2023年中考数学一轮复习模拟汇编 第四讲 图形的性质(一)

第四讲图形的性质（1）

--几何体的展开图（共1小题）

1.（2022•南京一模）如图是一个三棱柱和它的侧面展开图，其中线段48、EF、HI、OC分

别表示这个三棱柱的侧棱，若AO=16,HD=4,则AE的长度可能是（）

EHD

BF

A.2B.4

二.截一个几何体（共2小题）

2.（2022•鼓楼区一模）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④

圆锥：⑤球，得到的截面可以得到三角形的是.（填写正确的几何体前的序号）

3.（2022•秦淮区一模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，

当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的面积的最大值是.

三.平行线的性质（共1小题）

4.（2022•鼓楼区一模）如图，五边形ABC0E是正五边形，h//h,若/1=20°,则N2

四.三角形三边关系（共1小题）

5.（2022•南京一模）在△ABC中，AC=3,BC=4,若NC为钝角，则的长的取值范围

是.

五.三角形的外角性质（共1小题）

6.（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AB=AC,ZA=55Q,P是A8上的一个

动点，则NAPC的度数可能是（）

A

A.55°B.62°C.120°D.130°

六.全等三角形的判定（共1小题）

7.（2022•建邺区二模）如图，在AABC中，AB=AC.为证明“等边对等角”这一结论，

常添加辅助线AD,通过证明△ABQ和△AC。全等从而得到角相等.下列辅助线添加方

法和对应全等判定依据有错误的是（）

A.角平分线AQ,全等依据SAS

B.中线AD,全等依据SSS

C.角平分线AD,全等依据

D.高线AD,全等依据/7Z.

七.全等三角形的判定与性质（共1小题）

8.（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点。在AC上，8。平分NABC,延长BA到点E,

使得BE=BC,连接。E.若NAOE=38°,则乙4。8的度数是（）

A.线段垂直平分线的性质（共1小题）

9.（2022秋•南京期末）在aABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点E,AC的

垂直平分线分别交AC、BC于点F、G,若NE4G=20°,则NBAC=°.

九.等腰三角形的判定（共1小题）

10.（2022•秦淮区一模）如图，M,N是NAO8的边。4上的两个点（OM<ON）,ZAOB

=30°,OM=a,MN=4.若边08上有且只有1个点P,满足△PMN是等腰三角形，

则〃的取值范围是

一十.等边三角形的判定与性质（共1小题）

11.（2022•玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点8在x轴

上，C,。分别是边AO,AB上的点，J&CD//OB,OC=2AC,若8=2,则点A的坐

一十一.直角三角形斜边上的中线（共1小题）

12.（2022•雨花台区校级模拟）如图，四边形ABCD中，/ABC=NAOC=90°,ABCD

=135°,连接AC、BD.M是AC的中点，连接BM、DM.若AC=10,则的面

积为.

一十二.勾股定理（共4小题）

13.（2022秋•南京期末）如图，在等腰RtZ\ACB中，ZACB=90°,AC=BC,且AB=2&,

以边48、AC.8c为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFQ）和BGCE（图中阴影部

分）的面积之和等于（）

AB

A.8B.4C.2D.4A/2

14.（2022秋•南京期末）如图，己知点P是射线上一动点（P不与B重合），ZAOM

=45°,OA=2,当0P=时，Z\OA尸是等腰三角形.

15.（2022•南京一模）如图，在△ABC中，AB=2,/ACB=60°,DCLBC,DC=BC,

则AD的长的最大值为.

16.（2022•玄武区一模）如图，AB是半圆O的直径，C,。是半圆O上的点，连接CD,

AC,OD,且AB=4,OD//AC,设CD=x,AC=y,则y与x之间的函数表达式为

一十三.勾股定理的逆定理（共1小题）

17.（2022•鼓楼区二模）在△ABC中，AB=2,AC=\,8C=J§.若点P在△A8C内部（含

边界）且NPBCWNPCBWNPBA,则所有满足条件的P组成的区域的面积为.

一十四.三角形中位线定理（共1小题）

18.（2022•雨花台区校级模拟）如图，是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C,

连接AC、BC,再取它们的中点。、E,测得。E=15米，则AB=米.

