能量法与超静定

关于能量法与超静定

材料力学Ⅱ的主要内容一、能量法二、超静定三、动载荷第2页,共144页,2024年2月25日，星期天考点基本理论与应用知识掌握与能力第3页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-1能量法概述一、基本概念二、基本理论三、基本方法四、典型例题第4页,共144页,2024年2月25日，星期天

1、结构的变形分析2、超静定结构分析3、结构的稳定性分析4、杆件的冲击分析

五、能量法的应用第5页,共144页,2024年2月25日，星期天一、基本概念1、能量法利用功和能的原理求解变形固体的位移、变形和内力等的方法称为能量法。2、变形能在线弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内储蓄的能量，称为弹性变形能或称应变能。第6页,共144页,2024年2月25日，星期天

二、基本理论1、功能原理；

2、克隆原理；3、虚位移原理；4、虚功原理；5、虚力原理；6、互等定理；7、卡氏定理；8、莫尔定理。

第7页,共144页,2024年2月25日，星期天三、基本方法1、能量法2、求导法3、单位载荷法4、图乘法第8页,共144页,2024年2月25日，星期天重点：功能原理、单位载荷法。难点：虚位移、虚功、虚功原理、虚力原

理、虚位移原理。考点：变形能的概念，能量法在超静定、冲击中的应用。第9页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-2弹性杆件的变形能一、轴向拉伸和压缩第10页,共144页,2024年2月25日，星期天二、扭转第11页,共144页,2024年2月25日，星期天三、弯曲纯弯曲：横力弯曲：第12页,共144页,2024年2月25日，星期天杆件基本变形的变形能一、轴向拉伸和压缩二、扭转三、横力弯曲第13页,共144页,2024年2月25日，星期天杆件组合变形的变形能式中：K—剪切形状系数。

矩形K=6/5;圆形K=10/9;圆环K=2。第14页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-3克隆原理

线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。第15页,共144页,2024年2月25日，星期天所有的广义力均以静力方式，按一定比例由O增加至最终值。任一广义位移与整个力系有关，但与其相应的广义力

呈线性关系。第16页,共144页,2024年2月25日，星期天式中：K—剪切形状系数。

矩形K=6/5;圆形K=10/9;圆环K=2。内力表示的克隆原理第17页,共144页,2024年2月25日，星期天重要基本概念1、广义位移（用Δ表示）①线位移:水平位移Δix;竖向位移Δiy;②角位移φi;③相对位移：一对力引起的位移。ΔAB第18页,共144页,2024年2月25日，星期天

2、广义力（用F表示）①广义外力（F、М、R）。②广义内力（N、Q、T、М）。3、实位移和虚位移①实位移—位移是由作功的力自身引起的。②虚位移—位移不是由作功的力自身引起的第19页,共144页,2024年2月25日，星期天

例10-1：试求图示悬臂梁的变形能，并利用功能原理求自由端B的挠度。F解：第20页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-2：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。设EI为常数，试求梁的变形能。LFMeAB⑴弯矩方程⑵变形能解：方法一内力表达式第21页,共144页,2024年2月25日，星期天LFM0AB⑷当F和M0分别作用时⑶克隆定理（方法二外力表达式）第22页,共144页,2024年2月25日，星期天关于变形能的讨论1、上述各能量式仅适用于线弹性材料杆件在小变形下的变形能的计算。2、变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计算，然后积分求得整个杆件的变形能。3、变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不作功时，才可应用叠加原理。第23页,共144页,2024年2月25日，星期天关于变形能的讨论两个以上载荷引起同一种基本变形的变形能，不等于各个载荷引起的变形能的叠加。与当杆件发生两种或两种以上的基本变形时，杆件的总变形能等于各个基本变形的变形能的和。的概念容易混淆，应注意理解。第24页,共144页,2024年2月25日，星期天关于变形能的讨论4、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立地选择坐标系。5、弹性体所受的外力从零缓慢（逐渐）增加到最终值。6、变形能大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应的位移的最终值。第25页,共144页,2024年2月25日，星期天关于变形能的讨论7、对于一般结构剪切变形能比较小通常略去不计。若剪切变形能比较大，不能略去时其计算公式：式中K是与截面形状系数。矩形：K=6/5圆形：K=10/9

