2024年中考数学复习考点（全国通用）：考点23 矩形与正方形（解析版）

考点23矩形与正方形

g命题趋势

.

矩形和正方形是特殊平行四边形中比较重要的两个图形，也是几何图形中难度比较大

的几个图形之一。其中，矩形还经常成为综合压轴题的问题背景来考察，而矩形其他出题

类型还有选择、填空题的压轴题，难度都比较大，需要加以重视。正方形单独考察的较少,

但是出现时也基本都是选择题的压轴题，难度也较大。所以考生在这块知识点的复习上，

必须都要特别的重视，不仅要熟练掌握矩形、正方形的性质与判定，还要重点关注两图形

附带的转化思想的考察和举一反三。

在知识导图

对边平行且相等，邻边垂直

性质四个角都是直角

也重w考向

一、矩形

的性质

二、矩形

的判定

三、正方

形的性质

和判定

四、各四

边形间的

常见转化

考向一：矩形的性质

矩形的对边平行且相等

矩形的矩形的四个角都是直角

性质矩形的对角线相等且互相平分

矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形

1.下列性质中，矩形不一定具有的是（)

A.对角线互相垂直B.对角线相等

C.对角线互相平分D.邻边互相垂直

【分析】根据矩形的性质判断即可.

【解答】解：•••矩形的对角线互相平分且相等，邻边互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，

矩形不一定具有的是对角线互相垂直，

故选：A.

2.如图，E,F,G,”分别是矩形ABCD四条边上的点，己知EELG”，若AB=2,BC=3,则EF：GH

A.3：2B.2：3C.4：9D.9：4

【分析】过点“作垂足为M,过点尸作尸N,AD,垂足为M设，M,FE交于点0,再证明

△MHGs4NFE,根据相似三角形的性质即可求解.

【解答】解：过点“作“垂足为过点尸作垂足为N,设H例，FE交于点0,则

NF=AB,MH=BC,

:"ENF=NGMH=90°,

■:EF上GH,

：.ZGHM+ZHOE=NEFN+NFOM=90°,

义•：NHOE=NFOM,

:.NGHM=/EFN,

，丛MHGs丛NFE,

：.EF：GH=NF：HM=AB：BC=2：3.

故选：B.

3.如图，在等边△ABC中，CD1AB,垂足为Q,以AD,CD为邻边作矩形AOCE,连接BE交8边于点

F,则cosNCBE的值为（)

C-^V21D.yV21

【分析】过点E作EH_L8C,在等边△ABC中设边长为a,利用等边三角形的性质和矩形的性质表示出

EC,8c的长度，利用直角三角形的边角关系定理和勾股定理求得C",EH,8E的长度，再利用直角三

角形的边角关系定理即可求得结论.

【解答】解：过点E作EH1.8C,交BC的延长线于点，，如图,

在等边△A8C中设边长为a,

'：CD±AB,AC=AB=BC=a,

：.AD=BD=^a,

2

•.•四边形AOCE为矩形，

：.EC^CD=l4i,NDCE=9Q°.

2

■：AABC为等边三角形，

AZBAC=60°,ZBCD=l.ABAC=30°,

2

/.ZEC//=60°.

'：EH±BC,

/.CW=£C*cos60°=L/,E，=EC・sin60°

4

：.BH=BC+CE=a+lzi=^a.

44

5__

cosNCBE=理=-^-=i2ZL

BEVL14

2a

故选：A.

4.如图，矩形ABC。的对角线AC,8。相交于点O,过点。作OEL8。，交BC于点E,若C0=7反，CE

=1,则BE的长为2

【分析】利用矩形的性质先求得AC=2j§，NEBO=NACB,再证明即可得解.

【解答】解：•••四边形A8CQ是矩形,

：.OA=OC,OB=OD,AC=BD,NA8C=90°,

.*.OA=OB=OC=OD=V3>

•'•AC=2«，NEBO=NACB,

'：OE±BD,

:.NBOE=NCBA=90°,

；.△BOEs△CBA,

•OB_BEpipV3BE

"BC"AC'BE+1

解得BE=2或BE=-3（舍去），

故答案为：2.

