山东省2023届高考考向核心卷数学 含解析

2023届新高考考向核心卷

数学试题

一、单项选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

A=<x<B—3x+2<

1.已知集合<1九集合II>,则AD3=（）

A.0B.{x[l<x<2}C,{x[2Kx<4}D,{x[l<x<4}

【答案】D

【解析】

【分析】将集合A、8化简，再根据并集的运算求解即可.

【详解】：集合A={x[2«x<4},集合8=[产-3x+2<。}={印<x<2},

/.AD6={X[1<X<4}.

故选：D.

2.若复数z满足i-（2z-3）=7+2i,则复数z的虚部为（）

A.-B.--C.-iD.--i

2222

【答案】B

【解析】

【分析】先利用复数的四则运算得到z的代数形式，再利用复数的概念进行求解.

【详解】由题意，得2z-3=-=2-7i,

i

577

所以z=——i,则复数z的虚部为一二.

222

故选：B.

3.已知向量4=（/,—9）,/?=（1,-1）,则“加=—3”是“〃//"”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据充分条件及必要条件定义结合向量平行坐标表示判断即可.

【详解】若机=一3,则。=（9,—9）=处，所以a/比；

若a/lb，则Wx(—1)—(―9)xl=0,解得n?=±3,得不出〃=?一3.

所以“m=—3”是“aIlb”的充分不必要条件.

故选:A.

4.如图，用K、4、4三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A、4至少有一个正常工作

时，系统正常工作，已知K、4、为正常工作的概率依次是g、|、|,已知在系统正常工作的前提

下，求只有K和4正常工作的概率是()

D1

【答案】C

【解析】

【分析】利用独立事件的乘法公式求得系统正常工作和只有K和4正常工作的概率，在利用条件概率公式

求解即可.

【详解】设事件A为系统正常工作，事件B为只有K和A1正常工作，

因为并联元件4、4能正常工作的概率为1—11一—1]=1,

所以P(A)=_1x?8=_4,

299

又因为尸(A3)=P(B)=gxgx(l-'|)=*,

所以p(8iA)=aa"=L

P(A)4

故选：C

5.已知数列｛%｝为等差数列，首项4>0,若3也<-1,则使得5“>0的〃的最大值为()

4()05

A.2007B.2008C.2009D.2010

【答案】B

根据9的范围，确定其值，从而得到函数/（X）解析式，代入x=-2，得到答案.

6

【详解】根据图像可得A=2,

所以T=〃，

4126

2427r2乃

而丁二一，所以&=一=—=2

CDT7t

代入点（亲2,得到2=2sin（2x^+9

即sin

'llJl'll

所以°+—=2k7r+—，即e=2k/r+—

326

因为冏<3

兀

所以*

6

所以/(x)=2sin[2x+1]

rr

代入x=—得

6

乃、71

2sin2x

6>I66

=2sin

故选B项.

【点睛】本题考查利用三角函数的图像求正弦型函数的解析式，求正弦型函数的函数值，属于简单题.

41,3

7.若正实数％、y满足x+y=l,且不等式一；+一<加一+彳根有解，则实数加的取值范围是

尤+1y2

().

3

A."t<—3或〃/>一B.m<——或〃z>3

22

3c3

C.—<"/<3D.-3<m<—

22

【答案】A

【解析】

411「,、r41

【分析】将代数式77T+］与］［(x+l)+)［相乘，展开后利用基本不等式可求得丁石+］的最小值,

可得出关于实数加的不等式，解之即可.

【详解】因为正实数X、y满足x+y=l,则(x+l)+y=2,即g［(x+i)+y］=i,

占泻［(川)+门岛+；)1(c4yx+cI41x+1]9

所以,-5+^-+——>-5+2I-......=一，

21x+1yJ2yx+1y2

x+l=2yX~3419

当且仅当＜时,即当:时，等号成立，即1+一的最小值为

x+y=l2x+ly2

413,39,

因为不等式-；+一＜〃2厂+彳加有解，则nr+—加＞一，即2m2+3加一9＞0,

x+ly222

3

即(2加-3)(加+3)＞0,解得加＜一3或机＞『

故选：A.

