专题01 与集合与常用逻辑用语有关的参数问题（七大考点）（解析版）

专题01与集合与常用逻辑用语有关的参数问题思维导图核心考点聚焦考点一：根据元素与集合的关系求参数考点二：根据集合中元素的个数求参数考点三：根据集合的包含关系求参数考点四：根据两个集合相等求参数考点五：根据集合的交、并、补求参数考点六：根据充分与必要条件的求参数取值范围考点七：根据命题的真假求参数的取值范围1、元素与集合（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于或不属于，数学符号分别记为：和.（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（图）.（4）常见数集和数学符号数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或说明：①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.给定集合，可知,在该集合中，,不在该集合中；②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.集合应满足.③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合和是同一个集合.④列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.⑤描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.2、集合间的基本关系（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：如果集合是集合的子集（，且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作.（4）空集的性质：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.3、集合的基本运算（1）交集：一般地，由属于集合且属于集合的所有元素组成的集合，称为与的交集，记作，即．（2）并集：一般地，由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，称为与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．4、集合的运算性质（1），，．（2），，．（3），，．5、充分条件、必要条件、充要条件（1）定义如果命题“若，则”为真（记作），则是的充分条件；同时是的必要条件．（2）从逻辑推理关系上看（1）若且，则是的充分不必要条件；（2）若且，则是的必要不充分条件；（3）若且，则是的的充要条件（也说和等价）；（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件．对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件．所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立（即如果不成立，则肯定不成立）．6、全称量词与存在量词（1）全称量词与全称量词命题．短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．含有全称量词的命题叫做全称量词命题．全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”．（2）存在量词与存在量词命题．短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．含有存在量词的命题叫做存在量词命题．存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）．7、含有一个量词的命题的否定（1）全称量词命题的否定为，．（2）存在量词命题的否定为．注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一．1、若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3、．4、,．5、从集合与集合之间的关系上看设．（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；（3）若，则与互为充要条件．6、常见的一些词语和它的否定词如下表原词语等于大于小于是都是任意（所有）至多有一个至多有一个否定词语不等于小于等于大于等于不是不都是某个至少有两个一个都没有（1）要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合中的每一个元素证明其成立，要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合中的一个，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例．（2）要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合中能找到一个使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题．考点剖析考点一：根据元素与集合的关系求参数例1．（2023·全国·高一期末）已知关于x的不等式的解集为S．若且，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，得，即，解得或，由得，即解得或，于是即，综上所述，实数m的取值范围为．故选：D.例2．（2023·湖南益阳·高一校考阶段练习）已知集合，若集合中所有整数元素之和为，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若，解不等式，即，解得，即，当时，集合中的所有整数之和取最大值为，不合乎题意；若，则，不合乎题意；若，则，，且集合中所有整数元素之和为，且，因此，.故选：A.例3．（2023·广东江门·高一江门市第一中学校考阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．或1 C．3 D．【答案】D【解析】因，，故有：或，由解得：或，由解得：，又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意.故选：D.例4．（2023·河南郑州·高一校联考期中）设集合，若且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意.故选：D考点二：根据集合中元素的个数求参数例5．