第26页,共144页,2024年2月25日，星期天讨论题1﹑弹性体在外力作用下因弹性变形而储存的能量，称为弹性变形能（）。2、弹性体在内力作用下因弹性变形而储存的能量，称为弹性变形能（）。3、在线弹性情况下，力与位移呈线性关系，其变形能随力在做功。不考虑能量损失的情况，力与位移的三角形阴影部分的面积就等于变形能（）。4、弹性变形的大小等于广义力与相对应的广义位移乘积的一半（）。第27页,共144页,2024年2月25日，星期天讨论题5、广义力可以是一个集中力、一个集中力偶、一对集中力、一对集中力偶（）6、广义位移可以是一点的线位移、一个截面的角位移、两点间的相对位移、两个截面的相对角位移（）。7、广义力与广义位移的对应关系，一个集中力对应的广义位移与该力作用点沿该力作用方向的位移（）。第28页,共144页,2024年2月25日，星期天讨论题8、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形能也可以叠加（）。9、对线弹性结构，位移可以叠加，其变形能不可以叠加（）。10、非线弹性结构，位移和变形能都可以叠加（）。11、非线弹性结构，位移和变形能都不可以叠加（）。第29页,共144页,2024年2月25日，星期天讨论题12、当某一种基本变形的变形能由两个以上的载荷共同引起时，该变形能不等于这些载荷单独作用时引起的变形能的叠加（）。13、当杆件发生两种或两种以上基本变形时，杆件的总变形能等于各个基本变形的变形能的和（）。14、在小变形情况下，每一基本变形下的内力分量对其他基本变形并不做功（）。15、变形能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段上的变形能计算，然后积分求得整个杆件的变形能（）。第30页,共144页,2024年2月25日，星期天讨论题16、变形能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理在变形能计算中不能使用。只有当杆件上任一载荷在其他载荷引起的位移上不作功时，才可应用叠加原理（）。17、两个以上载荷引起同一种基本变形的变形能，不等于各个载荷引起的变形能的叠加（）。18、变形能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立地选择坐标系（）。19、变形能大小与加载过程的先后次序无关，而只决定于载荷及其相应的位移的最终值（）。第31页,共144页,2024年2月25日，星期天作业P105

习题：13.1、13.3、13.4。

第32页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-4变形体的虚功原理一、基本概念1、广义位移（用Δ表示）①线位移:水平位移ΔiX竖向位移Δiy②角位移φi③相对位移：一对力引起的位移。ΔAB第33页,共144页,2024年2月25日，星期天

2、广义力（用F表示）①广义外力（F、М、R）。②广义内力（N、Q、T、М）。3、实位移和虚位移①实位移—位移是由作功的力自身引起的。②虚位移—位移不是由作功的力自身引起的第34页,共144页,2024年2月25日，星期天4、实功和虚功①实功—力在实位移上作的功。②虚功—力在虚位移上作的功。5、虚功中力和位移的性质：力和位移彼此独立无关的两种状态。6、求解静定结构位移的基本理论变形体的虚功原理：外力的虚功等于内力的虚功

W外＝W内虚功原理的两种形式：1）虚位移原理：实力状态，虚位移状态。2）虚力原理：实位移状态，虚力状态。第35页,共144页,2024年2月25日，星期天二、求解静定结构位移的基本方法单位荷载法：①积分法，②图乘法三、变形体的虚功原理外力的虚功等于内力的虚功。

W外＝W内第36页,共144页,2024年2月25日，星期天关于虚功原理的讨论1、虚位移是在平衡位置上再增加的位移，杆件原有外力和内力保持不变，且始终是平衡的。2、虚位移应满足边界条件和连续条件且符合小变形要求。3、虚功是杆件上的力在虚位移上所作的功。4、虚功是杆件上的虚力在实位移上所作的功。5、虚位移表示其他因素造成的杆件位移，与杆件的外力和实际位移无关。

第37页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-5互等定理位移发生点荷载作用点F1F2F1F2F1第38页,共144页,2024年2月25日，星期天F2F1第39页,共144页,2024年2月25日，星期天功的互等定理：位移互等定理：第40页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-3求图示简支梁C截面的挠度。第41页,共144页,2024年2月25日，星期天F第42页,共144页,2024年2月25日，星期天例10.4求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。第43页,共144页,2024年2月25日，星期天F第44页,共144页,2024年2月25日，星期天1、在功的互等定理公式的两边可以是不同类的力和位移，如一边是力和线位移的乘积，另一边是力偶和角位移的乘积。2、位移互等定理公式的两边，一边是线位移，另一边可以是角位移。

