2023年新高考一轮复习讲义第39讲 空间几何体及其表面积、体积含解析

2023年新高考一轮复习讲义第39讲空间几何体及其表面积、体积

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•湖南•宁乡市教育研究中心模拟预测）己知直角梯形A8CZ）,现绕着它的较长底所在的直线旋

转一周，所得的几何体包括（）

A.一个圆柱、一个圆锥B.一个圆柱、两个圆锥

C.一个圆台、一个圆柱D.两个圆柱、一个圆台

2.（2022•湖北武汉•高三开学考试）某圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的体

积为（）

A.47571B.生叵兀C.2⑤tD.还无

33

3.（2022•全国•高三专题练习）如图，水平放置的四边形ABC。的斜二测直观图为矩形A'3'C'。'，已知

AO'=O'B'=2,B'C'=2,则四边形A8C£）的周长为（）

C.8+4百D.8+40

4.（2022•山东济南•模拟预测）拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森

（Simpson）公式丫=!〃G+4S0+S,）求体积，其中〃是高，S1是上底面面积，邑是下底面面积，S。是中

截面（到上、下底面距离相等的截面）面积.如图所示，在五面体A8C©防中，底面ABCO是边长为2的

正方形，EF=1,且直线EF到底面ABC。的距离为2,则该五面体的体积为（）

5.（2022•山东青岛•高三开学考试）已知圆台的上下底面半径分别为1和2,侧面积为3石兀，则该圆台的

外接球半径为（）

AV105R相「适n阿

5444

6.（2022•河北邢台•高三开学考试）如图所示，三棱柱容器的棱CG长为8,且CG到侧面4A4B的距离为

8及，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面AA与8水平放置，则水面高度为（）

A.4B.40C.80-8D.8-4&

7.（2022•江苏南京•高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，A8为

下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥尸-ABE外接球的表面积为（）

25妙25=

A.—兀B.—兀C.一兀D.57r

1642

8.（2022•湖南师大附中高三阶段练习）有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成

60。角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为

圆台的侧面积为S2,则（）

A.5,>S2B.S,<S2C.S,=S,D.无法确定H与邑的大小

9.（多选）（2022•湖南湘潭•高三开学考试）如图，已知圆锥顶点为P,其轴截面APAB是边长为6

的为正三角形，O,为底面的圆心，EF为圆。1的一条直径，球。内切于圆锥（与圆锥底面和侧

面均相切），点。是球O与圆锥侧面的交线上一动点，则（）

p

A.圆锥的表面积是45天B.球。的体积是兀

C.四棱锥A破尸体积的最大值为D.QE+Q尸的最大值为60

10.（多选）（2022•辽宁朝阳•高三阶段练习）在三棱锥A-BC。中，AB=CD=母,

AO=8C=AC=BD=5则（）

A.AB1.CD

7

B.三棱锥4一88的体积为§

C.三棱锥A-8CO外接球半径为太

D.异面直线AO与8c所成角的余弦值为日

11.（多选）（2022•江苏•宝应县教育局教研室高三开学考试）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的

印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内

涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱

柱和一个正四棱锥组成的儿何体；如图2,已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2,若该

几何体的所有顶点都在球。的表面上，则（）

图1图2

A.正四棱柱和正四棱锥的高均为3

B.正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+4加

C.球。的表面积为9兀

D.正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为a、则a<〃

12.（多选）（2022•河北衡水•高三阶段练习）在四棱锥中，已知AB==1,

BC=CD=—,PA=PB=PC=PD=—,则（）

36

A.四边形ABC。内接于一个圆

B.四棱锥P-A8CD的体积为且

36

C.四棱锥P-ABCD外接球的球心在四棱锥P-ABCD的内部

7

D.四棱锥P-ABCD外接球的半径为

712T

13.（2022•全国•高三专题练习）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，O'A=O'B=2,

则原图的面积为.

B

14.（2022•福建省福州屏东中学高三开学考试）如图所示的三棱锥-钻。中，PAL平面

ABC,ABLBC,PA=AB=BC=3,则该三棱锥的外接球的表面积为.

