微积分（第三版）课件：函数的单调性与极值

一元函数微分学应用一、函数的单调性判别二、函数的极值函数的单调性与极值函数的单调性与极值

问题导言：函数的单调性是函数的最基本特性.在作函数的图形时,必须要掌握函数的单调性.如何判别函数的单调性？导数给出了判别函数单调性的简单方法.函数的极值是函数的一个重要特征，它与函数的最大值与最小值密切相关，也是引发导数概念产生的一类重要问题．利用导数可以方便的确定函数的极大值与极小值.单调增加曲线上各点处的切线斜率非负,即.

如果函数f(x)在某区间上单调增加,则它的图形是随x的增大而上升的曲线.xyoy=f(x)一、函数的单调性xyoy=f(x)观察导数符号

如果函数f(x)在某区间上单调减少，则它的图形是随x的增大而下降的曲线.单调减少曲线上各点处的切线斜率非正，即.xyoy=f(x)xyoy=f(x)观察导数符号由此可以归纳出函数单调性判定定理定理设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.则(1)若在(a,b)内,则f(x)在[a,b]上单调增加.(2)若在(a,b)内,则f(x)在[a,b]上单调减少.

证明在[a,b]上任取两点,因f(x)在上连续,在内可导.由拉格朗日中值定理可知

说明：（1）将定理中闭区间[a,b]改为开区间、半开区间或换为无穷区间仍然有相仿的结论.

单调区间：具有单调性的区间称为单调区间.

（2）定理中的导数符号条件（或）改成（或）但等号只在有限个点成立，定理的结论依然成立.

确定单调区间的关键是找出单调区间的分界点.xoyab

问题：函数单调区间的分界点具有哪些特征？函数单调区间分界点及其特征分析

函数单调区间分界点可能在导数为零的点与不可导点处取得.导数为零的点称为驻点.xoy观察分界点导数导数为零点

思考：导数为零的点和导数不存在的点是否一定为单调区间的分界点？未必.y图形观察y导数为零点xo

结论：若连续函数在导数为零的点和导数不存在点的两侧导数符号异号则该点为单调区间的分界点.xo确定函数单调性与单调区间的一般步骤(1)确定函数的定义域；(2)求出使

f

(x)=0和

f

(x)

不存在的点,并以这些点为分界点,将定义域分为若干个子区间；(3)确定

f

(x)在各个子区间内的符号,从而判定出f(x)的单调性.(4)根据函数

f(x)的单调性写出单调区间.所以，函数在(1,2)内单调增加.函数在及内单调减少.例解2xyO例解例解y+0－不存在+0－10－１x在单调减少.函数在单增；

观察函数在导数为零点周围函数值大小变化情况.二、函数的极值导数为零点附近函数值或比该点值小或比该点值大.xy5-5定义设函数f(x)在x0的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于x0的x都有(1)成立,则称为f(x)的极大值，称为f(x)的极大值点；(2)成立,则称为f(x)的极小值，称为f(x)的极小值点.极大值、极小值统称为极值.极大值点、极小值点统称为极值点.

问题：函数的极值点在哪些点处取得？如何判别函数的极值？函数极值点及其特征分析

结论1：对于可导函数在取得极值处的切线是水平的，即极值点处的导数为零.

由此可得如下极值的必要条件.图形观察xoy导数为零导数为零导数为零

定理(极值的必要条件)

设函数f(x)在点x0处可导且x0为f(x)的极值点，则证只证是极大值的情形，由存在知

注意：(1)可导函数的极值点必定是它的驻点.但是需要注意,函数的驻点并不一定是函数的极值点.(2)有些函数的不可导的点也可能是其极值点.xoyxyo

问题：如何判别函数的驻点与不可导点是否为函数的极值点？函数极值点特征分析

结论：若在导数为零的点的两侧导数符号异号，则该点为极值点.

即有如下极值判别法1.图形观察xoy导数为零导数为零导数为零

定理(判定极值的第一充分条件)

设函数y=f(x)在点x0连续,且在x0的某邻域内可导(点x0可除外).如果在该邻域内

如果f(x)在x0的两侧保持相同符号,则x0不是f(x)的极值点.当时,f(x)单调增加，当时,f(x)单调减少，因此可知x0为f(x)的极大值点.证明(1)由函数单调性的判别定理可知，(2)可以类似（1）进行证明.xoyxoyxoyxf(x)+极大__极小+±非极值±图形特征xyxoyxoy极值第一判别法图表当时,在(0,0)处取得极小值.

定理(判定极值的第二充分条件)

设函数f(x)在点x0处具有二阶导数，且则

定理结论可由函数进行验证.当时,在(0,0)处取得极大值.xoy(3)极值的判别判别法1：判定每个驻点和导数不存在的点两侧的导数符号,依判定定理1判定是否为f(x)的极值点.判别法2：判别驻点处的符号.

求函数极值的步骤：所以，函数的极大值为,极小值为例所给的函数定义域为.解法１极小值极大值y+0－0+３(1,3)1x例所给的函数定义域为.解法２可知x=0为y的极小值点,极小值为0.例所给的函数定义域为.解非极值极小0y+0+0–1(0,1)0x例