5.如图，在长方形ABC。中，AB=4厘米，BC=6厘米，点E在边BC上且BE=2EC,动点尸从A点出

发，先以每秒I厘米的速度沿A-B运动，然后以每秒2厘米的速度沿B-C运动，再以每秒1厘米的速

度沿C-力运动，最终到达点D设点P运动的时间是/秒，那么当t=至■或」旦或至时，三角形APE

-2一4—2―

的面积等于5平方厘米.

【分析】由题意可得BE=4厘米，EC=2厘米，再分四种情况：①当点尸在边AB上时；②当点P在边

BC上，且在点E右侧时；③当点尸在边BC上，且在点E右侧时；④当点尸在边CD上时.根据三角

形APE的面积等于5平方厘米分别列出方程，求解即可.

【解答】解：：BC=6厘米，BE=2EC,

.•.8E=4厘米，EC=2厘米，

①如图，当点P在边AB上时，厘米（0<rW4）,

SAAPE=2,AP，BE='2X4=5,

BEC

解得：片区

2

②如图，当点尸在边8c上，且在点E左侧时，PE=4-2Ct-4)=(12-2r)厘米(4VW6),

PE，AB=Lx4=5,

SAAPE4^f

解得：

4

③如图，当点P在边8C上，且在点E右侧时，PE=2(r-4)-(6<W7),

54题看理曲="1%4=5，

解得：『=空＞7,不符合题意，舍去；

4

④如图，当点P在边CO上时，CP=(f-7)厘米，DP=4-(r-7)=(11-r)厘米(7<^11)

S&APE=S长方形ABC。~(SAABE+S^PEC+SAADP)

=AB'BC-(yBE-AB-^E'CP+^-AD-DP)

=4X6-(-1x4X4+-y^X2+^1^X6)

=2t-10,

则2t-10=5,

解得：尸区.

2

综上，当f=5或或生时三角形APE的面积等于5平方厘米.

242

故答案为：5或或变.

242

考向二：矩形的判定

有一个角是直角的平行四边形是矩形

矩形的有三个角是直角的四边形是矩形

判定四个角都相等的四边形是矩形

对角线相等的平行四边形是矩形

对角线相等且互相平分的四边形是矩形

拓展矩形的面积等于两邻边的积

1.如图，已知平行四边形ABC。的对角线AC与8D相交于点0,下列结论中，不正确的是（）

A.当ABJ_A。时,四边形A8C。是矩形

B.当AC_LB。时,四边形A8CQ是菱形

C.当0A=03时,四边形ABC。是矩形

D.当AB=AC时,四边形ABCD是菱形

【分析】利用矩形的判定、平行四边形的性质及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项.

【解答】解：A.'JABYAD,

：.ZBAD=90°,

平行四边形ABC。是矩形,

故结论正确，但不符合题意;

B.'：AC±BD,

平行四边形4BCD是菱形,

故结论正确，但不符合题意;

C：四边形A8CD是平行四边形,

：.A0=^AC,BO=LBD,

22

5L'：0A=0B,

：.AC^BD,

二平行四边形ABC。是矩形,

故结论正确，但不符合题意;

D.当A8=4C时，四边形ABCQ不一定是菱形,

故结论错误，符合题意.

故选：D.

2.如图，在平行四边形A8CQ中，M、N是8。上两点，BM=DN,连接AM、MC、CN、NA,添加一个条

A.MB=MOB.OM=XACC.BDA.ACD.NAMB=NCND

2

【分析】由平行四边形的性质可知，O4=OC,OB=OD,再证OM=OM则四边形AMCN是平行四边

形，然后证/WV=AC,即可得出结论.

【解答】解：添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是OM=AC,理由如下:

•.•四边形ABCD是平行四边形,

J.OA^OC,08=00,

；对角线8力上的两点M、N满足8M=DM

OB-BM=0D-DN,

即0M=0N,

四边形AMCN是平行四边形，

'：OM=1AC,

2

:.MN=AC,

四边形AMCN是矩形.

故选：B.

3.四边形ABC。的对角线相交于点0,且0A=08=0C=0O,/AO8=60°,贝UAB：3C=1：2.

【分析】求出AC=BD,根据矩形的判定得出即可，求出aAOB是等边三角形，求出A8=A。，即可得

出答案.

