重庆市长寿区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题（解析版）

重庆市长寿中学校初2024届八年级上期末质量监测

数学试题

（全卷满分150分，考试时间120分钟，出题人：周燕，审题人：张洪斌，华利蓉）

一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项符合题目要求）

1.下列图形中，是轴对称图形的是（）

Bw

【答案】C

【解析】

【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图

形，这条直线是这个图形的对称轴，根据定义逐一分析判断即可.

【详解】解：选项A不是轴对称图形，故A不符合题意；

选项B不是轴对称图形，故B符合题意；

选项C是轴对称图形，故C符合题意；

选项D不是轴对称图形，故D不符合题意；

故选C.

【点睛】本题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题的关键.

2.以下列长度的三条线段为边，能组成三角形的是（）

A2,3,5B,3,4,5C.3,3,6D,3,4,9

【答案】B

【解析】

【分析】根据三角形三边关系逐项判断即可.

【详解】72+3=5,

•••以长度为2,3,5的三条线段为边不能组成三角形，故A不符合题意；

：3+4=7>5,

以长度为3,4,5的三条线段为边能组成三角形，故B符合题意;

：3+3=6,

以长度为3,3,6的三条线段为边不能组成三角形，故C不符合题意；

：3+4=7<9,

/.以长度为3,4,9的三条线段为边不能组成三角形，故D不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查三角形三边关系的应用.掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解

题关键.

3.下列运算正确的是（）

23533542

A.m+m=mB.m-m=mC.。叫=mD.=mn

【答案】D

【解析】

【分析】利用同类项的定义、同底数幕的乘法法则、幕的乘方法则、积的乘方法则分别计算即可判断出正

确答案.

【详解】解：病和田不是同类项，不能合并，故A选项错误；

m-m3—ml+3=m4，故B选项错误；

'm2*3=,故c选项错误；

（w%）=（7储）.“2=机4”2,故D选项正确；

故答案为：D.

【点睛】本题考查同类项的定义、同底数塞的乘法法则、幕的乘方法则、积的乘方法则.需要牢记：所含

字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫同类项，不是同类项不能合并；同底数累相乘时，底数不

变，指数相加；计算累的乘方时，底数不变，指数相乘；计算积的乘方时，先把每一个因数乘方，再把所

得的累相乘.

4.如图，若A5=AC,则添加下列一个条件后，仍无法判定VA3E@MCD的是（）

A.CB.AE=ADC.BE—CDD.ZAEB^ZADC

【答案】c

【解析】

【分析】根据ASA即可判断A；根据SAS即可判断B；根据SSA两三角形不一定全等即可判断C；根据

AAS即可判断D.

【详解】解：A、根据ASA(NA=NA/C=ZB,AB=AC)能推出,正确，故本选

项不符合题意;

B、根据SAS(NA=44,AB^AC,AE^AD)能推出VA3E@MCD,正确，故本选项不符合题意;

C、两边和一角对应相等的两三角形不一定全等，错误，故本选项符合题意;

D、根据AAS(ZA=ZAAB^AC,NAEB=NAE)C)能推出VABE@/ACE),正确，故本选项不符合

题意;

故选：C.

【点睛】本题考查了对全等三角形的判定的应用，注意:全等三角形的判定方法只有SAS,ASA,

AAS,SSS,共4种，主要培养学生的辨析能力.

化简.犷的结果正确的是(

5.J6—7)

m+6m+94—m

4+m4-m4+m4-m

A.-------B.-------C.D.-------

m+3m+3m—3m-3

【答案】A

【解析】

【分析】先将分子分母因式分解，再根据分式的乘法以及分式的性质约分化简即可.

16-m2m+3_(4~m)(4+m)加+3_4+〃/

【详解】解:

2

rrT+6m+94-mm+3)4-mm+3

故选A

【点睛】本题考查了分式的乘法运算,掌握分式的性质是解题的关键.

6.下列各式，分解因式正确的是()

A.Q2_人2=(〃一人)22

B.a2-2ab+b2=(〃一/?)

C.x3-x=x(^x2-1)D.x[y+z^=xy-\-xz

【答案】B

【解析】

【分析】按照完全平方公式，平方差公式和提公因式法分解因式，逐项进行判断即可.