一十五.平行四边形的性质（共4小题）

19.（2022•鼓楼区校级二模）如图，在口ABC。中，ZABC,NBCD的平分线分别交A力于

点、E,F.若4B=a,CF=b,则BE的长为.（用含“，人的代数式表示）

20.（2022•南京二模）在平面直角坐标系中，rABC。的顶点坐标为A（1,5）,8（-1,1）,

C（3,2）,则点。的坐标是

21.（2022•鼓楼区二模）如图，正六边形ABCOE尸与平行四边形GbMN的位置如图所示，

若/ABG=19°,则NNMD的度数是°.

22.（2022•南京一模）如图Rtz^ABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=4,点P为BC上任

意一点，连接PA,以PA,PC为邻边作平行四边形PAQC,连接PQ,则PQ的最小值

为

一十六.菱形的性质（共2小题）

23.（2022•玄武区二模）如图，菱形ABC。和正五边形AEFGH,F,G分别在BC,CO上,

贝叱1-N2=

FG

C

24.（2022•鼓楼区一模）如图，在菱形ABCQ中，AC,BQ相交于点O,E是CQ的中点,

连接OE.若OE=5,80=12,则AC=.

一十七.菱形的判定（共1小题）

25.（2022•雨花台区校级模拟）如图，在。ABC。中，对角线AC、B£＞相交于点。，下列条

件中，不能判断这个平行四边形是菱形的是（）

A.AB=ADB.ZBAC=ZDACC.ZBAC=ZABDD.AC1BD

一十八.菱形的判定与性质（共1小题）

26.（2022•秦淮区二模）如图，已知菱形A8C。与菱形AEFG全等，菱形4EFG可以看作

是菱形A8CD经过怎样的图形变化得到？下列结论：①经过1次平移和1次旋转；②经

过1次平移和1次翻折；③经过1次旋转，且平面内可以作为旋转中心的点共有3个.其

中所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

一十九.矩形的判定（共1小题）

27.（2022•鼓楼区一模）要判断一个四边形的窗框是否为矩形，可行的测量方案是（）

A.测量两组对边是否相等

B.测量对角线是否相等

C.测量对角线是否互相平分

D.测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

二十.正方形的性质（共3小题）

28.（2022•秦淮区一模）如图，P是正方形ABCO的边上一点，连接PB,PC,贝Utan

/BPC的值可能是（)

D

29.（2022•鼓楼区校级二模）如图，在正方形ABC。中，E,尸分别是BA,BC的中点.若

BD=2,则EF的长是.

AD

30.（2022•秦淮区校级模拟）如图，在平行四边形ABCD与正方形AEFG中，点E在BC

上.若NBAE=38°,ZCEF=13°,则NC=。.

二十一.正方形的判定（共2小题）

31.（2022•玄武区二模）如图，点E,F,G,”分别在矩形ABC。CAB>AD）的四条边上,

连接EF,FG,GH,HE,得到四边形EFGH.下列关于四边形EFGH的说法正确的是（）

①存在无数个四边形EFGH是平行四边形；

②存在无数个四边形EFGH是菱形；

③存在无数个四边形EFGH是矩形；

④存在无数个四边形EFGH是正方形

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

32.（2022•南京一模）己知四边形ABC。中，NA=NB=NC=90°,如果添加一个条件,

即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（)

A.ZD=90°B.AB=CDC.AC=BDD.BC=CD

二十二.圆的认识（共1小题）

33.（2022•玄武区一模）如图，在扇形AOB中，。为窟上的点，连接A。并延长与OB的

延长线交于点C,若CD=OA,NO=75°,则NA的度数为（）

A

A.35°B.52.5°C.70°D.72°

二十三.垂径定理（共1小题）

34.（2022•南京一模）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于A、B、C、

35.（2022•鼓楼区校级二模）如图，已知AB是的直径，BC为弦，过圆心。作

8c交弧BC于点连接。C,若NOCB=34°,则NBAC=.

二十五.圆内接四边形的性质（共2小题）

36.（2022•南京一模）如图，四边形ABCZ）内接于00,。是菽的中点，若NB=70°,则

ZCAD的度数为（)

C.35°D.20°

37.（2022•鼓楼区二模）如图，四边形A8CO是。。的内接四边形，8E是的直径，连

接AE.若NBCD=2NBAD,则ND4E的度数是.

