浙江省金华市聚仁教学集团2022年中考冲刺卷数学试题含解析

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.下列四个图形中，是中心对称图形的是（）

3.一个正比例函数的图象过点（2,-3）,它的表达式为（）

2

D.y=--x

3

4.如图是由四个相同的小正方体堆成的物体，它的正视图是（)

5.据统计，某住宅楼30户居民五月份最后一周每天实行垃圾分类的户数依次是：27,30,29,25,26,28,29,那

么这组数据的中位数和众数分别是（）

A.25和30B.25和29C.28和30D.28和29

6.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E,使DE=AD,连接EB,EC,DB.添加一个条件，不能使四

边形DBCE成为矩形的是（）

E

A.AB=BEB.BE1DCC.ZADB=90°D.CE1DE

7.二次函数y=-（x-1）2+5,当mWxgn且mnVO时，y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为（）

531

A.-B.2C.-D.一

222

8.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，则该几何体的主视图是（）

9.如图，立体图形的俯视图是（）

io.估计J3T的值在（）

A.4和5之间B.5和6之间C.6和7之间D.7和8之间

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.己知点A（2,4）与点B（b-1,2a）关于原点对称，则ab=.

12.-1J的倒数是.

13.如图，边长为4的正方形ABCD内接于。O,点E是弧AB上的一动点（不与点A、B重合），点F是弧BC上的

一点，连接OE,OF,分别与交AB,BC于点G,H,且NEOF=90。，连接GH,有下列结论：

①弧AE=MBF；②△OGH是等腰直角三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④46811周长

的最小值为4+2。.

其中正确的是.（把你认为正确结论的序号都填上）

14.若代数式JU在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为

15.如图，在DABCD中，用直尺和圆规作NBAD的平分线AG,若AD=5,DE=6,则AG的长是

16.如图，矩形ABC0中，AB=8,BC=6,尸为AO上一点，将△A5尸沿5尸翻折至△EBP,PE与CD相交于点。,

BE与CD相交于点G,且0E=。。，则4尸的长为

17.如图，小红将一个正方形纸片剪去一个宽为4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5cm的长条,

且剪下的两个长条的面积相等.问这个正方形的边长应为多少厘米？设正方形边长为xcm,则可列方程为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，AD是。O的直径，AB为。O的弦，OPLAD,OP与AB的延长线交于点P,过B点的切线交

OPT•点C.求证：ZCBP=ZADB.若OA=2,AB=L求线段BP的长.

19.（5分）如图，在△ABC中，ZC=90°,E是BC上一点，ED1AB,垂足为D.

求证：△ABCS/\EBD.

c

E

ADB

20.（8分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到△ACD,再将AACD沿DB方向

平移到△AX7D，的位置，若平移开始后点D，未到达点B时，A，C，交CD于E,D9,交CB于点F,连接EF,当四边形

EDD，F为菱形时，试探究AAHDE的形状，并判断△A，DE与AEFC，是否全等？请说明理由.

21.（10分）P是G）C外一点，若射线PC交OC于点A,B两点，则给出如下定义：若0<PA-PBW3,则点P为©C

的“特征点”.

（D当。0的半径为1时.

①在点「5,0）、匕（0,2）、%（4,0）中，。0的“特征点，，是；

②点p在直线y=x+b上，若点p为。。的“特征点”,求b的取值范围；

（2）0C的圆心在X轴上，半径为1,直线y=x+l与X轴，y轴分别交于点M,N,若线段MN上的所有点都不是。c

的“特征点”，直接写出点C的横坐标的取值范围.

为

6-

5-

3

2

-6-5-4-3-2-1,123456X

-2

-3

-4

-5

-6

22.（10分）（1）问题发现

AB

如图1,在R3ABC中，ZA=90°,彳方=1,点P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

连接CD.

PB

（1）①求诊的值；②求/ACD的度数.

（2）拓展探究

AB

如图2,在RtAABC中，ZA=90°,—=k.点P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=90°,ZAPD=ZB,

AC

连接CD,请判断NACD与NB的数量关系以及PB与CD之间的数量关系，并说明理由.

（3）解决问题

如图3,在△ABC中，ZB=45°,AB=44，BC=12,P是边BC上一动点（不与点B重合），ZPAD=ZBAC,

23.（12分）如图，在RSABC中，ZC=90°,O为BC边上一点，以OC为半径的圆O,交AB于D点，且AD=AC,

延长DO交圆O于E点，连接AE.求证：DELAB；若DB=4,BC=8,求AE的长.

