第04讲因式分解（知识解读达标检测）（原卷版）

第04讲因式分解【题型1因式分解的定义】【题型2公因式】【题型3提公因式】【题型4因式分解平方差】【题型5因式分解完全平方】【题型6提公因式与公式法综合】【题型7十字相乘法】【题型8因式分解的应用】考点1：因式分解1.定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．2.掌握其定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．3.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．【题型1因式分解的定义】【典例1】（2023秋•海门市校级月考）下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（）A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3 D．a2+1＝（a+1）（a﹣1）【变式11】（2023春•玄武区期中）下列各式从左到右不属于因式分解的是（）A．x2﹣x＝x（x﹣1） B．x2+2x+1＝x（x+2）+1 C．x2﹣6x+9＝（x﹣3）2 D．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）【变式12】（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（）A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b）考点2：公因式像多项式papbpc，它的各项都有一个公共的因式p，我们把这个公共因式p叫做这个多项式各项的公因式注意：公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；【题型2公因式】【典例21】（2023春•榆阳区期末）多项式6a2b﹣3ab2的公因式是．【典例22】（2023春•大竹县校级期末）4x（m﹣n）+8y（n﹣m）2的公因式是．【变式21】（2023春•礼泉县期中）多项式．4ab2+8a2b的公因式是．【变式22】（2023春•巴州区月考）多项式3x+3y与x2﹣y2的公因式是．【变式23】（2023春•开江县校级期末）多项式4x（m﹣n）+2y（m﹣n）2的公因式是．考点3：提公因式提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．【题型3提公因式】【典例3】（2022秋•白云区期末）分解因式：（1）2y+3xy；（2）2（a+2）+3b（a+2）．【变式31】（2023春•常德期中）因式分解（1）x2﹣4x；（2）8y3﹣2x2y．【变式22】（2022秋•番禺区校级期末）因式分解：（1）8abc﹣2bc2；（2）2x（x+y）﹣6（x+y）．【变式33】（2022春•源城区校级期中）分解因式：x（m+n）﹣y（n+m）+（m+n）．考点4：公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；常用的公式：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【题型4因式分解平方差】【典例4】（2023•云南）分解因式：x2﹣4＝．【变式41】（2023•武威一模）因式分解：a2﹣169＝．【变式42】（2022秋•洞口县期末）因式分解：4a2﹣b2＝．【变式43】（2023春•东源县期末）把多项式a2﹣9b2分解因式结果是．【题型5因式分解完全平方】【典例5】（2023•通榆县三模）分解因式：a2+8a+16＝．【变式51】（2023春•亳州期末）因式分解x2﹣6ax+9a2＝．【变式52】（2023•前郭县四模）分解因式：a2﹣6a+9＝．考点5：提公因式与公式法综合提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．公式法：①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）【题型6提公因式与公式法综合】【典例6】（2023春•海曙区期中）分解因式（1）x2y﹣y；（2）ax2﹣6ax+9a．【变式61】（2023春•娄星区校级期中）因式分解：（1）x3y﹣xy3；（2）8a2﹣16ab+8b2．【变式62】（2022秋•武汉期末）因式分解：（1）2x3y﹣2xy3；（2）﹣a3+2a2﹣a．【变式63】（2023•肃州区校级开学）分解因式：（1）5x2﹣5y2；（2）2mx2+4mxy+2my2．【变式64】（2022秋•兴城市期末）因式分解：9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）考点6：十字相乘法1.x²pqxpq（x+p）（x+q）2.在二次三项式ax2bxc(a0)中，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即aa1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即cc1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2a2c1，若它正好等于二次三项式ax2bxc的一次项系数b，即a1c2a2c1b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1xc1与a2xc2之积，即ax2bxc(a1xc1)(a2xc2)．【题型7十字相乘法】【典例7】（2023春•银海区期中）阅读理解：用“十字相乘法”因式分解：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）．a1c2+a2c1＝b．例如：2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）．求：（1）x2﹣x﹣6；（2）3x2+5x﹣12．【变式71】（2023春•岳阳期末）阅读理解：用“十字相乘法”分解因式2x2﹣x﹣3的方法（如图）．第一步：二次项2x2＝x•2x；第二步：常数项﹣3＝﹣1×3＝1×（﹣3），画“十字图”验算“交叉相乘之和”；第三步：发现第③个“交叉相乘之和”的结果等于一次项﹣x．