微积分（第三版）课件：多元函数微积分

线性代数高等学校经济管理学科数学基础微积分多元函数微积分第一节空间曲面第二节多元函数第三节偏导数与经济应用第四节全微分第五节多元函数微分法第六节多元函数极值第七节多元函数优化问题第八节二重积分多元函数微积分一、空间直角坐标系二、空间曲面与方程三、空间曲线及其在坐标面投影四、平面区域与n维空间第一节空间曲面多元函数微积分

导言：多元函数微积分是一元函数微积分的推广.多元函数微积分的许多内容与一元函数微积分相关内容类似或密切相关，主要包括：多元函数、多元函数的极限与连续、多元函数微分学及其应用、二重积分等内容.在这部分内容的学习中应注意与一元函数微积分的对比和联系.

在讨论多元函数微积分之前，首先要了解空间曲面的知识.这些知识是学习多元函数微积分的基础.第一节空间曲面一、空间直角坐标系

1.空间直角坐标系(1)在空间任选一点O称为坐标原点,(3)在三个坐标轴上选定长度单位.(2)在O点处作三条两两互相垂直的轴Ox,Oy,Oz称为坐标轴，

三个坐标轴Ox,Oy,Oz的次序和方向，规定为按右手法则排列，即右手握住z轴，四个手指从x轴的方向转到y轴方向时，拇指就指向z轴的正方向.xyzO

三个坐标轴Ox,Oy,Oz两两决定三个互相垂直的平面Oxy,Ozx,Oyz,统称为坐标平面.即xOy坐标面、yOz坐标面、zOx坐标面.xzyo

三个坐标平面将空间分为八个部分,称其每个部分为卦限,它们分别是：含x轴,y轴和z轴正向的卦限称为第Ⅰ卦限,然后逆着z轴正向看时,按逆时针顺序依次为Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ卦限，以及第Ⅴ,Ⅵ,Ⅶ,Ⅷ卦限.ⅠⅡⅢⅣⅤⅧⅡ2.点的坐标xyzOMPRQ

设M为空间的任意一点,过点M作垂直于三个坐标轴的平面，与x轴、y轴、z轴的垂足分别为P,Q,R.在坐标轴上对应的坐标分别是x,y,z.这样空间内任一点就确定了惟一的一组有序的数组x,y,z,用(x,y,z)表示.

反之,任给出一组有序数组x,y,z它们分别在x轴,y轴和z轴上对应点P,Q,R.过三点分别作垂直于三个坐标轴的平面相交于点M.因此1-1对应

通过空间直角坐标系,建立了空间点M与有序数组x,y,z之间的1-1对应的关系.有序数组x,y,z就称为点M的坐标,x为点M的横坐标,y为点M的纵坐标,z为点M的竖坐标,记为M(x,y,z).x轴上点的坐标为(x,0,0)，y轴上点的坐标为(0,y,0)，z轴上点的坐标为(0,0,z)，oxy面上点的坐标为(x,y,0)，oyz面上点的坐标为(0,y,z)，ozx面上点的坐标为(x,0,z)，特殊点的坐标3.空间两点间的距离

设M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2)为空间两点.过点M1

，M2各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.yzOy1xz1z2y2x2x1QPM1M2R上式称为M1,M2两点间的距离公式.由勾股定理可得

例在y轴上求一点M,使其到两点M1(2,0,–1)与M2(1,–1,3)的距离相等.

解

由于点M在y轴上,设其坐标为(0,y,0),由题意有等式即解此方程得y=–3，因此所求点为M(0,–3,0).二、空间曲面的方程1.曲面方程的概念

定义

若曲面

上的点的坐标都满足方程

F(x,y,z)=0而不在曲面

上的点的坐标都不满足方程,则称该方程为曲面

的方程.而曲面

就称为该方程的图形.zxyO而不在球面上的点的坐标都不满足方程,所以该方程为球面方程.

特殊地,球心在原点,半径为R的球面方程为

例求球心在

M0

(x0,y0,z0),半径为R

的球面方程.

解设M(x,y,z)为球面上任意一点,则M在球面上的充要条件为即2.平面的方程

例求与两定点,等距离的动点的轨迹方程.解由题意有由两点间的距离公式，得两边平方，化简得三元一次方程

由几何学知，动点的轨迹是线段的垂直平分面，因此上述三元一次方程是平面方程.此结论对空间一般平面也成立.空间平面的一般方程为三元一次方程其中A、B、C、D均为常数，且不全为零.

