辽宁省部分学校2023-2024学年高三年级上册12月考试数学试题（含答案）

辽宁省部分学校2023-2024学年高三上学期12月考试

数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷

上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，复数，函数与导数，三角函数，解三角形，平面

向量，数列，不等式，立体几何。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

l.i（3+2i）=

A.3—2iB.—3—2iC.2+3iD.—2+3i

2.已知集合A=<yy+4__J_>,B=卜卜=’3-%卜则AB=

x2

A.-|,3c1|'，+00）D.[3,+oo）

3.“a>b〉!”是“a1—b”的

2

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.若/（X）=（%+1）2为奇函数，则〃=

A.2B.-2C.lD.-1

5.如图，在由九个相同的正方形组成的九宫格中，tan（5-A）=

6.在等比数列｛%｝中，已知4+%+。3=4,%+。5+〃6=—32，则。6=

1

64128256

A.-----B.42C.---------D.------

333

7.已知圆锥的底面半径为4,母线长为5,其顶点和底面圆周均在同一个球的球面上，则该球的表面积为

625万625%6257r625"

A.-------B.--------C.--------D.--------

361293

8.已知实数x,y满足2--2xy+y2+^y-4x-—+6=0,则

XX

A.x>2yB.x<2yC.y2<xD.y2>x

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.如图，在四面体ABCD中，BA,BC,两两垂直，AE=-AD,则

3

A.向量C2在向量3。上的投影向量为

3

.2

B.向量CE在向量3。上的投影向量为一3。

3

1一2一—.

C.向量CE=—痴+——3C

33

21-

D.向量CE=—痴+―3D—3C

33

10.下列函数中，存在两个极值点的是

A./'(九)=(/+%+2)e*B./(%)=x2e'

2

X+%

C-7(x)=

ex

11.若函数"x)=sin"+?1—g(o〉0)在0日上恰有10个零点，则0的值可能为

A.50B.54C.51D.58

12.已知函数/(曰=:::鲁的值域为，〃<0,m>0,m+zz>0,则下列函数的最大值为加的

是

2

x4+2x2(3-x4jlgx-1

B'8⑺—l+2%6lgx

/、x-3x2lgx

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.已知。，人均为单位向量，且a为=三，则卜—1«=

14.如图，在直三棱柱ABC—4与£中，ABLBC,AB=BC^AAl^2,。是CC1的中点，则异面直线AC1

与BQ所成角的余弦值为.

15.若%e[2,4],当王＜々时，e'lf〉—,则实数a的取值范围是__.

UiJ

16.某景区的平面图如图所示，其中AB,AC为两条公路，ZBAC=135°,P为景点，A尸=10,APLAC,

现需要修建一条经过景点尸的观光路线MN,M,N分别为AB,AC上的点，则△4VW面积的最小值

为.

MB

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

记S“为等差数列｛4｝的前"项和，已知％=T8,52=5%.

（1）求｛4｝的通项公式；

（2）求S”的最小值.

18.（12分）

△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.己知acosC+ccosA=避蛆改■.

(1)求B；

3

(2)若a,b,2c,成等比数列，求型由+工.

sinCa

19.(12分)

已知函数/(x)=2xsinx-x2cosx.

⑴求曲线y=/(x)在点(肛〃»))处的切线方程；

(2)求〃龙)在［0,2句上的最值.

20.(12分)

如图，在四棱锥尸—A3CD中，ZABC=^BAD=9Q°,BC=2AD=2五,AB钻与△PAD均为正三

角形.

(1)证明：AD〃平面PBC.

(2)证明：尸3,平面PCD.

(3)设平面PA8、平面PCD=/1,平面PA。、平面P3C=4,若直线4与4确定的平面为平面戊，线段AC

的中点为N,求点N到平面a的距离.

21.（12分）

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若用=」一，数列圾｝的前几项和为S"，证明：Sn<~.

nan4

22.(12分)

已知再，%是函数/(1)=2(%—l)h】x—根(％+1)的两个零点，且玉<九2・

(1)求实数次的取值范围；

(2)证明：(根+1)菁〈尤2.

数学试卷参考答案

l.Di（3+2i）=-2+3i.

4

2.A因为/+二—4..2、卜2.3一L=3,当且仅当了2=i时，等号成立，所以A=3

—,+00，B=(—00,3],

x22\X2222

~3一

则AB=-,3.

_2_

3.A若a>b>g,则/一〃一伊一人)二(1一人)(〃+人一]),0当〃=o,^二；时，a2-a>b1-b,但

a<b,故!”是“片―人，，的充分不必要条件.