8.记max{p,q}="34设函数/(x)=max卜-_1_x2+mx_L［t若函数/(X)恰有三个零

\q，q>p

点，则实数〃?的取值范围的是()

A.(-5/5,5/5)

【答案】B

【解析】

【分析】分析可知函数力(力=-/+如-；的两个零点均为负数或两个零点都在(0,2)内，根据二次函

数的零点分布可得出关于实数机的不等式组，由此可解得实数机的取值范围.

【详解】设g(x)=e'"-l,〃(x)=-炉,

则函数g(x)在(HO,+»)上递增，且g(2)=(),且函数/?(x)至多有两个零点,

当x>2时，g(x)>0,

若函数/（x）在（2,+8）上有零点，则/z（x）在（2,y）上有零点，不妨设零点为%,则%＞2,

此时g（x（））＞/?（%）=°，则/（毛）=0^{8（毛）,〃（%）}=8伍）＞0,与题意矛盾，

故函数/（x）在（2,”）上无零点.

二次函数妆x）图象的对称轴为直线x=£,

若加40,当△=/一2＞0,解得m＜一0时，设函数丸（力的两个零点为七、巧,

%+%2=加＜°

则彳1，则不＜0,当＜0,函数人（力有两个负零点，符合题意；

X1X2=2＞0

m.

—<2

2

若根＞0,且需符合题意时，函数Mx）在（0,2）上有两个零点，所以＜A=m2-2>0

o

/?（2）=2/n-1<0

解得>/2<m<一,

4

综上，me（-00,-

故选：B.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

9.某医院派出甲、乙、丙、丁4名医生到A,B,C三家企业开展“新冠肺炎''防护排查工作，每名医生只

能到一家企业工作，则下列结论正确的是（）

A.所有不同分派方案共甲种

B.若每家企业至少分派1名医生，则所有不同分派方案共36种

C.若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业，则所有不同分派方案共12种

D.若C企业最多派1名医生，则所有不同分派方案共48种

【答案】BCD

【解析】

【分析】求得所有不同分派方案数判断选项A；求得每家企业至少分派1名医生的所有不同分派方案数判

断选项B；求得每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业的所有不同分派方案数判断选项C；求

得C企业最多派1名医生的所有不同分派方案数判断选项D

详解】选项A：所有不同分派方案共34种.判断错误;

选项B：若每家企业至少分派1名医生，

先把4名医生分成3组(2人，1人，1人)再分配.

则所有不同分派方案共坐5A；=36(种).判断正确;

Aj

选项C：若每家企业至少派1名医生，且医生甲必须到A企业,

则A企业可以只有医生甲，也可以有医生甲和另一名医生,

则所有不同分派方案共C；C；C；A；+C：A；=12(种).判断正确；

选项D：若C企业最多派1名医生，则C企业可以有1名医生和没有医生两种情况,

则不同分派方案共C：x23+24=48(种).判断正确.

故选：BCD

10.已知/(x)是的导函数，且/(x)=d-r(O)d一％+1,则()

A./(-1)=0B./(())=-1

C./(x)的图象在无=—1处的切线的斜率为0D.“X)在［0,1］上的最小值为1

【答案】BC

【解析】

【分析】由题意，利用方程思想，求导赋值，建立方程，求得了'(0)的值，可得函数与导函数解析式，

对于A、B,直接代值，可得答案；对于C,利用导数的几何意义，可得答案；对于D,根据导数与单调性

关系，可得答案.

【详解】V/(x)=x3-r(O)^2-x+1,f\x)=3x2-2f'(o)x-l,令x=0,则r(0)=—1,故

B正确；则/(x)=*3+d-x+1,/'(x)=3*+2x-l,

/(-1)=-1+1+1+1=2,故A错误;

〃尤)的图象在为=一1处的切线的斜率为(一1)=3-2-1=0,故C正确;

,尸(x)=3%+2%—1=(3x—l)(x+1),当工£｝寸，/'(%)<0,.f(X)单调递减，当T9

(1、22

时，/"(x)>o,/(6单调递增，；./(6在［0,1］上的最小值为了§=药，故D错误.