对于平面当A、B、C、D均不为零时，平面图形用连接平面与三个坐标轴的交点的三角形表示.zxyO（1）若，则平面过坐标原点（2）若，则平面平行于Oz轴（3）若，则平面过Oz轴（4）若，则平面平行于yOz平面3.母线平行于坐标轴的柱面

柱面的概念动直线

L沿给定曲线

C

平行移动形成的曲面称为柱面.动直线

L称为柱面的母线,定曲线

C

称为柱面的准线.C

（1）以xOy

坐标面上曲线

C:f(x,y)=0为准线,母线平行于z轴的柱面方程为柱面方程f(x,y)=0特点是方程中不含有变量z.xyzC

必在准线

C上.所以

的坐标满足曲线

C

的方程

f(x,y)=0.

设

M(x,y,z)为柱面上的任一点,过M作平行于

z

轴的直线交

xoy

坐标面于点由柱面定义知点

M(x,y,z)也满足方程

f(x,y)=0.由于方程

f(x,y)=0不含

z，所以

而不在柱面上的点作平行于

z

轴的直线与

xoy

坐标面的交点必不在曲线

C

上,也就是说不在柱面上的点的坐标不满足方程

f(x,y)=0.xyz

（2）以yOz

坐标面上曲线

C:g(y,z)=0为准线,母线平行于x轴的柱面方程为

（3）以zOx

坐标面上曲线

C:h(x,z)=0为准线,母线平行于y轴的柱面方程为

在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就平行于哪一个坐标轴.yzxyz几种常用的柱面方程及图形（1）圆柱面（2）椭圆柱面（4）抛物柱面（3）双曲柱面zyxO

平面曲线

C

绕同一平面上定直线

L

旋转所形成的曲面称为旋转曲面.

定直线

L

称为旋转轴.4.旋转曲面

设yoz

平面上曲线

C:f(y,z)

=0绕

z

轴旋转形成旋转曲面.则旋转曲面方程为CC

设yoz

平面上曲线

C:f(y,z)

=0绕

z

轴旋转形成旋转曲面.点

M(x,y,z)为旋转曲面上任意一点,

过点

M

作平面垂直于

z轴,交

z

轴于点

P(0,0,z),交曲线

C于点M0(0,y0,z0).由于点

M可以由点

M0

绕

z轴旋转得到,因此有又因为

M0

在曲线

C

上，所以f(y0

,z0)=0即得旋转曲面方程:

设

yoz

坐标面上的直线

z=ay(a

0),绕

z

轴旋转,确定旋转曲面方程.因为将直线z=ay

绕z轴旋转,故z保持不变,将

y换成则得此曲面称为圆锥面.即例圆锥面方程旋转所得的曲面方程为该曲面称为旋转抛物面.

当

a<0时，旋转抛物面的开口向下.

将yz

坐标面上的抛物线

z=ay2(a

>0)，绕

z

轴当

a>0时，旋转抛物面的开口向上.例旋转抛物面xyzO

定义

三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.讨论二次曲面形状的截痕法：

用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线（即截痕）的形状,然后加以综合,从而了解曲面的全貌,这种方法称为截痕法.5.二次曲面（1）椭球面由方程得即曲面介于平面之间曲面与三个坐标面的交线为：椭球面与平行坐标平面的交线为椭圆，且椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.（与同号）（4）椭圆抛物面（2）单叶双曲面（3）双叶双曲面（2）单叶双曲面（3）双叶双曲面（与同号）（4）椭圆抛物面（与同号）（5）双曲抛物面三、空间曲线及其在坐标面上的投影

空间两平面相交为直线.因此，可以把空间直线看作是两平面的交线.相应地，可以把空间曲线看作是两曲面的交线.所表示的曲线方程称为空方程组特殊地，直线方程间曲线的一般方程.zxyO

z=3是平行于

xy

坐标面的平面，

因而它们的交线是在平面

z=3上的圆.

解因为

x2+y2+z2=25是球心在原点,半径为5的球面.表示什么曲线?例方程组xyzO例曲线方程表示上半球面与柱面相交构成的空间曲线方程过曲线C上的每一点作xOy坐标面的垂线,这些垂线形成了一个母线平行于z轴且过曲线C的柱面,称其为曲线C关于xOy坐标面的的投影柱面.这个柱面与面的交线称为曲线在面上的投影曲线,简称投影.投影柱面方程的确定：由方程组消去变量z，所得方程为投影柱面方程.设空间曲线C的方程为xOy坐标面上的投影曲线方程

例求曲线在

xoy坐标面上的投影曲线的方程.解方程就是

关于xoy

坐标面的投影柱面方程，因而曲线

在

xy

坐标面上的投影曲线是圆.四、平面区域与n维空间例

连通：如果点集E内任意两点都能用全属于E的折线或曲线连接起来，则称E为连通的.