2

4.D因为〃力是奇函数，所以/(—%)=—/(X),即(T+l/+a(f—l)2=—(]+]『—a(]—])2,解得

a——1

_,41八2//八八taiiB-tanA1

5.B由图可知tanA=—，tanB=—，rl则tan(3—A)=---------——

23v71+tanBtanA8

6.C设｛4｝的公比为q,则为+%+4=/(卬+/+/)=4/=-32,解得q二一2,所以

二匚I、I54/-\5128

%+%+。3=q(1+g+/)=3〃]—4,解得Q]=一所以。6=qq=jx(-2)=一--•

7.C因为圆锥的底面半径为4,母线长为5,所以圆锥的高。=斤彳=3<4,故球心在圆锥外部.设球心

到圆锥底面圆心的距离为x,贝乂龙+3)2=/+4?,解得x=N,则球的半径尺=3+1=生，表面积

666

S=4兀R?=毁3

9

8.B由题可知x2+^-4|%+-1+6+(x2-2xy+y2)=0,则

XkJC)

xH—j—4^xH—j+4+(12—2xy+y2j=0,则[XH---2j+(x—y)2二0,x-\---2=0.,

则％解得

x—y=0,

<故选B.

[y=l.

9.AD连接班(图略).因为B4,BC,5。两两垂直，AE=-AD,所以向量S在向量38上的投影

3

121

向量为一3。，CE=BE-BC=-BA+-BD-BC.

333

10.BC由〃%)=(无2+x+2)e\得/'(%)=优+3%+3卜，>0恒成立，则了(%)无极值，A不正确.由

f(^x)=x2ex,得了'(X)=(V+2x)e*,当xw(-oo,-2)|(0,+ao)时，/'(x)>0,当xe(-2,0)时，

/'(x)<0,则"％)在(-00,-2)和(0,+8)上单调递增，在(-2,0)上单调递减，〃可有两个极值点，B正

5

2/1-6)’1+亚

确.由〃力=土押，得/'(x)=一+%+1

,当工£—8,,+oo时，/,(X)<0,当

ee*2U2

7k

"1-V51+后/\

XG时，/(x)>0,贝(“在—8,和,+00上单调递减，在

22

7/

1—^51+5/5上单调递增，"另有两个极值点，C正确.由/•(x)=W，得/⑺二上三，当XC

fl)

2'2ee

\7

时，r(x)>0,〃力单调递增，当X£(l,yo)时，/(x)<0,/(%)单调递减，“X)有且只有一个极值

点，D不正确.

JI)JnInnn71=；，要使/(%)在o，w]

11.BD当％£0,—时，cox-\—£一,—〃)+—,令/(%)=。，得sin(DXH----

6)66666

上恰有10个零点，则需满足且+8乃<2。+工,,177"+10万,解得°452,601

666

“为心『普(x〉。)，所以/(门=胃等=十&(、〉°)，当X的取值范

围为(0,+8)时，炉的取值范围为(0,住)，所以7优)的最大值与/(%)的最大值相等，均为m,A正确.

442424

丁+2/(3-x)lgx-l_x+6xlgxx+2x(3-x)lgx-l

因为-1，所以g(x)--------------7------------的最大值为m-1,B

1+2x6lgx1+2x6lgxl+2x6lgx

错误.

131113.

了+叼

因为/(x)=：所以/1,当x的取值范围为

1十xigxI1+鸿1-glgxX-Igx

(0,+8)时，工的取值范围为(0,+8),所以/的最大值与/(%)的最大值相等，均为，n,所以

XI

=的最大值为叫C正确.

2x

--=-Ae\-m,-n\，因为〃<0,m>0,加+〃>0,所以一〃W"z,所以g(x)=3xlgx-

x-Igx-Igxx3-Igx

的最大值一定不是加，D错误.

2亚2-2---24.J7i2百

a-b\=a-la-b+b=一,贝=----

555

6

14.芸取AC的中点E,连接石B,ED,Eg1.因为。是CC|的中点，所以DE〃AQ.又

43=50=441=2,三棱柱ABC—A与G为直三棱柱，所以4£>=J?,DE=g,旦£=#,

cos/EDB】=DE'DB'—BE=3广:=，叵，故异面直线AC与BXD所成角的余弦值为叵.

2DEDB12百x61515

/Xa/\a

15.(^o,-321/Y〉上等价于ln/Y>ln三

UiJUiJ

%；-%；>x；+>%；+

即等价于alnx2-a\nx1,即等价于。1叫a\wc2.