【详解】解：A.a2-b2=(a+b)(a-b),故A错误；

B.a?_2ab+=(a-,故B正确；

C.x3-x=-l^=x(x+l)(x-l),故C错误；

D.x(y+z)=^+xz不是分解因式，是整式乘法运算，故D错误.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了分解因式，解题的关键是熟练掌握因式分解的定义和方法，准确计算.

7.若一个正多边形的每一个内角都是外角的2倍，则这个正多边形的边数是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解析】

【分析】设这个正多边的外角为左。，则内角为2廿，根据内角和外角互补可得x+2x=180,解可得尤的

值，再利用外角和360。+外角度数可得边数.

【详解】解：设这个正多边的外角为X。，由题意得：

x+2x=180,

解得：x=60,

360。+60。=6.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角，关键是计算出外角的度数，进而得到边数.

8.已知x+y=-5,xy=6,则x?+y2的值是()

A.1B.13C.17D.25

【答案】B

【解析】

【分析】先把所求式子变形为完全平方式，再把题中已知条件代入即可详解.

【详解】解：由题可知：

x2+y2

=x2+y2+2xy-2xy,

=(x+y)2-2xy,

=25-12,

13.

故选：B.

【点睛】利用完全平方公式变形式详解，熟记完全平方公式，式子的变形要注意变形前后的相等关系.

9.在某核酸检测任务中，乙医疗队比甲医疗队每小时少检测12人，甲队检测600人所用的时间比乙队检

测500人所用的时间少10%.设甲队每小时检测x人，根据题意，可列方程为（）

600500八1八八八600sc/、500

A.——二-------x(l-l0%)B.-----x(l-l0%)=

Xx—12Xx—12

6005006003八八/、500

C.--------------x(l-l0%)D.——x(l-l0%)=

Xx+12Xx+12

【答案】A

【解析】

【分析】根据甲队检测600人所用的时间=乙队检测500人所用的时间x（l-10%）列出方程即可得出答

案.

【详解】解：设甲队每小时检测无人，乙队每小时检测（X-12）人，则根据题意得：

600500..八

-----=--------x（1-10%）,

xx-12

故选A.

【点睛】本题主要考查列分式方程解实际问题，找出等量关系是解本题的关键.

10.如图，已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点5为圆心，长为半径画弧，交腰AC于点E,

则下列结论一定正确的是（）

A.ZEBC=ZBACB.ZEBC=ZABEC.BE=ECD.BC=CE

【答案】A

【解析】

【分析】根据等腰三角形的性质，得ZABC=NC=NBEC,根据三角形的外角性质，得

ZABC=ZABE+NEBC=ZBEC=ZABE+ABAC,由等量代换即可求解.

【详解】解：•••等腰三角形ABC，AB=AC,

：.ZABC=ZC,

..•点B为圆心，长为半径画弧，

NONBEC,

ZABC=NC=NBEC,

•：ZABC=ZABE+ZEBC=ZBEC=ZABE+ABAC,

:./EBC=ZBAC,

故选：A.

【点睛】本题主要等腰三角形的性质，三角形的外角性质的综合，掌握等腰三角形的性质，三角形的外角

性质即可求解.

y—1

-----22kkx3x+2

11.若关于y的不等式组2有解，且关于x的分式方程——=2+-——有非负整数解，则

y-k<4k+6x-22-x

符合条件的所有整数k的和为（）

A.-5B.-9C.-12D.-16

【答案】A

【解析】

【分析】先根据不等式组有解求出k的取值范围，再解分式方程，根据方程有非负整数解，确定出k值，

再由求得的k的范围内确定出k的值，再求这些值的和即可.

I1，2k①

【详解】解:

y-k<4k+6②

由①得：y>4k+l,

由②得：y<5k+6,

不等式有解，

4k+1W5k+6,

解得：kN—5,

rkx-3x+2

又・-----=2+--------

x-22-x

解得：x=———,

k+1

方程有非负整数解，

当左二T时，x=2,最简公分母为0,不符合题意，舍,

当k=-3时，x=3,

k=—2时，x=6,

故选A.

【点睛】本题考查分式方程的解法，一元一次不等式组的解法的有关知识.注意分式方程中的解要满足分

母不为0的情况.

