重难点02平面向量的实际应用与新定义（原卷版）

重难点02平面向量的实际应用与新定义目录题型一：用向量证明线段垂直题型二：用向量解决夹角问题题型三：用向量解决线段的长度问题题型四：向量与几何最值题型五：向量在几何中的其他应用题型六：向量中的新定义技巧方法技巧方法1.两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.2.夹角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2))).3.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))·eq\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)).4.向量线性运算的三要素向量的线性运算满足三角形法则和平行四边形法则，向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”.5.三个常用结论(1)O为△ABC的重心的充要条件是eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0；(2)四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝2eq\o(EF,\s\up6(→))；(3)对于平面上的任一点O，eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))不共线，满足eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则P，A，B共线⇔x＋y＝1.注意向量共线与三点共线的区别.6.平面向量基本定理实际上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础.7.平面向量一组基底是两个不共线向量，平面向量基底可以有无穷多组.8.用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2的形式.9.计算向量数量积的三种方法定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用.10.求向量模的常用方法利用公式|a|2＝a2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.11.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧.能力拓展能力拓展题型一：用向量证明线段垂直一、单选题1．（2022春·上海黄浦·高一上海市大同中学校考期末）若平面四边形满足，在方向上的数量投影是0，则该四边形一定是（

）A．直角梯形 B．矩形 C．菱形 D．正方形2．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）在中，分别是内角所对的边，若（其中,且则的形状是A．有一个角为的等腰三角形 B．正三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形二、解答题3．（2021春·高一单元测试）已知O为的外心，以线段OA、OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为H．（1）若，，，，试用，、表示；（2）证明：；（3）若，，外接圆的半径为，用表示．4．（2021春·高一课时练习）如图，正方形ABCD的边BC在正方形BEFG的边BG上，联结AG、CE，AG交DC于H．（1）证明：；（2）当点C在BG的什么位置时，最小？题型二：用向量解决夹角问题一、单选题1．（2021春·上海·高一专题练习）设平面向量，，若与的夹角为钝角，则的取值范围是（）A． B．C． D．2．（2021春·上海·高一专题练习）中，，则一定是A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定二、填空题3．（2022春·上海普陀·高一校考期末）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围是______．4．（2022春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）已知，，与的夹角为钝角，则实数的取值范围是_______________．三、解答题5．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）如图，在中，，．点D在边BC上，且．(1)，，求；(2)，AD恰为BC边上的高，求角A；(3)，求t的取值范围．6．（2021春·上海·高一专题练习）已知△顶点为直角坐标分别为，，．若虚数（）是实系数一元二次方程的根，且是钝角，求的取值范围．7．（2021春·上海·高一专题练习）已知，，向量与向量的夹角为，设向量，向量．（1）求的值；（2）设，求的表达式；若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．8．（2021春·上海·高一专题练习）在中，满足：，M是的中点.（1）若，求向量与向量的夹角的余弦值；（2）若O是线段上任意一点，且，求的最小值：（3）若点P是内一点，且，，，求的最小值.9．（2021春·上海·高一专题练习）已知，，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.题型三：用向量解决线段的长度问题一、单选题1．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）若,且,则四边形是A．平行四边形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形2．（2021春·高一单元测试）设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2021春·高一课时练习）在中，是的中点，，，则线段长的最小值为___________4．（2021春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考阶段练习）已知直角梯形中，，，，，是腰上的动点，则的最小值为______.5．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且，（）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．三、解答题6．（2021·高一课时练习）在一个平面内，一质点受三个力、、的作用保持平衡（即、、的和为零向量），其中与的夹角为，与的夹角为.（1）若，，，求力、的大小；（2）若，求与.（用反三角函数表示）7．（2021春·上海·高一专题练习）已知在平面直角坐标系中，点､点（其中､为常数，且），点为坐标原点．（1）设点为线段靠近点的三等分点，，求的值；（2）如图，设点是线段的等分点，，其中，，，，求当时，求的值（用含､的式子表示）（3）若，，求的最小值．题型四：向量与几何最值一、单选题1．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知平面向量，，，满足，与的夹角为，且，则的最小值为（

）A． B．1C． D．

2．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．二、多选题3．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）如图，在直角三角形中，，点在以为圆心且与边相切的圆上，则（

）A．点所在圆的半径为2 B．点所在圆的半径为1C．的最大值为14 D．的最大值为16三、填空题4．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知等边三角形的边长为1，点在的边上运动，则的最大值为___________.5．（2022春·上海普陀·高一上海市晋元高级中学校考期末）“燕山雪花大如席”，北京冬奥会开幕式将传统诗歌文化和现代奥林匹克运动联系在一起，天衣无缝，让人们再次领略了中国悠久的历史积淀和优秀传统文化恒久不息的魅力.顺次连接图中各顶点可近似得到正六边ABCDEF.若正六边形的边长为1，点P是其内部一点（包含边界），则的取值范围为___________.6．（2022春·上海杨浦·高一校考期末）如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______．7．（2022春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考期末）已知为单位圆（注：单位圆指的是半径为1的圆）的一条定弦，为单位圆上的点.当在中任意取值时，关于的函数的最小值记作.分析发现：当点在单位圆上运动时，的最大值为.根据以上信息，可以推导得到线段的长度为______.8．（2022春·上海杨浦·高一校考期末）如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________.9．（2022春·上海徐汇·高一上海市南洋模范中学校考期中）在平面直角坐标系中，起点为坐标原点的向量满足，且，（）．若存在向量、，对于任意实数，不等式成立，则实数的最大值为___________．10．（2022春·上海奉贤·高一校考期中）如图，扇形的半径为1，且，点C在弧上运动，若，则的最大值是__________11．（2022春·上海闵行·高一闵行中学校考阶段练习）如图，已知是边长为的正六边形的一条边，点在正六边形内(含边界)，则的取值范围是___________.12．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）已知平面向量满足，且与的夹角为，则的取值范围是___________.13．（2022春·上海虹口·高一校考期末）在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.14．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考阶段练习）已知，若存在，使得与夹角为，且，则的最小值为___________.四、解答题15．（2022春·上海长宁·高一上海市延安中学校考阶段练习）如图，在直角三角形ABC中，，，，，，其中，，设DE中点为M，AB中点为N．(1)若，求证：C、M、N三点共线；(2)若，求的最小值．题型五：向量在几何中的其他应用一、单选题1．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）满足的△ABC（