令/(x)="+cAnx,xe[2,4]

则本题可转化为V%,%2£[2,4],当王<工2时，/(芯)>/(%2)，

即函数"％)在[2,4]上单调递减，即\/xe[2,4],/(%)=2%+-„0,则为—2J.

X

又xe[2,4],所以④一32,所以实数a的取值范围是(-oo,—32].

16.200设AM.—u,,AN—b,由S^APN+S^APM~^Z^AMN，可得

-AN-AP+-AM-AP-sin45o=-AM-AN-81111350,即10a+10y/2b=ab由

222

10a+10V2Z>=ab..2s/10ad042b,解得。6..400底，当且仅当a=20直，Z?=20时，等号成立，此时取

得最小值.故AAMN面积的最小值为-absinl35°=200.

2

，、CL+2d=—18,

17.解：(1)设｛%｝的公差为d,贝U：,5一、

(J[2%+d=5(%+5d),

%——24,

解得

d=3,

则q=ai+(〃一1”=3〃一27.

7

(2)由(1)可知｛a“｝为递增数列，且佝=3x9—27=0,

9(a.+〃Q)

则54工='、，=T08,

故S”的最小值为-108.

田/、Ed「V3Z?tanB4".厂V3sinBtanB

18.解：(1)因为〃cosC+ccosA4=-----------,所以smAcosC+smCcosAA=---------------

33

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以#tanB=l,即tan3=J§

jr

又3«0,不)，所以3=§

(2)因为a,b,2c成等比数列，所以"2=2ac

222

又/=4+。2_2accosB=a+c-ac,所以/+c=3ac

sinAcaca2+c2。

故二——+—=—+—=-------=3

sinCacaac

19.解：⑴因为〃x)=2xsinx-x2cos%,所以/'(x)=2sinx+2xcosx_2xcosx+x2sinx=(x'+2)sinx,

则/'(乃)=0，/(»)=兀2,

故曲线y=/(x)在点(1,/(»))处的切线方程为y="

(2)因为/(%)=(1+2卜inx,所以当无£(0,乃)时,/r(x)>0,

当xe(万,2%)时,

则〃龙)在(0,1)上单调递增，在(肛2»)上单调递减.

又/(0)=0,/(»)=/,〃2I)=T/,

所以〃尤)在［0,2句上的最大值为二,最小值为—4/.

20.(1)证明：因为/ABC=184。=90。，所以ABLBC,AB±AD,

所以AQ〃5C

因为ADcZ平面尸BC,3Cu平面PBC,所以AD〃平面PBC.

(2)证明：取BC的中点E,连接。£,则四边形ABED为正方形.

过P作尸平面ABCD,垂足为O.

连接OA,OB,OD,OE.

8

由△MB和△BLD均为正三角形，得PA=PB=PD,

所以Q4=O5=OD,即点。为正方形ABED对角线的交点,

则。因为平面A3CD,所以尸OLOE,

又BD\PO=O,

所以平面P5D,

所以03.

因为。是5D的中点，E是BC的中点，所以OE〃CD,

因此尸BLCD.

因为应＞2=482+4)2=052+^02,所以PBJ_PD,

又CDiPD=D,所以PB上平面PCD.

(3)解：设ABCD=Q,连接PQ,则直线4为直线PQ,

因为平面PA。'平面P3C=/2，

所以BC〃/2.

由(1)知，OE,OB,OP两两垂直，以。为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间

直角坐标系,

则3(0,1,0),C(2,-l,0),4(—1,0,0),P(0,0,l),e(-2,-l,0),2V(1,-1,0

PQ=(-2,-IT)，BC=(2,-2,0),

设平面a的法向量为"=(x,y,z),则“_L3C,n±PQ

-2x-y-z=0,

所以＜

2x-2y=0,

取y=l,得"=(1,1,-3).

(1i、|PN."33&T

又PN=1,所以点N到平面a的距离d=^^=—==*—.

122JW而11

21.(1)解：当〃=1时，q=1

9

当*2时'由*争三十•••+,嘎，

得幺+W…

则。〃=〃2,又q=仔，所以Q〃=〃2.

(2)证明：由(1)可知，b------=——，

nan/

当”=1时，S.=1<-.

14

当.2时，">/—几=几(几一贝!J——<--------------.——---------------------

、八Jn3n(n-l)(n+l)2^(n-l)n(n+l)

b”।1「111111

所以S<1H---------------------1------------------1-----1-----(------r------(------r