数学解题技巧：概率统计

第八讲概率统计【考点透视】1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的根本公式计算一些等可能性事件的概率.3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．4．会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．5．【例题解析】考点(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)＝＝;等可能事件概率的计算步骤：计算一次试验的根本领件总数;设所求事件A，并计算事件A包含的根本领件的个数;依公式求值;答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B);特例：对立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.(3)相互独立事件同时发生的概率：P(A·B)＝P(A)·P(B);特例：独立重复试验的概率：Pn(k)＝.其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项.(4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”：求概率的步骤是：第一步，确定事件性质即所给的问题归结为四类事件中的某一种.第二步，判断事件的运算即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．在五个数字中，假设随机取出三个数字，那么剩下两个数字都是奇数的概率是〔结果用数值表示〕．[考查目的]此题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.[解答过程]0.3提示:例2．一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，那么指定的某个个体被抽到的概率为．[考查目的]此题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程]提示:例3从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为〔单位：g〕：492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g之间的概率约为__________．[考查目的]此题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.例4.接种某疫苗后，出现发热反响的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反响的概率为__________.〔精确到0.01〕信号源[考查目的]此题主要考查运用组合、概率的根本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.信号源[解答提示]至少有3人出现发热反响的概率为.故填0.94.例5．右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否那么就不能接收到信号.假设将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，那么这五个接收器能同时接收到信号的概率是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕[考查目的]此题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有种分法；要五个接收器能同时接收到信号，那么需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有种，所求的概率是，所以选D.点评：此题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.例6．从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率．〔1〕求从该批产品中任取1件是二等品的概率；〔2〕假设该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率．[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]〔1〕记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．那么互斥，且，故于是．解得〔舍去〕．〔2〕记表示事件“取出的2件产品中无二等品”，那么．假设该批产品共100件，由〔1〕知其中二等品有件，故． 例7．两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是〔结果用分数表示〕．[考查目的]此题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有种.所以,将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是种.所以,填.例8．甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)假设n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)假设取到的4个球中至少有2个红球的概率为，求n.[考查目的]此题主要考查排列组合、概率等根本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]〔=1\*ROMANI〕记“取到的4个球全是红球”为事件.〔=2\*ROMANII〕记“取到的4个球至多有1个红球”为事件，“取到的4个球只有1个红球”为事件，“取到的4个球全是白球”为事件.由题意，得所以,，化简，得解得，或〔舍去〕，故.例9.某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购置．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，假设顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；假设顾客采用分期付款，商场获得利润250元．〔Ⅰ〕求3位购置该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；〔Ⅱ〕求3位顾客每人购置1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]〔Ⅰ〕记表示事件：“位顾客中至少位采用一次性付款”，那么表示事件：“位顾客中无人采用一次性付款”．，．〔Ⅱ〕记表示事件：“位顾客每人购置件该商品，商场获得利润不超过元”．表示事件：“购置该商品的位顾客中无人采用分期付款”．表示事件：“购置该商品的位顾客中恰有位采用分期付款”．那么．，．．例10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.〔Ⅰ〕分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；〔Ⅱ〕试比拟该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.〔说明理由〕[考查目的]此题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等根本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B,C，那么P(A)=a，P(B)＝b，P(C)=c.