《第四章》综合拓展

1/1《第四章》综合拓展过综合专题l线段的有关计算1.如图，C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点.（1）若AM=1，BC=4，求MN的长度；（2）若AB=6，求MN的长度.2.[2018辽宁鞍山期末]已知关于a的方程2（a－2）=a＋4的解也是关于x的方程2（x－3）－b=7的解.（1）求a，b的值；（2）若线段AB=a，在直线AB上取一点P，恰好使=b，点Q为PB的中点，请画出图形并求出线段AQ的长.3.[2018江苏南通启东长江中学月考]如图，线段AB=24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点.（1）出发多少秒后，PB=2AM？（2）当P在线段AB上运动时，试说明2BM－BP为定值.（3）当P在AB的延长线上运动时，N为BP的中点，给出下列两个结论：.①MN的长度不变；②MN＋PN的值不变.从中选出一个正确的结论，并求其值.专题2角度的有关计算4.如图，O为直线AC上－点，OD是∠AOB的平分线，OE在∠BOC的内部，∠BOE=36°，∠EOC=∠BOC.求∠AOD的度数.5.已知∠AOB=100°，∠BOC=60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.6.如图，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC=70°，∠AOC=50°.（1）求出∠AOB及其补角的度数；（2）请求出∠DOC和∠AOE的度数，并判断∠DOE与∠AOB是否互补，并说明理由.过拓展素养解读本章知识从常见的立体图形入手，感受图形世界的丰富性，体现数学与生活的关系，是后续学习几何图形的基础.通过本章内容的学习，可以培养学生的类比思想和空间想象能力，同时关注数学核心素养中的直观想象、数学抽象和逻辑推理.如第1题，通过对过平面上n个不在同一直线上的点可以画直线的条数的探究，类比解决同学聚会中的握手问题，关注类比思想和逻辑推理；第2题，根据从两个方向看到的几何体的平面图形解决用小正方体搭形状不唯一的几何体问题，关注空间想象能力和直观想象；第3题，通过剪切几何体，探究面数、棱数与顶点数之间的关系，关注直观想象和逻辑推理.1.[过平面上n个点可画直线条数的探究及类比应用]（1）试验观察：①平面上不在同一直线上的三个点，经过其中任意两点画直线，最多可以画______条直线；②平面上不在同一直线上的四个点，经过其中任意两点画直线，最多可以画______条直线；③平面上不在同一直线上的五个点，经过其中任意两点画直线，最多可以画______条直线.（2）探索归纳：如果平面上有个n（n≥3）点，且每3个点均不在同一条直线上，经过其中任意两点画直线，那么最多可以画______条直线.（用含n的式子表示）（3）解决问题：七（1）班有45位同学，在一次聚会中，若每两人握一次手，那么共握______次手.2.[用小正方形搭形状不唯一的几何体]用若干个相同的小正方体搭成一个几何体，使它从正面和左面1看到的图形如图所示.（1）搭成这样的一个几何体，需要多少个小正方体？（2）试画出三种从上而着到的图形，并在相应的图形中标出各个小正方形所在位置的小正方形的个数.3.[剪切后所得几何体的面数、棱数与顶点数之间的关系探究]图1的正方体切去一块，得到图2~5的几何体.（1）所得几何体各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？（2）举例说明其他形状的几何体也切去一块，所得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少；（3）若面数记为F，棱数记为E，顶点数记为V，则F，V，E应满足什么关系？4.[与角平分线有关的角度之间数量关系的探究]如图，以∠AOB的顶点O为端点画一条射线OC，OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线.（1）如图1，若∠AOC=50°，∠BOC=30°，则∠MON的度数是______；（2）如图2，若∠AOB=100°，∠BOC=30°，则∠MON的度数是______；（3）根据以上解答过程，完成下列探究：探究一：如图3，当射线OC位于∠AOB内部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论；探究二：如图4，当射线OC位于∠AOB外部时，请写出∠AOB与∠MON的数量关系，并证明你的结论.