15.（2022•江苏•泗洪县洪翔中学高三开学考试）某中学课外活动小组开展劳动实习，活动中需制造一个零

件模型，该零件模型为四面体，设为要求AB=8C=C0=AO=ldm,当AC=BO时，此四面体

体积的最大值为dm3.

16.（2022•河北沧州•二模）三棱锥S-8CZ）的平面展开图如图所示，已知

ADLBD,BC1BD,AB=CF=4,AD=BC=2,若三棱锥S-3C。的四个顶点均在球。的表面上，则球。

的表面积为.

17.（2022•江苏•高三开学考试）祖也是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“累势既同，

则积不容异'’的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面

所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等现已知直线y=±2与双曲线

/-9=4及其渐近线围成的平面图形G如图所示.若将图形G被直线y=/（-2MY2）所截得的两条线段绕

y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积5=；若将图形G绕）‘轴旋转一周，则形成的旋转体的体积

18.（2022•全国•高三专题练习）如图所示三棱锥，底面为等边ABC,。为AC边中点，且POJ_底面

ABC,AP=AC=2,求三棱锥体积匕』8c.

【素养提升】

1.（2022•湖北•宜城市第二高级中学高三开学考试）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，

蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球

的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国

家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A,B,C,P,且球心。在PC上，

AC=BC=4,AC±BC,tanZPAB=tanZPBA=—,则该鞠（球）的表面积为（）

A.9兀B.18KC.36兀D.64兀

2.（2022•湖南•麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记

载有几何体“刍薨现有一个刍舞如图所示，底面48C。为正方形，瓦7/底面4BCD,四边形ABFE,

C0EF为两个全等的等腰梯形，EF=；AB=2,AE=26,则该刍费的外接球的体积为（）

64

A.岳B.32万C.64&D.64区

33

3.（2022•湖北•高三开学考试）在三棱锥P-MC中，底面ABC,PA=4,AB=AC=BC=2a,M

为AC的中点，球。为三棱锥P-ABN的外接球，。是球。上任一点，若三棱锥。-P4C体积的最大值是

473，则球。的体积为.

4.（2022•广东汕头•高三阶段练习）在边长为2的菱形ABCO中，80=26,将菱形ABC。沿对角线AC

对折，使二面角3-AC-。的余弦值为;，则所得三棱锥A-88的外接球的表面积为.

5.（2022•湖北武汉•高三开学考试）在四棱锥中，ZAPB=ABPC=ZCPD=ZDPA=60°,且

ZAPC=NBPD,PB=PD,PA=y/6,若该四棱锥存在半径为1的内切球，则PC=.

第39讲空间几何体及其表面积、体积

学校:姓名：班级：考号：

【基础巩固】

1.（2022•湖南•宁乡市教育研究中心模拟预测）己知直角梯形A8CZ）,现绕着它的较长底所在的直线旋

转一周，所得的几何体包括（）

A.一个圆柱、一个圆锥B.一个圆柱、两个圆锥

C.一个圆台、一个圆柱D.两个圆柱、一个圆台

【答案】A

【分析】将直角梯形分割成一个矩形和一个直角三角形，结合旋转体的形成即可求解.

【详解】直角梯形A8CZ）分割成一个矩形和一个直角三角形，

矩形绕其一边旋转一周得圆柱，直角三角形绕其直角边旋转一周得圆锥，

可得几何体为：一个圆柱、一个圆锥.

故选：A

2.（2022•湖北武汉•高三开学考试）某圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为120。的扇形，则该圆锥的体

积为（）

A.4旧式B.迪兀C.2夜兀D.逑兀

33

【答案】D

【分析】求出扇形的弧长，进而求出圆锥的底面半径，由勾股定理得到圆锥的高，利用圆锥体积公式求解

即可.

【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3,圆心角为120。的扇形，

所以该扇形的弧长为喀x3=2兀，

18（）

设圆锥的底面半径为广，则2m*=2兀，解得：r=l,

因为圆锥的母线长为3,所以圆锥的高为/乒产=2上，

该圆锥的体积为！“*=1兀*12*2&=逑兀.