区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及其它的边界所成的集合称为闭区域.

有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D

，使，则称E为有界区域，否则称E为无界区域.例区域为开区域.例区域为有界闭区域.

n维空间由元有序实数组的全体组成的集合称为n维空间，记作，即其中每个有序数组称为

中的一个点，也称该点的坐标，n个实数就是这个点的坐标的分量.

n维空间中任意两点与间的距离定义为多元函数微积分一、二元函数二、二元函数的极限与连续三、多元函数第二节多元函数

导言：多元函数是多元函数微积分学研究的对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之间辩证关系.第二节多元函数一、二元函数例矩形面积S与长x，宽y之间关系为

S=xy(x>0,y>0)其中长x和宽y是两个独立的变量,在它们变化范围内,当x,y的值取定后,矩形面积S有惟一确定值对应.

例在西方经济学中，著名的生产函数为，这里为常数，分别表示投入的劳动力数量和资本数量，Q表示产量，Q是一个依赖于K和L的变化而变化的量．当K,L的值取定后,Q就

有惟一确定的值相对应.

定义设D为中的一个非空点集，若有一个映射f，使得对于D中每一个有序实数对，都有惟一确定的实数z与之对应，则称映射f为定义在D上的二元函数，记为f：D→R

，又记为，其中称为自变量，z称为因变量，的变化范围D称为函数的定义域，记为实数z的取值范围称为值域，记为.zDyxzf

二元函数的定义域

当用某个解析式表达二元函数时，凡是使解析式有意义的自变量所组成的平面点集为该二元函数的定义域，二元函数的定义域通常为平面区域.例解要使函数有意义须满足所以函数的定义域为xy例解要使函数有意义须满足所以函数的定义域为例解要使函数有意义须满足函数的定义域为例解要使函数有意义须满足所以函数的定义域为

二元函数的几何图形

设函数z=f(x,y)的定义域为D.对于任意取定的点,对应的函数值为.这样,就确定空间一点.当(x,y)取遍D上的一切点时,得到空间点集这个点集称为二元函数的图形.该几何图形通常是一张曲面.而定义域D正是这曲面在Oxy平面上的投影.例例二、二元函数的极限与连续

定义设函数z=f(x,y)在点的某一去心邻域内有定义,如果动点P(x,y)在该邻域内以任意方式趋于定点

时,函数值f(x,y)趋于一个确定常数A,则称A为函数z=f(x,y),当时的极限，记作或(1)对于二元函数极限的存在是指当P(x,y)以任意方式与方向趋于定点P0(x0,y0),函数都无限接近于A.即极限趋近方式具有任意性特征.二元函数极限的说明：(2)对于二元函数极限的不存在,则有若当点P(x,y)以不同路径趋于点时,函数趋于不同的值;或在某一路径上点P(x,y)趋于点的极限不存在,则可以断定函数在点的极限不存在.xy-1.0-0.5-0.200.20.51.0-1.00.000.600.921.000.920.600.00-0.5-0.600.000.721.000.720.00-0.60-0.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920-1.00-1.00-1.00-1.00-1.00-1.000.2-0.92-0.720.001.000.00-0.72-0.920.5-0.600.000.721.000.720.00-0.601.00.000.600.921.000.920.600.00

例考察函数在处的极限是否存在.做出函数在点附近的函数值表，如下函数在处的极限不存在.

例证明函数在处的极限不存在.

证让沿直线而趋于，则有它将随k的不同而具有不同的值.因此，极限不存在.

二元函数极限与一元函数极限具有类似的性质与运算法则.例求极限解例求极限解由有界变量与无穷小乘积为无穷小知2.二元函数的连续性

定义设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某一邻域内有定义,若则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.

定义若在点P0(x0,y0)处,自变量x,y各取增量△x,△y时，函数随之取得增量△z，即若则称函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续

如果函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)不连续，则称点P0(x0,y0)是函数f(x,y)的不连续点，或称间断点.(1)在点P0(x0,y0)没有定义，(2)极限不存在，(3)则点P0(x0,y0)为函数的z=f(x,y)的间断点.如果函数z=f(x,y)有下列情形之一：

二元函数间断的情况要比一元函数复杂,它除了有间断点外,还可能有间断线.例此函数对于x轴与y轴上的点均间断.此函数在原点(0,0)处间断.二元函数的连续性质

由变量x，y的基本初等函数及常数经过有限次四则运算或复合步骤而构成的，且用一个数学式子表示的函数称为二元初等函数.

定理二元初等函数在其定义区域(是指包含在定义域内的区域)内是连续.

定理连续函数的和、差、积、商(分母不为零)与复合仍连续.

