北师大版数学八年级下册课时精读精练1.1《等腰三角形（第4课时）》

北师大版数学八年级下册课时同步精读精练（解析版）三角形的证明1.等腰三角形（第4课时）课本精读等边三角形的判定等边三角形判定定理1三个角都相等的三角形是等边三角形.等边三角形判定定理2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.含30°锐角直角三角形性质定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.法.cbcba如图，c=2a,b=3a习题精炼选择题等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是60°，则顶角的度数是（）30° B.30°或150° C.60°或150° D.60°或120°【答案】B【解析】本题要分情况讨论．当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况．【详解】解：①当为锐角三角形时，如图1，∵∠ABD=60°，BD⊥AC，∴∠A=90°60°=30°，∴三角形的顶角为30°；②当为钝角三角形时，如图2，∵∠ABD=60°，BD⊥AC，∴∠BAD=90°60°=30°，∵∠BAD+∠BAC=180°，∴∠BAC=150°∴三角形的顶角为150°，故答案为：B.如图，将等边沿着BD折叠，点C落到点E处，连接AE，若，则∠EAB的度数为（）A．84° B．80° C．72° D．68°【答案】A【解析】：根据折叠可知，∠EBD=∠DBC=36°，BC=BE，∴∠EBC=∠EBD+∠DBC=72°，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60°，AB=BC，∴∠EBA=∠EBC∠ABC=12°，∵AB=BC，BC=BE，∴AB=BE，∴∠BAE=∠BEA，∴∠BAE=12故答案为：A．已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（）A．60°B．45°C．40°D．30°【答案】C【解析】：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°.∴∠α=180°−180故答案为：C.下列四个说法中，正确的有（）个．①三个角都相等的三角形是等边三角形．②有两个角等于60°的三角形是等边三角形．③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．④有两个角相等的等腰三角形是等边三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】：根据三角形的内角和等于180°，三角形的三个内角相等，则每一个内角为60°，故A正确；根据三角形的内角和等于180°，三角形中有两个都等于60度，则第三个内角为60°，则每一个内角为60°，故B正确；根据等腰三角形的性质，如果等腰三角形中有一个内角为60°，那么另外两个内角也分别为60°，故C正确；等腰三角形的两个底角相等，但不一定等于顶角，故D错误.故答案为：C．如图,等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点，分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（）.

6B.7C.8D.9【答案】A【解析】：∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=60°，BC=6.∵DE∥AB，DF∥AC，∴∠DEF=∠DFE=60°，，∴△EDF为等边三角形.∴DE=EF=EF，∵E，F是BC的三等分点，AO=DO，∴EF=13BC=2∴DE+EF+DF=6故答案为：A.如图，是边长为2的等边三角形，是高上的一个动点，以为边向上作等边，在点从点到点的运动过程中，点所经过的路径长是（