333

故选：D

3.（2022•全国•高三专题练习）如图，水平放置的四边形A3CD的斜二测直观图为矩形A'8'C'。，已知

A'O'=O'B'=2,B'C'=2,则四边形A5CD的周长为（）

C.8+46D.8+4近

【答案】A

【分析】根据斜二测法求得OC=4&且DC=DC=A'8'=A8=4,进而求出8C,即可得结果.

【详解】由题设。C'=2&，则原四边形中OC=4&,又£>'C'=OC=A'3'=AB=4,

^.BC=\IOC2+OB2=6-SLAD=BC,

所以四边形ABC。的周长为AB+3C+£）C+4）=20.

故选：A

4.（2022•山东济南•模拟预测）拟柱体（所有顶点均在两个平行平面内的多面体）可以用辛普森

（Simpson）公式丫=，〃（£+45。+5,）求体积，其中力是高，是上底面面积，邑是下底面面积，又是中

截面（到上、下底面距离相等的截面）面积.如图所示，在五面体ABCDEF中，底面ABC。是边长为2的

正方形，EF=\,且直线EE到底面ABCD的距离为2,则该五面体的体积为（）

【答案】D

【分析】根据题意，得到人=2,5,=0,S?=2x2=4及中截面面积S。，代入公式求解即可.

【详解】由题意得：h=2,5,=0,S2=2X2=4,

分别取BF,CF,OE,AE的中点顺次连接，得到截面G/7K/为中截面，且为长方形，边长为

1+23

GJ=KH=——=-,KJ=HG=1,

22

所以S°=”3啖3

310

所以丫=一力(号+450+5,)=—>2、0+4X-+4

66\2T

故选：D

5.(2022•山东青岛•高三开学考试)已知圆台的上下底面半径分别为1和2,侧面积为3石兀，则该圆台的

外接球半径为()

AV105R辰r7185nVf05

5444

【答案】B

【分析】根据圆台的侧面积计算公式可求母线长/=石，进而可求圆台的高，根据球的性质，即可利用球心

与底面圆心的连线垂直与底面，根据勾股定理即可求解.

【详解】设圆台的高和母线分别为球心到圆台上底面的距离为x,

根据圆台的侧面积公式可得元(1+2)/=3行兀=/=6,

因此圆台的高〃=，尸一(2一行=2,

当球心在圆台内部时，则12+/=22+(〃7)2,解得X=(,故此时外接球半径为屈，'=后=等，

07

当球心在圆台外部时，则产+/=22+(x—〃)-,x>h,解得X不符合要求，舍去，

故球半径为画

4

故选：B

6.(2022•河北邢台•高三开学考试)如图所示，三棱柱容器的棱CG长为8,且CG到侧面小田田的距离为

80，若将该容积装入容积一半的水，再以侧面水平放置，则水面高度为（）

A.4B.4及C.8播-8D.8-40

【答案】C

【分析】由题意，分别表示两种情况下体积表示，得到两底面的面积的关系，根据相似，可得高之比，可

得答案.

【详解】设三棱柱中底面ABC上的高为万，ABC中边A8上的高"，

则当以平面ABC为底时，水的体积丫=g〃S,pc，

当以侧面AAB避水平放置时，水呈现为四棱柱，此时底面作图如下：

其中CGL4?,由题意可知AB//OE,则

设其底面四边形的面积为S（阴影面积），水的体积可表示为丫=//S,可得

即SCDE=〈SAPC，则名=变，即/G=CG-巫CG=80-8，

2CG22

则水面高度为8近-8，

故选：C.