定理在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有最大值和最小值.例求极限解三、多元函数

一般地，称函数为上的n元函数．

若n元有序实数组用点表示，这样n元函数.也可以表示为称其为点函数.

例如，一个公司用n种原料制造食品，每种原料i的单价为，在食品的制造中，有数量为的原料i被使用，因此总费用是受原料影响的函数：

二元函数及二元以上函数统称为多元函数，同二元函数类似，可以定义多元函数的极限与连续概念.并将其统一为点函数形式.多元函数的极限定义多元函数的连续定义

由于这种形式上的统一，使得多元函数的一些主要概念、性质与二元函数类似.因此，对于多元函数微积分的研究主要以二元函数为主，多元函数微积分可以由二元函数微积分类似推广.多元函数微积分一、偏导数二、高阶偏导数三、偏导数在经济学中的应用第三节偏导数及其经济应用第三节偏导数及其经济应用一、偏导数

引例在西方经济学中，柯布-道格拉斯生产函数为，这里为常数，分别表示投入的劳动力数量和资本数量，Q表示产量.

当劳力投入不变时产量对资本投入的变化率

当资本投入不变时产量对劳力投入的变化率

该问题说明有时需要求二元函数在某个变量不变的条件下，对另一个变量的变化率.1.偏导数概念

定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,当y固定在y0,而x在x0处有增量△x时,相应函数有增量如果极限存在,则称其值为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导数.记为一元函数导数即类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为也可记为函数z=f(x,y)在区域D内任意点(x,y)处的偏导数

由偏导数定义可知,求偏导数，就是在函数中视y为常数，只对x求导数，因此有2.偏导数的计算类似地这样求偏导数实际上是一元函数求导问题.对于固定点处的导数有例求函数的偏导数.解例求函数的偏导数.解

例

求函数在点(1,3)处对x和y的偏导数.解将点(1,3)代入上式，得或由可得所以例设求解因为所以二元以上多元函数的偏导数可类似地定义和计算例求函数的偏导数.

解对x求偏导数就是视y,z为常数，对x求导数同理3.二元函数偏导数的几何意义

二元函数z=f(x,y)的图形表示空间一张曲面.当y=y0时,曲面z=f(x,y)与平面y=y0的交线方程为在点M0(x0,y0,z0)处由一元函数导数的几何意义知：fx(x0,y0)几何意义是曲线的切线关于x轴的斜率.即同理4.偏导数与连续的关系对于二元函数偏导数与连续的关系如何？一元函数可导与连续的关系：连续可导例解由偏导数定义所以，函数在(0,0)处对变量x，y的偏导数存在.让沿直线而趋于（0,0），则有它将随k的不同而具有不同的值，因此极限不存在.所以函数在(0,0)处不连续.结论：二元函数偏导数存在未必连续.结论：二元函数连续未必偏导数存在.

例说明二元函数，在点(0,0)处是连续的,但在(0,0)点偏导数不存在.解因为所以，函数在点处(0,0)连续.又因为极限不存在，所以偏导数不存在.

这是因为连续只保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时,函数f(x,y)趋于f(x0,y0).但不能保证点(x,y)沿着平行坐标轴方向趋于(x0,y0)时,变化率的极限存在.二元函数连续与偏导数之间关系：连续偏导数

反之,偏导数存在.只能保证当点(x,y)沿着平行坐标轴的方向趋于(x0,y0)点时,函数f(x,y)变化率极限存在,此时沿着平行坐标轴的方向f(x,y)趋于f(x0,y0),但不能保证当点(x,y)以任意方式趋于点(x0,y0)时,f(x,y)趋于f(x0,y0).二、高阶偏导数

设函数z=f(x,y)在区域D内有偏导函数与.且其偏导数仍存在,则称其偏导数为二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数

同样可定义三阶、四阶以至n阶偏导数.一个多元函数的n–1阶偏导数的偏导数,称为原来函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数.

高阶偏导数的求导原则是逐阶求导.例

求的二阶偏导数.解解例

求的二阶混合偏导数.