二十六.切线的性质（共5小题）

38.（2022•南京二模）如图，在五边形ABCQE中，/A=/B=/C=90°,4E=2,CD=

1,以DE为直径的半圆分别与AB.BC相切于点尸、G,则DE的长为

39.（2022•玄武区二模）如图，PA,P8是。。的切线，A,8是切点，ZP=62°,C是。。

上的动点（异于A,B）,连接C4,CB,则NC的度数为

40.（2022•建邺区一模）如图，。。的直径AB=4cm,PB、PC分别与00相切于8、C两

点，弦CO〃AB,AD//CP,则P8=cm.

41.（2022•南京一模）如图，正方形ABC。的边长为3,点E为4?的中点，以E为圆心，

3为半径作圆，分别交A。、BC于M、N两点，与OC切于P点.则图中阴影部分的面

42.（2022•建邺区二模）如图，是利用刻度尺和三角尺测得圆的直径的一种方法，从图中可

知圆的直径是cm,这样测量直径的依据是.

01234567S9101112131415cm

二十七.三角形的内切圆与内心（共1小题）

43.（2022•秦淮区二模）如图，。0是AABC的内切圆，与AB,BC,C4的切点分别为

E,F,若NBDE+NCFE=110°,则NA的度数是°.

二十八.正多边形和圆（共5小题）

44.（2022•雨花台区校级模拟）如图，A、B、C、D、E、F是正〃边形的六个连续顶点,

AE与C/7交于点G,若NEGF=30°,则”=.

45.（2022•建邺区二模）如图，正九边形ABCDEFGH/,点M是所的中点，连接AM、CG

46.（2022•南京一模）如图，在正五边形4BCCE中，BD、CE相交于点。以。为圆心，

为半径画弧，分别交A8,AE于点M,N.若BC=2,则万S的长为（结果保

留TT）.

47.（2022•南京一模）如图，在正五边形4BCCE中，M是AB的中点，连接4C,DM交于

点N,则/CND的度数是.

48.（2022•玄武区一模）如图，点。是正六边形ABCOEF和正五边形ABCiOEi的中心,

连接AE,。尸相交于点G,则/AG尸的度数为°.

二十九.弧长的计算（共1小题）

49.（2022•秦淮区一模）如图，点A,B,C在半径为4的。。上，若NAOB=130°,Z0AC

=70°,则标的长为.

B

三十.扇形面积的计算（共1小题）

50.（2022•南京二模）如图，在矩形ABC。中，AD=\,AB=®以点A为圆心，4B长

为半径画弧交CD于点E,则阴影部分的面积为

D

E

B

三十一.圆锥的计算（共8小题）

51.（2022•建邺区一模）如图,把矩形纸片ABCD分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD,

分别裁出扇形ABF和半径最大的圆.若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AD：

48为（）

C.9：5D.2：1

52.（2022•建邺区二模）若一个扇形的半径是18cw,这个扇形围成的圆锥的底面半径是6cm,

则这个扇形的圆心角等于（）

A.110°B.120°C.150°D.100°

53.（2022•秦淮区二模）若一个圆锥的底面圆的半径是2,侧面展开图的圆心角的度数是

180°,则该圆锥的母线长为.

54.（2022•建邺区二模）圆锥底面半径长为6,侧面展开扇形的圆心角为120°,则圆锥的

母线长是.

55.（2022•玄武区二模）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形.若扇形

的半径R=6cw,扇形的圆心角9=120°,该圆锥的高为cm.

R

56.（2022•鼓楼区二模）将半径为5a*,圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，

则圆锥的底面半径为an.

57.（2022•玄武区一模）圆锥的母线长为5,底面圆的面积为9m则圆锥的侧面展开图的

圆心角度数为

58.（2022•秦淮区校级模拟）若将一个圆心角为60。，半径为4的扇形纸片围成一个圆锥

的侧面，则该圆锥的底面半径为.