故选：BC.

11.如图1,在菱形ABCZ)中，A£>=2，NADC=60°,将「ABC沿AC折起，使点8到达点P的位

置，形成三棱锥P—AC。，如图2.在翻折的过程中，下列结论正确的是()

图I图2

A.AC.LPD

B.三棱锥P-ACD体积的最大值为3

C.存在某个位置，使ADLPC

D.若平面APC,平面ACZ),则直线与平面PC。所成角的正弦值为姮

5

【答案】ACD

【解析】

【分析】由三棱锥尸-ACD的几何性质，根据线面垂直判定定理可证明AC得出A正确；

由于三棱锥P-ACD在翻折的过程中底面积为定值，所以高最大时其体积最大，此时平面APC_L平面

ACD,经计算可知B错误；

在翻折的过程中，当三棱锥P—ACO形成正四面体时，满足ADLPC，可得C正确；

若平面APCJ_平面ACD,此时三棱锥P-ACD的体积最大，根据等体积法可求得点A到平面PCO的距

离，即可计算出直线A。与平面PCO所成角的正弦值.

详解】如下图所示：

D

选项A：取AC的中点0,连接OP,OD,由于四边形ABC。为菱形，则AC_LOP,AC1OD,

又OPcOD=O,OPu平面POD,ODu平面P。。，所以AC_L平面POD,

又也）U平面P。。，所以ACJ.叨，A正确；（点拨：要证线线垂直，往往需要先证线面垂直）

选项B：在翻折过程中，当平面APC_L平面AC。时，三棱锥尸-AC。的体积最大，

此时三棱锥P-ACD的体积V=』x走x2?xQ=1,B错误；

34

选项C：将AABC沿AC翻折的过程中，PC的轨迹是以AC为轴的圆锥，

显然此圆锥轴截面的顶角为120。，大于90°,所以必然存在两条母线互相垂直，

翻折前，AD//BC,故存在某个位置，使直线4。与直线PC垂直，C正确；

（另解：当?。=2时，易知△APC,△上£心都是边长为2的等边三角形，

取PC的中点连接AM,DM,则AMLPC,DM±PC,

又/Wu平面D0u平面AOM,且A"DM=M,所以PCI平面ACM,

又ADu平面ADM,所以PC_LAO,C正确）

选项D：当平面APC,平AC£）时，因为PC=CD=2,所以PO=OO=G，所以PD=娓,

所以.PCD的面积S=；x逐x/_倍）=孚,

设直线AD与平面PCD所成角为。，点A到平面PCD的距离为d,

则^P-ACD=^A-PCD,BP1=—Xxd,

32

解得1=冬叵，故sinO=/L=史，D正确.

5AD5

故选：ACD.

12.已知点A（—1,0）,5（1,0）,G（0,l）,抛物线。：尺二以.过点G的直线/与C交于Pa,yJ,

Q（9,为）两点，直线ARAQ分别与。交于另一点£尸，则下列说法中正确的是（）

A.>|+%=y>2

B.直线EE的斜率为4

C.若的面积为型5（。为坐标原点），则OE与O尸的夹角为乡

66

D.若M为抛物线C上位于x轴上方的一点，则当f取最大值时，ABM的面积为2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项：P（玉,y）,。（%2，%）直线/?。的方程为4%一（必+M）'+必必=0,由直线PQ过点

G（O,I）得%+%=y%即可解决；

B选项：设£［字,为），尸［号,得直线PE的方程为4x-（y+%）y+y为=0直线PE过点

A（-1,0）得X%=4，同理＞2y4=4即可解决；

22

C选项：02。后=,q+凶为，M%=4得8。七=5，设々0七=£，|。叩。年05£=5,又

S.。£=述得tana=正即可；

63

D选项：过M作垂直抛物线C的准线4-1于点。，由抛物线定义得，=——1——直线4W与抛

sinZMAD

物线相切时，「最大，设直线AM:y=«x+l）.得Z=±1,M（1,2）即可.