此例中两个二阶混合偏导数相等.但是由于求偏导数运算的次序不同，两个混合偏导数也未必一定相等在什么条件下两个混合偏导数相等？

定理如果函数z=f(x,y)在开区域D上二阶混合偏导数连续,则在该区域上任一点处必有三、偏导数在经济学中的应用

二元函数的偏导数与，分别称为函数对变量x与y的边际函数，边际函数概念也可以推广到多元函数上.（1）边际产量

设某企业只生产一种产品，这种产品的生产数量取决于投资的资本数量及可获得的劳动力数量．通常假定满足库柏──道格拉斯生产函数资本的边际产量为与劳力的边际产量函数分别为

例某工厂的生产函数是，其中Q是产量(单位:件)，K是资本投入(单位:千元)，L是劳力投入(单位:千工时)．求当时的边际产量.解资本的边际产量劳力的边际产量为边际产量为（2）边际成本与边际利润

当厂商生产A,B两种不同的产品时，总成本、总收入和总利润均为两种产品产量的二元函数.这些函数分别对的偏导数就是两种不同产品的边际成本、边际收益和边际利润.总成本函数为总收入函数为总利润函数为

例某工厂生产两种不同的产品，其数量为，总成本为(1)求两种不同产品的边际成本；(2)确定当时，对的边际成本；(3)当出售两种产品的单价分别为30元和20元时，求每种产品的边际利润．解(1)对产品的边际成本为

对产品的边际成本为

(3)利润函数边际利润分别为多元函数微积分一、全微分的定义二、函数可微的充分与必要条件第四节全微分则函数微分为当很小时第四节全微分问题导言：一元函数微分回顾例正方形面积改变量.

的线性主部高阶无穷小微分定义若函数改变量

由两部分组成.一部分是关于的线性主部,另一部分是比高阶的无穷小.一、全微分的定义

引例设矩形金属薄板长为x,宽为y,则面积S=xy.薄板受热膨胀,长自x0增加,宽自y0增加,其面积相应增加即其中

定义设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义,如果z=f(x,y)在点(x0,y0)的全增量可表示为其中A,B与无关，是比高阶的无穷小,则称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分,记作dz.即也称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微.

问题:(1)函数在什么下可微？(2)全微分表达式中的A，B

如何？

定理

若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处可微,则f(x,y)在该点的两个偏导数存在,并且A=fx(x0,y0),B=fy(x0,y0).证因为f(x,y)在点(x0,y0)处可微，则有取，此时，则有两边同除以，再令取极限，得二、函数可微的必要与充分条件这样,二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处的全微分可以表达为若规定.于是全微分又可写成

若函数f(x,y)在开区域D内每一点处都可微,则称f(x,y)在域D内可微.且

定理如果函数z=f(x,y)在(x0,y0)点可微,则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.证根据函数可微的定义，有当时，有，所以z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续.因此二元函数连续、偏导数与全微分之间关系

前述定理说明二元函数全微分存在一定连续,偏导数一定存在.反之则不然.例函数在原点(0,0)处的偏导数存在.且但在点(0,0)处不连续,故在(0,0)点是不可微的.下面的定理给出了函数z=f(x,y)可微的充分条件.

例函数,在点(0,0)处是连续的,但在(0,0)点偏导数不存在.故在(0,0)点是不可微的.

定理设函数z=f(x,y)在点(x,y)存在连续的偏导数则函数z=f(x,y)在点(x,y)可微.函数连续函数可导函数可微连续偏导数函数连续偏导数与全微分之间的关系例

求的全微分.解例

求在点(2,1)处的全微分.解由于是连续函数.所以在点(2,1)处的全微分为且三、全微分在近似计算上的应用函数值的近似公式例计算的近似值解由公式得近似公式

例某企业的成本C与产出的商品A和B的数量之间的关系为

现A的产量从100增加到105，而B的产量由50增加到52，求成本大约增加多少？解即成本大约增加975．多元函数微积分一、复合函数微分法二、一阶全微分形式不变性三、隐函数的微分法第五节多元函数微分法第五节多元函数微分法

导言：复合运算是函数的一种最基本运算，同一元复合函数类似,多元函数也可以进行复合运算.多元函数复合时，由于中间变量的增多，使得多元复合函数的形式要比一元复合函数的形式复杂的多.

同一元复合函数求导法则相同，多元复合函数求导法在多元函数微分学中起着重要作用，它是多元函数微分学的核心.但是由于多元复合函数形式的复杂性，也使得多元复合函数求导法则形式具有多变性，学习中要注意把握函数的结构特征与法则之间的联系.一、复合函数求导法则

设函数z=f(u,v),而,则有复合函数（中间变量为一元函数）

定理设函数u=

(x)

与v=

(x)

在x处均可导,二元函数z=f(x,y)在x

对应点(u,v)处有一阶连续偏导数则复合函数对x

的导数存在,且zuvx求导公式函数结构一元复合函数求导法则yux证由于函数z=f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数,所以当所以

设函数z=f(u,v),而,则有复合函数(中间变量为二元函数)

类似的可以得到多元复合函数的中间变量为二元函数的求导法则.