24.（14分）如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过4、8两点，4、5两点的坐标分别为（-1,0）、（0,-3）.求抛物

线的函数解析式；点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点。为y轴上一点，且。C=Z）E,求出点

。的坐标；在第二问的条件下，在直线。E上存在点P,使得以C、尸为顶点的三角形与△OOC相似，请你直接写

出所有满足条件的点尸的坐标.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

试题分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项错误；

C、不是中心对称图形，故本选项错误；

D、是中心对称图形，故本选项正确；

故选D.

考点：中心对称图形.

2、B

【解析】

连接OA、OC,然后根据圆周角定理求得NAOC的度数，最后根据弧长公式求解.

【详解】

连接OA、OC,

'：ZADC=60°,

：.ZAOC=2ZADC=120°,

则劣弧AC的长为：I"":6=4上

1oU

故选B.

nnr

本题考查了弧长的计算以及圆周角定理，解答本题的关键是掌握弧长公式/

180

3、A

【解析】

利用待定系数法即可求解.

【详解】

设函数的解析式是y=kx,

3

根据题意得：2k=-3,解得：k=--.

3

函数的解析式是：y=--x.

故选A.

4、A

【解析】

【分析】根据正视图是从物体的正面看得到的图形即可得.

【详解】从正面看可得从左往右2列正方形的个数依次为2,1,

如图所示：

出

故选A.

【点睛】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图.

5、D

【解析】

【分析】根据中位数和众数的定义进行求解即可得答案.

【详解】对这组数据重新排列顺序得，25,26,27,28,29,29,30,

处于最中间是数是28,

.•.这组数据的中位数是28,

在这组数据中，29出现的次数最多，

二这组数据的众数是29,

故选D.

【点睛】本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握众数和中位数的概念是解题的关键.一组数据中出现次数

最多的数据叫做众数，一组数据按从小到大（或从大到小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）

是这组数据的中位数.

6、B

【解析】

先证明四边形DBCE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答.

【详解】

V四边形ABCD为平行四边形，

，AD〃BC,AD=BC,

又；AD=DE,

；.DE〃BC,且DE=BC,

二四边形BCED为平行四边形，

A、VAB=BE,DE=AD,ABDIAE,.•—DBCE为矩形，故本选项错误；

B、•.•对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不一定为矩形，故本选项正确；

C、VZADB=90°,.\ZEDB=90o,二。DBCE为矩形，故本选项错误；

D、VCEXDE,；.NCED=90。，；.。DBCE为矩形，故本选项错误，

故选B.

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定等，熟练掌握相关的判定定理与性质定理是解题的关键.

7、D

【解析】

由m<x<n和mn<0知m<0,n>0,据此得最小值为1m为负数，最大值为In为正数.将最大值为In分两种情况，

①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出.②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由

x=n求出，最小值只能由x=m求出.

【详解】

解：二次函数y=-(x-1)i+5的大致图象如下：

①当mSOWxWnVl时，当x=m时y取最小值，即lm=-(m-1)i+5,

解得：m=-1.

当x=n时•y取最大值，即ln=-(n-1)i+5,解得：n=l或n=-1(均不合题意，舍去);

②当mWOWxglWn时，当x=m时y取最小值，即lm=-(m-1)i+5,

解得：m=-1.

5

当x=l时y取最大值，即ln=-(1-1)1+5,解得：n=—,

或x=n时y取最小值，x=l时/取最大值，

5

lm="(n-1)i+5,n=—,

2

11

,m=T,

Vm<0,

此种情形不合题意，

51

所以m+n=-l+-=—.

8、A

【解析】

试题分析：观察图形可知，该几何体的主视图是.故选A.

考点：简单组合体的三视图.

9、C

【解析】

试题分析：立体图形的俯视图是C.故选C.

考点：简单组合体的三视图.

10、C

【解析】

,:用〈国〈晒,

••.6〈闻<7.

即我的值在6和7之间.

故选C.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解析】

由题意，得

b-l=-l,la=-4,

解得b=-l,a=-l,

/.ab=(-l)x(-l)=l,

故答案为1.

2

⑵-3

【解析】

,13322

先把带分数化成假分数可得：-1]=一工,然后根据倒数的概念可得：一]的倒数是一9,故答案为：-y.