22

【详解】A选项：易知斗=号_,々=会，

所以直线PQ的方程为4X-（y+%）y+X必=°，（利用两点式求解直线PQ的方程）

因为直线PQ过点G（0,l）,

所以x+%=y%，A正确.

/2\/2\

B选项：设E=，%，F4,%|，

U3J14J

所以直线PE的方程为4x-（x+%）y+X%=0，

因为直线PE过点A（-1,0）,所以x%=4,

同理可得y2y4=4,

k-%一-_4_4_x%=］

所以^_或以+为±+±X+%，故B错误.

44

22

C选项：OP-OE=q_.g_+y%=5,（利用B选项中X%=4）

设NPOE=Q,则|opHoqcosa=5,

因为SNOE=g|。目,|。尸卜ina=，

所以tana=且，所以OE与OP的夹角为「，故C正确.

36

D选项：易知B为抛物线的焦点，过M作MD垂直抛物线C的准线％=-1于点D,

\AM\\AM\11

由抛物线的定义知，/=岛=."八，即仁./…C，

\MB\\MD\sinZMADsmZMAD

当，取最大值时，NM4£＞取最小值，（正弦函数的单调性的应用）

即直线A"与抛物线C相切.

设直线AM的方程为y=A（x+1）,

由《）J（X+D得々2*2+（2女2_4）彳+々2=0,

y=4x'7

所以八=（2左2一4）—4/=0,解得z=±i,

止匕时攵+（2公一4卜+二=0,即f_2x+l=0，

所以x=l,又点M在x轴上方，故M（l,2）,

所以Sob”=g|ABHyM=；x2x2=2,故D正确.

故选：ACD

【点睛】思路点睛：直线与抛物线的位置关系有三种：相交、相切、相离.判断方法：把直线方程和抛物

线方程联立，当得到的是一元二次方程时，根据△来判断直线与抛物线的位置关系，①若△＞（）,则直线

与抛物线相交；②若△=(),则直线与抛物线相切；③若A<0,则直线与抛物线相离.当得到的是一元一

次方程时，直线与抛物线交于一点，此时直线与抛物线的对称轴平行(或重合)

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知函数/(x)=-2+lnx,过点P(0,-2)作曲线y=/(x)的切线/,贝心的方程为.

【答案】x—ey—2e=0

【解析】

【分析】根据导数的几何意义设切点坐标(r,-2+lnt)(r>0),利用导数求切线斜率，从而可得切线方程表

达式，利用切线过点尸(0,-2),解出即可求得切线方程.

【详解】解：由题意可设切点坐标为。，-2+In。«>0),因为/(x)=-2+lnx,所以尸(x)=,，所以

X

切线/的斜率攵=1,

t

贝野的方程为y+2—ln，=；(x—。，又点P(0,—2)在切线上，所以—2+2—Inf=；(0—。

解得f=e,所以切线方程为：y+l=-(x-e),即x-ey-2e=0.

e

故答案为：x-ey-2e=0.

456

14.已知(2x—l)(x+l)’=q>+++//+«4x+a5x+abx,则«2+。3+包+%=.

(用数字作案)

【答案】34

【解析】

【分析】利用赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可.

【详解】令x=(),得％=-1；

令x=1,得/+q+/+4+4+%+4=2、=32.

二项式(X+1)5的通项公式为J=C；•产=T=C；•产r,

又a6=2xC：=2,a}=2x1+(—1)XCJ=—3,

所以4+%+%+%=32-2-(—3)-(—1)——34.

故答案为：34

15.已知函数/(x)=2cos|x+?kos卜一?)+sinx,若对任意实数x,恒有

f(%)，则cos(q-％)=.

【答案】」

4

【解析】

【分析】对/(X)进行化简得到/(x)=-2sin2x+sinx+l，根据正弦函数和二次函数的单调性得到

91

/(q)=-2,/(02)=1，进而确定sinq=-l,sing,cos=0,利用两角差的余弦公式得到

cos(a)-«2).