【解答】解：

'：OA^OB=OC=OD,

：.AC=BD,

四边形ABC。是矩形；

VZAOB=60°,OA=OB,

AAOB是等边三角形，

:.AB=AO=BO=1AC,

2

：.AB-.AC=\：2,

故答案为：1：2.

4.如图，平行四边形ABC£＞中，AB=6an,BC=iOcm,/B=60°,点G是C。的中点，点E是边AO上

的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点尸，连接CE,DF.

(1)求证：四边形CEOF是平行四边形；

(2)①直接写出：当AE=4时,四边形CEDF是菱形(不需要说明理由)；

②当AE—7cm时，四边形CEDF是矩形，请说明理由.

【分析】(1)证△CFG—^EDG,推出尸G=EG,根据平行四边形的判定推出即可:

(2)①证ACDE是等边三角形，推出CE=OE,再根据菱形的判定推出即可.

②求出推出/CEO=NAM8=90°,再根据矩形的判定推出即可.

【解答】(1)证明：•.•四边形A8CQ是平行四边形，

：.BC//AD,

:./FCG=NEDG,

；G是CO的中点，

：.CG=DG,

在△CFG和△OEG中，

'/FCG=/EDG

•CG=DG，

ZCGF=ZDGE

.♦.△CFG和△QEG(ASA),

：.FG=EG,

又,：CG=DG,

四边形CEDF是平行四边形.

(2)解：①当AE=4a"时，四边形CECF是菱形，理由如下：

•；四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=Wcm,CD=AB=6cni,/C£)E=/B=60°,

'：AE=4cm,

：.DE=AD-AE=6cm,

：.DE=CD,

；.△(?£>£；是等边三角形，

：.CE=DE,

..•四边形CEDF是平行四边形,

•••平行四边形CEC尸是菱形，

故答案为：4；

②当AE=7时，平行四边形CEO尸是矩形，理由如下:

如图，过A作AM_LBC于M,

VZB=60°,AB=6cm,

2

AE=7cm,

：.DE=AD-AE=3cm=BM,

在△MBA和中，

'BM=DE

<ZB=ZCDA-

AB=CD

.♦.△MBA丝△EDC(SAS),

：.ZCED=ZAMB=90°,

V四边形CEDF是平行四边形,

平行四边形CED尸是矩形，

故答案为：7.

考向三：正方形

正方形具有矩形、菱形的一切性质

正方形的性质

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形

有一组邻边相等的矩形是正方形

正方形的判定有一个角是直角的菱形是正方形

对角线相等且互相平分的四边形是正方形

拓展正方形的问题通常转化为等腰直角三角形的问题来探究

典例引我

/--_▲

1.下列说法错误的是（）

A.有一个角为直角的菱形是正方形

B.有一组邻边相等的矩形是正方形

C.对角线相等的菱形是正方形

D.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

【分析】正方形：四个角都是直角，四条边都相等，对角线相等，且互相垂直平分的平行四边形；

菱形：四条边都相等，对角线互相垂直平分的平行四边形；

矩形：四个角都相等，对角线相等的平行四边形.

【解答】解：A、有一个角为直角的菱形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角，则该菱形是正方形.故

本选项说法正确；

8、有一组邻边相等的矩形的特征是：四条边都相等，四个角都是直角.则该矩形为正方形.故本选项说

法正确；

C、对角线相等的菱形的特征是：四条边都相等，对角线相等的平行四边形，即该菱形为正方形.故本

选项说法正确；

。、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形.故本选项说法错误；

故选：D.

2.如图，以正方形ABCQ的边AB为一边向外作等边△ABE,则N8EZ）的度数为（）

A.55°B.45°C.42.5°D.40°

【分析】根据正方形的性质得出ND4B=90°,AD=AB,根据等边三角形的性质得出NAEB=

60°,AE=AB,求出AE=AD,求出NAED=NADE=L（1800-ZDAE）=15°,再求出答案即可.

2

【解答】解：：四边形A8C。是正方形，

.•./£)AB=90°,AD=AB,

,/ZVIBE是等边三角形，

ZAEB=ZEAB=60°,AE=AB,

：.AE=ADf

：.ZAED=ZADE=1-(180°-ZDAE)=A.x(180°-90°-60°)=15°，

22

：.ZBED=ZAEB-ZAED=60°-15°=45°,

故选：B.