7.（2022•江苏南京•高三阶段练习）已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，P为上底面圆的圆心，AB为

下底面圆的直径，E为下底面圆周上一点，则三棱锥P-48E外接球的表面积为（）

,25„25=

A.--7TB.—7tC.-JiD.57r

1642

【答案】B

【分析】设外接球半径为R，底面圆心为。，外接球球心为O,由外接球的定义，结合圆柱的几何性质，

确定球心在线段尸。上，即可在直角三角形APQ上根据几何关系求出外接球半径，即可由公式算球表面积

【详解】由题，由圆的性质，AABE为直角三角形，NE=90。，

如图所示，设外接球半径为R,底面圆心为Q,外接球球心为0,

由外接球的定义，OP=OA=OB=OE=R,易得。在线段PQ上，

又圆柱的轴截面是边长为2的正方形，所以底面圆半径AQ=BQ=1,

VPQ1AQ,则OA2=OQ2+AQ2nR2=（2-R）2+F,解得R=（,

...外接球表面积为4兀长=§.

4

故选：B.

8.（2022•湖南师大附中高三阶段练习）有一个圆台型的密闭盒子（表面不计厚薄），其母线与下底面成

60。角，且母线长恰好等于上下底半径之和，在圆台内放置一个球，当球体积最大时，设球的表面积为

，，圆台的侧面积为邑，则（）

A.St>S2B.S,<52C.$=$D.无法确定、与邑的大小

【答案】B

【分析】根据母线与下底面成60角，且母线长恰好等于上下底半径之和，得到b=3a,通过计算得到圆台

正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，此球体积最大且半径是百〃，计算出》与邑，比较出大

小.

【详解】如图所示，过点D作DE_LAB于点E,设圆台上下底的半径分别为ab,由其母线与下底面成

60角，且母线长恰好等于上下底半径之和，

则A£>=C£>=a,8E=Z?-a,Z）8=a+〃，且a+b=2（b—a）,解得：b=3a,

故AC=DE=EBE=6（b-a）=2®i,

取AC中点O,过点O作OHLBD于点H,连接OB,OD,

则由勾股定理得：OD70c=2a，BO=yJOA2+AB2=2^a>

又BD—ODrOB"由勾股定理逆定理可得：0B1.0D,

所以。“=丝0=土汉电=百〃，

BD4a

故满足条件的圆台正好有一个与其上下底面及侧面都相切的内切球，

此球体积最大且半径是扃,表面积5,=\2na2,

圆台上下底的半径分别为“、3〃，母线长为4”，

侧面积邑=k（“+3a>4a=167u?,

则5<5?.

故选：B

9.（多选）（2022•湖南湘潭•高三开学考试）如图，已知圆锥顶点为P,其轴截面/\PAB是边长为6

的为正三角形，O,为底面的圆心，EF为圆0］的一条直径，球,内切于圆锥（与圆锥底面和侧

面均相切），点。是球0与圆锥侧面的交线上一动点，则（）

A.圆锥的表面积是45兀B.球。的体积是467r

C.四棱锥Q-AEB尸体积的最大值为9&D.QE+Q厂的最大值为6及

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，求出球。的半径，动点。的轨迹圆。2的半径及线段QU长，再逐项计算判断作

答.

【详解】依题意，动点。的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为。2,连接P。，如图，

正△「/记内切圆即为球。的截面大圆，球心。、截面圆圆心。2都在线段PQ上，连

P0\=36则球。的半径OQ=G，显然。QLPQ,。?。，2。，NPOQ=60,

OO2=^OQ=^-,O2Q=^-OQ=^,。«=哈

对于A,圆锥的表面积是S=7tO|A2+;i-O|A-PA=7rx32+7cx3x6=277t,A错误；

对于B,球。的体积是1=与。。；=与'(6)3=46兀，B正确；

对于C,因。到平面4EBF的距离与截面圆圆心到平面的距离相等，均为38,

2

则当四边形AE3F的面积最大时，四棱锥Q-A^^的体积最大，

S

AEBF=ABEFsinZAO.E<18,当且仅当乙40或=90，即E/UAB时取

则四棱锥Q-AE8/体积的最大值为_Lxl8x也=9石，C正确；

32

对于D,因QO；=QQ]+q°；=9,则有Q。=EQ=尸。1=3,即QE_LQF,因止匕QE?+0尸=EF?=36,

由均值不等式得：QE：QF§1;QF?=36,即QE+Q尸W6&,当且仅当3=Q尸时取“=”，D正

确.