12.如图，A,B,。在同一直线上，的平分线与NCBD的平分线交于点E,BC=BD,

跖〃AC分别交A3于点尸，交6C于点G,连接EC,ED.有以下结论：①AF=EF；②GCDE

是等腰三角形；③/GCE=NGEC；®EC=EF.正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】由角平分线性质和平行线的性质可得可得AF=EF,故①正确；由“SAS”可证

△BCE会4BDE,可得CE=DE,即△CDE是等腰三角形，故②正确；由角平分线的性质可得EN=EH=

EM,可证NECN=/EC2,由平行线的性质可得/。£尸=可得GC=GE,故③正确；由CE不平

行A8,可得NCEF与NEED不相等，可得E尸与即不相等，即EC与E尸不相等，故④错误，即可求

解.

【详解】解：平分/C4B,

：.ZCAE=ZBAE,

,JEF//AC,

J.ZCAE^ZAEF,

：.ZBAE=ZAEF,

：.AF=EF,故①正确；

；BE平分/CBD,

：./CBE=ZDBE,

又；BC=BD,BE=BE,

.,.△BCE咨ABDE(SAS),

：.CE=DE,

；.△（?£>£是等腰三角形，故②正确；

如图，过点E作于点M,ENLAC,交AC的延长线于点N,EHLBC于点H,

平分/CAB,BE平分/CBD,EM±AD,EN±AC,EHLBC,

:.EN=EH=EM,

又；ENLAC,EHLBC,

:.CE平分/BCN,

：.ZECN=ZECB,

y.\'EF//AC,

：.ZECN=ZCEF,

：.ZCEG=ZECG,故③正确；

：CE■与AF不平行，

/.ZCEF与ZEFD不相等，

■:ABCE沿ABDE,

：./EDB=ZECB^ZCEG,

：.ZEDB与ZEFD不相等，

.•.ED与跖不相等，即EC与EF不相等，故④错误，

故选C

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等

知识，掌握常规辅助线的添加是解题的关键.

二、填空题（本大题4个小题，每小题4分，共16分.请将正确答案填在横线上）

13.PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为

【答案】2.5x10-6

【解析】

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axlO-1与较大数的科学记数法不

同的是其所使用的是负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】0.0000025=2.5x10-6,

故答案为:2.5x10-6.

【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为axlOa其中上闾＜10,n为由原数左边起

第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

14.无2+6+9是完全平方式，贝壮=.

【答案】±6

【解析】

【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的乘积的2倍，故

k—+6.

【详解】解：首末两项是X和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去X和3的乘积的2倍，故

左=±6,

故答案为：±6.

【点睛】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和再加上或减去它们乘积的2倍，就构成了一个完全平

方式，注意积的2倍的符号，避免漏解.

15.如图，在AA3C中，AC=AB,=90°.CE平分NACB，BDLCE交CE的延长线于点

D,若BD=6，则CE=.

【答案】2&

【解析】

【分析】根据8平分/AC2,BD±CD,CD=CD,先证得到△2b为等腰三角形,

BF=2BD,再证△BA尸注△CAE,即可得答案.

【详解】解：如下图：延长8。与CA的延长线交于E点，

B

平分NACB,BD±CD,

：.ZBCD=ZFCD,ZBDC=ZCDF=90°,

又,：CD二CD,

:.LBCD咨LFCD,

：.BC=CF,

...△BCF为等腰三角形，

：.BF=2BD,

,：ZBAC=90°,ZBDC=90°,ZDEB=ZAEC,

：.ZFBA=ZECF,

在△BAE和△CAE中，

ZFBA=ZECF

<AB=AC

ABAC=ZBAF

AABAF^ACAE,

,:BF=CE,

,：BF=2BD,

：.CE=2BD,

,:BD=亚,

：.CE=2y/2,

故答案为：2日

【点睛】本题主要考查了等腰三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是延长8。

与CA的延长线交于尸点，构造△8AF也

16.如图，在一A3C中，以BC为底边在外作等腰cBCP,作/3PC的平分线分别交48,BC于

，点、F,E.若BC=12,AC=5,ABC的周长为30,点〃是直线PE上的一个动点，则4c周长

的最小值为

【解析】

【分析】根据点B与点C关于PE对称，即可得出=当点M与点尸重合时,

MC+MA=MB+MA^AB,此时AMAC的周长最小，根据AB与AC的长即可得到AM4c周长的最小

值.

