高中数学同步讲义（人教A版选择性必修三）第05讲 拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用（学生版）

第05讲拓展一：数学探究：杨辉三角的性质与应用知识点01：二项式系数的性质①各二项式系数和：；②奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：知识点02：杨辉三角至少具有以下性质：①每一行都是对称的，且两端的数都是1②从第三行起，不在两端的任意一个数，都等于上一行中与这个数相邻的两数之和．③当时，二项式系数是逐渐变大的；当时，二项式系数是逐渐变小的．(4)当是偶数时，中间一项的二项式系数最大，当是奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大．题型01二项展开式的系数问题【典例1】（2022·全国·高三校联考竞赛）设整数，的展开式中与xy两项的系数相等，则n的值为.【典例2】（2023上·湖北·高三校联考阶段练习）的展开式中含项的系数为.【典例3】（2017·高二课时练习）已知(n∈N＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含的项．【变式1】（2024·吉林白山·统考一模）已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45，则展开式的常数项为．【变式2】（2023下·辽宁·高二校联考阶段练习）设，已知，则，的展开式中含的系数为.【变式3】（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，且的系数为，则.题型02杨辉三角的有关问题【典例1】（多选）（2023下·重庆·高二统考期末）杨辉三角形又称贾宪三角形，因首现于南宋杰出数学家杨辉的《详解九章算法》而得名，它的排列规律如图所示：在第一行的中间写下数字1；在第二行写下两个1，和第一行的1形成三角形；随后的每一行，第一个位置和最后一个位置的数都是1，其他的每个位置的数都是它左上方和右上方的数之和.那么下列说法中正确的是（

）

A．第行的第个位置的数是B．若从杨辉三角形的第三行起，每行第3个位置的数依次组织一个新的数列，则数列是两项奇数和两项偶数交替呈现的数列C．70在杨辉三角中共出现了3次D．210在杨辉三角中共出现了6次【典例2】（多选）（2021下·湖北武汉·高二统考阶段练习）中国古代数学史曾经有自己光辉灿烂的篇章，其中“杨辉三角”的发现就是十分精彩的一页.而同杨辉三角齐名的世界著名的“莱布尼茨三角形”如下图所示（其中n是行数，r是列数，）下面关于莱布尼茨三角形的性质描述正确的是（

）A．每一行的对称性与增减性与杨辉三角一致B．第10行从左边数第三个数为C．D．【典例3】（2022下·北京朝阳·高二统考期末）我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》里，出现了图1这张表.杨辉三角的发现比欧洲早500年左右.如图2，杨辉三角的第行的各数就是的展开式的二项式系数.则第10行共有个奇数；第100行共有个奇数.【典例4】（2021下·江苏·高二专题练习）在杨辉三角形中，从第2行开始，除1以外，其它每一个数值是它上面的两个数值之和，该三角形数阵开头几行如图所示.（1）在杨辉三角形中是否存在某一行，使该行中有三个相邻的数之比是3：4：5？若存在，试求出是第几行；若不存在，请说明理由；（2）已知n，r为正整数，且，求证：任何四个相邻的组合数不能构成等差数列.【变式1】（多选）（2022下·广东深圳·高二深圳市高级中学校考期中）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，+

例如第行的为第行中两个的和．则下列命题中正确的是(

)A．在“杨辉三角”第行中，从左到右第个数是B．在“杨辉三角”中，当时，从第行起，每一行的第列的数字之和为C．在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则【变式2】（2022下·湖北·高二校联考阶段练习）如图，在杨辉三角形中，斜线的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：，记此数列的前项之和为，则的值为.【变式3】（2022下·湖南常德·高二临澧县第一中学校考阶段练习）在的展开式中（其中，，…，叫做项式系数），当，2，3，…，得到如下左图所示的展开式，如图所示的“广义杨辉三角”：（1）若在的展开式中，的系数为75，则实数的值为；（2）（可用组合数作答）.【变式4】（2022下·上海奉贤·高三上海市奉贤中学校考阶段练习）如图，我们在第一行填写整数到，在第二行计算第一行相邻两数的和，像在三角（杨辉三角）中那样，如此进行下去，在最后一行我们会得到的整数是.题型03求二项展开式中的系数最大项问题【典例1】（2022下·河北邯郸·高二统考期末）若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（

）A． B．C． D．【典例2】（2022·上海·统考一模）已知展开式的二项式系数的最大值为，系数的最大值为，则.【典例3】（2022下·江苏泰州·高二统考期中）已知二项式，（且）．若、、成等差数列．（1）求展开式的中间项；（2）求的最大值．【典例4】（2022下·湖北武汉·高二江夏一中校考阶段练习）已知二项式．（1）若它的二项式系数之和为512．求展开式中系数最大的项；（2）若，求二项式的值被7除的余数．【变式1】（多选）（2023下·江苏苏州·高二校联考期中）在的展开式中（

）A．常数项为 B．项的系数为C．系数最大项为第3项 D．有理项共有5项【变式2】（2022下·广西玉林·高二统考期末）已知为正整数，在二项式的展开式中，若前三项的二项式系数的和等于79，则的值为，展开式中第项的系数最大.【变式3】（2022下·湖北武汉·高二校联考期中）已知展开式中第3项和第7项的二项式系数相等（1）求展开式中含的项的系数；（2）系数最大的项是第几项？【变式4】（2022上·内蒙古包头·高二北重三中校考期中）（1）已知，求的值.（2）已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大992.求展开式中系数最大的项.题型04二项式定理的应用【典例1】（2023·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）从这100个自然数中随机抽取三个不同的数,这三个数成等差数列的取法数为,随机抽取四个不同的数,这四个数成等差数列的取法数为,则的后两位数字为（

）A．89 B．51 C．49 D．13【典例2】（2023下·上海浦东新·高二校考期中）对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则.【典例3】（2022上·上海黄浦·高三格致中学校考阶段练习）给定数列.对于任意的，若恒成立,则称数列是互斥数列.(1)若数列，判断是否是互斥数列，说明理由；(2)若数列与都是由正整数组成的且公差不为零的等差数列，若与不是互斥数列，求证:存在无穷多组正整教对，使成立；(3)若(是正整数)，试确定满足的条件，使是互斥数列.【变式1】（2022·山西吕梁·统考模拟预测）伟大的数学家欧拉28岁时解决了困扰数学界近一世纪的“巴赛尔级数”难题．当时，，又根据泰勒展开式可以得到，根据以上两式可求得（

）A． B． C． D．【变式2】（2