3.如图，四边形ABCD,CEFG均为正方形，其中正方形CEFG面积为36cW,若图中阴影部分面积为100炉,

则正方形ABC。面积为()

【分析】根据正方形的性质与三角形的面积公式得出：阴影部分面积=工(<7d-8不)，便可求得结果.

2

【解答】解：；阴影部分面积(2C+CG),

2

阴影部分面积■义CCE-DC)(BC+CG)=A(CE1-BC2),

22

正方形CEFG面积为36S”2,图中阴影部分面积为IO”??,

/.IO=A.X(36-S犷方%ABCD),

2

•'.S方形ABC£>=16,

故选:B.

4.如图，E、尸分别是正方形ABC。的边CO、AO上的点，且CE=£>尸，AE,B尸相交于点O,下列结论:

@AE=BF；②AE_LB尸；③AO=OE；©SAAOB=5W^DEOF,其中正确的有()

A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④

【分析】根据正方形的性质可得N3AF=/O=90°,AB=AD=CD,然后求出4尸=。£再利用“边角

边”证明△A8F和△加£全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=BF,从而判定出①正确；再根据

全等三角形对应角相等可得N4B尸=ND4E,然后证明/AB尸+NBAO=90°,再得到/AO8=90°,从

而得出AEL8凡判断②正确；假设AO=OE,根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性

质可得AB=BE,再根据直角三角形斜边大于直角边可得8£>BC,即BE>A8,从而判断③错误；根据

全等三角形的面积相等可得S&WE,然后都减去△AOF的面积，即可得解，从而判断④正确.

【解答】解：•••四边形A8CD是正方形，

二尸=ND=90°,AB=AD=CD,

'：CE=DF,

：.AD-DF=CD-CE,

即AF=DE,

在AABF和△£)/!《中，

'AB=AD

<ZBAF=ZD-

AF=DE

.♦.△48/丝△D4E(SAS),

：.AE=BF,故①正确；

ZABF=ADAE,

VZDAE+ZB4<?=90°,

/.ZABF+/1BAO=90°,

在△AB。中，NA08=I80°-(ZABF+ZBAO')=180°-90°=90°,

：.AE±BF,故②正确；

假设AO=OE,如图，连接BE,

\'AE±BF（已证），

：.AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）,

•在RtZXBCE中,BE>BC,

：.AB>BC,这与正方形的边长相矛盾，

所以，假设不成立，AO^OE,故③错误;

'：△ABF9XDAE,

:.SMBF=SADAE,

•'•SAABF-S/\AOF=S^DAE-S^AOF,

BPSAAOB=SnillKDEOF,故④正确;

综上所述，正确的有①②④.

故选：D.

5.如图，正方形A8CC的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连结G4,则线段G”的长为（）

A.旦巨B.272C.11D.10-5加

85

【分析】延长8G交CH于点£,根据正方形的性质证明5G丝△（?£田0△BCE,可得GE=8E-BG

=2、HE=CH-CE=2、NHEG=90°,由勾股定理可得GH的长.

【解答】解：如图，延长BG交CH于点E,

'：AB=CD=\O,BG=DH=6,AG=CH=&,

：.AG2+BG2=AB2,

...△ABG和△OCH是直角三角形，

在△48G和△C0H中，

'AB=CD

，AG=CH-

BG=DH

:.△ABGQ4CDH(SSS),

；./l=N5,N2=/6,NAGB=NCHD=90°,

；./l+N2=90°,Z5+Z6=90°,

VZ2+Z3=90°,Z4+Z5=90°,

Z1=Z3=Z5,N2=N4=N6,

在△ABG和△8CE中，

'Nl=/3

<AB=BC，

Z2=Z4

.,.△ABG^ABCECASA),

，BE=AG=8,CE=BG=6,ZBEC^ZAGB=90°,

:.GE=BE-BG=8-6=2,

同理可得4E=2,

在RtZ\G”E中，GW=VGE2+HE2=722+22=2^2>

故选：B.

6.如图，锐角△ABC中，ZBAC=45°，A。是8c边上的高，80=2,CD=3,则-如=6

【分析】作AABC的外接圆，过圆心。作0E,8c于点E,作。凡LAD于点F,连接。A、OB、0C.利

用圆周角定理推知△BOC是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得OE=。尸，在等腰Rt^BOE中,

利用勾股定理得到OE=DF,进而求解.