三十二.命题与定理（共1小题）

59.（2022•秦淮区校级模拟）已知四边形ABCQ的对角线AC,BD交于点O,下列命题：

①若4B=C£>,ZABC^AADC,则四边形ABC。是平行四边形；

②若。4=OC,ZABC^ZADC,则四边形ABC。是平行四边形；

③若4£>=BC,N4BC=NBCD=90°,则四边形48CO是矩形；

④若AB=C£>,OA=OC,ZABC=90°,则四边形A8CQ是矩形.

其中所有真命题的序号是.

三十三.轨迹（共1小题）

60.（2022•鼓楼区一模）在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5.若点尸在△ABC内部（含

边界）且满足/PBCWNPCB,则所有点P组成的区域的面积为.

第四讲图形的性质（1）

参考答案与试题解析

一.几何体的展开图（共1小题）

1.（2022•南京一模）如图是一个三棱柱和它的侧面展开图，其中线段AB、EF、HI、DC'分

别表示这个三棱柱的侧棱，若AO=16,HD=4,则4E的长度可能是（）

A.2B.4C.6D.8

【分析】根据图形先求出4E与E”的和，然后设AE=x,表示出EH=12-x,然后利用

三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组，求解得到AB

的取值范围，即可得解.

【解答】解：由图可知，AD=AE+EH+HD,

VAD=16,HD=4,

・"E+EH=12,

设则E”=12-x,

所以112-x<x+W，

12-x>x-24（2）

解不等式①得x>4,

解不等式②得，x<8,

所以，不等式组的解集是4Vx<8,

：.AE长度的取值范围是4<x<8,

的长度可能是6.

故选：C.

二.截一个几何体（共2小题）

2.（2022•鼓楼区一模）若用平面分别截下列几何体：①三棱柱；②三棱锥；③正方体；④

圆锥；⑤球，得到的截面可以得到三角形的是①②③④.（填写正确的几何体前的

序号）

【分析】当截面的角度和方向不同时，球的截面无论什么方向截取球都不会截得三角形.

【解答】解：①三棱柱能截出三角形；

②三棱锥能截出三角形；

③正方体能截出三角形；

④圆锥沿着母线截几何体可以截出三角形；

⑤球不能截出三角形.

故得到的截面可以三角形的是①②③④.

故答案为：①②③④.

3.（2022•秦淮区一模）如图，用一个平面去截一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体，

当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的面积的最大值是25.

【分析】观察长方体可知，当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的面积的最大值是

长5,宽为直角边分别为4、3的三角形斜边长的长方形，根据长方形面积公式计算即可

求解.

【解答】解：由勾股定理得，{42+32=5,

则当截面（截出的面）的形状是矩形时，它的面积的最大值是5X5=25.

故答案为：25.

三.平行线的性质（共1小题）

4.（2022•鼓楼区一模）如图，五边形A8CDE是正五边形，1}//12,若Nl=20°,则N2=

56°

【分析】连接4C,依据平行线的性质，即可得到等式N2+N4CB=N1+NC4E,据此可

得N2的度数.

【解答】解：如图所示，连接AC,

五边形ABCDE是正五边形，

.,.NB=NB4E=108°,/ACB=NC4B=36°,

...NCAE=108°-36°=72°,

：.Z2+ZACB^Zl+ZCAE,即/2+36°=20°+72°,

解得N2=56°,

故答案为：56°.

四.三角形三边关系（共1小题）

5.（2022•南京一模）在△48C中，AC=3,BC=4,若NC为钝角，则A8的长的取值范围

是5<AB<7.

【分析】由三角形的性质可得BC-AC<4B<AC+BC,将AC、BC的值代入该不等式求

出AB的取值范围.

【解答】解：由三角形的性质得：

BC-AC<AB<AC+BC（三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边），

即：4-3<AB<4+3,\<AB<1.

为钝角，

边最长，

故答案为：5<AB<1.

五.三角形的外角性质（共1小题）

6.（2022•鼓楼区校级二模）如图，在△ABC中，AB=AC,/A=55°,P是AB上的一个

动点，则NAPC的度数可能是（）

【分析】如图，连接CP.利用三角形的外角的性质判断即可.

【解答】解：如图，连接CP.