定理设在点(x,y)处有偏导数,而z=f(u,v)在对应点(u,v)有连续偏导数,则复合函数在点(x,y)处偏导数存在,且求导公式函数结构zuvxy项数等于路径条数因子数等于连线数复合函数求导法则特征说明zuvxy

公式与结构图两者之间的联系:①公式中偏导数由两项组成,对应结构图中有两条x到达z的路径.②公式中每项为两个偏导数的乘积,这两个偏导数形式与结构图中相连接的两个变量的偏导数相对应.基本规律:分路向加,连线相乘,分清变量,逐层求导.

复合函数求导法则虽然是多种多样,但是把握了其规律就可以直接写出给定的复合函数的偏导数的公式.(2)设z=f(u,v,w),其复合函数为zuvwxyxyzuvw(1)设z=f(u,v,w),其复合函数为(3)设w=f(u,v),其复合函数为uvzxyz(4)设z=f(x,v),复合函数为zxvxy

注意:这里的与是代表不同的意义.解由复合函数求导法则，得例设求全导数zuvtt例设求全导数解由复合函数求导法则，得zuvx例

设求解法1

由复合函数求导法则，得解法2

由复合函数直接求偏导数

例

设求偏导数.解由复合函数求导法则，得zxvxy

例设,其中f(u,v)可微,求偏导数.解令，可得其中不能再具体计算了,这是因为函数f仅是抽象的函数记号，没有具体给出函数表达式.

例设,其中f(u,v,t)可微,求偏导数.解令可得wuvtxyz例设

解在这个函数的表达式中,乘法中有复合函数所以先用乘法求导公式.这里分别表示对第一、二个变量求导.例设解令其中f具有二阶连续偏导数由复合函数求导法则，得zuvxyuvxy因为f具有二阶连续偏导数，所以，故类似地，二、一阶全微分形式不变性

设z=f(u,v)有连续偏导数,当u,v是自变量时,有

如果u,v是中间变量,即,且具有连续偏导数,则复合函数的全微分为其中

由此可见,不论u,v是自变量还是中间变量,函数z=f(u,v)的全微分的形式具有同一形式.所以这个性质称为全微分的形式不变性.例求函数的偏导数和全微分.解由二元函数一阶微分形式不变性，得所以

例设,其中f(u,v)有连续偏导数,求解设由二元函数一阶微分形式不变性，得三、隐函数的微分法

设方程在区域D内确定隐函数且偏导数连续，将函数代入方程得此式两端对x求导，由复合函数求导法则，得因为，所以

定理设函数在包含点的某区域D

内具有连续的偏导数和且则(1)方程在内能惟一确定隐函数使得(2)函数在内有连续的导数，且（隐函数的求导公式）（定理证明从略）

类似地，设方程确定具有连续偏导数的二元函数，且将z=z(x,y)代入方程F(x,y,z)=0，得恒等式将上式两端对x和y求导，得所以，得（隐函数求导公式）Fxyzxy例

设解1

令，则有由求导公式,得解2

方程两边对x求导，得所以,得例

设由方程确定求偏导数解1（公式法）令，则有由求导公式得解2（求导法）方程两边对x求偏导得所以类似可得解3

（全微分法）方程两边求全微分，得即所以

例设G(x–az,y–bz)=0(a,b为常数),G(u,v)可微,证明由方程所确定的z(x,y)满足方程证令u=x–az，v=y–bz，F(x,y)=G(x–az,y–bz)所以从而有练习：分别用求导法与全微分法求解该题.多元函数微积分一、二元函数的极值二、条件极值第六节多元函数的极值第六节多元函数的极值一、二元函数的极值

定义设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,如果对该邻域内任意点(x,y)的函数值恒有f(x,y)≤f(x0,y0)(或f(x,y)≥f(x0,y0))，则称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点).函数值f(x0,y0)称为极大值(或极小值).极大值点和极小值点统称为极值点.极大值和极小值统称为极值.

例

(1)函数，在原点(0,0)处取得极小值1.因为，对于任何点(x,y)≠(0,0)，都有f(x,y)>f(0,0)=1,(2)函数在原点(0,0)处取得极大值0.因为对于任何(x,y)≠(0,0)，都有f(x,y)<f(0,0)=1xyzxyz

定理(极值存在的必要条件)

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值,且在该点的偏导数存在,则必有

证由于z=f(x,y)在点(x0,y0)取得极值,所以当y保持常量y0时,对一元函数z=f(x,y0)在点x0

也必有极值.所以同理可证

使得等式同时成立的点(x0,y0),称为函数f(x,y)的驻点.

注意：由定理知偏导数存在的极值点必定为驻点但反之，驻点不一定是函数的极值点.

极值点也可能不是驻点.因为偏导数不存在的点也可能是极值点.