参考答案过综合1.【解析】（1）因为N是BC的中点，M是AC的中点，AM=1，BC=4，所以CN=2，CM=AM=1，所以MN=MC＋CN=3.（2）因为M是AC的中点，N是BC的中点，所以MC=AC，CN=BC，所以MC＋NC=AC＋BC=（AC＋BC）=AB.因为MN=MC＋NC，AB=6，所以MN=AB=3.2.【解析】（1）解方程2（a－2）=a＋4，得a=8.把x=8代入方程2（x－3）－b=7，得2（8－3）－b=7，解得b=3.（2）①如图，当点P在线段AB上时，因为=3，AP=3PB，所以AB=AP＋PB=3PB＋PB=4PB=8，所以PB=2，因为Q是PB的中点，所以PQ=BQ=1，所以AQ=AB－BQ=8－l=7；②如图，当点P在线段AB的延长线上时，因为=3，AP=3PB，所以AP=AB＋PB=3PB，所以AB=2PB=8，PB=4，因为Q是PB的中点，所以BQ=PQ=2，所以AQ=AB＋BQ=8＋2=10.综上，AQ的长为7或10.3.【解析】（1）设出发x秒后，PB=2AM，如图，当点P在点B左边时，PA=2x，PB=24－2x，因为M为AP的中点，所以AM=x，由题意，得24－2x=2x，解得x=6；当点P在点B右边，即点P′的位置时，P′A=2x，P′B=2x－24，AM=x，由题意，得2x－24=2x，方程无解.综上，可得出发6秒后，PB=2AM.（2）当P在线段AB上运动时，由（1）知AM=x，BM=24－x，PB=24－2x，所以2BM－BP=2（24－x）－（24－2x）=24.即2BM－BP为定值.（3）结论①正确.如图，当P在AB延长线上运动时，由（1）易知AM=PM=2x－24，PM=2x-24,所以PN=PB=x－12，所以MN=PM－PN=x－（x－l2）=12.所以MN的长度不变，为12.名师点睛解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，：再通过方程或列计算式求解.4.【解析】因为∠EOC=∠BOC，所以∠BOE=∠BOC.因为∠BOE=36°，所以∠BOC=108°，所以∠AOB=72°，因为OD是∠AOB的平分线，所以∠AOD=36°.5.【解析】当OC落在∠AOB的内部时，如图1，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM=∠AOB=50°，∠BON=∠BOC=30°，所以∠MON=∠BOM－∠BON=50°－30°=20°；当OC落在∠AOB的外部时，如图2，因为OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，所以∠BOM=∠AOB=50°，∠BON=∠BOC=30°，所以∠MON=∠BOM＋∠BON=50°＋30°=80°.综上，∠MON的度数为20°或80°.6.【解析】（1）∠AOB=∠BOC＋∠AOC=70°＋50°=120°，其补角为180°－∠AOB=180°－120°=60°.（2）因为OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，所以∠DOC=∠BOC=×70°=35°，∠AOE=∠AOC=×50°=25°.∠DOE与∠AOB互补.理由如下：因为∠DOE=∠DOC＋∠COE=35°＋25°=60°，所以∠DOE＋∠AOB=60°＋120°=180°，所以∠DOE与∠AOB互补.过拓展1.（1）①3；②6；③l0；（2）；（3）9902.【解析】（1）6个、7个、8个、9个、10个或11个小正方体均可搭成这样的一个几何体.（2）从上面看到的图形中各个小正方形所在位置的小正方体的个数如图.（答案不唯一，任选三种即可）3.【解析】（1）题图2的几何体有7个面、10个顶点、15条棱.题图3的几何体有7个面、9个顶点、14条棱.题图4的几何体有7个面、8个预点、13条棱.题图5的几何体有7个面、7个顶点、12条棱.（2）例如：三棱锥被切去一块，如图，所得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点.（3）F＋V－E=2.4.【解析】（1）40°因为OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，所以∠COM=∠AOC=25°，∠CON=∠BOC=15°，所以∠MON=∠MOC＋∠NOC=40°.（2）50°因为∠AOB=100°，∠BOC=30°，所以∠AOC=∠AOB－∠BOC=70°.因为OM，ON分别是∠AOC和∠BOC的平分线，所以∠COM=∠AOC=35°，∠CON=∠BOC=15°，所以∠MON=∠MOC＋∠NOC=50°.（3）探究一：∠MON=∠