2022年四川省自贡市高考数学一诊试卷(理科) 答案解析(附后)

2022年四川省自贡市高考数学一诊试卷（理科）

1.全集U=R，鬟合4={2,3,5,7,■8={4,5,6,8},则

阴影部分表示的集合是（）

A.{2.3.5.7.9}B.{2.3.7,S,<)}

C.{1.6.8}D.⑸

2,若sinc=5，-<a<7T则sin(c+勺的值是(

2.4

A.0B.11

cD.

22,22

3.复数Z=a+（3-a）i（a£7?.i为虚数单位），在复平面内所对应的点在U-2J•上，则

0=()

A.y/3B.x/5c.D.，而

4.若(衣+『的展开式中x的系数为15,则。=)

X

A.2B.3C.4D.5

5.地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准.震级.1〃

是据震中100千米处的标准地震仪（周期也以，衰减常数约等于L放大倍率2800倍）所

记录的地震波最大振幅值的对数来表示的.里氏震级的计算公式：八。」g（¥）,其中A,

表示“标准地震振幅”（使用标准地震振幅是为了修正测振仪距离实际震中的距离造成的偏

差），AIM是指我们关注的这个地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅.15

级地震给人的震感已比较明显，那么65级地震的最大振幅是1.5级地震的最大振幅的

倍.（）

A.eB,10C.100D./

6.同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X,则X的数学期

望是（）

A.1B,-C.2D.-

22

7,已知三角形的三边长为a、b、c,则三角形的面积为（海伦-秦九韶公式

）S=\/p（p-a）（p-b）（p-c）,p=0'；*°，若AABC,AC=8,BC4-BA=12,则

△ABC面积的最大值为（）

A.8©B.86C.16D.4V55

8.函数y=2，一/的大致图象是（）

第1.页，共16页

9.已知等比数列g,J的公比(/€、，前n项和为S；,若"2+"-,36,"：,+七24,则

下列说法正确的是()

A.(I=3

B.tit=81

C.数列｛Igg｝与数列｛lg(S“+2)｝都是等差数列

D.数列｛lg(S,-2)｝是公差为1g2的等差数列

10.在直角△43C中，.，13,4C,.，I8=4C=2,以BC为直径的半圆”

上有一点M,若:w=入荏+〃而，则入+〃的最大值为()c<7^\

AB

C.2

D.八

11.已知正实数a,b,c满足"+3一°=3,匕+2"=2,c+bg4=4,贝ija,b,c之间

的大小关系为()

A.b<a<cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a

12.定义在R上的奇函数/"),满足〃2—工)=〃工)，当re[0.1]时，/(r)=M+b,

/(1)+/(0)=3,则函数g(.r)=/(r)+1在[-2.5：的零点个数为()

A.7B.6C.5D.4

(工―？+120

13.若x,y满足u­0，则2/r的最小值是___.

Ix-1>0

14.从高三年级抽取50名男生测量体重，测得体重全部集中在50k.g-8(Mw之间，现将测

量体重按照从低到高分成六组：[50.55),(55.00),-,[75.80],如图是频率分布直方图的一部

分(缺少第四、五组的图)，已知第一组和第六组的人数相同，第四组有10人，则第五组的

人数为1

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个戮率/组距

0.06.......r-

004.­.....

一“H+卜…门,

50556065707580体重(坨)

15.已知：/(1)='^出|c.r+；c“sc.r(c〉0)在区间+1］上至少存在两个不相等实数

门、门满足/(皿)/(工2)=1,则3的最小整数为.

16.已知函数/")=(八+w1)lnr-1+1，在曲线1/=/(r)上总存在两点「(工1,协)，

。"》战)，使得曲线在P,Q两点处的切线平行，则A+n的取值范围是.

17.在△.113C中，匕=14<c=16<sinC=，

7

⑴求乙B；

(2)求AB边上的高.

18.已知函数/(1)=1+r-sin.r.

(1)求曲线//-/")在点(()./(()))处的切线方程；

(2)求函数/")在区间［0,自上的最大值和最小值.

19.已知等差数列｛"“｝的前n项和为S“，”“｝是各项均为正数的等比数列，川="，

__,b->=8,l>i—Ski=4.

在以下三个条件中任选一个①S$=30,②S|=5"2,③3“3-〃=%,补充在上面横线上,

并作答.