（2023·江苏南京·高一南京市秦淮中学校联考期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是．【答案】【解析】当时，由方程解得，集合A只有一个元素；当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得.综上，实数的取值的集合为.故答案为：例6．（2023·西藏林芝·高一校考期末）集合中只有一个元素，则实数的值是.【答案】【解析】因为集合中只有一个元素，则，解得.故答案为：.例7．（2023·浙江绍兴·高一统考期中）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是．【答案】0或1【解析】当时，满足题意；当时，要集合P仅含一个元素，则，解得，故a的值为0，1故答案为：0或1例8．若集合中至多有一个元素，则实数的取值范围是.（用集合表示）【答案】【解析】当时，方程为有实数解，符合题意；当时，由，解得；则实数的取值范围是.故答案为：考点三：根据集合的包含关系求参数例9．（2023·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）已知集合，.(1)若，求；(2)若，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，∴.（2），则是的子集，，当，即时，，满足题意；当时，或解得：综上得的取值范围是：.例10．（2023·湖北宜昌·高一校联考期中）已知集合，.(1)求集合和；(2)集合，若，求实数的取值范围.【解析】（1）由集合可知，，得，解得，所以，因为，，所以（2）由题意可得，因为，所以，解得，所以实数的取值范围为例11．（2023·辽宁阜新·高一阜新市高级中学校考阶段练习）设集合，.(1)若，求实数的取值范围；(2)设，若且，求实数的取值范围.【解析】（1），且，所以.若，此时，解得；若，此时，且，解得，则实数的取值范围是.（2）因为且，所以集合中至少存在一个整数.或，，要使中至少存在一个整数，则，解得，则实数的取值范围是.例12．（2023·江西宜春·高一校考期中）已知集合，，若，求实数a的取值范围.【解析】∵.假设，则①，有，解得；②，有，a无实数解；③，有，解得；④，有，a无实数解.∴时，，即满足的实数a的取值范围是考点四：根据两个集合相等求参数例13．（2023·江苏无锡·高一江苏省天一中学校考期中）已知，，若集合，则的值为．【答案】【解析】∵，显然，所以，∴.根据集合中元素的互异性得，∴.∴故答案为：例14．（2023·陕西西安·高一长安一中校考阶段练习）已知集合若，则.【答案】【解析】，，，且，得..故答案为：.例15．（2023·福建泉州·高一福建省南安市侨光中学校考阶段练习）若，则.【答案】【解析】由题意，∵集合中有元素，∴，又∵，∴，则，∴，∴，解得：或，当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，，，满足，∴，则.故答案为：.考点五：根据集合的交、并、补求参数例16．（2023·全国·高一专题练习）已知集合，.(1)若，求；(2)已知，求实数的取值范围.【解析】（1），解得.因为，所以，又因为，所以．（2）依题意，或，由于，所以，解得，所以的取值范围为．例17．（2023·全国·高三专题练习）设全集，集合，．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【解析】（1）不等式，可化为，所以不等式的解集为，故．由，得．当时，；当时，．由，得，则，且，所以的取值范围是．（2）由于，因此，于是．当时，显然成立；当时，，得到，因此．综上所述，的取值范围是．例18．（2023·安徽安庆·高一校考阶段练习）已知全集为，函数的定义域为集合，集合或．(1)求；(2)若，，求实数的取值范围．【解析】（1）要使函数有意义，则有，解得：，即集合，由集合或，所以.（2）因为，所以，也即，当时，则有，解得：；当时，则有解得：，综上所述：实数的取值范围是.例19．（2023·广西梧州·高一校考期中）已知集合，B＝{x|≤x≤a+5}．(1)当a＝2时，求，；(2)若＝R，求a的取值范围．【解析】（1），（2）＝R，，解之：.考点六：根据充分与必要条件的求参数取值范围例20．（2023·江苏南京·高一校联考期中）在①，②“”是“”的充分条件，③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并求解.已知集合，.(1)当时，求；(2)若______，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，，所以，.（2）若选①，由可得，.由已知可得，所以有，解得；若选②“”是“”的充分条件，由已知可得.由已知可得，所以有，解得；若选③，由已知可得，所以有或，解得或.例21．（2023·重庆北碚·高一西南大学附中校考期末）已知函数，设集合，集合．(1)若，求实数k的取值范围；(2)若“”是“”的充分条件，求实数k的取值范围．【解析】（1），则恒成立，，解得，即.（2），“”是“”的充分条件，则，故，解得，即.例22．（2023·湖北·高一校联考期中）已知集合，或，为实数集．(1)若，求实数的取值范围；(2)若“”是“”的充分不必要条件，且，求实数的取值范围．【解析】（1）由不等式，解得，则，或，，则，解得，即实数的取值范围为.（2）或，，若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集，又由题意知，所以是的非空真子集，，解得，所以实数的取值范围为.例23．（2023·广西梧州·高一苍梧中学校考阶段练习）已知集合(1)求集合A，B；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数m的取值范围.【解析】（1），因为，所以，当即时，不等式化为，无解；当即时，解不等式得；当即时，解不等式得.综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为；（2）因为“”是“”的必要不充分条件，所以集合是集合的真子集，，当时，，满足题意，当时，，由题意可得，无解，当时，，由题意可得解得，综上可得：或.所以实数m的取值范围为或.例24．（2023·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）已知全集，集合.(1)当时，求；(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.【解析】（1）因为，当时,，则或，所以.（2）因为，又，所以，由得，所以，因为是的必要不充分条件，所以,所以，解得或，所以实数的取值范围为.考点七：根据命题的真假求参数的取值范围例25．