【解答】解：如图，作△A8C的外接圆，过圆心。作OELBC于点E,作OF±AD于点F,连接04、

OB、0C,

4c=45",

/.ZBOC=90°,

在RtZ\BOC中，BD=2,CD=3,

.,.BC=2+3=5,

.*.BO=CO=^ZL

2

V0E1BC,O为圆心，

；.BE=LC,

22

在中，8O=-§2巨，BE=&,

22

；.OE=BE=»,

2

VZ0ED=ZEDF=ZOFD=90°,

四边形。£»尸是矩形,

.•.OF=OE=$,OF=DE=BE-BD=殳-21,

222

在RtZkAOF中，AO=^^,OF=.1,

22

.,.AF=^AQ2_OF2=Z,

.*.4Q=AF+DF=工+回=6.

22

故答案为：6.

7.如图，以△ABC的两边AB,AC为边向形外作正方形A8EF,ACGH,则称这两个正方形为外展双叶正

方形.有以下5个结论：①△ABC面积与△AFH面积相等.②过点4作边BC的垂线交FH于点O,则

FD=HD.③。为边BC的中点，0A延长线与”尸交于点P,则尸且”广=240.④连接FC、HB

相交于点R，则FC=HB且⑤连结EG,S为EG的中点，则S8=SC且SBLSC.其中正确的

结论是©©③④⑤(填序号).

【分析】①作CMJ_A8,作HNJLfA,证明△AMC/ZV1M/(A4S),推出CM=HM由三角形面积公式

即可判断；

②作出图2的辅助线，证明aAKB也△F7A(AAS),推出AK=FT,得至I」FT=HQ,再证明四

(A4S),即可判断;

③作出图3的辅助线，证明ABO乙四△CQ4(SAS),再证明△A8L四△砌”(SAS),即可判断；

④作出图4的辅助线，证明△化€1g/\34，(认5),推出FC=HB,ZAFC=ZABH,再证明NBAW=90°,

即可判断；

⑤作出图5的辅助线，证明△£■6心ZXGSC(SAS)和△8E/丝△8AC(SAS),推出//8C=90°,再根据

直角三角形的性质即可判断.

