2024年上海市西中学高一数学3月份考试卷附答案解析

2024年上海市西中学高一数学3月份考试卷全卷满分150分．考试时间120分钟．2024.03一、填空题（本大题共有12题，每题4分，满分48分）1．角可以换算成弧度．2．已知角的终边过点，则角的余弦值为．3．已知，，则角的终边在第象限.4．若，则．5．已知，则．6．已知，则角．7．已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是.8．已知，则.9．把化成的形式是．10．已知都为锐角，则的值为.11．在中，，则的形状是．12．在中，角所对边分别为，若，则．二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13．是成立的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件14．当时，化简的结果是（

）A． B． C． D．15．小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为（

）A． B． C． D．16．在中，已知，则下列结论正确的为（

）A． B．C． D．三、解答邀（本大题共有5题，满分56分）17．如图，设是单位圆和轴正半轴的交点，点是单位圆上的一点，是坐标原点，，且且.(1)求的值；(2)求的值．18．设分别是的三个内角所对的边，且，(1)求；(2)时，求的面积．19．解决下列问题：(1)已知，求值.(2)已知，，求的值.20．（1）上课不认真听讲的某同学将两角和的余弦定理错误地记忆为：，老师给定了和值，该同学用错误的公式计算的值，结果居然与正确答案相同，请问：老师给出的和值分别是什么？（请写出至少三组答案）（2）有了上次侥幸的喜悦后，该同学继续我行我素，又想当然的认为，请问：是否存在某些和，可以让该同学继续“混对”答案？若存在和，请求出，若不存在，请说明理由.21．某个公园有个池塘，其形状为直角三角形，，米，米.(1)现在准备养一批供游客观赏的鱼，分别在上取点D､E､F，并且，，（如图1），游客要在内喂鱼，希望面积越大越好.设（米），用x表示面积S，并求出S的最大值；(2)现在准备新建造一个走廊，方便游客通行，分别在上取点D､E､F，建造正走廊（不考虑宽度）（如图2），游客希望周长越小越好.设，用表示的周长L，并求出L的最小值.1．【分析】利用角度与弧度之间的换算关系可得结果.【详解】.故答案为：.2．【分析】根据三角函数的定义，结合点的坐标，即可求得结果.【详解】根据三角函数定义可得：，故角的余弦值为.故答案为：.3．三【分析】根据，，得到角的终边在第三象限.【详解】，，故角的终边在第三象限.故答案为：三4．【分析】利用诱导公式对所求进行化简，把条件代入求值即可.【详解】又，所以原式故答案为：5．##0.6【分析】将目标式化为齐次式，结合同角三角函数关系，即可求得结果.【详解】因为，则.故答案为：.6．或或或【分析】根据特殊角的三角函数值，结合题意，直接求解即可.【详解】因为，则，又，故或或或，解得：或或或.故答案为：或或或.7．2【分析】由扇形的周长和面积，可求出扇形的半径及弧长，进而可求出该扇形的圆心角.【详解】设扇形的半径为，所对弧长为，则有，解得，故.故答案为：2.【点睛】本题考查扇形面积公式、弧长公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．【解析】由题意得出，然后利用诱导公式可计算出的值.【详解】，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题时要明确各角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.9．【分析】逆用两角和正弦公式即可得解.【详解】由.故答案为：10．【分析】首先利用角的变换得，再结合两角差的余弦公式，以及同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】因为都是锐角，所以，，，所以.故答案为：11．等腰三角形【分析】由诱导公式及正弦定理化简后，由正弦函数的性质可得解.【详解】由诱导公式可得，由正弦定理可得，所以，由，可得，即，因为,所以或（舍去），故三角形为等腰三角形.故答案为：等腰三角形12．【详解】又A为锐角，所以A=13．D【分析】判断和之间的逻辑推理关系，即得答案.【详解】当时，，此时，即推不出成立；当时，，此时，即推不出成立；故是成立的既非充分也非必要条件，故选：D14．B【分析】利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于，所以，.故选：B15．D【分析】根据题意结合正弦定理运算求解.【详解】，由题意知：∠CAM＝45°，∠AMC＝105°，所以∠ACM＝30°，在Rt△ABM中，AM＝＝，在△ACM中，由正弦定理得＝，所以CM＝＝，在Rt△DCM中，CD＝CM·sin∠AMD＝＝30.故选：D.16．D【分析】由条件可得，然后逐一判断即可.【详解】因为，所以因为所以，即，即所以当时可验证A，B，C不成立因为，所以，故D正确故选：D17．(1)；(2).【分析】（1）根据三角函数定义求得，结合同角三角函数关系由求得，再根据正弦的和角公式即可求得结果；（2）根据（1）中所得求得，再根据二倍角的正切公式求得，进而由正切的差角公式即可求得结果.【详解】（1）根据三角函数定义可得；又，，则；.（2）由（1）可得，，又，故.18．(1)(2)【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系及两角和的正弦公式求解；（2）由正弦定理及三角形面积公式求解.【详解】（1）在中，，故，因为，所以由正弦定理可知，由大边对大角可得，故，所以.（2）时，由正弦定理可得，，所以.19．(1)(2)【分析】（1）由诱导公式，，后利用可得答案；（2）将平方后，可得，结合，可判断符号，平方后可得答案.【详解】（1）由诱导公式，，又，则.（2）因，则，即一正一负，又，则，即.又，则.20．（1）或，等；（2）不存在和能让该同学能继续“混对”.【分析】（1）化简即得解；（2）化简已知得，即得解.【详解】解：由，错误公式得，当时，，得，所以或.所以老师给出的可能是等.【点睛】解：因为，若该同学能继续“混对”，则，得到，显然无解，则不存在和能让该同学能继续“混对”.21．(1)，平方米；(2)（其中是满足的锐角），米.【分析】（1）因为，则可求CE，BE，DE，求得，利用基本不等式可求的面积的最大值；（2）设等边三角形边长为，在中，由正弦定理可得（其中是满足的锐角），即可求得的周长及其最小值．【详解】