海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°．由题意图示可知∠DAF=30°．设DF=x，AD=2x，则在Rt△ADF中，根据勾股定理得．在Rt△ABF中，由得∴．解得x=6．∴＞8．因此，没有触礁的危险．设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．2．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i=1︰1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i=1︰3是指DE与CE的比．根据图中数据，求：（1）坡角α和β的度数；（2）斜坡AB的长（结果保留小数点后一位）．2．解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，∵，∴α=33°41′24″；在Rt△CDE中，∠CED=90°，∵，∴β=18°26′6″．（2）在Rt△AFB中，∠AFB=90°，由sinα=sin33°41′24″=，AF=6可求出AB≈10.8m．设计意图：考查学生利用解直角三角形的知识解决实际问题的能力．六、课堂小结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．设计意图：通过小结，使学生梳