即2x2﹣x﹣3＝（x+1）（2x﹣3）；像这样，通过画“十字图”，把二次三项式分解因式的方法，叫做“十字相乘法”．运用结论：（1）将多项式x2﹣x﹣2进行因式分解，可以表示为x2﹣x﹣2＝；（2）若3x2+px+5可分解为两个一次因式的积，请画好“十字图”，并求整数p的所有可能值．【变式72】（2023春•子洲县期末）阅读下列材料：将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m+n，则可以把x2+px+q因式分解成（x+m）（x+n）．例如：①x2+4x+3＝（x+1）（x+3）；②x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x+2）．根据材料，把下列式子进行因式分解．（1）x2﹣6x+8；（2）x2﹣2x﹣15；（3）（x﹣4）（x+7）+18．【变式73】（2022秋•沙洋县校级期末）阅读与思考：利用多项式的乘法法则可推导得出：（x+p）（x+q）＝x2+px+qx+pq＝x2+（p+q）x+pq．因式分解与整式乘法是方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．利用这个式子可以将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2．这是一个x2+（p+q）x+pq型的式子，∴x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2，∴x2+3x+2＝（x+1）（x+2）．（1）填空：式子x2+7x+10的常数项10＝×，一次项系数7＝+，分解因式x2+7x+10＝．（2）若x2+px+8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是．【题型8因式分解的应用】【典例8】（2023秋•商水县期末）已知m2+n2＝25，mn＝12，则m3n﹣mn3的值为（）A．±300 B．±84 C．±48 D．±12【变式81】（2023秋•鹿寨县期末）已知：ab＝2，a﹣b＝1，则a2b﹣ab2＝（）A．4 B．3 C．2 D．1【变式82】（2023秋•仓山区校级期末）如果a，b，c为三角形的三边长，且满足（a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）＝0，那么该三角形的形状为（）A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．无法确定【变式83】（2023秋•金州区期末）若x+y＝3，xy＝5，则x2y+xy2的值为．一．选择题（共9小题）1．（2023秋•关岭县期末）把4xy2+2xy分解因式，应提取的公因式是（）A．2x B．xy C．2xy D．xy22．（2023秋•沧州期末）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2） B．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4 C．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x D．x3+4x﹣2＝x（x+4）﹣23．（2023秋•舒兰市期末）如图，边长为a，b的长方形的周长为10，面积为6，则a3b+ab3的值为（）A．15 B．30 C．60 D．784．（2023秋•永城市期末）下列多项式中，可以运用平方差公式进行因式分解的是（）A．2x2+y2 B．2x2﹣y C．x2﹣9y2 D．x2+9y25．（2023秋•霸州市期末）若a2+ab＝16+m，b2+ab＝9﹣m，则a+b的值为（）A．±5 B．5 C．±4 D．46．（2023秋•广饶县期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华、我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（）A．爱我中华 B．我游中华 C．中华美 D．我爱美7．（2023秋•广饶县期末）如图，四边形ABCD是一个长方形，利用不同的方法可以计算出长方形的面积．通过分析图形中所标线段的长度，将多项式m2+3mn+2n2因式分解，其结果正确的是（）A．（m+2n）2 B．（m+2n）（m+n） C．（2m+n）（m+n） D．（m+2n）（m﹣n）8．（2023秋•正阳县期末）若x2+mx﹣18能分解为（x﹣9）（x+n），那么m、n的值是（）A．7、2 B．﹣7、2 C．﹣7、﹣2 D．7、﹣29．（2023秋•望城区期末）分解因式a2b﹣b3结果正确的是（）A．b（a2﹣b2） B．b（a﹣b）2 C．（ab+b）（a﹣b） D．b（a+b）（a﹣b）二．填空题（共3小题）10．（2023秋•岱岳区期末）分解因式：4ax2﹣16ay2＝．11．（2023秋•普陀区校级期末）因式分解：a2﹣13a+36＝．12．（2023秋•通榆县期末）分解因式：2a（y﹣z）﹣3b（z﹣y）＝．三．解答题（共6小题）13．（2023秋•凉州区校级期末）分解因式：（1）3x2﹣12；（2）x2y﹣2xy+y．14．（2023秋•临高县期末）分解因式：（1）﹣2x3+8xy2（2）3a2﹣12a+1215．（2023秋•费县期末）分解因式：（1）﹣a3+6a2﹣9a；（2）x2（x﹣3）+4（3﹣x）．16．（2023秋•宜都市期末）因式分解：（1）（m+n）2﹣4（m+n）+4；（2）2x2﹣18．17．（2023秋•淮阳区期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．请回答下列问题：（1）写出图②中所表示的数学等式；（2）猜测（a+b+c+d）2＝．（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝12，ab+bc+ca＝48，求a2+b2+c2的值；（4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由．18．（2023秋•咸安区期末）【阅读材料】把代数式通过配、凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算，这种解题方法叫做配方法．配方法在