(1)求数列｛鼠｝的通项公式；

(2)是否存在正整数人•.使得数列｛；,｝的前k项和，>：?若存在，求k的最小值若不存在，

说明理由.

20.如表是弹簧伸长的长度We”)与拉力值j/(N)的对应数据：

长度工(cm)12345

拉力值”(N)3781012

(1)求样本相关系数，•(保留两位小数)；

(2)通过样本相关系数;•说明y与x是否线性相关；若是求出y与x的线性回归方程，若不

是，请说明理由.

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£(--£)(欧一0)

_t=l

参考数据和公式：r=~^=—l-r~=.，访已3.16，>/46%6.80.

怦-叫毕一/

v/23«4.80.

n

£工渺-nxy

线性回归方程yubr+a中，———,a=y-bi，其中》，&为样本平均值.

£幻一皿

<=1

21.已知函数/(r)=hir—ar+2(a€〃).若/")有两个零点门、工2.

(1)求a的取值范围；

⑵若上2>3力，证明：工：+月>竽.

22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的方程为1i+sina(c为参数)，现以原点为

极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程；

(2)设M、N是曲线C上两个动点，且满足NA/ON=1,求QA/|•QN|的最大值.

23.已知函数f(x)=\x+〃+卜—b\(a,b€/?).

(1)当〃=1,,)=2时，求不等式〃工)<5的解集；

12

(2)若"/")最小值为3,求-+『的最小值.

ab

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：由图可知阴影部分所表示的集合为BnC//,

因为全集U=A,

集合4={2.3,5,7.9},

B={4,5,6,8},

所以Bn。/={4.6.8},

所以图中阴影部分所表示的集合中元素的个数为3.

故选：C.

由图可知阴影部分所表示的集合为BC&.4,从而求解即可.

本题主要考查Venn图表达集合的关系及运算，属于基础题.

2.【答案】D

17F

【解析】解：*.sina=-,

COSQ=-2

7T11v/3A/313

则sin(n+1)=sinncos】+cosasin一=一X————x=———

3332222442

故选：D.

利用同角三角函数直接的关系式以及两角和的正弦公式进行转化求解即可.

本题主要考查三角函数值的计算，利用同角关系式以及两角和差的正弦公式进行转化求解是解决

本题的关键，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：•.■2=。+（3-。*（。€和，为虚数单位），

2a=2-a,解得"-1,

Z=1+2»,

\Z\=山2+22=瓜

故选：B.

根据已知条件，结合复数模公式和复数的几何意义，即可求解.

本题考查了复数的几何意义，以及复数模公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

4.【答案】B

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【解析】解：（"+3''的展开式通项公式/+1=优（6广人即=用滑,

XX

5_%

令一丁=1,解得k=l,

«xC-,=15,贝!!"=3,

故选：B.

利用通项公式即可得出.

本题考查了二项式展开式的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由于Mi.=1g（争），所以4M=4J。"'，

Ajio65

所以；＞级地震的最大振幅与级地震的最大振幅的比值为:102=1()0.

6L5A.IG45=

故选：C.

由=lg（4］）求得Amx，

然后求得6.3级地震的最大振幅与1.5级地震的最大振幅的比值.

本题主要考查对数的实际应用，属于基础题.

6.【答案】A

【解析】解：同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，

每次两枚硬币均正面向上的概率〃=：x：=：,

设2枚硬币均正面向上的次数为X,

则X~5（4二），

4

.•.X的数学期望是E（X）=4x：=1.

4

故选：A

每次两枚硬币均正面向上的概率P=：x：=l，设2枚硬币均正面向上的次数为X,则

ZZ4

x〜3a二），由此能求出x的数学期望.

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查二项分布的性质等基础知识，考查运算求解能

力，是基础题.

7.【答案】A

【解析】解：在'.ABC中，AC=S,BC+AB=12,

则：》=8,a+c=12,

所以；,=上尹=10,

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所以Szuw,=\/p(p-a)(p-6)(p-c)=2>/5x^/(lO-a)(10-c)42v/5x—~。--

=8\/5;

当且仅当a-c=6时，等号成立；

故△A/7C面积的最大值为8，§；

故选：A

直接利用三角形的面积公式和基本不等式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：三角形的面积公式，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：函数//=2.，的零点有2,4；可知选项B,C错误，因为时，

L-8,所以A正确，。错误.

