初三概率与统计

年级科目授课教师授课类型学生姓名教学时间课时教学主题教学目的重点难点课前检查作业完成情况：优口 良口 中口差□建议： 教学过程及内容统计与概率.基本概念：总体：把所要考查的对象的全体叫做总体；个体：把组成总体的每一个考查对象叫做个体；样本：从总体中取出的一部分个体叫做总体的一个样本；样本容量：样本中包含的个体的个数叫做样本容量；频数：在记录实验数据时，每个对象出现的次数称为频数；频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）称为频率；平均数：在一组数据中，用数据的总和除以数据的总个数就得到这组数据的平均数；中位数：将一组数据从小到大依次排列，位于正中间位置的数（或正中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；众数：在一组数据中，出现频数最多的数叫做这组数据的众数；极差：一组数据中的最大值减去最小值所得的差称为极差；方差：我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况，这个结果通常称为方差.计算方差的公式：设一组数据是工1、土"小,了是这组数据的平均数。则这组数据的方差是：非二工卜-叶+卜-才+…+阮-，？n标准差：一组数据的方差的算术平方根，叫做这组数据的标准差.用公式可表示为：S ［（北1一千丁+（的一寸+…_无/要点诠释：.平均数、中位数和众数可以用来概括一组数据的集中趋势.平均数的优点：平均数的计算过程中用到了一组数据中的每一个数，因此比中位数和众数更灵敏，反映了更多数据的信息.平均数的缺点：计算较麻烦，而且容易受到极端值的影响.中位数的优点：计算简单，不容易受到极端值的影响，确定了中位数之后，可以知道小于中位数的数值和大于中位数的数值在这组数据中各占一半.中位数的缺点：除了中间的值以外，不能反映其他数据的信息.众数的优点：众数很容易从直方图中获得，它可以清楚地告诉我们：在一组数据中哪个或哪些数值出现的次数最多.众数的缺点：不能反映众数比其他数出现的次数多多少，而且也丢失了很多其他数据的信息.2.极差、方差是表示一组数据离散程度的指标.极差就是一组数据中的最大值减去最小值所得的差.它可以反映一组数据的变化范围.极差的不足之处在于只和极端值相关，而方差则弥补了这一不足.方差可以比较全面地反映一组数据相对于平均值的波动情况，只是计算比较复杂..绘制频数分布直方图的步骤①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；③决定分点；④画频数分布表；⑤画出频数分布直方图..加权平均数在一组数据中，各个数在总结果中所占的百分比称为这个数的权重，每个数乘以它相应的权重后所得的平均数叫做这组数据的加权平均数..概率的定义：一般地，如果在一次实验中，有n种可能结果，并且它们发生的可能性相等，事件A包含其中m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=-..事件必然事件:那些无需通过实验就能够预先确定它们在每一次实验中都一定会发生的事件称为必然事件.不可能事件：那些在每一次实验中都一定不会发生的事件称为不可能事件.随机事件:无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件称为不确定事件或随机事件.【典型例题】类型一、数据的统计例1.为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是()A.平均数B.中位数C.众数 D.方差【答案】D【解析】本题主要考查平均数，中位数，众数及方差，根据平均数，中位数，众数及方差的定义可知:方差是反应数据的波动情况的，据此可求解.【解答】解：•••方差是反应数据的波动情况的，・•・能用来比较两人成绩稳定程度的是方差.故选D.【变式1-1】在一次数学测试中，小明成绩72分，超过班级半数同学的成绩，分折得出这个结论所用的统计量是()A.中位数B.众数 C.平均数D.方差【答案】A【解析】解：班级数学成绩排列后，最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的中位数，