(Ⅰ)应聘者用方案一考试通过的概率p1=P(A·B·)+P(·B·C)+P(A··C)+P(A·B·C)=a×b×(1-c)+(1-a)×b×c+a×(1-b)×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率p2=P(A·B)+P(B·C)+P(A·C)=×(a×b+b×c+c×a)=(ab+bc+ca)(Ⅱ)p1-p2=ab+bc+ca-2abc-(ab+bc+ca)=(ab+bc+ca-3abc)≥=.∴p1≥p2例11．某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考核，否那么即被淘汰.某选手能正确答复第一、二、三、四轮的问题的概率分别为、、、，且各轮问题能否正确答复互不影响.〔Ⅰ〕求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;〔Ⅱ〕求该选手至多进入第三轮考核的概率. 〔注：本小题结果可用分数表示〕[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]〔Ⅰ〕记“该选手能正确答复第轮的问题”的事件为，那么，，，，该选手进入第四轮才被淘汰的概率．〔Ⅱ〕该选手至多进入第三轮考核的概率．考点例12．厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.〔Ⅰ〕假设厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；〔Ⅱ〕假设厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否那么拒收,求出该商家检验出不合格产品数的分布列及期望,并求出该商家拒收这批产品的概率.[考查目的]此题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]〔Ⅰ〕记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A用对立事件A来算，有〔Ⅱ〕可能的取值为．，，．记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，那么商家拒收这批产品的概率．所以商家拒收这批产品的概率为．例13．某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确答复以下问题者进入下一轮考核，否那么即被淘汰.某选手能正确答复第一、二、三轮的问题的概率分别为、、,且各轮问题能否正确答复互不影响.〔Ⅰ〕求该选手被淘汰的概率;〔Ⅱ〕该选手在选拔中答复以下问题的个数记为，求随机变量的分布列与数学期望.〔注：本小题结果可用分数表示〕[考查目的]此题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一：〔Ⅰ〕记“该选手能正确答复第轮的问题”的事件为，那么，，，该选手被淘汰的概率．〔Ⅱ〕的可能值为，，，．的分布列为123．解法二：〔Ⅰ〕记“该选手能正确答复第轮的问题”的事件为，那么，，．该选手被淘汰的概率．〔Ⅱ〕同解法一．考点思路启迪：解答过程：小结：某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数的分布列为123450.40.20.20.10.1商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．表示经销一件该商品的利润．〔Ⅰ〕求事件：“购置该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率；〔Ⅱ〕求的分布列及期望．[考查目的]本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程]〔Ⅰ〕由表示事件“购置该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”．知表示事件“购置该商品的3位顾客中无人采用1期付款”，．〔Ⅱ〕的可能取值为元，元，元．，，．的分布列为〔元〕．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04 D.65，25解答过程：易得没有改变，=70，而s2=［〔x12+x22+…+502+1002+…+x482〕－482］=75，s′2=［〔x12+x22+…+802+702+…+x482〕－482］=［〔75×48+482－12500+11300〕－482］=75－=75－25=50.答案：B考点典型例题解答过程：解答过程：．思路启迪：解答过程：小结：．考点例20.如果随机变量ξ～N〔μ，σ2〕，且Eξ=3，Dξ=1，那么P〔－1＜ξ≤1＝等于()A.2Φ〔1〕－1 B.Φ〔4〕－Φ〔2〕C.Φ〔2〕－Φ〔4〕 D.Φ〔－4〕－Φ〔－2〕解答过程：〕=Φ〔－2〕－Φ〔－4〕=Φ〔4〕－Φ〔2〕.答案：B例21.将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d℃，液体的温度ξ〔单位：℃〕是一个随机变量，且ξ～N〔d，0.52〕.〔1〕假设d=90°，ξ<89的概率；〔2〕假设要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，d至少是?〔其中假设η～N〔0，1〕，那么Φ〔2〕=P〔η<2〕=0.9772，Φ〔－2.327〕=P〔η<－2.327〕=0.01〕思路启迪：〔1〕要求P〔ξ<89〕=F〔89〕，∵ξ～N〔d，0.5〕不是标准正态分布，而给出的是Φ〔2〕，Φ〔－2.327〕，故需转化为标准正态分布的数值.〔2〕转化为标准正态分布下的数值求概率p，再利用p≥0.99，解d.解答过程：〔1〕P〔ξ<89〕=F〔89〕=Φ〔〕=Φ〔－2〕=1－Φ〔2〕=1－0.9772=0.0228.〔2〕由d满足0.99≤P〔ξ≥80〕，即1－P〔ξ<80〕≥1－0.01，∴P〔ξ<80〕≤0.01.∴Φ〔〕≤0.01=Φ〔－2.327〕.∴≤－2.327.∴d≤81.1635.故d至少为81.1635.小结：〔1〕假设ξ～N〔0，1〕，那么η=～N〔0，1〕.〔2〕标准正态分布的密度函数f〔x〕是偶函数，x<0时，f〔x〕为增函数，x>0时，f〔x〕为减函数.是是思路启迪：解答过程：小结：是思路启迪：解答过程：【专题训练】一.选择题13.某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150个、120个、180个、150个销售点.公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后效劳情况，记这项调查为②.那么完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是A.分层抽样法，系统抽样法 B.分层抽样法，简单随机抽样法C.系统抽样法，分层抽样法 D.简单随机抽样法，分层抽样法14.某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示，根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为()hB.0.9h C.1.0hD.1.5h二.填空题19.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k小组中抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同.假设m=6，那么在第7组中抽取的号码是___________.20.用系统抽样法要从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生随机地从1～160