故选：BCD

10.（多选）（2022•辽宁朝阳•高三阶段练习）在三棱锥A-8C。中，AB=CD=®，

4。=8。=4。=3。=石，则（）

A.ABLCD

B.三棱锥A-38的体积为:

C.三棱锥A-8C。外接球半径为遥

3

D.异面直线AO与BC所成角的余弦值为§

【答案】ABD

【分析】将三棱锥补形为长方体，利用异面直线的夹角的定义判断A,D,再确定三棱锥的外接球的球心

及半径，判断C,利用体积公式求三棱锥A-BQ）的体积判断B.

【详解】将三棱锥补形为长方体如下：其中B£=8N=1,BF=2,

所以A8=C£）=&，AD=BC=AC=BD=加,

连接MF,

因为AM//EC,BFHEC,AM=EC,EC=BF,

所以AM=BF,

所以四边形AMFB为平行四边形，所以

又四边形MCED为正方形，所以

所以ABLCD,A对；

长方体的体积K=lxlx2=2,

三棱锥E-ABC的体积匕=：x：xlx2xl=:，三棱锥N-ABD的体积匕=；x：xlx2xl=!，三棱锥

F一3CZ）的体积匕=gx；xlx2xl=g,

三棱锥的体积匕=}gxlx2xl=g,

I7

所以三棱锥A-8CZ）的体积V=2-4x§=§,B对，

222

BM为长方体的外接球的直径，BM=5/1+1+2=>/6>

所以长方体的外接球的半径为直，长方体的外接球也是三棱锥A-88外接球,

2

所以三棱锥A-3CO外接球的半径为"；C错;

2

连接MN,交AO于。,

因为MN//BC,所以NAOM为异面直线AZ）与BC所成的角（或其补角）,

由已知OA=，AO=―,OM=-MN=—,AM=2,

2222

所以cos/AOM=44二J

2x国或一§

22

3

所以异面直线A£＞与BC所成角的余弦值为D对,

故选：ABD.

11.（多选）（2022•江苏•宝应县教育局教研室高三开学考试）我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的

印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内

涵，也被作为装饰物来使用.图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱

柱和一个正四棱锥组成的几何体；如图2,已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且底面边长均为2,若该

几何体的所有顶点都在球。的表面上，则（）

B.正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为12+4加

C.球。的表面积为9兀

D.正四棱锥的侧面、侧棱与其底面所成的角分别为。、△（［<］），则。〈夕

【答案】BC

【分析】根据正四棱柱和正四棱锥的几何的性质，结合球的对称性、球的表面积公式、线面角、二面角的

定义逐一判断即可.

【详解】设正四棱柱和正四棱锥的高为〃，球。的半径为小

根据正四棱柱和球的对称性可知：该几何体的外接球的球心为正四棱柱的中心，

球的直径2r即为正四棱柱的体对角线，

且正四棱柱的体心到正四棱锥的顶点的距离=

2

根据正四棱柱的体对角线公式得（2个=22+22+川=4/=8+=r=|,

9

因此〃=1,所求球的表面积为4兀/=4兀•：=9兀，故选项A不正确，C正确；

在直角三角形EFG中，EG=JF+（；X2）2=夜，

所以正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的表面积为：

4x,x2x应+2x2+4x2xl=12+4&,所以选项B正确，

2

如图所示：tana-tan?EGF；=1,

172

tan^=tanZF/7E=1^^=T（显然有tana>tan尸

2

所以选项D不正确，

故选：BC

12.（多选）（2022•河北衡水•高三阶段练习）在四棱锥P—ABC。中，己知AB=BO=A£＞=1,

BC=CD=—,PA=PB=PC=PD=—,则（）

36

A.四边形ABC。内接于一个圆

B.四棱锥P-ABC£＞的体积为更

36

C.四棱锥尸-ABCD外接球的球心在四棱锥P-ABCZ）的内部

7

D.四棱锥尸-/lBCD外接球的半径为五

【答案】AD

7T

【分析】A选项，求出/A3C=/AOC=5,得到A、B、C、£＞四点共圆；

B选项，求出四棱锥P-A3co底面积和高，求出体积；

C选项，找到四棱锥尸-ABC。的外接球球心，设出00=/；,求出力=-5，

得到四棱锥P-ABCD外接球的球心在四棱锥P-ABCD的外部；

D选项，在选项C的基础上求出外接球的半径.