关于互等定理的讨论第45页,共144页,2024年2月25日，星期天关于互等定理的讨论3、功的互等定理与位移互等定理的两边，也可以是同一点的不同类型的力和位移。4、功的互等定理可以推广到弹性体的两种应力状态，即第一种应力状态在第二种应力状态引起位移上做的功等于第二种应力状态在第一种应力状态引起位移上做的功。

第46页,共144页,2024年2月25日，星期天作业P106习题：13.5。

第47页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-6卡氏定理

卡氏定理是描述变形能与位移之间关系的一个重要定理，是由意大利学者阿•卡斯提里安诺于1879年提出的。主要有卡氏第一定理和卡氏第二定理。

卡氏定理第一定理：弹性杆件的变形能对于杆件上任一位移的偏导数，等于与该位移相应的载荷。第48页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-6卡氏定理卡氏第一定理：弹性杆件的变形能对于杆件上任一位移的偏导数，等于与该位移相应的载荷。第49页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-6卡氏定理卡氏第二定理：

弹性杆件的变形能对于杆件上任一载荷Fi

的偏导数，等于载荷Fi作用点沿Fi方向的相应位移。第50页,共144页,2024年2月25日，星期天§

10-6卡氏定理若只给以增量，其余不变，在作用下，原各力作用点将产生位移变形能的增加量：第51页,共144页,2024年2月25日，星期天略去二阶小量，则：如果把原有诸力看成第一组力，把看作第二组力，根据互等定理：所以：变形能对任一载荷Fi的偏导数，等于Fi作用点沿Fi方向的位移卡氏第二定理第52页,共144页,2024年2月25日，星期天卡氏第二定理求位移的应用横力弯曲：桁架杆件受拉压：轴受扭矩作用：第53页,共144页,2024年2月25日，星期天组合变形的卡氏第二定理第54页,共144页,2024年2月25日，星期天关于卡氏第二定理的讨论1、由于变形能是对截面X积分，而卡氏第二定理是对荷载F求偏导数，因偏导数与积分号无关，故在计算中可以先求后积分。2、适用于线弹性结构在小变形情况下结构位移计算3、若计算结果为正，表示δ与F，的方向相同；若为负，表示δ与F方向相反。

4、式中δ为相应于广义力F的广义位移，若欲求位移处没有相应的载荷，则可以在结构上施加于欲求位移相应的载荷，求得偏导后，再令所加载荷为零（通常称为零载荷法）。5、若结构上作用于不同点的若干个力符号相同（如两个力均为F），求偏导时应将各载荷加以标记，以示区分。第55页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-5利用卡氏定理，试求图示悬臂梁自由端B的挠度。F解：(1)(2)解得：ｆB=FL3/3EI第56页,共144页,2024年2月25日，星期天

例10-6教材P95例13.12利用卡氏定理，试求刚架自由端A的铅垂位移和截面B的转角θB。第57页,共144页,2024年2月25日，星期天作业P87例题13.7；

P107习题13.9。

第58页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-7单位载荷法莫尔积分单位荷载法的证明有三个方法。1、虚功原理；2、能量法；3、卡氏定理。第59页,共144页,2024年2月25日，星期天第60页,共144页,2024年2月25日，星期天第61页,共144页,2024年2月25日，星期天第62页,共144页,2024年2月25日，星期天莫尔定理

（莫尔积分）第63页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-7试用单位荷载法计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。第64页,共144页,2024年2月25日，星期天第65页,共144页,2024年2月25日，星期天

例10-8教材P95例13.12利用单位载荷法，试求刚架自由端A的铅垂位移和截面B的转角θB。第66页,共144页,2024年2月25日，星期天作业

P107习题13.9。

第67页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-8计算莫尔积分的图乘法在应用莫尔定理求位移时，需计算下列形式的积分：对于等直杆的EI，可以提到积分号外，故只需计算积分第68页,共144页,2024年2月25日，星期天直杆的M0(x)图必定是直线或折线。第69页,共144页,2024年2月25日，星期天§10-8计算莫尔积分的图乘法

式中A是М(x）图形的面积；yc是图形中与图形的形心C对应的纵坐标。第70页,共144页,2024年2月25日，星期天应用图乘法的条件：用图乘法计算位移时，梁和刚架的杆件必须满足以下条件：（1）杆段的弯曲刚度EI为常数。（2）杆段的轴线为直线。（3）各杆段的М(x）图和图中至少有一个为直线图形。第71页,共144页,2024年2月25日，星期天应用图乘法时应注意：(1)在图乘前要先对图形进行分段处理，保证两个图形中至少有一个是直线图形。(2)A与yC是分别取自两个弯矩图，竖标yC必须取自直线图形。(3)

