一元二次方程

一元二次方程一.根的判别式与求根公式对于一元二次方程ax2+bx+rc=0(aWO),用配方法可以将其变形为错误!未找到引用源。. ①因为aWO,所以，4a?>().于是一元二次方程以2+云+c=0(qWO)的根的情况可以由Z?2—4«c来判定，我们把b^—4ac叫做一元二次方程a%2+/?%+c=0(qWO)的根的判别式，通常用符号」来表示.综上所述，，对于一元二次方程ax?+bx+c=O(aWO),有当△>()「时，方程有两「个不相等的实数根—b+b22—4ac —b—b22—4acx= ,x= 2a 2 2a.;(2)当A=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=,一错误!未找到引用源。；当A<0时，方程没有实数根.【练习1】判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数).x2-4=0； (2)x2+5x=0； (3)4X2+12x+9=0x2—3x+3=0； (5)x2—ax—1=0； (6)x2—2x+a=0.【变式】方程x2—2<3kx+3k2=0的根的情况是 ()A、有一个实数根 B、有两个不相等的实数根C、有两个相等的实数根 D、没有实数根★解一元二次方程的常用招式：分解因式(十字相乘)法、公式法和配方法【练习2】解下列方程:②x2-5x-2=0③x2②x2-5x-2=0③x2-4x+2=0【变式】.若关于X的方程mx叶(2m+l)x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围()1范围()1A、m<41C、m<4，且mW01B、m>一41D、m>—4，且mW0二、韦达定理若一元二次方程ax2+bx+c=0(aW0)有两个实数根错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。，则有错误!未找到引用源。；错误!未找到引用源。.所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax2+bx+c=0(aW0)的两根分别是x,x,,那么x+x=错误!未找到引用源。，x-x=错误!未找到引用源。.这一关系也被称为韦达定理.|特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2+px+q=0,若x,x是其两根，由韦达定理可知x+x=—p,x•x=q,TOC\o"1-5"\h\z★应用韦达定理的常用招式 12 12x2+x2=(x+x)2—2xx①1 2 1 2 12,11x+x—十—= 1-xxxx②1 2 12 ，7x—x1=((x—x)2=(x+x)2-4xx③ 1 2 1 2 ”12 12【练习3].若x1和x2分别是一元二次方程2x2+5x—3=0的两根.(1)求|x1—x2|的值；(2)求错误!未找到引用源。的值；【变式】.已知关于x的方程x2+x-a=0的一个根为2,则另一个根是( )A.-3B.-2C.3D.6.已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求m的值.分析：本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值.但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零..关于x的方程X?+4x+m=0的两根为X],x,满足|X]—X1=2,实数m的值为.已知方程X2—3x—1=°的两根为％和%,求(x]3)(%—3)的值•.若关于x的一元二次方程xz—x+a—4=0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围.测一测.方程2x2-4x-6=0的根为.已知关于x的一元二次方程m+g-8=0的一,个实数根为2,则另一实数根及m的值分别为()A.4,-2B.-4,-2C.4,2D.-4,2.若关于x的一元二次方程ax2+2x-1=0无解，则a的取值范围是..方程2x2+2x—1=0的两根为x/口x2,则|x1—x21=.巩固练习、选择题

1.2.关于x的一元二次方程（a—1）x?+x+|a|-l=O的一个根是0,则实数a的值为1.2.A.-1 B.0 C.1 D.—1或12 1已知a是方程x2+x-1=0的一个根，则 的值为（ ）A.—1+v'5

2C.-1D.112- A.—1+v'5

2C.-1D.1.若方程式（3x-c）2-60=0的两根均为正数，其中c为整数，则c的最小值为何？（TOC\o"1-5"\h\zA.1 B.8 C.16 D.61.已知关于元的方程（m-2）元2+2mx+m+3=0有实根，则m的取值范围是（ ）A.m中2b.m<6且m中2C.m<6d.m<6.如果是a、P是方程2x2+3x=4的两个根，则a2+p2的值为（ ）A.1 B.17 C.6.25 D.0.25.在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示.如果要使整个挂图的面积是5400cm2,设金色纸边的宽为xcm,那么x满足的方程是（）A.x2+130x—1400=0 A.x2+130x—1400=0 B.X2+65x—350=0C.x2-130x-1400=0 D.x2—65x—350=080cm50cm.方程x2+ax+1=0和x2-x-a=0有一个公共根，则a的值是（ ）A.0 B.1C.2D.3.若关于x的一元二次方程/+股+4必-3=口的两个实数根分别是看尸工，且满足近1+五口=耳1耳口.则k的值为（ ）A.—1或3B.—1C.-D.不存在4 4、填空题m,b均为常数，aW0）,则方9.关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是\=-2,x2=1m,b均为常数，aW0）,则方程a（x+m+2）2+b=0的解是.10.已知关于x的方程x2+2（a+1）x+（3a2+4ab+4b2+2）=0有实根，则a、b的值分别为..已知&、8是一元二次方程x2-4x-3=0的两实数根，则（a-3）（B-3）=..当m时，关于x的方程(隙一3)/七-x=5是一元二次方程；当111时，此方程是一元一次方程..把一元二次方程3x2-2x-3=0化成3(x+m)2=n的形式是；若多项式x?-ax+2a-3是一个完全平方式，则a二..已知+7口+1)(1+7口—54,则1+/的值等于..已知炉-3x十2=0,那么代数式^ 的值为.z-1.当x=时，m7与jm?既是最简二次根式，被开方数又相同.三、解答题.设m为整数，且4Vm<40,方程1—2(2班—药工+4/—14期+目:口有两个不相等的整数根，求m的值及方程的根.n一.设(a,b)是一次函数y=(k-2)x+m与反比例函数y=—的图象的交点，且a、b是关于x的一元二次方程kx2+2(k-3)x+(k-3)=0的两个不相等的实数根，其中k为非负整数，m、n为常数.(1)求k的值；(2)求一次函数与反比例函数的解析式..长沙市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望.为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售．(1)求平均每次下调的百分率；(2)某人准备以开盘均价购买一套100平方米的房子，开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折，送两年物业管理费，物业管理费是每平方米每月1.5元，请问哪种方案更优惠?20．已知某