重庆市新高考数学大题限时练5（含解析）

专题05大题限时练五

1.已知A48c的内角力,8,C的对边分别为a,b,c,b=百，c=4,2cos(B-y)+V7sinC=3.

(1)求B；

(2)若C为锐角，求418c的面积.

【答案】(1)B=-；(2)373

6

【详解】(1)在A/1BC中，由正弦定理有一丝=—J7sinC=4sinB,

sin8sinC

由2cos(3—5)+V7sinC=3.得2sin8+4sin6=3,sinB=g,

又b<c,.■.8为锐角，，8=生，

6

(2)在A4BC中，由正弦定理有丄=亠

sinC=~尸>

sinBsinCV7

/.cosC=Jl-si”2c

又c为锐角,飞'

sinA=sin(8+C)=sin8cosc+cos8sinC=丄x率+且x=芈,

2yJ72y/72,y7

AABC的面积为丄bcsinN=」xJ7x4x3"=3G.

222V7

2.已知数列｛%｝的前〃项和为S“，S“=2a“-2(〃eN*).

(1)求数列｛。“｝的通项公式；

(2)若b“=bg”2,则在数列论,｝中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差

数列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)an=2-2"-'=2"；(2)见解析

【详解】(1)当，=1时，q=S[=2%-2,可得q=2；

当儿2时,S,_、=2%-2,所以%=S“-S»T=2a„-2%,即an=2al("…2)，

因为q=2工0,所以数列｛6,｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

所以q=2・2"'=2".

(2)由“=log2=­--=—■—=—>

a~log?4,bg""n

当4=1,6,=丄，显然不适合；6,=丄，4=丄适合，即b,=丄，b3=~,4=丄构成公差为-丄的等差数

2232366

列.

另解：

由b=log2=——!——=————=—，

log2«„log22"n

当伪=1,b=~,显然不适合；

22

当&=丄，4=丄适合，即&=丄，/=丄，"=丄构成公差为-丄的等差数列.

334433446612

故存在存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列，①人,4，②b4,

h6-

3.2021年5月12H,2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展览中心.为了庆祝吉

祥物在上海的亮相，某商场举办了一场赢取吉祥物挂件的“双人对战”游戏，游戏规则如下：参与对战的

双方每次从装有3个白球和2个黑球(这5个球的大小、质量均相同，仅颜色不同)的盒子中轮流不放回

地摸出1球，摸到最后1个黑球或能判断出哪一方获得最后1个黑球时游戏结束，得到最后1个黑球的一

方获胜.设游戏结束时对战双方摸球的总次数为X.

(1)求随机变量X的概率分布；

(2)求先摸球的一方获胜的概率，并判断这场游戏是否公平.

【答案】见解析

【详解】(1)由题可得X的所有可能取值为2,3,4,

3

P(X=4)=1-P(X=2)-P(X=3)=-,

的分布列为：

X234

P133

10105

(2)先摸球的一方获胜，包含以下几种情况：

双方共摸3次球，出现白黑黑，黑白黑，白白白这三种情况，即P(X=3)=嗚,

双方共摸球4次球，出现的恰好是三白一黑且前三次必定出现一次黑球的情形,

322322

概率为P=—X—X—x—+—X-X-X—H___X-X-X-=

54325432543210

先摸球一的方获胜的概率为—+—=

1010

•・•3>丄，.♦.这场游戏不公平.

52

4.如图，在四棱锥中，己知四边形N8CO为菱形，NBAD=60°,AS/。为正三角形，平面丄

平面ABCD.

(1)求二面角S-BC-4的大小；

(2)在线段SC(端点S,C除外)上是否存在一点M,使得丄8。？若存在，指出点也的位置；若

不存在，请说明理由.