半数同学的成绩位于中位数或中位数以下，小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数，故选：A.根据中位数的意义求解可得.【变式1-2】本题主要考查统计量的选择，解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定义和意义.某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量/件1012201212该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（）A.平均数B.方差 C.众数 D.中位数【答案】C【解析】平均数、中位数、众数是描述一组数据集中程度的统计量；方差是描述一组数据离散程度的统计量.根据销量大的尺码就是这组数据的众数即可解答.此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.【解答】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数.故选：C【变式1-3】有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择下列统计量中的（）A.方差 B.中位数C.众数 D.平均数【答案】A【解析】此题考查了统计量的选择，弄清方差表示的意义是解本题的关键.根据各自的定义判断即可.【解答】解：有五名射击运动员，教练为了分析他们成绩的波动程度，应选择统计量中的方差，故选：A.【变式1-4】为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲、乙两组数据，如下表：甲2甲26乙23778488关于以上数据，说法正确的是（）A.甲、乙的众数相同 B.甲、乙的中位数相同C.甲的平均数小于乙的平均数 D.甲的方差小于乙的方差【答案】D【解析】解：A、甲的众数为7,乙的众数为8,故原题说法错误；B、甲的中位数为7,乙的中位数为4,故原题说法错误；。、甲的平均数为6,乙的平均数为5,故原题说法错误；D、甲的方差为4.4,乙的方差为6.4,甲的方差小于乙的方差，故原题说法正确；故选：D.根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；对于n个数%1,第2，…，xn，则宣=1(%1+4+…+%/就叫做这n个数的算术平均数；S2=1[(X1--)2+(X2-初2+…+(xn—初2]进行计算即可.此题主要考查了众数、中位数、方差和平均数，关键是掌握三种数的概念和方差公式.【变式1-5】去年某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10棵，每棵产量的平均数X(单位:千克)及方差S2(单位：千克2)如表所示：甲乙丙丁X24242320S22.11.921.9今年准备从四个品种中选出一种产量既高又稳定的葡萄树进行种植，应选的品种是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【答案】B【解析】【分析】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差.方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小;反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.也考查了平均数的意义.先比较平均数得到甲组和乙组产量较好，然后比较方差得到乙组的状态稳定.【解答】解：因为甲组、乙组的平均数比丙组、丁组大，而乙组的方差比甲组的小，所以乙组的产量比较稳定，所以乙组的产量既高又稳定，故选：B.例2.已知一组数据：5,4,3,4,9,关于这组数据的下列描述：①平均数是5,②中位数是4,③众数是4,④方差是4.4,其中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】解：数据由小到大排列为3,4,4,5,9,它的平均数为3+4+4+5+9=5,数据的中位数为4,众数为4,5数据的方差=1[(3-5)2+(4-5)2+(4-5)2+(5-5)2+(9-5)2]=4.4.5所以①、②、③、④都正确.故选：D.先把数据由小到大排列为3,4,4,5,9,然后根据算术平均数、中位数和众数的定义得到数据的平均数，中位数和众数，再根据方差公式计算数据的方差，然后利用计算结果对各选项进行判断.本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，也考查了平均数，中位数和众数的定义.【变式2-2】点点同学对数据26,36,46,5口，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是()A.平均数B.中位数C.方差 D.标准差【答案】B【解析】利用平均数、中位数、方差和标准差的定义对各选项进行判断.本题考查了标准差：样本方奋发向上 ， 前程似铎差的算术平方根表示样本的标准差，它也描述了数据对平均数的离散程度.也考查了中位数、平均数.【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46,与第4个数无关.故选：B.【变式2-3】测试五位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据，在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是()A.方差 B.标准差C.中位数D.平均数【答案】C【解析】解：因为中位数是将数据按照大小顺序重新排列，代表了这组数据值大小的“中点”，不受极端值影响，所以将最高成绩写得更高了，计算结果不受影响的是中位数，故选：C根据中位数的定义解答可得.本题主要考查方差、标准差、中位数和平均数，解题的关键是掌握中位数的定义.【变式2-4】在某次演讲比赛中，五位评委给选手圆圆打分，得到互不相等的五个分数.若去掉一个最高分，平均分为％；去掉一个最低分，平均分为y；同时去掉一个最高分和一个最低分，平均分为z，则()A.y>z>xB.x>z>yC.y>x>zD.z>y>x【答案】A【解析】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确算术平均数的含义.根据题意，可以判断％、y、z的大小关系，从而可以解答本题.【解答】解：由题意得：若去掉一个最高分，平均分为％，则此时的％一定小于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z,去掉一个最低分，平均分为y,则此时的y一定大于同时去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为z,y>z>x,故选A.【变式2-5】已知一组数据a,b，c的平均数为5,方差为4,那么数据a-2,b-2,c-2的平均数和方差分别是()A.3,2 B.3,4 C.5,2 D.5,4【答案】B【解析】解：•••数据a,b,c的平均数为5,A1(a+b+c)=5,3•••工(a-2+b-2+c-2)=1(a+b+c)-2=5-2=3,.•.数据a-2,b-2,c-2的平均数是3；••数据a,b,c的方差为4,二1®-5)2+(b-5)2+(c-5)2]=4,」.a—2,b—2,c—2的方差=1[(a—2—3)2+(b—2—3)2+(c--2—3)2]=1[(a—5)2+(b—5)2+(c-5)2]=4.故选：B.根据数据a,b,c的平均数为5可知1(a+b+c)=5,据此可得出3(a-2+b-2+c-2)的值；再由方差为4可得出数据a-2,b-2,c-2的方差.本题考查的是方差，熟记方差的定义是解答此题的关键.【变式2-6】若一组数据2,3,1,5,7的众数为7,则这组数据的中位数为（）A.2 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】解：•••数据2,3,1,5,7的众数为7,ax=7,则这组数据为2、3、5、7、7,•••中位数为5,故选：C【变式2-7】某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为1,第二次算得另外n个数据的平均数为》则这加+n个数据的平均数等于.【答案】9r【解析】解：:•某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为1，第二次算得另外n个数据的平均m+n数为》则这m+n个数据的总和为：m%+ny,所以平均数为：但+皿.m+n故答案为：加".直接利用已知表示出两组数据的总和，进而求出平均数.m+n此题主要考查了加权平均数，正确得出两组数据的总和是解题关键.类型二：必然事件、随机事件、不可能事件例2.下列语句描述的事件中，是随机事件的为（）A.水能载舟，亦能覆舟 B.只手遮天，偷天换日C.瓜熟蒂落，水到渠成 D.心想事成，万事如意【答案】D【解析】解：A、水能载舟，亦能覆舟，是必然事件，故此选项错误；夙只手遮天，偷天换日，是不可能事件，故此选项错误；C、瓜熟蒂落，水到渠成，是必然事件，故此选项错误；D、心想事成，万事如意，是随机事件，故此选项正确.故选：D.【变式2-1】下列说法正确的是（）A.检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B.可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C.数据3,5,4,1,-2的中位数是4D.“367人中有2人同月同日出生”为必然事件【答案】D【解答】解：A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；夙可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3,5,4,1,-2的中位数是3,此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；【变式2-2】下列说法正确的是（）A.“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是必然事件B.已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6,则他投10次一定可投中6次C.处于中间位置的数一定是中位数D.方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小【答案】D【解答】解：A、“经过有交通信号的路口，遇到红灯，”是随机事件，故原题说法错误；夙已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6,则他投10次一定可投中6次，说法错误；。、处于中间位置的数一定是中位数，说法错误；D、方差越大数据的波动越大，方差越小数据的波动越小，说法正确；故选D.类型二：概率例4.一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同.搅匀后任意摸出一个球，是白球的概率为（）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.1 B.-3 C.1 D.-72 10 5 10【答案】A【解析】解：袋子里装有2个红球、3个黄球和5个白球共10个球，从中摸出一个球是白球的概率是5=1.故选：A.10 2让白球的个数除以球的总数即为摸到白球的概率.本题考查的是随机事件概率的求法.如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（4）=%n【变式4-1］已知现有的10瓶饮料中有2瓶已过了保质期，从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率是（）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.▲ B.-9 C.1 D.410 10 5 5【答案】C【解析】解：从这10瓶饮料中任取1瓶，恰好取到已过了保质期的饮料的概率=2=1.故选：C10 5直接利用概率公式求解.本题考查了概率公式：随机事件A的概率P=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.【变式4-2】为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区100名九年级男生，他们的身高％（c小）统计如下：组别（c小）x<160160<x<170170<x<180x>180人数5384215根据以上结果，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（）A.0.85 B.0.57 C.0.42 D.0.15