故选：A.

求出函数的零点，通过函数的变化趋势，判断函数的图象即可.

本题考查函数的图象的判断与应用，基本知识的考查.

9.【答案】C

【解析】解：因为等比数列｛册)中qWN,也+"5=36,«3+供=24,

/aiq+ai/=36

所以'23、，，

a\(r+«iv=24

因为qw・V,

解得</=2或q=：(舍)，A错误；

所以〃i=2,a』=5矿'=16,B错误；

a„=aiq"1=2x2"1=2H,S„=一f')=2,,+1-2,

1—2

lga“=1g2"=»1g2,

lg(S“+2)=lg(2"+1-24-2)=Ig2n+1=(n+l)lg2,

故数列数列与数列｛lg(S“+2)｝都是等差数列，C正确；

lg(S”-2)=lg(2),+l-2-2)=lg(2^'-4),数列｛lg(S“-2)｝不是等差数列，D错误；

故选：C.

由已知结合等比数列的通项公式可求”1,q,然后结合等比数列的求和公式及定义，等差数列的

定义检验各选项即可判断.

本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了等差数列与等比数列的判断，

属于基础题.

10.【答案】C

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【解析】解：依题意在直角△A3C中，Ali\C,\B=AC=2,

以A为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，

所以C(0.2),8(2,0),

设。是BC的中点，则0(1.1),

\BC\=2^2,

设满足1尸+(0-1)2=(四产,

i=l+Vzcosri///3开、

设y=1+6‘5、z为参数’一丁。(了),

依题意向=4TZ+〃/，

即(1+乃coso.1+Esine)=A(2.0)+/z(0,2),

(1+x/2cosa,1+\F1sinn)=(2A.2/z),

、l+6cosa、14-v^coso1+>/2sinn2+2sin(n+^)5r

///zq

所以当c+9=Jc=J时，》+“取得最大值为2.

q/q

故选：C.

建立平面直角坐标系，利用坐标表示M,结合三角函数最值的求法，求得》+〃的最大值.

本题考查了向量与几何的最值问题，建立平面直角坐标系，将问题转化为三角函数的最值求解是

解题的关键.

11.【答案】A

【解析】解：由。+3"=3,得1+3-"=4—a,即1+证=4—〃，

则a为函数y=1+：与函数//=J-J交点的横坐标，

由b+2〃=2,得2+2*=4-b,

则b为函数//=2+2‘与函数！/=4—r交点的横坐标，

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由c+log.|C=4,得log|C=4-c,

则C为函数!/=k>g|.r与函数"=I-J交点的横坐标，

在同一直角坐标系中画出函数V=4-.r,y=1+\,y=2+2\"=k)g|J的图象，如图所

15

示，

由图象可知，b<a<c,

故选：A.

由题意可得a为函数1+1与函数j/I-I交点的横坐标，b为函数“=2+2’与函数

y।-/交点的横坐标，c为函数”=log”与函数”-।-/交点的横坐标，在同一直角坐标系

中画出4个函数的图象，结合图象即可得到答案.

本题主要考查了指数函数、对数函数的图象和性质，考查了数形结合的数学思想，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：/")是定义在R上的奇函数，/(0)=0,

当［0,1］时，)=小+6,〃1)+/(0)=〃1)=3,

a"+b=0(a=4

a1+6=3I6=-1'

所以当」•€［()/］时，=

/")是奇函数，图象关于原点对称，

由于〃2-l)=/(工)，所以〃上)图象关于直线I=1对称,

由此画出/")在区间25］的图象如下图所示，

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由图可知〃/)=一1有4个解，也即g(r)=〃Z)+1=0有4个解,

即0")有4个零点.

故选：D.

根据已知条件求得“「时，/")的解析式，结合/")的奇偶性和对称性画出/")在区间

［-2,5］的图象,由9")=/(1)+1=0,/")=-1来确定g(.r)的零点个数.

本题考查了函数的零点和函数的奇偶性，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题.

13.【答案】1

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

设f=29一丁，得〃=；工+3,

平移直线！/=；/+3，

由图象知当直线U=；/+.；，经过点A时，直线V=的

截距最小，此时t最小，

由｛二得｛；：；，即川.)，

则，=2“一工=2—1=1,

故答案为：1.