【详解】选项A：由已知AB=3Z）=AD得三角形43。为正三角形，又BD=1,BC=CD=—,所以

3

ZBCD=—,NCBD=/CDB=Z

36

7T

故NABC="AOC=一,

2

所以A、B、C、。四点共圆，故A正确；

选项B：由上得A、B、C、。四点共圆，设圆心为。-AC=空,且ACL8，

3

所以。A=—=#，设点P在平面ABC。的投影为。「

因为PA=PB=PC=PD=叵,所以QA=O/=aC=O2。，

即。2为四边形ABC。的外接圆的圆心，所以。一。2重合,

所以平面ABC。，pof筌）「亨=1,

四边形ABC。的面积S=，BQ-AC=Lx2@=立，

2233

所以四棱锥P—ABCD的体积为1s，Q1='x迫x'=«l,

故B不正确;

3133218

选项C：设四棱锥P-A8C。外接球的球心为。,因为P。1平面"CQ,

且0A=08=OC=。。，所以球心。在PQ上，设«。=6,

所以0河+后=俨0「用2,所以用+/22=总_小

解得：h=~,

所以球心。在P0,的延长线上，

所以四棱锥P-A8CD外接球的球心在四棱锥P-A8CD的外部，故不正确；

选项D：四棱锥P-ABCD外接球的半径为P0=PQ+卷=，，所以D正确.

故选：AD.

13.（2022•全国•高三专题练习）若一个平面图形的斜二测直观图是一个等腰直角三角形，O'A=O'B=2,

则原图的面积为.

【答案】4夜

【分析】根据原图与斜二测画出的直观图的面积比为2及求解即可

【详解】由题可得S«AB=gx2x2=2,所以原图的面积为2x2夜=4夜.

故答案为：4及

14.（2022•福建省福州屏东中学高三开学考试）如图所示的三棱锥-ABC中，/X，平面

ABC,ABVBC,PA=AB=BC=3,则该三棱锥的外接球的表面积为.

【答案】27加

【分析】设PC中点为。，连接。仇。4,证明点。就是三棱锥外接球的球心，即得解.

【详解】解：设PC中点为。，连接

因为尸4平面ABC,所以必_LAC,所以OP=OA=0C.

因为PA_L平面ABC,所以以，8。，BC±AB,PAA8=A,尸AA8u平面以8,

所以8C_L平面所以BC1.PB.

所以OP=OA=O8,

所以OP=Q4=OC=O8.

所以点。就是三棱锥外接球的球心.

由题得AC=3>^,;.PC=J9+18=3石.

所以三棱锥外接球的半径为|G.

所以三棱锥外接球的表面积为4万x(,g)2=27万.

故答案为：271.

15.(2022•江苏•泗洪县洪翔中学高三开学考试)某中学课外活动小组开展劳动实习，活动中需制造一个零

件模型，该零件模型为四面体，设为A3C。，要求4?=8C=C£>=4）=klm,当AC=8O时，此四面体

体积的最大值为dm3.

【答案】巫

27

【分析】将四面体补成长方体，将四面体体积表示成关于。的函数表达式，利用导数求其单调区间从而确

定其最大值

【详解】如图将四面体ABCO补成一个长方体，设长方体的长宽高分别为。力,c,则

a2+c2=1

从+C2=1'则"的

^A-BCD=V长方体—-VE•-ABC一吟-ACD-VW-BCD,

=abc--abcx4=-abc=-a2c=-(l-c2]c=-(c-c3],

6333V73V7

记f(c)=g(c-c3),令((c)=g(l-3c2)=0,则c=*

故答案为：巫

27

16.（2022•河北沧州•二模）三棱锥S-BCD的平面展开图如图所示，已知

ADA.BD,BC1BD,AB^CF=4,AD=BC=2,若三棱锥S—3C£>的四个顶点均在球。的表面上，则球。

的表面积为.