【详解】A*)=2cos*+x-£cos*：+sinx

=-2sin舞-生cosS--+sinx

i4薪4

=cos2x+sinx=-2sin2x+sinx+1

Qsinx?[1,1]

对任意实数X,恒有/(%))/(%)

9

-

8-

即sinq=-1,sina2=—

\cosq=0

\cos(4-砌=cos4]cosa+sinqsin/=0+；?(-1)

2,1

4

【点睛】本题的关键在于“变角”将cos[x+?变为cos震+x-

7结合诱导公式,从而变成

正弦的二倍角公式.

16.己知四棱锥P-AB8的底面ABC。是边长为a的正方形，且平面A8CC,P4=a,点M为线

段尸C上的动点（不包含端点），则当三棱锥M-8C。的外接球的表面积最小时，CM的长为

【答案】空a

3

【解析】

【分析】连接M4，由题意知三棱锥的外接球即四棱锥"-ABC。的外接球，然后设四棱锥

M-A6C。外接球的球心为O,半径为R,连接AC与80交于点。一利用几何体的结构特征分析出当

。与。।重合时，三棱锥BCD的外接球的表面积最小，然后设CM的中点为N,连接QN,利用三

角形相似求得CN=X3a,即可求得CM的长.

3

【详解】连接MA,由题意可知三棱锥M-BCD的外接球即四棱锥M-ABCD的外接球，则当三棱锥

BCD外接球的表面积最小时，四棱锥M-ABCZ）外接球的半径最小.设四棱锥M-ABC。外接球

的球心为0,半径为凡连接AC与8。交于点。一当。与。|不重合时，连接。。，易知。Q_L平面

ABCD,则0aJ_0C，连接。C,在Rt^OQC中，R=0C>0。.当。与。重合时，

R=OC=OXC,所以当三棱锥"一BCD的外接球的表面积最小时，。与a重合，R=O1C.设CM的

CNACCN二五a

中点为M连接。囚，易知Q|N_LC7W,则cosNOCN=^=诃，所以正一瓦，解得

I___a

2

CN=—a,所以CM=2CN=^~a.

33

故答案为：巫a

3

【点睛】关键点睛：利用直角三角形中斜边最长判断出当。与。|重合时，三棱锥38的外接球的

表面积最小是解题的关键所在.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知等比数列｛«„｝的前〃项和为Sn,且2an-S“=1.

（1）求a”与S”；

（2）记2=-----,求数列也,｝的前〃项和7“.

an

n

【答案】（1）an=2-',S,,=2"-l；（2）（=6—^^.

【解析】

【分析】（1）利用%=S“-可得数列的递推式，得其为等比数列，易得通项公式、求和；

（2）由（1）得包，用错位相减法求和.

【详解】⑴由2a.一5”=1,得S“=2a”—1,

当”=1时，。|=&=24-1,得q=l；

当〃22时，a„=S„-S„_,=（2a,,-1）-（2a„_,-1）,得a“=2a“_],

所以数列｛4｝是以1为首项，2为公比的等比数列，

所以凡=2"1

所以S“=2a"一1=2"-1.

2〃—1

（2）由（1）可得々='

则（=1+|+^+L+^^=1X1+3X；+5XJ+L+（2〃-1）•击,

J%=lx；+3x'+5x'+

两式相减得;北=l+2（；+*+*+L+击

所以＜=2+4（；+*+^+L+击）一（2〃-1）.击

1,

八,22"/八八1/2〃+3

=2+4----j--=

，-2

【点睛】（1）错位相减法适用于数列是由一个等差数列｛%｝和一个等比数列｛々｝对应项的乘积构成的数

列q,=。“包的求和，求解的方法是等式两边乘等比数列的公比再错位相减，错位相减后化归为一个等比

数列的求和；

(2)用错位相减法求和时，应注意两点：一是要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情

形；二是在写出“S,,”与“qS“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出

的表达式.

18.acosC+ccosA=—bcosB,②5sin(巴+B)+5sin(-B)=l,③8G(0,二)，

422

13

cos28=cos8-去.这三个条件中任进一个，补充在下面问题中并作答.

已知中，内角A,8,C所对的边分别为a,4c,且________.