）A．2 B． C． D．【答案】D【解析】：取BC的中点H，连接NH，证明△DBM≌△HBN（SAS），进而得到HN=DM，再计算出CD即可求出点N所经过的路径长．解：如图，取BC的中点H，连接NH，∵BH=12BC=12∵CD⊥AB，BD=12AB∴BH=BD，∵△ABC和△BMN是等边三角形，∴BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，∴∠DBM+∠MBH=∠HBN+∠MBH，∴∠DBM=∠HBN，∴△DBM≌△HBN（SAS），∴HN=DM，∠BHN=∠BDM=90°，∴NH⊥BC，又点M在C处时，HN=CD=32AB=32×点M在D处时，点N与点H重合，∴点N所经过的路径的长为M从C点运动到D点运动的路径长3．故选：D．二、填空题如图，是等边三角形，点P在内，，将PAB绕点A逆时针旋转得到，则PQ的长等于.【答案】6【解析】由旋转以及△ABC是等边三角形可证△AQP为等边三角形，进而可知PQ的长度．解：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=60°，∴∠PAB＋∠CAP=60°，∵∠PAB=∠QAC，∴∠QAC＋∠PAC=60°，∵AP=AQ，∴△AQP为等边三角形，∴PQ=AP=6，故答案为6（2022·浙江舟山·八年级期末）如图，已知等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则∠EFD＝_____．【答案】45°【解析】：由翻折的性质可知∠AFE＝∠EFD，求出∠FDB的度数，由三角形内角和可得∠BFD的度数，即可求解．解：由翻折的性质可知；∠AFE＝∠EFD．∵△ABC为等边三角形，∴∠B＝60°，∠C＝60°，∠A＝∠EDF＝60°．∵ED⊥BC，∴∠EDC=90°，∴∠FDB＝30°，∴∠BFD＝90°，∴∠AFE+∠EFD＝60°+30°＝90°，∴∠EFD＝45°．故答案为：45°△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，则∠1=_______度，此三角形有_______个等腰三角形．【答案】①.72°②.3【解析】：∵AB=AC，∠A=36°，∴△ABC是等腰三角形，∠C=∠ABC=（180°−36°）×12∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠A=∠DBC=36°，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∴∠1=180°36°72°=72°=∠C，∴BC=BD，△CDB是等腰三角形.图中共有3个等腰三角形．故答案为①.72°②.3（2022·浙江衢州·八年级期末）如图，△ABC是等边三角形．在AC，BC边上各取一点P，Q，使AP＝CQ，且∠ABP＝20°，AQ，BP相交于点O，则∠AQB＝_____．【答案】80°【解析】：先证明△BAP≌△ACQ，再利用全等三角形的性质可得∠ABP=∠CAQ=20°，再利用三角形的外角的性质可得结论.解：△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠C=∠BAC=60°∵AP=CQ，∴△BAP≌△ACQ.∴∠ABP=∠CAQ=20°∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.故答案为：80°（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论：①BC＝B′C′，②AC∥C′B′，③C′B′⊥BB′，④∠ABB′＝∠ACC′，正确的有.【答案】①②④【解析】：根据旋转的性质可得，BC＝B′C′，∠C′AB′＝∠CAB＝20°，∠AB′C′＝∠ABC＝30°，再根据旋转角的度数为50°，通过推理证明对①②③④四个结论进行判断即可．【详解】解：①∵△ABC绕A点逆时针旋转50°得到△AB′C′，∴BC＝B′C′．故①正确；②∵△ABC绕A点逆时针旋转50°，∴∠BAB′＝50°．∵∠CAB＝20°，∴∠B′AC＝∠BAB′﹣∠CAB＝30°．∵∠AB′C′＝∠ABC＝30°，∴∠AB′C′＝∠B′AC．∴AC∥C′B′．故②正确；③在△BAB′中，AB＝AB′，∠BAB′＝50°，∴∠AB′B＝∠ABB′＝12∴∠BB′C′＝∠AB′B+∠AB′C′＝65°+30°＝95°．∴CB′与BB′不垂直．故③不正确；④在△ACC′中，AC＝AC′，∠CAC′＝50°，∴∠ACC′＝12∴∠ABB′＝∠ACC′．故④正确．∴①②④这三个结论正确．【点睛】此题考查了旋转性质的应用，图形的旋转只改变图形的位置，不改变图形的形状与大小，还考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的判定等知识．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．解答题（2022·浙江·金华市第五中学八年级期末）已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，得到为等边三角形．求证：（1）；（2）为等边三角形．【解析】：（1）关键是证出CE=AF，可由AE=AB，AC=BF，两两相加可得．再结合已知条件可证出△AEF≌△CDE．（2）有（1）中的全等关系，可得出∠AFE=∠CED，再结合△DEF是等边三角形，可知∠DEF=60°，从而得出∠BAC=60°，同理可得∠ACB=60°，那么∠ABC=60°．因而△ABC是等边三角形．证明：（1）∵BF=AC，AB=AE（已知）∴FA=EC（等量加等量和相等）．∵△DEF是等边三角形（已知），∴EF=DE（等边三角形的性质）．又∵AE=CD（已知），∴△AEF≌△CDE（SSS）．（2）由△AEF≌△CDE，得∠FEA=∠EDC（对应角相等），∵∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠FEA+∠DEC=∠DEF（等量代换），△DEF是等边三角形（已知），∴∠DEF=60°（等边三角形的性质），∴∠BCA=60°（等量代换），由△AEF≌△CDE，得∠EFA=∠DEC，∵∠DEC+∠FEC=60°，∴∠EFA+∠FEC=60°，又∠BAC是△AEF的外角，∴∠BAC=∠EFA+∠FEC=60°，∴△ABC中，AB=BC（等角对等边）．∴△ABC是等边三角形（等边三角形的判定）．（2022·河北保定·八年级期末）将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．（1）如图1，AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，求∠BAD的度数；（2）如图2．在△ABC中，∠BAC=90°，点D在边BC上，且AB=AD，若∠B=2∠DAC，判断直线AD是否是△ABC的对垂线，并说明理由．【答案】：（1）15°；（2）是．【解析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，则可得出∠BAD=∠B'AD，由等边三角形的性质得出∠BAB'12∠BAC（2）由等腰三角形的性质得出∠B=∠BDA，可得出∠DAC=∠C=12∠B，求出∠B=60°，证得∠AFD解：（1）∵AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，∴AB'⊥BC，△ABD≌△AB'D，∴∠BAD=∠B'AD．∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°．又∵AB'⊥BC，∴∠BAB'=12∠BAC∴∠BAD=12∠BAB'=1（2）直线AD是△ABC的对垂线．理由如下：∵AB=AD，∴∠B=∠BDA．∵∠B=2∠DAC，∠BDA=∠DAC+∠C，∴∠DAC=∠C=12∠B∵△ABC中，∠BAC=90°，∴∠B+∠C=90°，∴∠B+12∠B∴∠B=60°=∠BDA，∠DAC=∠C=30°．把△ADC沿直线AD折叠，设点C落在C'处，直线AC'交BC于点F，则△ACD≌△AC'D，∴∠DAC'=∠DAC=30°，∴△AFD中，∠AFD=180°﹣30°﹣60°=90°，即AC'⊥BC，∴AD是△ABC的对垂线．本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．如图所示，点是等边三角形内一点，∠AOB=110°，，以为边作等边三角形，连接（1）当=150°时，试判断的形状，并说明理由；（2）探究：当为多少度时，是以为底的等腰三角形？【答案】：（1）△AOD是直角三角形；（2）当α=110°时，△AOD是以AD为底的等腰三角形．【解析】（1）证△BOC≌△ADC，求出∠ADO=90°即可判断；（2）根据等腰三角形的性质，设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠CAO=c,列方程即可．解：(1)∵△OCD是等边三角形，∴OC=CD.而△ABC是等边三角形，∴BC=AC.∵∠ACB=∠OCD=60°，∴∠BCO=∠ACD.在△BOC与△ADC中，∵OC∴△BOC≌△ADC（SAS），∴∠BOC=∠ADC.而