【答案】等

【分析】根据题意构造底面正三角形的边长为2,高为2&的正三棱柱，则该三棱柱的外接球即为三棱锥

S-3CD的外接球，球心即为上下底面外接圆圆心连线的中点，再根据条件求半径即可.

【详解】由己知得，三棱锥中，SB=SC=4,SD=BC=2,BD=26，

且必与平面BC£＞所成的角为60,构造如图所示的正三棱柱，底面正三角形的边长为2,

高为2百，则该三棱柱的外接球即为三棱锥S-BCD的外接球.设。1,O?分别为三棱柱上、下底面三角形的

中心，

则。为«。2的中点，因为0。=百,CQ=半,

所以球。的半径R=JOO：+CQ：==工

所以球。的表面积为47/?2=4小个=号.

故答案为：胃.

17.(2022•江苏•高三开学考试)祖晒是我国南北朝时期伟大的数学家，他于5世纪末提出了“累势既同，

则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面

所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等现已知直线＞=12与双曲线

Y-y2=4及其渐近线围成的平面图形G如图所示.若将图形G被直线y=r(-2WrW2)所截得的两条线段绕

》轴旋转一周，则形成的旋转面的面积5=；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积

v=

【答案】4万167r

x22

【分析】由直线'=，，其中-24/M2,分别联立方程组I“y=x和—)V=4，求得A8的坐标，进而求

得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为4万，高为4的圆柱的体积相同，利用圆柱的

体积公式，即可求解

【详解】如图所示，双曲线丁-/=4,其中一条渐近线方程为^=L

由直线'=，，其中-2VY2,

fy=x

联立方程组，解得

[y=t

联立方程组,，解得

[y=t

所以截面圆环的面积为5=万("^)2-足2=4万，即旋转面的面积为44，

根据''基势既同，则积不容异”，

可得该几何体的体积与底面面积为4万，高为4的圆柱的体积相同，

所以该几何体的体积为V=4；rx4=16万.

故答案为：44，16万.

18.（2022•全国•高三专题练习）如图所示三棱锥，底面为等边ABC,。为AC边中点，且P。，底面

ABC,AP=AC=2,求三棱锥体积KTBC.

【答案】1.

【分析】由于P。，底面A8C,所以PO为三棱锥体积%TBC的高，又底面为等边，ABC，算出，ABC的面

积，然后代入锥体的体积公式匕TBC=：S•2。即可.

【详解】因为P。，底面ABC,ACu面ABC,.〔POLAC,又因为。为AC边中点，AP^AC=2,所以

△APC为正三角形，「。=百，又因为底面为等边,ABC,.•.S.c=曰x4=W，所以

=S/?=5

VP-ABC|1ABC-PO=1.

【素养提升】

1.（2022•湖北•宜城市第二高级中学高三开学考试）蹴鞠（如图所示），又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，

蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球

的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国

家非物质文化遗产名录.已知某鞠（球）的表面上有四个点A,B,C,P,且球心。在PC上，

AC=BC=4,AC1BC,tanZPAB-tanAPBA=—,则该鞠（球）的表面积为（）

2

A.9KB.18兀C.36兀D.64兀

【答案】c

【分析】画出图形，作出辅助线，求出MP=2&x，5=2石，进而得到

2

PH=yjPM2-MH2=^/i2^8=2.利用勾股定理求出球的半径，求出球的表面积.

【详解】如图，取A8的中点M,连接由AC=BC=4,ACJ_8c得：AB=4五,

由tanNP4B=tanNP8A=^,得：MP=272x—=2^,

22

连接CM并延长，交球。于点H,连接产”，因为PC球。的直径，

设球的半径为R,则PHLC”，MH=-CH=-AB=2y/2,

22

则PH=ylPM2-MH2=^12-8=2，

所以（2R）2=PC2=CH2+PH2=（4国+4=36,

解得：R=3,球的表面积为4兀/?2=36兀.