：.ZB=ZACB=1.（180°-55°）=62.5°,

2

NAPC=NB+/PCB,

：.62.5°<ZAPC<125°,

故选：C.

六.全等三角形的判定（共1小题）

7.（2022•建邺区二模）如图，在AABC中，AB=AC.为证明“等边对等角”这一结论，

常添加辅助线AD,通过证明△ABO和△ACO全等从而得到角相等.下列辅助线添加方

法和对应全等判定依据有错误的是（）

A

A.角平分线AD,全等依据SAS

B.中线AO,全等依据SSS

C.角平分线AD,全等依据“L

D.高线AD,全等依据HL

【分析】根据全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质对

各项进行分析即可.

【解答】解：人当AD是角平分线时，则利用SAS可判定△4BDZ4AC。，从而可解，

故A不符合题意；

B、当是中线时，则利用SSS可判定△ABO四△AC。，从而可解，故B不符合题意；

C、当AO是角平分线时，则利用SAS可判定△ABQ也△*£>,从而可解，故C符合题意;

D、当40是角平分线时，则利用SAS可判定△ABO四△4CD,从而可解，故。不符合

题意；

故选：C.

七.全等三角形的判定与性质（共1小题）

8.（2022•南京二模）如图，在△ABC中，点。在AC上，BD平分NABC,延长BA到点E,

使得BE=BC,连接。E.若NAOE=38°,则NAOB的度数是（）

【分析】先证明△8DE丝△8QC(SAS),可得NBDE=NBDC,根据NAQB+NC£>8=

180°,即可求出ZADB的度数.

【解答】解：•••8。平分NABC,

：.NEBD=NCBD,

在△8OE和△BOC中，

fBE=BC

<ZEBD=ZCBD«

BD=BD

:.ABDE沿4BDC（SAS）,

:.NBDE=NBDC,

\'ZADE=3S0,

：.ZBDC^ZADB+3S°,

：.ZADB+ZADB+3S°=180°,

AZADB=1\0,

故选：C.

A.线段垂直平分线的性质（共1小题）

9.（2022秋•南京期末）在△ABC中，AB的垂直平分线分别交48、BC于点D、E,AC的

垂直平分线分别交AC、BC于点RG,若NE4G=20°,则NB4C=80°或100°.

【分析】当/54C为锐角时，如图1,设NBAG=a,ZCAE=p,根据线段垂直平分线

性质可得：ZABC=ZEAB=20°+a,NC=NCAG=p+20°,再运用三角形内角和定理

即可求得答案.当N2AC为钝角时，如图2,根据线段垂直平分线性质可得：NB=NEAB,

ZC=ZCAG,ZBAC=ZB+20°+ZC,再结合三角形内角和定理即可求得答案.

【解答】解：当NBAC为锐角时，如图1,设NBAG=a,NC4E=B，

VZEAG=20°,

：.ZEAB=ZEAG+ZBAG=20°+a,ZCAG=ZCAE+ZEAG=p+20°,ZBAC=

■:DE、尸G分别垂直平分AB、AC,

：.ZABC=ZEAB,ZC=ZCAG,

VZBAC+ZABC+ZC=180°,

/.a+p+20°+20°+a+p+20°=180°,

；.a+B=60°,

...N8AC=a+B+20°=60°+20°=80°；

当NBAC为钝角时，如图2,

,:DE、FG分别垂直平分AB、AC,

：.ZB=ZEAB,ZC=ZCAG,

.•./BAC=/E48+NE4G+NC4G=/B+20°+ZC,

VZBAC+ZB+ZC=180°,

AZB+20°+ZC+ZB+ZC=180°,

AZB+ZC=80°,

AZBAC=180°-80°=100°；

综上所述，/BAC=80°或100°.

故答案为：80°或100°.

九.等腰三角形的判定（共1小题）

10.（2022•秦淮区一模）如图，M,N是乙4OB的边OA上的两个点（OM<ON）,ZAOB

=30°,OM=a,MN=4.若边OB上有且只有1个点P,满足△PMN是等腰三角形，

则4的取值范围是。=4或4>8.

【分析】分两种情况，①作线段MN的垂直平分线交。8于点尸，连接PM,PN,过点M

作MHLOB于点H,当时，。=8,即可求出“的取值范围；②当△PMN是等

边三角形时，根据等边三角形的性质可得OA/=MP=MN,求出“，即可确定a的取值范

围.