如锥面的顶点(0,0,1)偏导数不存在,但顶点是极值点.但驻点(0,0)不是函数的极值点.

例函数

,在点(0,0)处的两个偏导数同时为零,即xyzoxyz问题：如何判定一个驻点是否为极值点？

定理(极值的充分条件)

设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有连续的一阶与二阶偏导数,且(x0,y0)是函数的一个驻点,即,若记

,则(1)当B2–AC<0,且A<0时,f(x0,y0)为极大值；当B2–AC<0,且A>0时,f(x0,y0)为极小值.(2)当B2–AC>0时,f(x0,y0)非极值.(3)当B2–AC=0时,f(x0,y0)可能为极值也可能非极值.

对于具有二阶连续偏导数的函数求函数z=f(x,y)极值的步骤：2.求出二阶偏导数,并对每一驻点,求出二阶偏导数的值A,B,C.1.求方程组的解,得到所有驻点.3.对每一驻点(x0,y0),定出B2–AC的符号,按照定理的结论,判定f(x0,y0)是否为极值,是极大值还是极小值.4.求出极值点处的函数值.求极值

求驻点

计算极值不定

非极值

极值

极大值

极小值求函数极值流程图例求函数的极值．解解方程组得驻点，又

在驻点(1,1)处，所以，函数有极值

在驻点(0,0)处，所以，点不是极值点；例求函数的极值.得驻点(0,0),(–4,–2).解解方程组求函数的二阶偏导数，由极值的充分条件知,点(0,0)不是极值点.在点(–4,–2)处,有而A<0,由极值的充分条件,知点(–4,–2)为极大值点,f(–4,–2)=–8e–2是函数的极大值.在点(0,0)处.有A=2,B=0,C=–4.B2–AC=8>0二、条件极值具有某种约束条件的极值问题称为条件极值．条件极值无条件极值求函数极小值求函数在条件下的极小值xyzxyz极小值点为曲面上的最低点极小值为z=0极小值点为曲线上的最低点极小值为z=1

对于函数在条件下的条件极值问题，称为目标函数，方程称为约束条件.

几何上看，目标函数在条件下的极值是指当点在xOy坐标面上的曲线上变动时，相应函数值的极值.也即曲线上的极值点.zyx

对于条件极值的求解可以将其化为无条件极值或者用下面拉格朗日乘数法求解求解条件极值的拉格朗日乘数法

问题：求函数在满足条件时的条件极值.

分析设方程确定隐函数，将其代入目标函数有

若函数在点处取得条件极值，则函数在处也取得极值，由极值的由隐函数求导公式有代入上式得必要条件知即令则上述必要条件可写成为此引入拉格朗日函数其中为待定常数，称为拉格朗日乘数.

这样有下述拉格朗日乘数法.拉格朗日乘数法（1）构造拉格朗日辅助函数将原条件极值化为求函数的无条件极值问题（2）由无条件极值问题必要条件有解方程组，求出可能的极值点（3）判别是否取得极值.

例设周长为2p的矩形,绕它的一边旋转构成圆柱体,求矩形的边长各为多少时,圆柱体的体积最大.其中矩形边长x,y满足的约束条件是2x+2y=2p，即x+y=p.求函数在条件x+y–p=0下的最大值.

解设矩形的边长分别为x和y,且绕边长为y的边旋转,得到旋转圆柱体的体积为zyx构造辅助函数求F(x,y)的偏导数,并建立方程组求F(x,y)的偏导数,并建立方程组由方程组中的第一、二两个方程消去λ,得2y=x,代入第三个方程,得

根据实际问题意义知最大值一定存在,且有惟一的可能极值点,所以最大值存在.即当时,圆柱体体积最大值为多元函数微积分一、函数的最值二、实际问题中的最值三、经济学中的最值问题第七节多元函数优化问题第七节多元函数优化问题一、二元函数的最值

最值存在定理：若函数z=f(x,y)在闭区域D上连续,则一定存在最大值与最小值.

闭区域D上可微函数的最值求法：

(1)先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值

(2)求出函数在区域边界上的最值.(3)比较这些函数值的大小,最大的就是函数在D上的最大值,最小的就是函数在D上的最小值.驻点值最点值

例求函数在有界闭区域上的最大值与最小值.解

函数在D内处处可导，且解方程组，得D内驻点及对应的函数值在边界x=0及y=0上的函数z的值恒为零．在边界上，函数成为的一元函数函数求导有所以在[0,4]上的驻点为相应的函数值为所以函数在闭域D上的最大值为,在点处取得；最小值为，它在D的边界x=0及y=0上取得．二、实际问题的最值

实际问题最值的求法

(1)有实际意义建立函数模型及其定义域；

(2)求函数的驻点；

(3)结合实际意义，利用驻点的惟一性及最值的存在性进行判断.