（2023·浙江宁波·高一效实中学校考期中）（1）若，，求实数a的取值范围；（2）若，，求实数x的取值范围．【解析】（1）因为，，①当时，不等式对成立，符合题意.②当时，若不等式对恒成立，则，解得，综上，实数a的取值范围.（2），，即，，所以，而在上单调递增，所以，解得，故实数x的取值范围.例26．（2023·山东淄博·高一山东省淄博第四中学校考阶段练习）设全集，集合，集合．(1)若，求实数a的取值范围；(2)若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．【解析】（1）因为，所以，所以，即，所以实数a的取值范围是.（2）命题“，则”是真命题，所以.当时，，解得；当时，，解得，所以.综上所述，实数a的取值范围是.例27．（2023·宁夏吴忠·高一校考阶段练习）已知集合(1)若，求实数的取值范围.(2)命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.【解析】（1）当时，，若，满足，则，解得；若，因为，所以，所以，所以时，的取值范围是，所以时，的取值范围是.（2）因为“，使得”是真命题，所以，当时，若，成立，此时，解得；若，则有或，解得，所以时，的取值范围是或，所以命题为真命题时的取值范围是.例28．（2023·山东淄博·高一山东省淄博实验中学校考期中）设函数.(1)若命题：是假命题，求的取值范围；(2)若存在成立，求实数的取值范围.【解析】（1）若命题：是假命题，则是真命题，即在上恒成立，当时，，符合题意；当时，需满足，解得；综上所述，的取值范围为.（2）若存在成立，即存在使得成立，故只需，，因为，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以，所以.过关检测一、单选题1．（2023·北京·统考高考真题）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，，，根据交集的运算可知，.故选：A2．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题意可得，则.故选：A.3．（2023·全国·统考高考真题）设全集，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因为全集，集合，所以，又，所以，故选：A.4．（2023·全国·统考高考真题）设集合，集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可得，则，选项A正确；，则，选项B错误；，则或，选项C错误；或，则或，选项D错误；故选：A.5．（2023·全国·统考高考真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因为，则有：若，解得，此时，，不符合题意；若，解得，此时，，符合题意；综上所述：.故选：B.6．（2023·湖北·高一洪湖市第一中学校联考期中）已知集合，若，则的值是（

）A．0 B．3 C． D．3，0【答案】D【解析】因为，所以，当时，此时，，符合题意；当时，解得或，当时，，符合题意；当时，与集合元素的互异性矛盾，不符合题意，综上：或，故选：D.7．（2023·湖南长沙·高一宁乡一中校考阶段练习）若集合且下列四个关系：①；②；③；④有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立；若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况；若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立；若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况，综上符合条件的所有有序数组的个数是6个，故选：B二、多选题8．（2023上·内蒙古兴安盟·高一乌兰浩特一中校考阶段练习）下列命题是真命题的有（

）A．“，”的否定为“，”.B．“且”是“”的充分不必要条件.C．“”是“”的必要不充分条件.D．“”的充要条件是“”.【答案】BC【解析】对选项A：“，”的否定为“，”，错误；对选项B：若且，则；若，取，不满足且.故“且”是“”的充分不必要条件，正确；对选项C：若，当时，；若，则且，故“”是“”的必要不充分条件，正确；对选项D：当时，，但是不成立，错误；故选：BC9．（2023上·浙江·高一校联考期中）若集合，满足，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】对选项A：，则，正确；对选项B：，则，错误；对选项C：，，则，正确；对选项D：，则，，正确；故选：ACD.10．（2023上·河南省直辖县级单位·高一济源高中校考阶段练习）已知，集合，集合，则下列正确的是（

）A．若，则实数的取值范围是B．若，则实数的取值范围是C．若，则实数的取值范围是D．若，则实数的取值范围是【答案】AD【解析】，集合，集合，则A，若，则实数的取值范围是；若，则实数的取值范围是，故选：AD.三、填空题11．（2023·江苏·高一校联考阶段练习）已知集合的子集至多有两个，则实数的取值范围是【答案】或．【解析】由题意，集合至多只有一个元素，时，，满足题意；，时，，满足题意，，时，，满足题意，综上，的取值范围是或．故答案为：或．12．（2023·广东梅州·高一大埔县虎山中学校考期中）若集合的所有子集个数是，则的值是【答案】或【解析】由题意只含有一个元素，当且仅当方程只有一个解，情形一：当时，方程变为了，此时方程只有一个解满足题意；情形二：当时，若一元二次方程只有一个解，则只能，解得.综上所述，满足题意的的值是或.故答案为：或.13．（2023·上海徐汇·高一上海中学校考期中）若集合有且仅有一个元素，则实数．【答案】0或【解析】当时，，符合题意；当时，，即，综上所述，或.故答案为：0或.14．（2023·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，其中，则实数.【答案】【解析】①当时，解得，当时，与集合元素的互异性矛盾，所以舍去；当时，，得到与矛盾，所以舍去；②当时，解得，当时，，得到与矛盾，所以舍去；当时，，得到，符合题意，所以.故答案为：.15．（2023·湖南怀化·高一沅陵县第一中学校考阶段练习）已知集合，且，若，则实数【答案】【解析】当，即时，在上单调递增，由，可得时，所以，而，，不满足题意；当，即时，当，即时，得，所以，而，则，不满足题意；当，即时，，，所以，满足题意；当，即时，设的两个根分别为，且，可得或，而，所以，不满足题意；综上所述，.故答案为：.16．（2023·浙江·高一浙江省普陀中学校联考期中）已知集合，集合;若，则；【答案】-1【解析】由