当A与yC在杆的同侧时，乘积AyC取正号；A与yC在杆的异侧时，乘积AyC取负号。第72页,共144页,2024年2月25日，星期天下面给出了图乘运算中几种常见图形的面积及其形心位置。在应用图示抛物线图形的公式时，必须注意曲线在顶点处的切线应与基线平行，即在顶点处剪力为零。第73页,共144页,2024年2月25日，星期天第74页,共144页,2024年2月25日，星期天图乘法的技巧：

在图乘运算中，经常会遇到一些不规则的复杂图形，这些图形的面积和形心位置不易确定，在这种情况下，可采用图形分块或分段的方法，将复杂图形分解为几个简单图形，以方便计算。

第75页,共144页,2024年2月25日，星期天讨论题第76页,共144页,2024年2月25日，星期天

例10-9试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。LFF解（1）求自由端的挠度第77页,共144页,2024年2月25日，星期天Fm=1(2)求自由端的转角第78页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-10试用图乘法求所示简支梁的最大挠度和最大转角。qM解（1）简支梁的最大挠度第79页,共144页,2024年2月25日，星期天（2）求最大转角最大转角发生在两个支座处第80页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-11试用图乘法求所示简支梁C截面的挠度和A、B截面的转角。CL12TU34第81页,共144页,2024年2月25日，星期天解：第82页,共144页,2024年2月25日，星期天第83页,共144页,2024年2月25日，星期天第84页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-12试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。CL12TU35第85页,共144页,2024年2月25日，星期天解：第86页,共144页,2024年2月25日，星期天第87页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-13试用图乘法求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移。CL12TU36第88页,共144页,2024年2月25日，星期天解：第89页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-14图示梁，抗弯刚度为EI，承受均布载荷q及集中力X作用。用图乘法求：(1)集中力作用端挠度为零时的X值；(2)集中力作用端转角为零时的X值。CL12TU37F第90页,共144页,2024年2月25日，星期天解：(1)F第91页,共144页,2024年2月25日，星期天(2)第92页,共144页,2024年2月25日，星期天例：图示梁的抗弯刚度为EI，试求D点的铅垂位移。CL12TU38第93页,共144页,2024年2月25日，星期天解：第94页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-15图示开口刚架，EI=const。求A、B两截面的相对角位移θAB和沿P力作用线方向的相对线位移ΔAB。CL12TU39第95页,共144页,2024年2月25日，星期天解：第96页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-16用图乘法求图示阶梯状梁A截面的转角及E截面的挠度。CL12TU40第97页,共144页,2024年2月25日，星期天解：第98页,共144页,2024年2月25日，星期天第99页,共144页,2024年2月25日，星期天例10-17图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移ΔAH和转角θA。CL12TU41第100页,共144页,2024年2月25日，星期天解：第101页,共144页,2024年2月25日，星期天第102页,共144页,2024年2月25日，星期天例

计算刚架B截面的水平位移，已知刚架的抗弯刚度EI=常数。第103页,共144页,2024年2月25日，星期天作业

P107习题13.9。

第104页,共144页,2024年2月25日，星期天第十一章

超静定结构第105页,共144页,2024年2月25日，星期天第十一章超静定结构11-1概述11-2变形比较法11-3力法求解超静定结构11-4对称及反对称性质的利用目录第106页,共144页,2024年2月25日，星期天11-1概述目录一、超静定结构的概念

结构的约束反力或内力仅用独立的平衡方程不能全部求解，该结构称为超静定结构。第107页,共144页,2024年2月25日，星期天二、超静定结构的类型

外力超静定，内力超静定，混合超静定。____________第108页,共144页,2024年2月25日，星期天

三、超静定结构的次数1、外力超静定：位置约束反力个数—独立静力平衡方程数=超静定结构的次数。2、内力超静定：一个平面封闭框架为三次内力超静定；平面桁架的内力超静定结构的次数等于杆数加三减两倍节点数。第109页,共144页,2024年2月25日，星期天三、超静定结构的次数3、混合超静定：需综合考虑。4、结构有中间铰的超静定次数的判定：结构中加一个中间铰，结构减少一次超静定次数。四、求解超静定结构的方法1、变形比较法；2、力法；3、位移法。第110页,共144页,2024年2月25日，星期天11-2变形比较法求解超静定结构典型题1如图所示杆件，两端固定，在横截面C处受轴向载荷F作用。试求杆两端的支座反力。