对于实际问题中的最值，若从问题本身能断定它的最大值或最小值一定存在，且在定义区域的内部取得，这时，若可微函数在定义区域内有惟一的驻点，则该驻点的函数值就是函数的最大值或最小值．

例要用钢板制作一个容积为的无盖长方体的容器，若不计钢板的厚度，怎样制作材料最省?

解1设容器的长为x，宽为y

，高为z，容器所需钢板的面积为且所以求偏导数求驻点得于是驻点唯一，所以当长方体容器的长与宽为，高取时，所需的材料最省．解2

设拉格朗日函数为

将方程组的第一个方程乘以x，第二个方程乘以y，所以有，代入第四个方程得可能极值点第三个方程乘以z，再两两相减得

解

设折起来的边长为xcm,则断面面积倾角为

,

例

有一宽为24cm的长方形铁板,把它折起来做成一个断面为等腰梯形的水槽,问怎样折法才能使断面面积最大.x24令解得

由题意知,最大值在定义域D内达到,而在域D内只有一个驻点,故此点即为所求三、经济学中的最值问题

例（最大利润）某工厂生产两种产品A和B，其销售单价分别为(单位:元)总成本函数(单位:元)是两种产品产量和(单位:件)的函数，当两种产品的产量为多少时，可获利润最大？解收益函数与利润函数分别为解得惟一驻点，而由由题意知，生产120件产品A，80件产品B利润最大，最大利润为320元．

例（最小成本）某工厂生产两种商品的日产量分别为和(单位:件)，总成本(单位:元)函数为商品的限额为，求最小成本？解约束条件为，设拉格朗日函数解方程组得惟一驻点(25,17)，故最小成本元

例(最大利润)销售某产品需作两种方式的广告宣传，当宣传费分别为x和y(单位:千元)时，销售量为S(单位:件)是x和y的函数若销售产品所得利润是销售量的1/5减去总的广告费，两种方式广告费共25(千元)．应怎样分配两种方式的广告费，能使利润最大，最大利润是多少？解根据题意，利润函数为约束条件为，作拉格朗日函数求其偏导数，得方程组解得，因驻点惟一，所以当两种宣传方式广告费分别为15和10(千元)时利润最大,最大利润为例解多元函数微积分一、二重积分的概念与性质二、二重积分在直角坐标系中计算三、二重积分在极坐标系中的计算四、二重积分的几何应用第八节二重积分

导言：本节我们将一元函数定积分的概念和思想扩展到二元函数的二重积分上，由于二重积分是一元函数定积分在二元函数中的进一步推广.因此，二重积分概念、性质与定积分类似，二重积分的计算方法也是将其转化为定积分.学习中要注意与定积分的对比，把握两者之间的共性与区别.第八节二重积分

求由直线x=a,x=b,y=0与曲线y=f(x)≥0

所围成的曲边梯形的面积.方法：整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近回顾：曲边梯形面积的求解过程及思想方法xyo(1)分割化整为零(2)近似以常代变(3)求和积零为整(4)极限无限累加一、二重积分的概念与性质1.求曲顶柱体的体积

曲顶柱体:以xOy平面上的有界闭区域D为底,其侧面为以D的边界线为准线,而母线平行z轴的柱面，其顶是连续曲面所围成的几何体.xzy下面讨论如何计算曲顶柱体的体积V.(1)分割对区域D用两组曲线网任意分割成n个小区域其中既表示第i个小区域也表示其对应的面积.

(2)近似在中任取一点,以为高而底为的平顶柱体体积为以此作为小曲顶柱体体积的近似值.xzy方法：整体分割—局部近似—求和积累—无限逼近即有(4)

取极限记为的直径的最大值(表示中任意两点间距离的最大值），则曲顶柱体的体积为(3)

求和将小曲顶柱体积求和，可得曲顶柱体的近似值为xzy2.二重积分的概念

定义设函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有界.用任意两组曲线分割D成n个小块既表示第i小块,也表示第i小块的面积.在上任取一点,作和式记,若极限存在称此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为xyD称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x,y为积分变量,

为面积微元.积分和积分区域面积微元被积函数积分号

二重积分作几点说明：（1）二重积分的积分值与区域的分割方式与取点无关，即分割与取点具有任意性；（2）二重积分的积分值是一数值，该值与区域及被积函数相关，与积分变量无关；（3）若被积函数在有界闭区域上连续则一定可积.3.二重积分的几何意义(1)若在D上f(x,y)≥0,则表示以区域D为底，以f(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积.(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的,在D的另一些子区域上为负的，则