13、①②④

【解析】

①根据ASA可证ABOE丝△COF,根据全等三角形的性质得到BE=CF,根据等弦对等弧得到AE=5尸，可以判断

①；

②根据SAS可证△BOG丝△COH,根据全等三角形的性质得到NGOH=90。，OG=OH,根据等腰直角三角形的判定

得到△OGH是等腰直角三角形，可以判断②；

③通过证明△HOM^AGON,可得四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，可以判断③；

④根据△BOGgZXCOH可知BG=CH,贝ijBG+BH=BC=4,设BG=x,则BH=4-x,根据勾股定理得到

GH=1BG2+8H2=履+(4二E,可以求得其最小值，可以判断④.

【详解】

,/ZBOE+ZBOF=90°,ZCOF+ZBOF=90°,

.".ZBOE=ZCOF,

在△!?0£与4COF中,

OB=OC

<NBOE=ZCOF,

OE=OF

..△BOE四△COF,

；.BE=CF,

AE=BF，①正确;

②；OC=OB,ZCOH=ZBOG,ZOCH=ZOBG=45°,

..△BOG四△COH；

/.OG=OH,ZGOH=90°,

.•.△OGH是等腰直角三角形，②正确.

二四边形OGBH的面积始终等于正方形ONBM的面积，③错误；

©VABOG^ACOH,

；.BG=CH,

.\BG+BH=BC=4,

设BG=x,则BH=4-x,

则GH=jBGz+BH?=.+(4-,

,其最小值为4+2",④正确.

故答案为：①②④

【点睛】

考查了圆的综合题，关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，等弦对等弧，等腰直角三角形的判定，勾股定理，面

积的计算，综合性较强.

14、x<l

【解析】

根据二次根式有意义的条件可求出x的取值范围.

【详解】

由题意可知:1-x>0,

X<1

故答案为：X<1.

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是利用被开方数是非负数解答即可.

15、2

【解析】

试题解析：连接EG,

DGC

/V定""7

4EB

•.•由作图可知AD=AE,AG是/BAD的平分线,

.AG±DE,OD=-DE=1.

2

•.•四边形ABCD是平行四边形，

；.CD〃AB,

/2=/1,

.,.Z1=Z1,

/.AD=DG.

.AG_LDE,

1

.••OA=-AG.

2

在RtAAOD中，OA=JA£>2—002=J52-3；=4,

/.AG=2AO=2.

故答案为2.

16、4.1

【解析】

解：如图所示：•.,四边形ABCD是矩形，

.,.ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,CD=AB=1,

根据题意得：AABP丝

；.EP=AP,ZE=ZA=90°,BE=AB=L

在4ODP和△OEG中,

[zrtzB

,_lCTe，KC

/.△ODP^AOEG(ASA),

；.OP=OG,PD=GE,

；.DG=EP,

设AP=EP=x,则PD=GE=6-x,DG=x,

ACG=1-x,BG=1-(6-x)=2+x,

根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2,

即62+(1-X)2=(X+2)2,

解得：x=4.1,

.\AP=4.1；

【解析】

按照面积作为等量关系列方程有4x=5（x-4）.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）BP=1.

【解析】

分析：（1）连接OB,如图，根据圆周角定理得到NABD=90。，再根据切线的性质得到/OBC=90。，然后利用等量代

换进行证明；

（2）证明AAOPs^ABD,然后利用相似比求BP的长.

详（1）证明：连接OB,如图，

JD

O

TAD是。。的直径，

・・・ZABD=90°,

:.ZA+ZADB=90°,

VBC为切线，

AOB1BC,

AZOBC=90°,

:.ZOBA+ZCBP=90°,

而OA=OB,

:.ZA=ZOBA,

.\ZCBP=ZADB；

(2)解：VOP±AD,

・・・ZPOA=90°,

/.ZP+ZA=90°,

:.ZP=ZD,

AAAOP^AABD,

APAO1+BP2

---=----,即-------=一,

ADAB41

ABP=1.

点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图,

得出垂直关系.也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质.

19、证明见解析

【解析】

试题分析：先根据垂直的定义得出NED3=90。，故可得出NEZM=NC.再由=根据有两个角相等的两三角

形相似即可得出结论.

试题解析：

：.ZEDB=90°.

VZC=90°,

・•・ZEDB=ZC.

■:ZB=ZB,

：.AABCS.EBD.

点晴：本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键.