故选：C

2.（2022•湖南•麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记

载有几何体“刍薨现有一个刍薨如图所示，底面4BCO为正方形，历//底面488,四边形A8FE,

C四为两个全等的等腰梯形，MfgAXb则该刍薨的外接球的体积为一

A.竺叵B.32nC.的叵D.640万

33

【答案】A

【分析】根据给定条件，求出点E到平面A8CZ）的距离，再由几何体的结构特征确定球心位置，结合球面

的性质求解作答.

等腰—AED中，AD上EN,EN=VAE2-AN2=272>同理式”=2及，

2

因此，等腰梯形EFMN的高002=小EN一（幽萨3=近，由几何体的结构特征知,

刍薨的外接球球心。1在直线。。2上，连。E,QAOA,正方形ABCD外接圆半径04=2夜，

22

则有］（。O广,A=O。产A++O。Ob；'而一叱善。户严1二】'

当点。I在线段。2。的延长线（含点。）时，视。。为非负数，若点。|在线段。2。（不含点。）上，视。。

为负数，

即有001=02。+0。1=万+00|,即（2&）2+。5=1+（疗+OOJ2，解得。。1=0,

因此刍薨的外接球球心为0,半径为OA=20，

所以刍覆的外接球的体积为也x(2&)3=电红.

33

故选：A

3.(2022•湖北•高三开学考试)在三棱锥P-"C中，底面ABC,PA=4,AB=AC=BC=2a,M

为AC的中点，球。为三棱锥P-ABN的外接球，。是球。上任一点，若三棱锥D-R4C体积的最大值是

4上,则球。的体积为.

【答案】8屈兀

【分析】分析可知三棱锥尸-A8W外接球球心为PB中点。，求出点。到平面PAC的距离，可得出点。到

平面P4C的距离的最大值，利用锥体体积可得出关于。的等式，求出。的值，可得出球。的半径R的值，

再利用球体的体积公式可求得结果.

【详解】正A5C中，"为AC的中点，则8MLAC,

而PA_L平面ABC,平面A3C,则8M_LPA,

而PAAC=A,PA,ACu平面PAC,则平面PAC,

PA/u平面PAC,所以，BMA.PM,

平面ABC,平面ABC,

所以，P8的中点到点A、B、M、P的距离相等，

即三棱锥P-ABM外接球球心为尸8中点O,

从而，点O是三棱锥P-外接球球心，

设球。的半径为R,WO4R2=PA2+AB2=16+4a2,AR2=4+a2,

因为△孙”的外接圆圆心为PM的中点，设为尸，连接。F,

因为。、厂分别为PB、PM的中点，则OF〃8以，故OF1•平面W,如图，

因此。到平面PAC距离的最大值为R+无〃=而/+且a,

22

X5PAC=^x4x2a=4a,即有gx4a[jT<72+"+/）=44,解得”=忘，

所以，R=y/6,所以球。的体积为g乃内=8指》.

故答案为：8瓜兀.

【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问

题求解，其解题思维流程如下：

（1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离

相等且为半径：

（2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这

些元素的关系），达到空间问题平面化的目的；

（3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解.

4.（2022•广东汕头•高三阶段练习）在边长为2的菱形A88中，BD=243,将菱形A8C。沿对角线AC

对折，使二面角3-AC-。的余弦值为g,则所得三棱锥A-38的外接球的表面积为.

【答案】6乃

【分析】利用菱形对角线相互垂直的性质得出。V_LAC,BNLAC,可得出二面角8-AC-。的平面角

为ZBND,再利用余弦定理求出8D,可知三棱锥8-AC。为正四面体，过点B作BOLDN交DN于点0,

即可得到8O_L平面ACO,从而得到。为底面的重心，再由勾股定理求出外接球的半径R,最后利

用球的表面积公式可得出答案.

【详解】解：依题意在边长为2的菱形ABCD中，BD=26,所以NA8C=NAQC=60°,

如下图所示,

R

易知一ABC和八轨:。都是等边三角形，取AC的中点N,则DNJ_AC,BNLAC.

DNBN=N,DN,BNu平面BND,所以4（7_1平面助\「£）,

所以ZBWD是二面角8-