(1)求tan2B的值；

(2)若tanA=—±,c=-,求jWC的周长与面积.

54

24

【答案】(1)y

33

(2)周长为11,面积为一

8

【解析】

4

【分析】(1)若选①，利用正弦定理边化角及诱导公式求出cos8=w，再求出tanB,由正切的二倍角

公式即可求出tan2B的值；若选②，由诱导公式化简，再结合三角函数的平方和，可求出sin8,

tan5,再由正切的二倍角公式可求出tan2B的值；若选③，由余弦的二倍角公式代入化简求出

4

cosB=-,再求出tan8,由正切的二倍角公式可求出tan23的值；

12

(2)由tanA=-w，求出cosA,sinA,由正弦定理求出a/,最后根据三角形的面积公式和周长即可

得出答案.

【小问1详解】

若选①:由正弦定理得sinAcosC+sinCcosA=—sinBcosB，

4

故sin(A+C)=—sinBcosB,

4

而在ABC中，sin(A+C)=sin(7t-B)=sinB,

^sinB=—sinBcosB,又Be(0,n),

4

4

所以sinBoO,贝i」cosB=—,

则sinB=5/l-cos2B=",tanB=S^n—=",

5cosB4

cc2tanB24

故tan23=------------=—・

l-tan2B7

Jr1

若选②:由5sin(5+8)+5sin(—8)=1,化简得cos3—sinB=—，代入cos?B+sir?3=1中，整理得

25

25sin2B+5sinB-12=0,

即(5sin3-3)(5sinB+4)=0,

3

因为8£（0,兀），所以sin5>0,所以sinB=《

_4门sin33

则rillcos8=—,tan8=-------=—,

5cos34

,,_„2tanB24

故tan2B=------------=—.

l-tan2B7

13

若选③:因为cos28=cos8-五,

17i?34

所以2cos2B-l=cosB——­,即2cos2B-cosB-----=0,贝ij(2cosB+-)(cosB——)=0.

252555

Tt4

因为8£(0,—),所以cos8=—,

25

则sinB=71-cos2B=-,tanB=S^n--=~,

5cos34

...„2tanB24

故tan2B=------------=—.

l-tan2B7

【小问2详解】

sinA12r.0、

因为tanA4=--------=----,且sm~A+cos~A=1,Aw(0,兀)，

cosA5

512

所以cosA=-----,sinA=—.

1313

43

由(1)得cos3=w，sin3=w，则

1245333

sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsin8=—x-------x—=—,

13513565

由正弦定理得一j=—”==雪，则a=5,b=?.

sinAsmBsinC124

故「ABC的周长为a+b+c=ll,

11133333

的面积为此.=彳而sinC=4x5x=xW=^.

19.由中央电视台综合频道（CCTV-1）和唯众传媒联合制作的《开讲啦》是中国首档青年电视公开课.每

期节目由一位知名人士讲述自己的故事，分享他们对于生活和生命的感悟，给予中国青年现实的讨论和心

灵的滋养，讨论青年们的人生问题，同时也在讨论青春中国的社会问题，受到了青年观众的喜爱.为了了

解观众对节目的喜爱程度，电视台随机调查了A,8两个地区的100名观众，得到如下所示的2x2列联表.

非常喜欢喜欢合计

A3015

BXy

合计

已知在被调查的100名观众中随机抽取1名，该观众来自B地区且喜爱程度为“非常喜欢”的概率为0.35.

（1）现从100名观众中根据喜爱程度用分层抽样的方法抽取20名进行问卷调查，则应抽取喜爱程度为

“非常喜欢'’的A,8地区的人数各是多少？

（2）完成上述表格，并根据表格判断是否有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

（3）若以抽样调查的频率为概率，从A地区随机抽取3人，设抽到喜爱程度为“非常喜欢”的观众的人数

为X,求X的分布列和期望.

附.2_n(ad-bc)2

PIJ;Ki\—，n=a+h+c+d，

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.001

P(K2>岛)0.050.010

3.8416.63510.828

【答案】（1）从A地抽取6人，从B地抽取7人.