【解答】解：①作线段MN的垂直平分线交OB于点P,连接PM,PN,如图所示：

则此时是等腰三角形，

过点M作MHLOB于点H,

当MH>MN,满足条件的点P恰好只有一个，

,:MN=4,NAO8=30°,

当MH=4时，OM=2MH=8,

/.当«>8时，满足条件的点P恰好只有一个，

②当△PMN是等边三角形时，满足条件的点P恰好只有一个,

此时MN=MP,NNMP=60°,

VZAOB=30°,

，NMPO=30°,

・・・0M=MP=MN=4,

•・a=4,

综上，满足条件的a的取值范围：a=4或a>8,

故答案为：a=4或a>8.

一十.等边三角形的判定与性质（共1小题）

11.（2022•玄武区二模）如图，在平面直角坐标系中，△AOB是等边三角形，点8在x轴

上，C,。分别是边A。，A8上的点，且C力〃08,OC=2AC,若C£>=2,则点A的坐

【分析】根据三角形相似，可以求得8。的长，然后根据等边三角形的性质即可得到点A

的坐标.

【解答】解：•••CD〃08,

.".△ACD^AAOB,

•CDAC

^OB"AO'

'：OC=2AC,CD=2,

：.A0=3AC,

•.--2-一■1',

OB3

解得OB=6,

作4E_L0B于点E,

•••△AOB是等边三角形，

.•.OE=」OB=3,OA=OB=f>,

2

22

・"E=VOA-OE=V62-32=3Vs.

.♦.点A的坐标为（3,3折,

故答案为：（3,3加）.

一十一.直角三角形斜边上的中线（共1小题）

12.（2022•雨花台区校级模拟）如图，四边形ABCD中，ZABC=ZADC=90",ABCD

=135°,连接AC、BD.M是AC的中点，连接BM、DM.若AC=10,则的面

积为25.

一2一

【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=QM=Uc,根据等边

2

对等角可得ZCAB=ZABM,ZDAC=ZADM,再根据三角形的一个

外角等于与它不相邻的两个内角的和可得即可得△BCM是等腰直角

三角形，即可求解.

【解答】解：•.•NA8C=NAQC=90°,M是AC的中点，

BM=DM=1AC=AM=5,

2

NMBD=NMDB,ZCAB=ZABM,ZDAC=ZADM,

由三角形的外角性质得，NBMC=ZABM+ZCAB^2ZBAC,

NCMD=ZADM+ZDAC=2ZDAC,

；.NBMD=NBMC+NCMD=2CZBAC+ZDAC）=2/BAD,

四边形ABC。中，ZABC=ZADC=90°,NBC。=135°,

：.ZBAD=45°,

：.NBMD=2/BAD=90°,

5X5=25.

222

故答案为：25.

2

一十二.勾股定理（共4小题）

13.（2022秋•南京期末）如图，在等腰RtZXACB中，ZACB=90°,AC=BC,且AB=2&,

以边AB、AC、BC为直径画半圆，其中所得两个月形图案AFCZ）和BGCE（图中阴影部

分）的面积之和等于（）

AB

A.8B.4C.2D.4A/2

【分析】由等腰三角形的性质及勾股定理可求解AC=CB=2,进而可求得SAACB=2,再

利用阴影部分的面积=以AC为直径的圆的面积+ZVICB的面积-以AB为直径的半圆的

面积计算可求解.

【解答】解：在等腰RtZXACB中，NACB=90°,AC=BC,AB=2七

r.AC2+BC1=AB2=S,

；.AC=CB=2,

：.SMCB=1AC'BC=2,

2

22

困彩=TT+SAACB-—TT

222

=n+2-IT

=2,

故选：C.

14.（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线0M上一动点（P不与B重合），ZAOM

=45°,OA=2,当OP=后或2或2折时,△Q4P是等腰三角形.

【分析】分三种情况，当OP=AP,OA=AP,OA=。尸时，由等腰三角形的性质可求出

答案.