20、z\A，DE是等腰三角形；证明过程见解析.

【解析】

试题分析:当四边形EDD下为菱形时，AA'DE是等腰三角形，4A-DE四△EFCL先证明CD=DA=DB,得到

ZDAC=ZDCA,由AC〃A，C即可得到NDA，E=NDEA，由此即可判断△DA，E的形状.由EF〃AB推出

ZCEF=ZEAD,ZEFC=ZADC=ZADE,再根据A'D=DE=EF即可证明.

试题解析：当四边形EDD'F为菱形时，AADE是等腰三角形，△A，DEg^EFC，.

理由：•••△BCA是直角三角形，ZACB=90°,AD=DB,

ACD=DA=DB,

AZDAC=ZDCA,

,・WC〃AC

AZDAE=ZA,ZDEAr=ZDCA,

AZDArE=ZDEAS

DAr=DE,

AAADE是等腰三角形.

・・•四边形DEFD，是菱形，

.\EF=DE=DASEF〃D>,

/.ZCEF=ZDArE,ZEFC=ZCDAr,

VCD/7C

:.ZADE=ZADC=ZEFC,

在△A，DE和△EFC中，

AAADE^AEFC\

cc

考点：1.菱形的性质；2.全等三角形的判定；3.平移的性质.

21、⑴①P|Q,O）、P,（0,2）；②（2）m>2/-1或，m<—2/—1.

【解析】

（1）①据若0<E4•必W3,则点p为0C的“特征点”，可得答案;

②根据若0<?A-P8W3,则点P为。。的“特征点”，可得小W2,根据等腰直角三角形的性质，可得答案;

（2）根据垂线段最短，可得PC最短，根据等腰直角三角形的性质，可得CM=J，PC,根据若0<姑―尸8«3,则

点P为的“特征点”，可得答案.

【详解】

解：（1）①PAPB=Ql—I）x（yi+1）=2—I=l,.•.0<PA.PBV3,

；5，。）是0

点P。的“特征点，;

PAPB=（2-l）x（2+l）=3=l,.-.0<PAPB<3,

点P,（0,2）是0。的“特征点”；

PAPB=（4-l）x（4+l）=15,.-.PAPB>3,

点P,（4,0）不是°。的“特征点”；

故答案为［（乃，0）、P（0,2）

在丫=*+1?上，若存在。。的“特征点”点p,点o到直线y=x+b的距离m<2.

直线y=x+R交y轴于点E,过O作OH_L直线y=x+,于点H.

因为0H=2.

在Rt^DOE中，可知0E=2".

可得R=27T同理可得b,=-20.

，b的取值范围是：-2^（bW2jW

（2）如图2

设C点坐标为（m,0）,

直线y=x+l,...ZCMP=45.

PCIMN,,-.ZCPM=90,

MC=V2PC,PC=fMC.

MC=m+l.

PC=22MC=3(m+l)

22

PA=PC-1=+PB=PC+1="(m+l)+1

22

•••线段MN上的所有点都不是0C的，，特征点”,

.•.PAPB>3,

—(m+l)-l巫(m+1)+1=l(m+l)2-l>3,

即

22

解得m>2/一1或m<-25/2-1,

点C的横坐标的取值范围是m〉2j，—1或，m<-272-1.

故答案为：（1）①P|Q，O）、P（0,2）.②一2戊八二20；⑵m>2彘一1或，m<-2jl—1.

【点睛】

本题考查一次函数综合题，解（1）①的关键是利用若0<胡•依<3,则点P为。C的“特征点”；解（1）②的关键是

利用等腰直角三角形的性质得出OE的长；解（2）的关键是利用等腰直角三角形的性质得出

PC=gMC=巫(〃7+l),又利用了

22

PBAB

22、(1)1,45°；(2)ZACD=ZB,—=—=k；

【解析】

PB

⑴根据已知条件推出△ABP丝ZXACD,根据全等三角形的性质得到PB=CD,ZACD=ZB=45°,于是得到—=1；

（2）根据已知条件得到△ABCs^APD,由相似三角形的性质得到\£=篇=%,得到ABPs^CAD,根据相似

三角形的性质得到结论;

（3）过A作AHLBC于H,得到^ABH是等腰直角三角形，求得AH=BH=4,根据勾股定理得到

__________ABAP

AC=JA”2+C"2=4J5,PH=yJPA2-AH2=3,根据相似三角形的性质得到Ar=An>推出

ACZljLX

△ABP-ACAD,根据相似三角形的性质即可得到结论.

