传热学第三章 非稳态导热

2024/4/41第三章非稳态导热

§3-1

非稳态导热过程§3-2

集总参数法§3-3

一维非稳态导热的分析解2024/4/42第三章非稳态导热UnsteadyHeatConduction定义：导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。特点：温度随时间变化，热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f(

)例如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度2024/4/43非稳态导热：周期性和非周期性〔瞬态导热〕周期性非稳态导热：在周期性变化边界条件下发生的导热过程，物体温度按一定的周期发生变化。非周期性非稳态导热：在瞬间变化的边界条件下发生的导热过程，物体的温度随时间不断地升高〔加热过程〕或降低〔冷却过程〕，在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终到达热平衡2024/4/44§3-1非稳态导热过程1温度分布一平壁初始温度为t0，令其左侧外表的温度突然升高到t1，右侧与温度为t0的空气接触。首先，物体紧挨高温外表的局部温度上升很快，经过一定时间后内部区域温度依次变化，最终整体温度分布保持恒定，当为常数时，最终温度分布为直线。2024/4/45(a)

=

1

(b)

=

2

(c)

=

3

(d)

=

42024/4/462两个阶段：非正规状况阶段〔初始状况阶段〕、正规状况阶段非正规状况阶段〔初始状况阶段〕：在=3时刻之前的阶段，物体内的温度分布受初始温度分布的影响较大。必须用无穷级数描述t0t1=3正规状况阶段：在

=

3时刻之后，初始温度分布的影响已经消失，物体内的温度分布主要受边界条件的影响，可以用初等函数描述。2024/4/473热量变化：与稳态导热的另一区别：同一时刻流过不同截面的热流量是不同的。通过截面A的热流量是从最高值不断减小，在其它各截面上，其截面温度开始升高之前通过该截面的热流量是零，温度开始升高之后，热流量才开始增加。这说明：温度变化要积聚或消耗热量。2024/4/484边界条件对温度分布的影响x0xtt∞(b)(c)(a)环境〔边界条件〕对系统温度分布的影响是很显著的,这里以一维非稳态导热过程〔也就是大平板的加热或冷却过程〕为例来加以说明。图示一个大平板的加热过程，并画出在某一时刻的三种不同边界情况的温度分布曲线〔a〕、〔b〕、〔c〕2024/4/49曲线（a）表示平板外环境的换热热阻远小于平板内的导热热阻,

即从曲线上看，物体内部温度变化比较大，而环境与物体边界几乎无温差，此时可以认为。那么，边界条件就变成了第一类边界条件，即给定物体边界上的温度。

x0xtt∞(b)(c)(a)2024/4/410曲线（b）表示平板外环境的换热热阻相当于平板内的导热热阻,

即

这也是正常的第三类边界条件x0xtt∞(b)(c)(a)2024/4/411曲线（c）表示平板外环境的换热热阻远大于平板内的导热热阻,

即从曲线上看，物体内部的温度几乎是均匀的，这也就说物体的温度场仅仅是时间的函数，而与空间坐标无关。我们称这样的非稳态导热系统为集总参数系统〔一个等温系统或物体〕。x0xtt∞(b)(c)(a)2024/4/4122024/4/413把导热热阻与换热热阻相比可得到一个无因次的数，我们称之为毕欧〔Boit〕数，即那么，上述三种情况那么对应着Bi>>1、Bi1和Bi<<1。毕欧数是导热分析中的一个重要的无因次准那么，它表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的比照关系。2024/4/414类似于Bi数这种表征某一类物理现象或物体特征的无量纲数称为特征数，特征数中的几何尺度称为特征尺度。2024/4/415fromIntroductiontoHeatTransferbyIncroperaandDewitt,1996BismallBi=1BilargeEquivalenttolumpedTEquivalenttoprescribedTsTransienttemperaturedistributioninaplanewallsymmetricallycooledbyconvection2024/4/416§3-2集总参数法