【解答】解：①如图1,过点C作。W_LA8于点M,过点“作“出的延长线于点N,则

N=90°,久、

:四边形ABEF和四边形ACGH都是正方形,

二/84尸=/CA〃=90",AB^AF,AC^AH,

：.ZBAC+ZFAH=360<,-ZBAF-ZCAH=360a-90°-90°=180°,

又•.•//MN+N用”=180°,

:.NBAC=NHAN（同角的补角相等）,

在△AMC和△4N”中，

，ZAMC=ZN=90°

<ZBAC=ZHAN，

AC=AH

：./\AMC^^ANH(A4S),

:.CM=HN,

又.•&ABC3ABa，S△曲寺F.呻且A"AF，

.••△ABC面积与面积相等，故①正确；

②如图2,过点A作BC的垂线交"/于点。，设垂足为K,过点H作”QL4O于点Q,过点F作FTJ_

AO的延长线于点T,则/AKB=/AKC=/HQO=N，QA=NT=9()°，

尸=90°,Zr=90°,

：.ZKAB+ZTAF=90°,Z7'M+Z7^F=90°,

:"KAB=NTFA(同角的余角相等)，

在△AK8和△77%中，

rZAKB=ZT=90°

<ZKAB=ZTFA，

AC=AH

A/\AKB^/\FTA(A45),

：.AK=FT,

同理可证HQ=AK,

：.FT=HQ,

在△"、£>和△QHD中，

2T=NHQD=9O°

<ZTDF=ZQDA，

FT=HQ

:ZFD迫/XQHD(44S),

：.FD=HD,故②正确；

③如图3,延长AO至L,使LO=AO,连接BL,则AL=2A。,

为边BC的中点，

:.OB=OC,

在△BOZ,和△COA中,

fOB=OC

<ZB0L=ZC0A>

L0=A0

：./\BOL^/\COA(SAS),

：.ZL=ZCAO,BL=AC,

：.BL//AC,

，NA8L+N8AC=180°,

由②得/无4。+/放”=180°,

：.ZABL=ZFAH,

'：BL=AC,AC=AH,

：.BL=AH,

在△ABL和△朋”中，

AB=AF

<ZABL=ZFAH-

BL=AC

:.△ABL^XFAH(SAS),

：.AL=HF,ZBAL=ZAFH,

VZBAF=90°,

...N84L+N砌P=90°,

.,.ZFB4=18O°-(ZAFH+ZFAP)=180°-90°=90°,

：.AP±HF,

'：AL=HF,AL=2AO,

：.HF=2AO,故③正确；

④如图4,连接FC、HB相交于R,设FC交AB于点W,

,：ZBAF=ZCAH=90Q,

，ZBAF+ZBAC^ZCAH+ZBAC,即ZMC=ABAH,

在△用C和△BAH中，

'AB=AF

<ZFAC=ZBAH)

AC=AH

△初C丝△8AH(SAS),

:.FC=HB,ZAFC^ZABH,

；NBA尸=90°,

/.ZAFC+ZAWF=90°,

/.ZABH+ZAWF=W°,

又；NBWR=NAWF,

AZABH+ZAWR=90°,

.,.ZBRW=\SO°-(ZABH+ZAWR)=180°-90°=90°,

：.FC±HB,故④正确;

⑤如图5,延长CS至/,使S/=SC,连接8/并延长交AF于J,

•四边形ABEF和四边形ACGH都是正方形，

J.BE//AF,AH//CG,BE=AB,AC=CG,/ABE=90°,

是EG的中点，

：.SE=SG,

在和△GSC中，

'SE=SG

<ZESI=ZGSC>

SI=SC

:./XES1学/\GSC(SAS),

：.1E=CG,ZIES^ZCGS,

：.EJ//GB,

又，：AH//CG,

：.EJ//AH,

:.NEJA=NFAH,

又•.•/a4C+NE”=180°,

...N8AC+NEM=18()°,

'：BE//AF,

.•.N8E/+NBM=180°,

:.NBEI=NBAC,

\'AC=CG,IE=CG,

：.IE=AC,

在ABE/和△BAC中，

，BE=AB

<ZBEI=ZBAC>

IE=AC

:.ABE恒ABAC(SAS),

：.BJ=BC,/IBE=/CBA,

/.ZIBE+ZIBA=ZCBA+Z1BA,即ZABE=Z1BC,

XVZABE=90°,

/.Z/BC=90°,

又,：SI=SC,

.1

••SB方I=SO

,:BI=BC,且S/=SC,

：.SBLCI,B|JSB±SC,故⑤正确：

综上所述，正确的有①②③④⑤，

故答案为：①②③④⑤.

考向四：四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的转化关系

“________♦三个俞是1［倚

+西条边舒用等

"共例引颔

1.下列说法正确的是（）

A.有一个角是直角的平行四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是正方形

C.四边都相等的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的四边形是矩形

【分析】分别根据矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定判定各选项进而得出答案.

【解答】解：4、有一个角是直角的平行四边形是矩形，此选项错误，不符合题意；

8、对角线相等的菱形是正方形，此选项错误，不符合题意；

C、四边都相等的四边形是菱形，此选项正确，符合题意；

D,对角线互相平分且相等的四边形是矩形，此选项错误，不符合题意.

故选：C.

2.如图，菱形ABC。的对角线4C、相交于点O,BE//AC,AE//BD,0E与AB交于点?若0E=5,

4c=8,则菱形ABC。的高为22.

一5一

【分析】证四边形AEB。为平行四边形，再由菱形的性质得NAOB=90°,则四边形4E8。是矩形，然

后由勾股定理得05=3,则80=6,然后由菱形的面积公式解答即可.

【解答】解："BE//AC,AE//BD,

四边形AEBO是平行四边形，

又；菱形A8C。对角线交于点0,

.•Q=LC=4,OB=OD,ACVBD,

2

AZAOB=90°.

平行四边形AOBE是矩形，

：.AB=OE=5,

08=4AB2_0A2=V52-42=3'

.♦.80=208=6,

设菱形ABC。的高为/?,

•''S^KjABCD—^-AC'BD=AB,h,

2

X8X6

,,^2-=M

55

即菱形ABC。的高为2至，

5

故答案为：24

5

3.如图，在菱形4BC3中，对角线4C,BD交于点O,DE//AC,CE//BD,连接0E,交CD于点F.