）A．一定为锐角三角形 B．一定为直角三角形C．一定为钝角三角形 D．可能为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形2．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考期中）在△ABC中，若，则△ABC的形状一定是（

）A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形3．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设为所在平面内一点，满足，则的面积与的面积的比值为（

）A． B． C． D．4．（2022春·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知为平面上的两个定点，且，该平面上的动线段的端点满足，则动线段所形成图形的面积是（

）A．5 B．10 C．15 D．205．（2022春·上海黄浦·高一上海市向明中学校考期末）在中，分别是内角所对的边，若（其中,且则的形状是A．有一个角为的等腰三角形 B．正三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形6．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）O是平面上一定点，A、B、C是该平面上不共线的3个点，一动点P满足：＝，则直线AP一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心7．（2022春·上海闵行·高一上海市七宝中学校考期中）若是外接圆圆心，是的内角，若，则实数的值为（

）A． B． C． D．8．（2021春·上海·高一期中）在中，角的对边分别为已知，且，点O满足，，则的面积为（

）A． B． C． D．9．（2021春·上海·高一期中）在中，，点满足，若，其中，动点的轨迹所覆盖的面积为（

）A． B． C． D．10．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）已知点是所在平面内的动点，且满足，射线与边交于点，若，，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．二、多选题11．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（

）A．至少存在2022个三角形，使成立B．存在三角形，使C．对任意锐角三角形均有成立D．存在锐角三角形使得12．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（

）A．若，则点O是的重心．B．若，则点O是的内心．C．若，则点O是的外心．D．若，则点O是的垂心．三、填空题13．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）在四边形中，若，且，则四边形的形状是______________.14．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为，，，为的外接圆，，给出下列四个结论：①若，则；②若P在上，则；③若P在上，则的最大值为2；④若，则点P的轨迹所对应图形的面积为.其中所有正确结论的序号是_________.15．（2022春·上海长宁·高一校考期中）非零向量与满足，且，则的形状为_______________________．16．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）设H是的垂心，且，则______.17．（2021春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考阶段练习）如图，在△中，，，．若为△内部的点且满足，则________．四、解答题18．（2022春·上海浦东新·高一上海市建平中学校考期末）已知等边三角形ABC的边长为2，P为三角形ABC所在平面上一点．(1)若，求△PAB的面积；(2)若，求的最大值；(3)求的最小值．19．（2021春·上海·高一期中）已知,,分别为三个内角的对边，,.（1）求；（2）若的中点，，求,.20．（2021春·上海·高一专题练习）已知等边三角形中，点为线段上一点，且.（1）若等边三角形边长为6，且，求；（2）若，求的值（3）若，求实数的取值范围.21．（2021春·上海·高一专题练习）已知△AOB中，边，令过AB边上一点(异于端点)引边OB的垂线垂足为再由引边OA的垂线垂足为又由引边AB的垂线垂足为设.（1）求；（2）证明：；（3）当重合时，求的面积.题型六：向量中的新定义一、单选题1．（2021春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）如图，定义、的向量积，为当、的起点相同时，由的方向逆时针旋转到与方向相同时，旋转过的最小角，对于，，的向量积有如下的五个结论：①；

②；③；

④；⑤；其中正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个二、填空题2．（2022春·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习）关于任意平面向量可实施以下6种变换，包括2种v变换和4种w变换：模变为原来的倍，同时逆时针旋转90°；：模变为原来的倍，同时顺时针旋转90°；：模变为原来的倍，同时逆时针旋转45°；：模变为原来的倍，同时顺时针旋转45°；：模变为原来的倍，同时逆时针旋转135°；：模变为原来的倍，同时顺时针旋转135°．记集合，若每次从集合S中随机抽取一种变换.经过n次抽取，依次将第i次抽取的变换记为，即可得到一个n维有序变换序列，记为，则以下判断中正确的序号是______．①单位向量经过2022次v变换后所得向量一定与向量垂直；②单位向量经过2022次w变换后所得向量一定与向量平行；③单位向量经过变换后得到向量，则中有且只有2个v变换；④单位向量经过变换后不可能得到向量；⑤存在n，使得单位向量经过次变换后，得到．三、解答题3．（2021·上海·高一专题练习）已知向量与向量的对应关系用表示.（1）证明：对任意向量、及常数、，恒有；（2