【答案】D【解析】解：样本中身高不低于180cm的频率=耳=0.15,100所以估计他的身高不低于180cm的概率是0.15.故选：D.【变式4-3】如图，2X2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的7个.11tli点中任取一点。，使△4BC为直角三角形的概率是（）A.1B.2C.3D.42 5 7 73【变式4-4】如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°,90°,210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（）A.1B.1C.1D.工6 4 3 12红黄【答案】B【解析】解：•••黄扇形区域的圆心角为90°所以黄区域所占的面积比例为里=1360 43【变式4-4】如图，一个游戏转盘中，红、黄、蓝三个扇形的圆心角度数分别为60°,90°,210°.让转盘自由转动，指针停止后落在黄色区域的概率是（）A.1B.1C.1D.工6 4 3 12红黄【答案】B【解析】解：•••黄扇形区域的圆心角为90°所以黄区域所占的面积比例为里=1360 4即转动圆盘一次，指针停在黄区域的概率是:，故选:4B.【变式4-5】一个布袋里装有4个只有颜色不同的球其中3个红球，1个白球.从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（）C.38D.216C.38D.21616【答案】D【解答】解：画树状图得:联虹红白联虹红白•・共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况，.••两次摸出红球的概率为16；故选：D.【变式4-6】2018年我市初中学业水平实验操作考试.要求每名学生从物理、化学、生物三个学科中随机抽取一科参加测试，小华和小强都抽到物理学科的概率是（）B.14A.1B.143【答案】D【解析】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有可能是解题关键.直接利用树状图法列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案.【解答】解：如图所示:

小超物 化生/一共/]\ZT\，一共有9种可能，符合题意的有1种，小强物化生物化生物化生故小华和小强都抽到物理学科的概率是：1.故选D.9C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如例5.小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区4BC三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：2014-20]9年三种品晴电视机

月平均销售量统计图工回4〜加19年三种品揩电视机销售思才统计图JL.销阴止(万台｝4030201002014-20]9年三种品晴电视机

月平均销售量统计图工回4〜加19年三种品揩电视机销售思才统计图JL.销阴止(万台｝40302010027.223.220工019年售神电独品牌市场占布率统讳图C品牌34%B品牌25%29%ABC品牌一^森不份根据上述三个统计图，请解答:(1)2014〜2019年三种品牌电视机销售总量最多的是(1)2014〜2019年三种品牌电视机销售总量最多的是品牌月平均销售量最稳定的是品牌.(2)2019年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台?(3)货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由.【答案】BC【解析】解：(1)由条形统计图可得，2014〜2019年三种品牌电视机销售总量最多的是B品牌，是1746万台;由条形统计图可得，2014〜2019年三种品牌电视机月平均销售量最稳定的是C品牌，比较稳定，极差最小；故答案为：B，C;(2)•••20X12+25%=960(万台)，1-25%-29%-34%=12%,:.960X12%=115.2(万台)；答：2019年其他品牌的电视机年销售总量是115.2万台；(3)建议购买C品牌，因为C品牌2019年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；建议购买B品牌，因为B品牌的销售总量最多，收到广大顾客的青睐.(1)从条形统计图、折线统计图可以得出答案；(2)求出总销售量，“其它”的所占的百分比；

(3)从市场占有率、平均销售量等方面提出建议.考查条形统计图、折线统计图、扇形统计图的意义和制作方法，理解统计图中各个数量及数量之间的关系是解决问题的关键.【变式5-1】某校根据课程设置要求，开设了数学类拓展性课程，为了解学生最喜欢的课程内容，随机抽取了部分学生进行问卷调查(每人必须且只选其中一项)，并将统计结果绘制成如下统计图(不完整).请根据图中信息回答问题：抽取的学生最喜欢课程闪客的扇形统计图抽取的学生最喜双涅提内容的多形蜕计图卫趣蟠学B数学史活已实盖探究D”活应用卫趣蟠学B数学史活已实盖探究D”活应用E.志建方法1652963^-T-1-1(1)求m，n的值.(2)补全条形统计图.(3)该校共有1200名学生，试估计全校最喜欢“数学史话”的学生人数.【答案】解：(1)观察条形统计图与扇形统计图知：选A的有12人，占20%,故总人数有12・20%=60人，•••6=15+60X100%=25%,九=9+60X100%=15%；(2)选D的有60-12-15-9-6=18人，故条形统计图补充为：185296302111185296302111(3)全校最喜欢“数学史话”的学生人数为：1200X25%=300人.【解析】本题考查了扇形统计图、条形统计图及用样本估计总体的知识，解题的关键是能够读懂两种统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，难度不大.(1)先用选A的人数除以其所占的百分比即可求得被调查的总人数，然后根据百分比二其所对应的人数+总人数分别求出m、n的值；(2)用总数减去其他各小组的人数即可求得选D的人数，从而补全条形统计图；

(3)用样本估计总体即可确定全校最喜欢“数学史话”的学生人数.共200名学生进行调查.将【变式5-2】某校积极开展中学生社会实践活动，决定成立文明宣传、环境保