(1)求证：四边形QOCE是矩形；

(2)若EF=2,NA8C=120°,直接写出菱形ABC£＞的面积.

D

A

BC

【分析】（1）先判断出四边形。OCE是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直可得ACL8O,然后

根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明；

（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出/54。=60°,判断出△ABD是等边三角形，然后根据等边三

角形的性质求出OA、再根据菱形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】（1）证明："：DE//AC,CE//BD,

四边形DOCE是平行四边形，

•.•在菱形A8CO中，ACLBD,

：.ZDOC=90°,

四边形QOCE是矩形；

（2）解：；EF=2,四边形。OCE是矩形，

.*.OE=CO=2EF=4,

。是菱形，

：.AB=CD=4,

：NABC=120°,AB//CD,

.../84。=180°-120°=60°,

"：AB=AD,

...△ABO是等边三角形，

：.OB=1.X4=2,OA=2X返=我，

22

，AC=2愿，80=4,

二四边形A8CD的面积X4=4代.

22

踪训练

*

1.（2022•日照）如图，矩形ABCQ为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与8的交点为E,当水杯

底面BC与水平面的夹角为27°时，/AEZ）的大小为（)

D

A.27°B.53°C.57°D.63°

0

【分析】根据题意可知AE:〃BP,ZEAB=ZABFfZABF+27=90°,等量代换求出NE45,再根据平

行线的性质求出NA£D

【解答】解：如图,

9：AE//BF,

；・NEAB=NABF,

•・•四边形A8CD是矩形,

：.AB//CD,NA8C=90°,

AZABF+27°=90°,

/.ZABF=63°,

：.ZEAB=630,

,:AB〃CD,

：.ZAED=ZEAB=63°.

故选：D.

2.（2022•黔东南州）如图，矩形A8CO的对角线AC,8。相交于点O,。石〃AC,CE//BD.若AC=10,

则四边形OCED的周长是20

【分析】先证四边形OCED是平行四边形，得OC=DE,OD=CE,再由矩形的性质得OC=OO=5,则

OC=OD=CE=DE,得平行四边形OCED是菱形，即可得出结论.

【解答】解：-DE//AC,CE//BD,

：.四边形OCED是平行四边形,

：.OC=DE,OD=CE,

•・•矩形A8CO的对角线AC,8。相交于点O,

.•.0C=AAC=5,OD=1-BD,BD=AC,

22

：.0C=0D=5,

：.OC=OD=CE=DE,

平行四边形OCEO是菱形，

菱形OCED的周长=4OC=4X5=20,

故答案为：20.

3.（2022•陕西）在下列条件中，能够判定nABCO为矩形的是（）

A.AB=ADB.AC1BDC.AB=ACD.AC=BD

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分别对各个选项进行判断即可.

【解答】解：A.:一/?。。中，AB=AD,

...口A8C。是菱形，故选项A不符合题意；

B."：°ABCD41，AC1BD,

"ABCD是菱形，故选项R不符合题意；

C.oA8CQ中，AB=AC,不能判定口A8CO是矩形，故选项C不符合题意；

D.中，AC^BD,

:.口ABCD是矩形，故选项D符合题意；

故选：D.

4.（2022•包头）如图，在矩形ABCQ中，A£）＞AB,点E,F分别在A。，BC边上，EF//AB,AE=AB,

A尸与BE相交于点O,连接OC.若BF=2CF,则OC与所之间的数量关系正确的是（）

A.ED

旦

BFC

A.2OC=45EFB.娓OC=2EFC.2OC=MEFD.OC=EF

【分析】过点。作04_L8C于点H,得出四边形A8/E是正方形,再根据线段等量关系得出CF=EF=

2OH,根据勾股定理得出OC=&O”，即可得出结论.

（解答］解：过点。作OHLBC于点”，A______ED

:在矩形中，EF//AB,AE^AB,L\//

四边形A8FE是正方形，

C

:.OH=LEF=LBF=BH=HF,BHF

22

;BF=2CF,

：.CH=EF=20H,

OC=V0H24CH2=V0H2+（20H）2=V5^

即20C=J^E凡

故选：A.