作出不等式组对应的平面区域，利用直线的几何意义进行求解即可.

本题主要考查线性规划的应用，利用直线的几何意义以及数形结合进行转化求解是解决本题的关

键，是中档题.

14.【答案】5

【解析】解：由频率分布直方图得：

第一组区).55)的人数为：50x0.02x5=5人，

第二组［55,60)的人数为：50x0.04x5=1()人,

第三组［60.65)的人数为：50x0.06x5=15人,

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第四组有10人，

第六组的人数和第一组的人数相同，有5人，

第五组的人数为：50-（5+1（）+15+10+5）=5人.

故答案为：5.

分别求出第一组和第二组及第三组的人数，由此能求出结果.

本题考查频数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

15.【答案】7

【解析】解：/（工）=^^sinu；工+；cos3T=sin（31+3（3>0）在区间+1］上，

至少存在两个不相等实数「I、门满足/（hI）/（工2）=1,

1,即，22",则3的最小整数为7,

故答案为：7.

由题意，利用三角恒等变换，化简/"）的解析式，再根据正弦函数的周期性，求得3的最小整

数.

本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，属于基础题.

16.【答案】（8.+8）

【解析】解：函数/（"=（产+；7二）加1—『+1">0）的导数为

+2x

加）=（产+--「！

因为曲线在P,Q两点处的切线互相平行,

可得/'（h）=/'（n）,

即俨+德"!T-2=/+七）W一1一%"""'

停+呜TT号

可得俨+2

化为产+小

1+I=£l±f2

皿工2皿22

由J卜町4+-r2)',且J1〉°,J,2>°,工1#工2,

可得空3

工112•ri+X2

即有「+必>］恒成立，

由产+f=（产+2）++-222+；-2=；

当且仅当f=0时取得等号,

所以，1+n>8,

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即Ji+4!>的取值范围是(8,+8).

故答案为：(8.+00).

求得/(/)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件和基本不等式、对勾函数的单调性可得

最值，进而得到所求取值范围.

本题考查导数的几何意义，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，

属于中档题.

17.【答案】解：(1)在A/IBC中，b=i4,c=16,sinC=竽，

由正弦定理得，=[='=，整理得：sinB=SW=Z,

sinBsinCc2

由于fc<r,

所以B=

(2)由(1)可知在△46C中，6=11,r=16,8=

J

由余弦定理得，I)1—a2+c2—2accosB,

整理得1I，=a"+—2(1X1()XCOSy,

J

化简为/一16a+60=0,

解得“=6或”=10.

则S^iBC=$八=JabsinC,

整理得h=。=3>/3或//=55/3.

a"c"

【解析】本题考查正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的应用，考查学生的运算能力和数学

思维能力，属于基础题.

(1)直接利用正弦定理和三角函数的值的应用求出B的值；

(2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果.

18.【答案】解：(1)/(0)=1,/V)=1一」(cos.r+sinr),

「./'(())=1—f"(cos()+sinO)=0,

在点(0,/(01处的切线方程为y-/(0)=尸(0)(/-0),

即VJ1;

(2)),//(0)=1,/'(r)=1-©'(COST+sinr),

COST+sin1=y/2sin(j4--),JT€[0.,

42

1Wcosr+sinr《&,•1,

•••工£呜]，八工)<(),.,./(『)在呜]上单调递减，

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.•.当工=0时，/(上)有最大值/(())=1,

当/=;;时，/")有最小值/(》=1+;一△•

【解析】(1)求/(())=1,f(0)=0,可求曲线//=/")在点(0J(0))处的切线方程；

(2)/'(丁)=1一小(cosw+sini),1Wcos工+sinr4代，e'21,可得上€仍,，，f(x)<0,

从而可求函魏")在区间曲孑上的最大值和最小值.

本题考查利用导数求函数的切线方程，以及利用导数求函数的最值，属中档题.

19.【答案】解：⑴设等比数列几｝的公比为q,q>0,

则(解得b2,所以“,=16x4)"T,

I瓦一3M2=4I瓦=162

1..

«1=%=16x(-)3=2,

设等差数列。“｝的公差为d,

若选①，贝中“I*10</=104-10(1=30,(1=2,〃“=2+(71-1)x2=2〃.

若选②，则㈣+6d=5(。1+d),8+6rf=5(2+d),4=2,〃“=2+(〃-1)x2=2〃.