【详解】ABCP是以为底边的等腰三角形，PE平分NBPC,

.•.PE垂直平分BC,

，点8与点。关于QE对称,

:.MC=MB,如图所示,

当点又与点尸重合时，MC+MB^MB+MA^AB,

此时AM4C的周长最小，

AC=5,BC=12,AABC的周长为30,

..AB=13,

.,.△MAC周长的最小值为AB+AC=13+5=18.

故答案为：18.

【点睛】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴

对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点.

三、解答题（本大题2个小题，共16分.解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步

骤）

17.计算：

(2)|-4|-(-1)2014x-V2)°+V16-j

【答案】(1)-2mn

(2)3

【解析】

【分析】(1)根据乘法公式展开，再合并即可求解；

(2)根据乘方、负整数指数累、零次累计算即可求解.

【小问1详解】

解：(加—〃)2+(2根+〃)(2根一〃)—5根2

=m+rr—2mn+4mz—n—Sm

=^2mn；

【小问2详解】

解：|-4|-(-1)2014X(^--V2)+V16-

=4—1+4—4

=3.

【点睛】本题考查了整式的混合运算，实数的混合运算，掌握相关运算法则是解题的关键.

18.(1)分解因式：x3-x

(2)解方程:------1=-----

3x-l6x-2

【答案】(1)x(x+l)(x-l)；(2)

【解析】

【分析】(1)先提取公因式明再利用平方差公式分解因式即可;

(2)先去分母，化为整式方程，再解整式方程，并检验即可.

【详解】解：(1)原式=尤(f—=+(尤—1)

23

(2)------］二------

3x-l6x-2

去分母得：4-(6x-2)=3

去括号得：4-6%+2=3

整理得：6x=3

解得：冗」

2

检验：当％=，时，6x—2w0

2

•..x=L是原分式方程的解.

2

【点睛】本题考查的是因式分解，分式方程的解法，掌握“因式分解的方法与分式方程的解法”是解本题

的关键.

四、解答题：（本大题共7个小题，每小题10分，共70分）请把答案写在对应的空白处，解

答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.

19.如图，在RtZVIBC中，ZACB=9Q°.

（1）请用尺规作图法，在边上求作一点P,使（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）连接AP,若NABC=30°,BC=6,求"的长度.

【答案】（1）作图见详解

（2）AP=4

【解析】

【分析】（1）根据题意得，作A3的垂直平分线即可求解，分别以点A,B为圆心，以大于为半径画

2

弧，两弧分别交于点N,连接"N交于P,连接AP,根据线段的垂直平分线到线段两端的距离

相等，即可得到上4=M，故点P为所求点的位置；

（2）由/4BC=30°,可知/班C=60。，根据（1）的结论可知尸=/8=30°,所以求得NC4P=30°,

在RtAG4尸中，AP=2CP,设24=PB=x，由3C=6,可知CP=6—%,由勾股定理可知x=2（6—x）,

由此即可求解.

【小问1详解】

解：根据题意作图如下，

M,

此

,/MN1AB,且仞=皮)，

:.PA=PB,即点尸为所求点的位置.

【小问2详解】

解：已知Rt^ABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,

：.Nfi4C=60°,

•/PA=PB，

ZB=ZZMP=30°,

ZCAP=ZCAB-ZDAP=60°-30°=30°,

己知BC=6,

.♦.设PA=P3=x,则CP=CB—P5=6—x,

在Rt_ACP中，AP=2CP,

即x=2(6-x),

解方程得，x=4,

AAP=4.

【点睛】本题主要考查直角三角形中斜边的垂直平行线的性质，解题的关键是作线段的垂直平分线及一元

一次方程的应用.

Y—Q（x~+X—4、1

20.先化简，再求值：---------十——------X-2--------,然后从T,0,1,2中选择一个合适的

%-4x+4Ix-2）x-1

数作为x的值代入求值.

【答案】---5----，X=—1时，---

x-x2

【解析】

【分析】先根据分式的运算法则把所给代数式化简，然后从所给数中取一个使分式有意义的数代入计算.