(Lumpedheatcapacitymethod)1定义忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，，温度分布只与时间有关，即，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。2024/4/417以下几种情况，Bi数将很小，可用集总参数法：〔1〕导热系数相当大；〔2〕几何尺寸很小；〔3〕外表换热系数很小。2温度分布h,t

AQcΔΕρ,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为V、外表积为A、密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中。2024/4/418引入过余温度：初始条件为：能量守恒：单位时间物体热力学能的变化量应该等于物体外表与流体之间的对流换热量α,t0AQcΔΕρ,c,V,t0别离变量：2024/4/419积分得：指数可写成：过余温度随时间的变化

2024/4/420无量纲热阻无量纲时间Biv越小，表示内部热阻小或外部热阻大，那么内部温度就越均匀，集总参数法的误差就越小。Fo越大，热扰动就能越深入传播到物体内部,物体各点的温度就越接近周围介质的温度。2024/4/421物体中的温度随时间呈指数变化方程中指数的量纲：称为系统的时间常数，记为

c，也称弛豫时间。

2024/4/422θ/θ0τ/τs0.386101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即τ=τc，有：当τ=4τc时，工程上认为=4τc时导热体已到达热平衡状态3时间常数2024/4/423如果导热体的热容量〔Vc〕小、换热条件好〔hA大〕，时间常数(Vc/hA)小那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快.时间常数越小，物体的温度变化就越快，物体就越迅速地接近周围流体的温度。2024/4/424时间常数：反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，时间常数小的响应快，时间常数大的响应慢。用热电偶测量流体温度，总是希望热电偶的时间常数越小越好。时间常数越小，热电偶越能迅速地反映流体的温度变化。问题：怎样可以令热电偶时间常数保持很小？2024/4/425时间常数与其几何形状〔A、V〕、密度〔ρ〕及比热〔c〕有关，还与环境的换热情况〔h〕相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。2024/4/4264.时间0~

内传递的总热流量导热体在时间0~

内传给流体的总热量：在时刻，外表热流量为：加热与冷却均适用2024/4/427如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征尺寸。为判定系统是否为集总参数系统，M为形状修正系数。5.集总参数系统的判定

2024/4/428厚度为2

的大平板直径为2R的长圆柱体

直径为2R的球体2024/4/429例：一温度计水银泡是圆柱形，长20mm，内径4mm，测量气体温度，外表传热系数h=12.5W/(m2·K),假设要温度计的温度与气体的温度之差小于初始过余温度的10%，求测温所需要的时间。水银=10.36W/(m·K),=13110kg/m3,c=0.138kJ/(kg·K).解：2024/4/430故可以用集总参数法。由上式解得：

=333，s=5.6min为了减小测温误差，测温时间应尽量加长。2024/4/431§3-3一维非稳态导热的分析解

AnalyticalSolutiontoOne-DimensionalSystem

当几何形状及边界条件都比较简单时可获得分析解。2024/4/432厚度2的无限大平壁，、a为常数；=0时温度为t0;突然把两侧介质温度降低为t并保持不变；壁外表与介质之间的外表传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称。中心为原点。1无限大的平板的分析解2024/4/433导热微分方程：初始条件：边界条件：(第三类)2024/4/4342024/4/435采用别离变量法求解：取只能为常数：只为

的函数只为x的函数2024/4/436对积分得到式中C1是积分常数，常数值D的正负可以从物理概念上加以确定。当时间τ趋于无穷大时，过程到达稳态，物体到达周围环境温度，所以D必须为负值，否那么物体温度将无穷增大。2024/4/437令那么有以及以上两式的通解为：于是2024/4/438常数A、B和β可由边界条件确定。(1)(2)(3)由边界条件〔2〕得B=0〔a〕边界条件〔3〕代入(b)得(c)〔a〕式成为(b)2024/4/439将右端整理成：注意，这里Bi数的尺度为平板厚度的一半。显然，β是两曲线交点对应的所有值。式(c)称为特征方程。β称为特征值。分别为β1、β2……βn。2024/4/440….通解为所有特解之和：至此，我们获得了无穷个特解：2024/4/441利用初始条件求An解的最后形式为：令βnδ=μn2024/4/442傅里叶准那么—无量纲距离2024/4/443定义无量纲的热量其中这是非稳态过程所能传递的最大热量〔物体内能改变总量〕Q为从初始时刻至某一时刻