（2）没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

（3）分布列见解析，期望为2.

【解析】

【分析】（1）求出x的值，由分层抽样在各层的抽样比相同可得结果.

（2）补全2x2列联表，再根据独立性检验求解即可.

（3）由题意知X〜8（3,2）,进而根据二项分布求解即可.

3

【小问1详解】

Y

由题意得一=0.35,解得％=35,

100

2020

所以应从4地抽取30x—匕=6(人)，从8地抽取35x上=7(人).

100100

【小问2详解】

完成表格如下：

非常喜欢喜欢合计

A301545

B352055

合计6535100

零假设为“0：观众喜爱程度与所在地区无关.

^=100x(3Qx20-35xl5)-=_100a01<3841)

65x35x45x551001

所以没有95%的把握认为观众的喜爱程度与所在地区有关系.

【小问3详解】

302

从A地区随机抽取1人,抽到的观众的喜爱程度为“非常喜欢”的概率为一=一，

453

从A地区随机抽取3人，则X〜3(3,2),X的所有可能取值为0,1,2,3,

3

门、31

则P(X=0)=—=—,

⑴27

小。=呜1©$

P(X=2)=喏冏$

B3)=©哈

所以X的分布列为

X0123

1248

P

279927

方法1：E(X)=0x—+lx-+2x-+3x—=2.

279927

2

方法2：E(X)=np=3x—=2.

20.如图，直三棱柱ABC-A4C1的体积为4，.ABC的面积为2起.

(1)求A到平面ABC的距离；

(2)设。为4。的中点，AAl=AB,平面平面,求二面角A—BO-。的正弦值.

【答案】(D72

⑵—

2

【解析】

【分析】(1)由等体积法运算即可得解；

(2)由面面垂直的性质及判定可得BC工平面建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可得

解.

小问1详解】

在直三棱柱ABC-A£G中，设点4到平面ABC的距离为儿

V

则匕-ABC=gS.ABC/=~~h=At-ABC=；SABC.AA=~，

解得力=JL

所以点A到平面48c的距离为0；

【小问2详解】

取AB的中点E连接AE,如图，因为A4,=A5,所以

又平面ABCJ_平面,平面ABCc平面=AB,

且AEu平面AB旦A，所以AE_L平面ABC,

在直三棱柱A6C-44G中，8耳，平面ABC,

由BCu平面AI。，BCu平面ABC可得AEL8C,BB,1BC,

又AE,BB]u平面且相交，所以BC_Z平面AB4A,

所以两两垂直,以B为原点，建立空间直角坐标系，如图,

由(1)得AE=g，所以AA=A8=2,43=2近，所以8c=2,

则A(0,2,0),4(022),3(0,0,0),C(2,0,0),所以4c的中点0(1,1,1),

则BO=(1,1,1),&l=(0,2,0),BC=(2,0,0),

In.BD—X4~y+z-0

设平面的一个法向量〃?=(尤,y,z),则〈',

V,)[m-BA=2y=Q

可取〃2=(1,0,—1),

./.、，〃•BD=a+b+c=0

设平面8DC的一个法向量”=(a,b,c),则〈，

'7[n-BC=2a=Q

可取>=(0,1,-1),

则3仇/〃\)m=-丽n=万1环71

所以二面角A—3。一。的正弦值为

21.已知双曲线C：W-[=13>0力>0)的左、右焦点分别为耳，凡，斜率为一3的直线/与双曲线C交

a~b~

于A,8两点，点M(4,-2夜)在双曲线C上，且|叫卜阿图=24.

(1)求的面积；

⑵若。6+。6'=0(。为坐标原点)，点N(3,l),记直线N4,M3'的斜率分别为占，勺，问：kt-k2

是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴8A/2

(2)匕42为定值T「

【解析】

【分析】(1)设6(-。,0),与(c,0),根据两点间长度得出与I"鸟即可根据已知列式解出c,即

可得出答案；

(2)根据第一问得出双曲线的方程，设A(&y),6(毛,%)，直线/的方程为V=-3x+根，根据韦达

定理得出X+Z，%%，即可根据直线方程得出