(2A

x-2x+x—4(x+2)(x-2)、1

【详解】解：原式=

(x-2『、x—2x-2,x-1

x-2fx2+x-4x2-4^1

(x-2)2、x-2x-2/x-1

x—2x~+x—4—x~+41

一(1/,^2TH

1x-2_1

x-2xx-1

_j__1

Xx-1

x—1—X

-1)

1

,x—2w0,且1—IwO,且xwO

:.x^2,且xwl,且XHO

取％=-1时，原式=-工

2

【点睛】本题考查了分式的计算和化简，解决这类题目关键是把握好通分与约分；关键是掌握分式加减的

本质是通分，乘除的本质是约分，同时注意在进行运算前要尽量保证每个分式最简.

21.被誉为“世界杂交水稻之父”，同时，也是“共和国勋章”获得者的袁隆平，他研发出的釉型杂交水

稻的亩产量是普通水稻的亩产量的L8倍.现有两块试验田，甲块试验田种植釉型杂交水稻，乙块试验田

种植普通水稻，甲块试验田比乙块试验田少3亩.

(1)今年，甲块试验田收获灿型杂交水稻12960千克，乙块试验田收获普通水稻9000千克，求灿型杂交

水稻和普通水稻的亩产量；

(2)为了增加这两块试验田总产量，明年计划将种植普通水稻的乙块试验田用一部分来种植粕型杂交

水稻，如果明年与今年两种水稻亩产量均保持不变，且使这两块试验田明年的总产量比今年这两块试验田

的总产量至少增加1920千克，那么明年乙块试验田至少要用多少亩种植釉型杂交水稻.

【答案】(1)普通水稻的亩产量为600千克，灿型杂交水稻亩产量为1080千克

(2)4亩

【解析】

【分析】(1)设普通水稻的亩产量为x千克，则灿型杂交水稻亩产量为1.8x千克，分别写出普通水稻和灿

型杂交水稻亩数的代数式，再根据两者的数量关系列出分式方程，求解即可;

（2）由（1）知每亩灿型杂交水稻比普通水稻多收（1080-600）千克，设乙块试验田至少要用。亩种植和

型杂交水稻，贝限1080—600）。21920,解不等式即可.

【小问1详解】

解：设普通水稻的亩产量为x千克，则灿型杂交水稻亩产量为1.8尤千克,

12960C9000

由题意得,---------F3=------

1.8xx

解得％=600,

经检验，％=600是原分式方程的解,

1.8尤=1.8x600=1080,

故普通水稻的亩产量为600千克，灿型杂交水稻亩产量为1080千克.

【小问2详解】

解：设明年乙块试验田至少要用。亩种植釉型杂交水稻，

由题意可得，（108。—6。。）无31920,

解得尤必，

故明年乙块试验田至少要用4亩种植釉型杂交水稻.

【点睛】本题考查分式方程和一元一次不等式的实际应用，读懂题意，根据已知条件找准等量关系列出分

式方程和不等式是解题的关键.

22.如图1是一个长为4。、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长

方形拼成一个“回形”正方形（如图2）

（1）观察图2请你写出（a+b）2、（a—bp、ab之间的等量关系是

（2）根据（1）中的结论，若x+y=7,x-y=—，贝i|x-y=；

-4

⑶拓展应用：若（2022—加『+（加一2023『=5,求（2022）（根—2023）的值.

【答案】(1)(a+Z?)2-(a-by+4-ab

(2)±6

⑶-2

【解析】

【分析】(1)根据图2可知，大正方形面积等于内部小正方形与4个小长方形的面积之和，分别用含。和

6的代数式表示可得出答案；

(2)由(1)可得出(x—y)2=(x+y)2—4孙，据此即可得出答案；

(3)根据完全平方公式得出[(2022—7*+(加—2023)1

=(2022-m)2+(m-2023)2+2(2022-m)(m-2023),再代入(2022—+(m—2023)?=5,据此

即可得出答案.

【小问1详解】

解：由图2可知，大正方形的边长为。+)，内部小正方形的边长为》-a,

...大正方形的面积为(a+»2,小正方形的面积为。一小长方形的面积为a/,,

由题可知，大正方形面积等于小正方形与4个小长方形面积之和，

即(a+b)-=(b-+4ab=(^a—by+4-ab.

故答案为：(a+92=(a—Z?y+4ab；

【小问2详解】

13

解：：x+y=7,x・y=——，

--4

(%-=(x+-4xy=72-4x^=36.

x—_y=+y/36=+6.

