矩阵的初等变换

关于矩阵的初等变换

本章先讨论矩阵的初等变换,给出求逆矩阵的初等变换法；建立矩阵的秩的概念,并提出求秩的有效方法．内容难度较大.引例一、消元法解线性方程组求解线性方程组分析：用消元法解下列方程组的过程．第2页,共43页，2024年2月25日，星期天解第3页,共43页，2024年2月25日，星期天用“回代”的方法求出解：第4页,共43页，2024年2月25日，星期天于是解得

(2)第5页,共43页，2024年2月25日，星期天小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体进行变形，用到如下三种变换：

(1)交换方程次序；(2)以不等于0的数乘某个方程；

(3)一个方程加上另一个方程的k倍．3．上述三种变换都是可逆的．第6页,共43页，2024年2月25日，星期天

由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种变换是同解变换．

因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．若记则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组(1)的增广矩阵)的变换．第7页,共43页，2024年2月25日，星期天定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换:二、矩阵的初等变换

同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)．第8页,共43页，2024年2月25日，星期天

矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换．

初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相同．逆变换逆变换逆变换等价关系的性质：第9页,共43页，2024年2月25日，星期天具有上述三条性质的关系称为等价．例如,两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价用矩阵的初等行变换解方程组(1)：第10页,共43页，2024年2月25日，星期天第11页,共43页，2024年2月25日，星期天第12页,共43页，2024年2月25日，星期天特点：(1)可划出一条阶梯线,线的下方全为零；(2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元．第13页,共43页，2024年2月25日，星期天

例如行阶梯形矩阵的特点:阶梯线下方的元素全为零;每个台阶只有一行,台阶数即是非零行的行数,阶梯线的竖线(每段竖线的长度为一行)后面的第一个元素为非零元,也就是非零行的第一个非零元.都是行阶梯形矩阵.第14页,共43页，2024年2月25日，星期天

注意：行最简形矩阵是由方程组唯一确定的,行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．

行最简形矩阵再经过初等列变换,可化成标准形．第15页,共43页，2024年2月25日，星期天例如，第16页,共43页，2024年2月25日，星期天

所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵.

矩阵的行阶梯形、行最简形和标准形的比较：

以引例中的矩阵

B

为例,矩阵B

的行阶梯形、行最简形和标准形分别如下：第17页,共43页，2024年2月25日，星期天

行阶梯形矩阵

特点：阶梯线以下的元素全是0，台阶数即为非零行数,竖线后面的第一个元素为非零元.

行最简形矩阵

特点：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0.

标准形矩阵

特点：左上角为一个单位矩阵,其他位置上的元素全都为0.第18页,共43页，2024年2月25日，星期天

从上面的例子可见,任何矩阵经单纯的初等行变换必能化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,但不一定能化成标准形矩阵,如果再使用初等列变换,则一定能化成标准形矩阵.

将矩阵化为行阶梯形矩阵的方法不是唯一的,所得结果也不唯一.但一个矩阵的标准形是唯一的,这反映了矩阵的另一个属性,即矩阵的秩的概念.

利用初等变换把一个矩阵化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵,是一种很重要的运算.由例可知,要解线性方程组只需把增广矩阵化为行最简形矩阵.第19页,共43页，2024年2月25日，星期天

定义2

由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵

矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.三、初等矩阵的概念第20页,共43页，2024年2月25日，星期天1.对调两行(或两列)第21页,共43页，2024年2月25日，星期天第22页,共43页，2024年2月25日，星期天第23页,共43页，2024年2月25日，星期天第24页,共43页，2024年2月25日，星期天第25页,共43页，2024年2月25日，星期天第26页,共43页，2024年2月25日，星期天第27页,共43页，2024年2月25日，星期天第28页,共43页，2024年2月25日，星期天

性质1

设A是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的m阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的n阶初等矩阵.四、初等矩阵的应用初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵第29页,共43页，2024年2月25日，星期天

性质2

设A为可逆方阵,则存在有限个初等方阵第30页,共43页，2024年2月25日，星期天定理1表明,如果A~B，r即A经一系列初等行变换变为B,则有可逆矩阵P,使PA=B.那么,如何去求出这个可逆矩阵P呢?由于PA=BPA=BPE=PP(A,E)=(B,P)(A,E)~(B,P)，r因此,如果对矩阵

(A,E)作初等行变换,那么,当把A变为B时,E就变为P.第31页,共43页，2024年2月25日，星期天特别地,如果B=E,则P=A-1

，即(A,E)~(E,A-1)r一起,组成一个n2n

矩阵(A,E).对矩阵(A,E)作一系列的初等行变换,将其左半部分化为单位矩阵E,这时其右半部分就是A-1.即(A,E)

初等行变换(E,A-1).将A与E并排放在利用初等变换求逆阵的方法：第32页,共43页，2024年2月25日，星期天例1

设

的行最简形矩阵为F,求F,并求一个可逆矩阵P,使PA=F.解把A用初等行变换化成最简形,即为F,但需求出P,故按前面所述P(A,E)=(F,P).运算如下第33页,共43页，2024年2月25日，星期天故为A的行最简形，为所求的可逆矩阵.P不是唯一的.第34页,共43页，2024年2月25日，星期天

解例2第35页,共43页，2024年2月25日，星期天第36页,共43页，2024年2月25日，星期天即初等行变换第37页,共43页，2024年2月25日，星期天例3解第38页,共43页，2024年2月25日，星期天第39页,共43页，2024年2月25日，星期天列变换列变换第40页,共43页，2024年2月25日，星期天1.初等行(列)变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换