5.（2022•青海）如图，矩形ABC。的对角线相交于点O,过点。的直线交A£>,BC于点、E,F,若A8=3,

8c=4,则图中阴影部分的面积为6.

【分析】首先结合矩形的性质证明△AOE/ACOR得△AOE、△COF的面积相等，从而将阴影部分的

面积转化为△BOC的面积.

【解答】解：•••四边形A8C。是矩形，AB=3,

；.OA=OC,48=8=3,AD//BC,

：.NAEO=NCFO；

又,：NAOE=ZCOF,

在△AOE和△COF中，

"ZAEO=ZCFO

•OA=OC，

ZAOE=ZCOF

△AOEdC。尸，

:.SMOE=S&COF,

SW^=S^AOE+S^BOF+S^COD:=S^COF+SABOF+S^COD=S^BCD,

5ABCD=—BC*CD=—X4,X?=6,

22

•,•S叫舷=6・

故答案为6.

6.（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（）

A.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

B.有一个角是直角的四边形是矩形

C.对角线互相平分的四边形是菱形

D.对角线互相垂直的矩形是正方形

【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一判断即可.

【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；

从有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；

C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；

对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意.

故选：D.

7.(2022•黄石)如图，正方形O4BC的边长为&,将正方形OABC绕原点。顺时针旋转45°,贝U点8

的对应点B\的坐标为()

y八

Bi--------C

AO%

A.(-&,0)B.(&,0)C.(0,V2)D.(0,2)

【分析】连接08,由正方形的性质和勾股定理得。8=2,再由旋转的性质得以在y轴正半轴上，且0所

=08=2,即可得出结论.

【解答】解：如图，连接08,BC

：正方形OABC的边长为

：.OC=BC=®NBCO=90。，ZBOC=45a,45

OB=VoC2+BC2=V(V2)2+(V2)2=2,

；将正方形OABC绕原点。顺时针旋转45°后点B旋转到B\的位置，

二的在y轴正半轴上,KOB\=OB=2,

...点81的坐标为(0,2),

故选：D.

8.(2022•重庆)如图，在正方形ABCC中，AE平分/84C交BC于点E,点尸是边AB上一点，连接OF,

若BE=AF,则/CDF的度数为()

A\D

BE,

A.45°B.60°C.67.5°D.77.5°

【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到NAOF的度数，从而可以求得/CDF

的度数.

【解答】解：•.•四边形48c力是正方形，

：.AD=BA,NDAF=NABE=9Q°,

在△D4F和△ABE中，

，AD=BA

,ZDAF=ZABE-

AF=BE

^DAF^/\ABE（SAS）,

乙ADF=NBAE,

平分/BAC,四边形ABC。是正方形，

AZBAE=^ZBAC=22.5°,NADC=90°,

2

AZADF=22.5°,

：.ZCDF=ZADC-ZADF=90°-22.50=67.5°,

故选：C.

9.（2022•广州）如图，正方形ABC。的面积为3,点E在边CO上，且CE=1,/ABE的平分线交A£＞于

点凡点M,N分别是BE,BE的中点，则MN的长为（）

A.近B.近C.2-A/3D.娓

222

【分析】连接EF,由正方形ABCD的面积为3,CE=1,可得。1,tanNEBC=£&=3=",

BCV33

即得NE8C=30°,又A尸平分NA8E,可得NA8F=>l/ABE=30°,故4尸=胆=1,DF=AD-AF

2V3

=Vs-1.可知EF=&DE=MX（V3-1）=瓜-近,而M,N分别是BE,BF的中点，即得

f=用

【解答】解：连接EF,如图：

二•正方形ABC。的面积为3,

:.AB=BC=CD=AD=a，

•；CE=1,

：.DE=y/3-blan/EBC=_^:

BC

：.ZEBC^30°,

NABE=ZABC-/EBC=60°,

尸平分NA8E,

AZABF^^ZABE=30Q,

2

在RtZ\48尸中，AF=-^=\,

V3

：.DF=AD-AF=y[3-1，

：.DE^DF,是等腰直角三角形，

；.EF=&OE=V^X(5/3-1)=氓-近,

,:M,N分别是BE,8尸的中点,

MN是△8EF的中位线,

MN=LEF=娓.