故答案为：±6；

【小问3详解】

解：*/[(2022-m)+(m-2023)]2

=(2022-m)2+(m-2023)2+2(20222023),

又：(2022—〃/J+(m-2023)2=5,

.-.1=5+2(2022-m)(w-2023),

(2022-m)(m-2023)=-2.

【点睛】本题考查整式的化简求值、完全平方公式，能正确根据完全平方公式进行变形是解题的关键.

23.如图，.<和VADE均为等边三角形，连接6。并延长，交AC于点/，连接CD并延长，交

A5于点G,连接CE.

（2）若ZADG=NCED,求证：AG=CF.

【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.

【解析】

【分析】（1）根据等边三角形的性质得A5=AC,AD=AE,N5AC=NZME,NC4£）为公共角得出

ZBAD=ZCAE,根据SAS可证全等.

（2）根据全等三角形的性质ZACE=ZABD,ZADB=NAEC,联立题目条件ZADG=NCED可得

ZBDG=ZAED=60，根据三角形外角的性质得到NAG。=NMC证明AGCBFC（AAS）,即

可证AG=CF.

【详解】（1）,/_ABC和VADE均为等边三角形，

AB=AC,AD=AE,ABAC=/DAE,

VNC4D为公共角，

ABAD=ZCAE

：.AAB£>=AACE（5A5）

（2）•:ABD‘ACE,

：./ACE=ZABD,ZADB=ZAEC,

ZADG=NCED,

AZBDG=ZAED=60，

ZGBD+ZGDB=ZGBD+ZBAF,即ZAGD=NBFC,

ZAGD=ZBFC

在一AGC与丛BFC中<NGAC=ZFCB,

AC=BC

：..AGC=BFC(AAS)

：.AG=CF

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识点；解题的

关键是熟练掌握以上知识点.

24.两位数相和两位数”，它们各个数位上的数字都不为0,将数根任意一个数位上的数字作为一个新的

两位数的十位数字，将数〃任意一个数位上的数字作为该新的两位数的个位数字，按照这种方式产生的所

有新的两位数的和记为歹(根,〃).例如：/(12,34)=13+14+23+24=74；

方(63,36)=63+66+33+36=198.

(1)计算：厂(41,25)=,尸(32,76)=；

(2)若一个两位数p=21x+y,两位数q=52+y(l<x<4,1<y<5,x,y是整数)，交换两位数

p的十位数字和个位数字得到新数p',当p'与4的个位数字的6倍的和能被13整除时，称这样的两个数

P和4为“美好数对”，求所有“美好数对"中F(p,q)的最小值.

【答案】(1)114,126；

(2)156.

【解析】

【分析】(1)根据所给材料可直接求得F(41,25)和F(32,76)；

(2)求出两位数夕=21x+y(1<%<4,l<y<5,x,y是整数)的十位数和个位数，求出两位数

q=52+y(1<%<4,l<y<5,x,y是整数)的个位数，表示出p'与q的个位数字的6倍的和，根

据p'与4的个位数字的6倍的和能被13整除，进行分析求解即可.

【小问1详解】

解：根据题意得：F(41,25)=42+45+12+15=114,

厂(32,76)=37+36+27+26=126；

故答案为：H4,126；

【小问2详解】

解：：p=21x+y

-2Qx+x+y

=2xxl0+(x+y)

V1<X<4,l<y<5,尤，y是整数

A2<2x<8,2<(x+y)V7,

：.p的十位数字和个位数字分别为2x,%+y,

P'的十位数字和个位数字分别为％+y,2x,

o'=10(%+y)+2x=12x+10y

•.<1<y<5

/.3<2+y<7

：q=52+y=50+(2+y)

...q的个位数字是(2+y)

:.p'与q的个位数字的6倍的和为：12x+10y+6(2+y)=12x+16y+12

=13(x+y)+3y-x+12

由题意知，当13(x+y)+3y—一刀十醛二”+^^―x+12整数，即刀―％+12能被13整出时，两个数p

1313

和4为“美好数对”.

V1<%<4,l<y<5,%,y是整数

—4<—x<—1,3<3y<15

-l<3y-x<14

.-.ll<3y-x+12<26

当3y-x+12=13时，x=2,y=l

此时p=21x+y=43,q=52+