【答案】(1)8=45。；(2)见解析

【详解】(1)取/。中点O,连接SO,B0,因为S4=S。，OA=OD,所以SO丄/。，

又因为平面丄平面Z8C。，平面C平面48c£>=4。，§。匚平面54£),S。丄平面N8C。，

因为O8u平面4BCZ),所以SO丄08,K'JSO1OA,SOYOB,

因为B4=BD,OA=OD,所以力。丄。8,所以04,OB,0s两两垂直，

以。为坐标原点建立如图所示平面直角坐标系，设/。=2,

则S(0,0,6)B(0,后0),C(—2,石,0),4(1,0,0),。(-1,0,0),

平面ABCD的法向量为OS=(0,0,73),

设平面SBC的法向量为万=(x,y,z),由五•方X=0,可得万=(0,1,1),

设二面角S-8c-4为夕，则|cos®冃心里|=",

|列西

易知二面角S-8C-/为锐角，则0=45。；

(2)设M(x,y,z),荻=2交,0<彳<1,

则M(-22,73(1-A)),4(1,0,0),5(0,区0),0(-1,0,0),

而=(-2"1,&,6(1-/1)),丽=(-1,-£0),

由五万.前5=24+1-3/1=0,解的2=1,矛盾，故不存在.

221

5.已知椭圆。:三+方=15>6>0)的左、右焦点分别为耳，F2,离心率为;，P是椭圆C上的一个动点,

且△P4心面积的最大值为百.

（1）求椭圆C的方程：

（2）设斜率不为零的直线桃与椭圆C的另一个交点为0,且P0的垂直平分线交y轴于点7（0,丄），求直

8

线P0的斜率.

【答案】（1）—+^-=1;（2）%=丄或%=3

4322

【详解】（1）因为椭圆离心率为:，当尸为C的短轴顶点时，玛的面积有最大值百，

C_1

-=2,=2

uZ.22

所以/=从+02,所以权=6,故椭圆C的方程为：二+匕=1；

43

丄x2cxb=GC।

[2

（2）设直线尸。的方程为y=%（工-1）,

当时，y=%（x-l）代入工+匕=1,

43

得：（3+4-就2-8公》+4--12=0,

设尸（西，%），0（工2，几），线段尸。的中点为N（x。，y0）,

X+X

rl2.4Hy+y-八一3k即N(4k-3k

笳-)22D-3+4/'

x02-一3+4无2'3+4F73+4公丿

-3k_1

因为7W丄尸0,则上所以3+4勺8.左=_],

3+4公

化简得4公一肽+3=0,解得厶=丄或后=3.

22

6.已知函数/（X）=2d+3（1+m）x2+6mx（xeR）.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若/（1）=5,函数8（刈=矶/〃》+1）-型,,0在（1,+8）上恒成立，求整数。的最大值.

x-

【答案】（1）见解析；（2）4

【详解】(1)因为/(工)=2X3+3(1+/%)/+6s(x£R).

所以/'(X)=6x2+6(1+m)x4-6m=6[x24-(1+m)x4-m]=6(x+l)(x+加),

若"?=1时，/'（x）...O,/（x）在火上单调递增；

若加>1时，-附<-1,当xc-加或x>-l时，/'（x）>0>/（x）为增函数，

当TW<X<-1时，/（（X）<0,/（X）为减函数，

若时，-掰>-1,当x<-1或x>-5时，f\x）>0./（x）为增函数，

当时，f\x）<0,“X）为减函数.

综上，机=1时，/（X）在尺上单调递增；

当闭>1时，/（X）在（-8,_⑼和（-1,+8）上单调递增，在上单调递减;

当机<1时，“X）在（-8,-1）和（-W,+8）上单调递增，在（-1,-加）上单调递减.

（2）由/（1）=2+3（1+w）+6m=5>解得加=0,

所以f(x)=2x3+3x2,

由xe(l,+oo)时，/HX+1>0,可知g(x)=a(/〃x+1)-2x-3”。在(l,+oo)上恒成立,

可化为a.生2在xe(l,+oo)上恒成立,

Inx+1

设〃(%)=尹二(工>1),

lnx+\

〜

2(lnx+l)-(2x+3)x—21nx---3-

则h\x)=----------------------_____x_