【解答】解：当AAOP为等腰三角形时，分三种情况：

①如图，OP=AP,

：.ZAPO=90°,

：.OP=M；

②如图，

③如图，OA=AP,

；.NO=/APO=45°,

：.NA=90°,

六0P^VAO2+AP2=722+22=2V2.

综上所述，OP的长为&或2或2加.

故答案为：&或2或2近.

15.(2022•南京一模)如图，在AABC中，AB=2,N4CB=60°,DCLBC,DC=BC,

则AD的长的最大值为±

【分析】过点。作DEJ_4C,交AC延长线于E,由含30°角的直角三角形的性质得OE

=」C£>,设DC=8C=x,AC=y，则£>E=L,CE=Y3，再由勾股定理得

222

212

=()，+乎.*)2+(/)=x+y+y/3xy,当x=y时，A。最大，此时，△ABC为等边三

角形，则x=y=AB=2,AE)1=j?+y2=8+4-/§>即可解决问题.

【解答】解：过点。作。ELAC,交AC延长线于£如图所示：

4cB=60°,DC±BC,

AZDC£=180°-60°-90°=30°,

：.DE=1.CD,

2

设。C=8C=x,AC=y,

22

则DE=Xx,CE=>/CD-DE—，x?-(*x)2=,

：.AE=AC+CE=y+^-x,

-2

在RtAWE中，由勾股定理得：AD2=AE1+DE1^(y+运r)2+(工)2=/+/+愿冲,

22

•:(x-y)2》0,

(7+y2),

2

当x=y时，取等号，

/.AD2=x2+y2+V3xy(/+/),

2

・•・当x=y时，A£>最大，

VZACB=60°,

・・・AO最大时，△ABC为等边三角形，

止匕时，x=y=AB=2,

4£)2=/+y2+2£jj(/+9)=22+22+2Lzl(22+22)=8+4^3，

22

VAD>0,

・,.AO=&+&,

故答案为：V6+V2-

16.（2022•玄武区一模）如图，A5是半圆。的直径，C,。是半圆。上的点，连接CD,

AC,O。，且AB=4,OD//AC,设CD=x,AC=y,则y与尢之间的函数表达式为y

【分析】连接8C,交OD于点、E,根据圆周角定理得到NAC8=90°,根据平行线的性

质得出/OE8/CE£>=90°,根据勾股定理得出0E=2-12,根据题意推出0E是AABC

的中位线，根据三角形中位线性质即可得解.

【解答】解：连接BC,交0D于点E,

是半圆。的直径，

AZACB=90a,

,JOD//AC,OA=OB,

:.NOEB=NCED=NACB=90°,CE=BE,

：.CE2=CD1-DE2,B伊=OB2-OE2,

CD2-D?=()B2-OE2,

,:CD=x,0B=0D=2,

.".x2-DE2^!2-(2-DE)2,

：.DE=1^,

0E=2-Xr2,

4

"：OA=OB,CE=BE,

，0E是△ABC的中位线,

：.AC=2OE,

■：AC=y,

故答案为：y=4-Xx2

2

一十三.勾股定理的逆定理（共1小题）

17.（2022•鼓楼区二模）在aABC中，AB=2,AC=\,8C=代.若点P在aABC内部（含

边界）且NPBCWNPCBWNPBA,则所有满足条件的P组成的区域的面积为三二

373

8.

【分析】作△ABC,作8c的垂直平分线OE交/ABC的角平分线8。于点。，作△BC。

的外接圆弧，圆心为O,连接OB,OC,OE,利用NPBCWNPCBWNP8A,判断出点P

所在区域，利用扇形COD的面积减去△OCE的面积即可求解.

