2023年考研数学(二)真题(试卷+答案)

2023年全国硕士研究生入学统一考试

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数学（-）试题

一、选择题：1〜10小题,每小题5分，共50分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项

是符合题目要求的.

（1）函数y=xln（e+」-）的渐近线为（）

x-1

（A）y=x+e.

（B）y=x+—.

e

（C）y=x.

（D）y=x--.

e

i-------,x«0

(2)/(X)=<Jl+f的一个原函数为()

(x+1)cosx,x>0

1H(A/1+x2-x),x<01H(A/1+x2-x)+1,x<0

(A)F(x)=(B)F(x)=■

(x+1)cosx-sinx,x>0(x+l)cosx-sinx,x>Q

+x2-x),x<0ln(Jl+%之+%)+1,%<0

(C)F(x)=(D)R(x)=<

(x+1)sinx+cosx,x>Q(x+1)sinx+cosx,x>0

（3）设数列{%},{%}满足=%+i=sinx“，以+1=才，当"f8时（

（A）无“是先的高阶无穷小

（B）y”是的高阶无穷小

（C）尤“是力的等价无穷小

（D）乙是%的同阶但非等价无穷小

（4）微分方程y"+ay'+勿=0的解在（-0。,+8）有界，则。力的取值范围为（）

(A)a<0,b>0

(B)a>0,b>0

数学（二）试题第1页（共4页）

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(C)

(D)a=0,b<0

.、(x=2t+\t\

(5)〃/)由〈3」确定，则()

[y=Iqsmi

(A)/(%)连续，/'(0)不存在

(B)/'⑼存在，/'(x)在x=0处不连续

(C)/'(%)连续，/“(0)不存在

(D)尸⑼存在，尸⑺在x=0处连续

(6)若函数-------在若a=4处取得最大值，则为是()

x(\nx)a+

(A)-

InIn2

(B)-InIn2

(C)，

In2

(D)In2

(7)设函数f(%)=(%2+a)e[若/(%)无极值点，但有拐点，则a的取值范围为(

(A)[0,1)

(B)[1,+co)

(C)[1,2)

(D)[2,+00)

(8)已知4,5都为〃阶矩阵，E为〃阶单位矩阵，M*为矩阵M的伴随矩阵，贝日人刊

(0B

为()

数学(二)试题第2页(共4页)

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1A|B*-BA1A|B*-AB

(A)(B)

|B|A*|B|A*

<°7<°

\\

1B[A*-BA[B|A*-AB

(C)(D)

|A|B*|A|B*

<°7<°7

（9）设二次型/（占,々,当）=（七+々）2+（为+%3）2一4（々—％3）2,则该二次型的规范形为

（）

（A）式+£

⑻片-£

（C）片+只一4%

（D）片+£-¥

,7既可由药、%线性表示，也可由

用、分线性表示，则/为（）

，3、

(B)k5,keR

J。，

卜1)

(C)k1,keR

2

数学（二）试题第3页（共4页）

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二、填空题：11〜16小题,每小题5分，共30分.

(11)设f(x)=ax+bx2+ln(l+x),g(x)=ex-cos%,且/(%)与g(%)为等价

无穷小，则aZ?=.

(12)设y(%)=用-干出,则此曲线的弧长为_________.

J-小

(14)3%2=29+确定y=>(%),则y=y(%)在％=1处的法线斜率为.

f2-3

(15)函数y(x)满足"％+2)—/(x)=x，L"x)6左=0,则］/(x)dx=L

ax+$=1

xa011a1

x+ax,+电=0-

(16)方程组<123有解，已知1a1=4,贝ij12a

玉+2X+ax=0

2312aab0

axx+bx2=2

三、解答题：17〜22小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

(17)(本题目满分10分)

设曲线L:y=y(x)(x>e)经过点(e?,。)，L上任一点P(x,y)到y轴距离等于该点处的切

线在y轴上的截距.

⑴求y(x)；

(2)在L上求一点使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小并求此最小面积.

(18)(本题满分12分)

r2

求函数f(x,y)=xecosy+—的极值.

(19)(本题满分12分)

己知平面区域D={(x,y)|0<y<—

xy/1+x2

(1)求平面区域。的面积；

(2)求。绕x轴旋转一周的旋转体体积.

(20)(本题满分12分)

设平面有界区域D位于第一象限，曲线必+/—孙=1,f+,2—孙=2,〉=氐，y=0

数学(二)试题第4页(共4页)

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围成，求PSI，

（21）（本题满分12分）

函数/'（X）在［-①刈上具有二阶连续导数.证明：

（1）若/'（0）=0,则存在Je（—。,。）使得了〃（专）=，［/'（。）+/'（—。）］.

（2）若/'（x）在（―。,。）取极值，则存在776（—0,。）使得了（〃）卜..』？|/'（4）+了（—。）|.

（22）（本题满分12分）

(X]+%+%、

己知Ax2=2x1-x2+x3对所有x均成立.

（1）求矩阵A;

（2）求可逆矩阵尸和对角阵A,使得pTAP=A.

数学（二）试题第5页（共4页）

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参考答案

一、选择题

12345678910

BDBCCACDBD

二、填空题

(11)【答案】—2

(12)【答案】-7r+y/3

3

(13)【答案】

2

(14)【答案】—口

9

(15)【答案】1

2

(16)【答案】8

三、解答题

212

22

(17)【答案】(1)y(x)=-xinx+2x,(2)(e,—e),Smin=e