若选③，贝+2d)-(川+4d)=8,2川+2d=8,,/=2,«„=2+(n-1)x2=2n.

2+2n

i-l由于"I=2,”,=2〃，所以6〃=--—・n=〃(〃+1),

-11111,13

所以7'*=1-4厂》+…

解得人->3,所以正整数的最小值为

【解析】(1)根据已知条件求得等差数树〃｝的首项和公差，求得等比数例,｝的首项和公比，

从而求得数列也”｝的通项公式；

⑵先求得S”,T,由n>［求得k的最小值.

k4

本题主要考查等差数列与等比数列的综卷查等差数列与等比数列的通项公毁差数列的斯

项和公式，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题.

re.册田,I、/'时走1+2+3+4+53+7+8+10+12

20.【答案】解：(1)依题意，/=--------—=3.i/=-------------=8,

55

5_______________________5

\£(四一i)2=<22+12+()2+12+22=/IO..一y)2

'\i=l

=，52+12+02+22+心=v/46,

5

)：(勺-x)(//)—I/)=(—2)x(-5)+(-1)x(-1)+0x0+1x2+2x4=21,

i=i

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EUi-x)(yi-y)2121

所以样本相关系数r=_卜_=而%%3.16x6.80

1彳(号_工y_!/)一

(2)由(1)知，r=().98接近于1,说明y与X具有较强的线性相关关系,

5

57J,iVi-1x3+2x7+3x8+4x104-5x12=141,

5

=I2+22+32+42+52=55,

i=i

Ex>Vi-51•U

141-5X3X8_

b=9

55—5x3已

a=y—bi=8—2.1x3=1.7，

所以y与X是线性相关，回归方程是“=2.1r+1.7.

【解析】（1）根据给定数据表求出相关系数公式中的相关量，再代入公式计算作答.

（2）由（1）可得y与x是线性相关，再利用最小二乘法公式求出回归直线方程.

本题考查了相关系数、线性回归方程的计算，属于基础题.

21.【答案】解：（1）因为/（工）=山工一皿+2有两个

零点，

即方程hir-ar+2=0有两个根，

hiz+2（、

即HrIa=----------,（『>（））,

X

、H,、ln«r+2,八、小/,、-1—hiz

设9（工）=------（1>0）,则9（工）=----5-，

X

所以当7€（0」），g'"）>0,9"）单调递增，

e

在1€（：.+8）时，g'（j-）<0,g（.r）单调递减

所以9（0mx=9（；）=，，

当/一+乂，g"）>0且g"）-0,且g（7）=0,

作出函数“=g"）的大致图象，如图所示，所以（）<“<（，

故实数a的取值范围为（（）.0）；

♦

（2）证明:设£==，因为工2>3为,则t>3,

叫

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已知a=g(工i)=g@2),因此也，土工=史士匚，

X2

亚lnj-+1lu(5)+2

所以-=i---2-F1----K,

X\InXi+21111*1+2

Mi,hi，+11111+1xwhit

所以t=―i---TH—，所以hiri=;-r~2,

所以1i=e-岫,所以r；­，：；=(1+/%；=p-;,/A(]+t)s,

设力⑺=+f：“=^^+ln(l+产)，，〉3,

r-1

则”")=(TTIp11-7-ln/+'，设6')=1一；一Inf+H?,

则M')=+"一'-1)=4T)+4比一1)],

当te(i,+oc)时，/(t)>o,所以品，)在(i.+x)上单调递增，所以6。>奴1)=0,

则妆。>0,

所以力⑴在(1.+8)上单调递增，又因为，>3,

所以/i(t)>M3)=ln84v^,

所以4+d>eY844.

【解析】(1)将问题转化为“=生士，">())有两个不同的根，构造函数

X

1t»j*4-2

!J(X)=-_—(r>0),利用导数研究函数的性质，作出大致图像，利用数形结合思想，即可求

X

得a的取值范围；

(2)根据函数的零点，可得々=尸2+：=1»(5)：2,换元，=•",因此可得

x\lnxi+2liixi4-2为

•r；+d=(l+f3)h；=<3"(1+炉，构造函数，利用导数研究函数的单调性，确定函数的取值

情况，即可证明结论.

本题考查导数的综合应用，导数与不等式的综合应用，利