解：(一)静力平衡方程(a)两个未知力，一个平衡方程，故为一次超静定。(二)变形协调方程

(b)第111页,共144页,2024年2月25日，星期天

(三)物理方程

(c)

(d)(四)补充方程

(五)求解支座反力将式(c)和式(d)代入式(b)，即得补充方程为

(e)联立求解平衡方程(a)与补充方程(e)，于是得第112页,共144页,2024年2月25日，星期天典型题2图4-17a所示等截面圆轴AB，两端固定，在截面C处承受扭力矩M作用。试求轴两端的支反力偶矩。

解：(一)静力平衡方程

(a)(二)变形协调方程

(b)第113页,共144页,2024年2月25日，星期天(三)物理方程(四)补充方程

将上述物理关系代入式(b)，得变形补充方程为

(c)(五)求解支座反力

联立求解平衡方程(a)与补充方程(c)，于是得

第114页,共144页,2024年2月25日，星期天典型题3如图所示梁AB，在横截面B处承受轴向载荷F作用。试求梁的支座反力。

解：(一)静力平衡方程∑Fy=0，-FBy+FAy=0∑MA=0,MA+F×L/2-FBy×L=0(a)(二)变形协调方程

=0

(b)第115页,共144页,2024年2月25日，星期天(三)物理方程(四)补充方程

将上述物理关系代入式(b)，得变形补充方程为

(c)

=0(五)求解支座反力

联立求解平衡方程(a)与补充方程(c)，于是得FAY=FBY=第116页,共144页,2024年2月25日，星期天§11-3力法求解超静定结构在求解超静定结构时，目录

以“未知力”为未知量的求解超静定的方法称为“力法”。一般先解除多余约束，以多余约束力代之，得到基本静定系统再根据变形协调条件得到关于多余约束力的补充方程。第117页,共144页,2024年2月25日，星期天该体系中多出一个外部约束，为一次超静定梁解除多余支座B，并以多余约束X1代替若以表示B端沿竖直方向的位移，则：是在F单独作用下引起的位移是在X1单独作用下引起的位移目录力法正则方程第118页,共144页,2024年2月25日，星期天

目录对于线弹性结构，位移与力成正比，X1是单位力“1”的X1倍，故也是的X1倍，即有若：于是可求得所以（*）式可变为：第119页,共144页,2024年2月25日，星期天

例11.1：试求图示平面刚架的支座反力。已知各杆EI=常数。目录

解：第120页,共144页,2024年2月25日，星期天

例11.2：两端固定的梁，跨中受集中力Ｐ作用，设梁的抗弯刚度为EI，不计轴力影响，求梁中点的挠度。目录

解：第121页,共144页,2024年2月25日，星期天例11.3：求图示刚架的支反力。目录解：第122页,共144页,2024年2月25日，星期天目录上面我们讲的是只有一个多余约束的情况！

那么当多余约束不止一个时，力法方程是什么样的呢？第123页,共144页,2024年2月25日，星期天目录由叠加原理：同理

变形协调条件：

表示作用点沿着方向的位移

第124页,共144页,2024年2月25日，星期天目录力法正则方程：矩阵形式：表示沿着方向单独作用时所产生的位移

表示沿着方向单独作用时所产生的位移

表示沿着方向载荷F单独作用时所产生的位移

第125页,共144页,2024年2月25日，星期天目录则：引起的弯矩为

引起的弯矩为

载荷F引起的弯矩为

设：第126页,共144页,2024年2月25日，星期天力法的计算步骤：

（1）选取基本结构、确定超静定次数。(基本静定结构—不是唯一的)去掉原结构的多余约束，以相应的未知力代替多余约束的作用。

（2）建立力法典型方程。根据基本结构在去掉多余约束处的位移与原结构相应位置的位移相同的条件，建立力法方程。第127页,共144页,2024年2月25日，星期天（3）计算系数和自由项。利用静定结构的位移计算公式，或分别绘出基本结构在单位多余力Xi和荷载作用下的弯矩图，然后用图乘法计算系数和自由项。（4）解方程求多余未知力。将所得各系数和自由项代入力法方程，解出多余未知力Xi。

第128页,共144页,2024年2月25日，星期天【例】试用力法计算图示超静定刚架。

第129页,共144页,2024年2月25日，星期天【解】1)建立相当系统。该刚架为二次超静定