【解答】解：如图，作△ABC,作BC的垂直平分线QE交/ABC的角平分线于点£),

作△8C。的外接圆弧，圆心为0,连接08,0C,0E,

：.ZACB=90°,

；sin/A=^=近，

AB2

AZA=60°,ZABC=30Q,

•：NPBCWNPBA,

.•.点P在B£＞左侧，

'：ZPBC^ZPCB,

...点P在DE下侧，

,:BC=M，

：.CE=J^,

2

VADBE=1.ZABC=15°,

2

:.NBDE=90°-NDBE=15°,

AZ2ZBD£=150°,

当点P在圆弧CD上时，N8PC=NBDC=150°,

：.ZPBC+ZPCB=30°,

'：ZPBC+ZPBA^30°,

J.ZPCB^ZPBA,

:NPCBWNPBA,

.•.点P在圆弧内侧，

'：OB=OC=OD,

：.ZOBD=ZODB=15°,

:.NOBE=60°,

.♦.△OBC为等边三角形，

：.OB=OC=BC=M，ZOCD=30°,

在RtZXOCE中，由勾股定理可得：

0£=VOC2-CE2=-1,

:.S扇形。S^OCE——CE'OE=~^>,

360428

...点P组成的区域的面积为工r-3巨，

48

故答案为：工n-虺叵.

48

一十四.三角形中位线定理（共1小题）

18.（2022•雨花台区校级模拟）如图，A8是池塘两端，设计一方法测量AB的距离，取点C,

连接AC、BC,再取它们的中点。、E,测得OE=15米，则AB=30米.

【分析】根据三角形的中位线定理得出AB=2OE,再代入求出答案即可.

【解答】解：连接AB,

；D、E分别是AC、8c的中点，

J.DE^IAB,

2

即AB=2DE,

'：DE=15米，

：.AB=30（米），

故答案为：30.

一十五.平行四边形的性质（共4小题）

19.（2022•鼓楼区校级二模）如图，在。4BCO中，ZABC,/BCO的平分线分别交A力于

点E,F.若A8=dCF=b,则BE的长为4a2-b2—•（用含外人的代数式表示）

AEFD

【分析】过点E作E”〃AB交BC于“，连接A”，AH交BE于。，证四边形AB”E是

菱形，得A”_LBE,OB=OE,OA=OH,A”平分/8A。，再证四边形AHCF是平行四

边形，得AH=C尸=6,贝U。4=工4”=上，然后由勾股定理得0B=''4a2-b2,即可

222

得出结论.

【解答】解：过点E作EH〃AB交BC于H,连接A”，AH交BE于0,如图所示：

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD//BC,NBAD=NBCD,

：.NAEB=ZEBH,

四边形是平行四边形，

「BE平分NABC,

NABE=NEBH,

：.AB=AE,

四边形A8HE是菱形，

：.AH±BE,OB=OE,OA=OH,AH平分/8A£),

ZAHB=ZHAD=^ZBAD,

2

平分/BCD,

;.NFCB=LNBCD,

2

：.NAHB=NFCB,

：.AH//CF,

四边形A”CF是平行四边形，

：.AH=CF=b,

.,.OA=^AH=—,

22

在RtZXAOB中，由勾股定理得：OB=JAB2-0A2=荷-(2=442；式

：.BE=20B=V4a2-b2t

故答案为：J4a2-b2.

20.(2022•南京二模)在平面直角坐标系中，的顶点坐标为A(1,5),8(-1,1),

C(3,2),则点。的坐标是(5,6)

【分析】利用平行四边形的判定可得结论.

【解答】解：•••DABCQ的顶点坐标为A(1,5),B(-1,1),C(3,2),

点D的坐标是(5,6),

故答案为：(5,6).

21.(2022•鼓楼区二模)如图，正六边形A8CQEF与平行四边形GHMN的位置如图所示，

若N4BG=19°,则NNMD的度数是41°.

【分析】由平行四边形的性质得GH〃MM则再由正六边形的性质得力

ABC^ZBCD=12O°,则/8C〃=180°-ZBCD=60°,然后由三角形的外角性质得

NH=NGBC-NBCH=4l°,即可解决问题.

【解答】解：•••四边形GHMN是平行四边形，

GH//MN,

：.ZNMD=ZH,

六边形ABCDEF是正六边形，

:.ZABC=NBCD=(6-2)X180°X2=120°,

6

AZBC//=180°-ZBCD=60°,

VZGBC=AABC-ZABG=120°-19°=101°,

：.ZH=ZGBC-ZBCH=IO\°-60°=41°,

:.NNMD=4l°,

故答案为：41.

22.(2022•南京一模)如图RtzXABC中，ZBAC=90°,AB=2,AC=4,点尸为8c上任

意一点，连接力，以物，PC为邻边作平行