【详解】

(1)VZA=90°,

竺二1，

AC

AAB=AC,

:.ZB=45°,

VZPAD=90°,ZAPD=ZB=45°,

AAP=AD,

AZBAP=ZCAD,

在△ABP与△ACD中，

AB=AC,ZBAP=ZCAD,AP=AD,

..△ABP^AACD,

APB=CD,ZACD=ZB=45°,

PB

CD=1

(2)ZACD=^B,-=-=k,

CDAC

VZBAC=ZPAD=90°,ZB=ZAPD,

..△ABC^AAPD,

ABAP

AC^AD

'：ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD=90°,

/•ZBAP=ZCAD,

.".△ABP^ACAD,

.••ZACD=ZB,

PBAB,

----=-----=k,

CDAC

(3)过A作AH±BC于H,

c

图3

,:ZB=45°,

•二△ABH是等腰直角三角形,

,/AB=4@

.\AH=BH=4,

VBC=12,

ACH=8,

・・・AC=RAH2+CH2=4邪,

•**PH=JPA2-AH2=3,

APB=1,

VZBAC=ZPAD=,ZB=ZAPD,

AAABC^AAPD,

.AB_AP

••前一亚‘

■:ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD,

AZBAP=ZCAD,

AAABP^ACAD,

ABPB4J21

・•.一=—,B|J—U=—,

ACCD475CD

CD=-------

2

过A作AH1BC于H,

图4

VZB=45°,

..△ABH是等腰直角三角形，

•・,AB=4版,

AAH=BH=4,

VBC=12,

ACH=8,

:.AC=[AH2+CH2=475,

・，♦PH=JPA2-AH2=3,

APB=7,

VZBAC=ZPAD=,ZB=ZAPD,

AAABC^AAPD,

.AB_AP

**AC-AD，

■:ZBAP+ZPAC=ZPAC+ZCAD,

AZBAP=ZCAD,

..△ABP^ACAD,

ABPB4J27

•*.----,即=-,

ACCD4GCD

•••3孚

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定

和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.

23、(1)详见解析；(2)60

【解析】

(1)连接CD,证明ZODC+ZADC=90°即可得到结论；

(2)设圆O的半径为r,在R3BDO中，运用勾股定理即可求出结论.

【详解】

(1)证明：连接CD,

；OD=OC

：./ODC=ZOCD

•;AD=AC

ZADC=ZACD

,；NOCD+ZACD=90°,;.NODC+ZLADC=90,.\DE1AB.

(2)设圆O的半径为厂，.，.42+r2=(8-r>,；.r=3,

设AD=AC=x,:.xn-82=(x+4>,.1x=6,.1.AE=462+62=6孤•

【点睛】

本题综合考查了切线的性质和判定及勾股定理的综合运用.综合性比较强，对于学生的能力要求比较高.

11

24、(1)y=x2-2x-3；(2)D(0,-1)；(3)P点坐标(-9，0)、(^,-2)、(-3,8)、(3,-10).

【解析】

(1)将A,B两点坐标代入解析式，求出b,c值，即可得到抛物线解析式；

(2)先根据解析式求出C点坐标，及顶点E的坐标，设点D的坐标为(0,m),作EFJ_y轴于点F,利用勾股定理表

示出DC,DE的长.再建立相等关系式求出m值，进而求出D点坐标；

(3)先根据边角边证明△COD丝ADFE,得出NCDE=90。，即CDLDE,然后当以C、D、P为顶点的三角形与△DOC

相似时，根据对应边不同进行分类讨论：

OCOD

①当OC与CD是对应边时，有比例式成=万万，能求出DP的值，又因为DE=DC,所以过点P作PGly轴于点G,

利用平行线分线段成比例定理即可求出DGPG的长度，根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐

标；

OCOD

②当OC与DP是对应边时，有比例式万万=—,易求出DP,仍过点P作PGly轴于点G,利用比例式

DGPGDP

k=k=k求出DGPG的长度，然后根据点P在点D的左边和右边，得到符合条件的两个P点坐标；这样，

DFEFDE

直线DE上根据对应边不同，点P所在位置不同，就得到了符合条件的4个P点坐标.

【详解】

解：(1)•.♦抛物线y=x2+bx+c经过A(-1,0)、B(0,-3),