所传递的热量:是

时刻物体的平均过余温度。2024/4/4442非稳态导热的正规状况阶段当Fo>0.2时，采用级数的第一项计算偏差小于1%，故当Fo>0.2时:其中

1

是第一特征值，是Bi的函数。Bi0.010.050.10.51.05.01050100

1

0.09980.22170.31110.65330.86031.31381.42891.54001.55521.57082024/4/445为了分析这时温度分布的特点，将式两边取对数得：

式右边第一项为哪一项时间的线性函数，的系数只与Bi有关，即只取决于第三类边界条件、平壁的物性与几何尺寸。右边第二项只与Bi、x/有关，与时间无关。2024/4/446可以看出，当Fo>0.2,平壁内所有各点过余温度的对数都随时间线性变化，并且变化曲线的斜率都相等,这一温度变化阶段称为非稳态导热的正规状况阶段。2024/4/447对正规状况阶段，即Fo>0.2时，平壁中心〔x=0〕过余温度由式〔3-29〕可得任一点过余温度与中心过余温度之比为与时间无关！2024/4/448可见，当非稳态导热进入正规状况阶段以后，虽然

和

m都随时间而变化，但它们的比值与时间τ无关，而仅与几何位置x/

及毕渥数Bi有关。即无论初始分布如何，无量纲温度

/

m都是一样的。

2024/4/449两边对时间求导

上式左边是过余温度对时间的相对变化率，称为冷却率〔或加热率〕。上式说明，非稳态导热进入正规状况阶段后，物体所有各点的冷却率或加热率都相同，且不随时间而变化，其值仅取决于物体的物性参数、几何形状与尺寸以及外表传热系数。与时间无关！2024/4/450令x=可以计算平壁外表温度和中心温度的比值。又由表3-1可知，当Bi<0.1时，1<0.3111，从而cos(1)>0.95。即当Bi<0.1时，平壁外表温度和中心温度的差异小于5%，可以近似认为整个平壁温度是均匀的。这就是3-2节集总参数法的界定值定为Bi<0.1的原因。2024/4/451进入正规状况阶段后，所传递的热量也容易计算，由于：

可得出进入正规状况阶段后，从初始时刻至某一时刻所传递的热量为

2024/4/452分析解也适用于一侧绝热、另一侧为第三类边界条件、厚度为δ的一维平壁的非稳态导热。〔对称条件和绝热条件的数学表达式是相同的〕针对第一类边界条件的非稳态导热，那么可令h；当外表传热系数为无穷大时，平壁外表温度为流体温度。故当时，分析解就是物体外表温度发生突然变化后保持不变，即第一类边界条件的解。由表3-1可知，当时，1=/2，这样正规状况阶段第一类边界条件下大平壁非稳态导热的温度分布为：

2024/4/4533采用海斯勒〔Heisler〕图计算对于Fo0.2时无限大平壁的非稳态导热过程，温度场可按公式计算；也可用诺谟图计算，其中用于确定温度分布的图线称为海斯勒图。为平板中心的过余温度三个变量加一个应变量变换与坐标无关与时间无关2024/4/4542024/4/4552024/4/456无量纲的热量2024/4/457如何利用线算图a〕对于由时间求温度的步骤为，计算Bi数、Fo数和x/δ，从图中查找θm/θ0和θ/θm，计算出，最后求出温度tb)对于由温度求时间步骤为，计算Bi数、x/δ和θ/θ0,从图中查找θ/θm,，计算θm/θ0然后从图中查找Fo,再求出时间

。

c〕平板吸收〔或放出〕的热量，可在计算Q0和Bi数、Fo数之后，从图3-6中Q/Q0查找，再计算出2024/4/458Fo数及Bi数的影响：(1)当Bi数一定时，