高考数学真题分类汇编：数列

数列

一、选择填空题

1.(江苏2004年4分)设数列｛aj的前n项和为S”，(对于所有n'l),且—=54,则%

2

的数值是一

▲.

【答案】2。

【考点】数列的求和。

【分析】根据。4=S4-S3列式求解即可：

.T),“产54,且“FSLS3,

2

...[(3Jl)/(33—1)=54,解得2。

22

2.(江苏2005年5分)在各项都为正数的等比数列｛%｝中，首项％=3,前三项和为21,则%+%+。5=

[]

A.33B.72C.84D.189

【答案】Co

【考点】等比数列的性质。

【分析】根据等比数列｛%｝中，首项4=3,前三项和为21,可求得q,根据等比数列的通项公式,

分别求得出，4和。5代入。3+。4+。5，即可得到答案：

:在各项都为正数的等比数列｛凡｝中，首项%=3,前三项和为21,3+3q+3/=21。；.q=2。

_1234

Aan=3x2"oAa3+a4+a5=3x(2+2+2)=3x28=840故选C。

3.(江苏2006年5分)对正整数〃，设曲线y=x"(l-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为明,

则数列[悬]的前n项和的公式是▲

【答案】2,1+1-2o

【考点】应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列的前"项和的公式。

【分析】•/y=xn(l-x),：.y'=nxn-'-(«+l)x,!»

曲线y=7'(l-x)在x=2处的切线的斜率为左=〃2"T-("+l)2",切点为(2,—2")。

所以切线方程为y+2"=[”2'T—(a+l)2"](x—2)。

把x=0,y=a”代入，得4=(〃+1)2"。；.上一=2"。

〃+]

・•・数列[1的前〃项和为2+2?+23+…+2〃=2^i_2。

U+1J

4.(江苏2008年5分)将全体正整数排成一个三角形数阵：

1

23

456

78910

1112131415

按照以上排列的规律，第〃行(〃N3)从左向右的第3个数为▲

【考点】归纳推理，等比数列的前〃项和。

"2_几

【分析】前n—1行共有正整数1+2+…+(H-1)个，即-----个，

2

・••第n行第3个数是全体正整数中第+3个，即为^一上二。

22

6.(江苏2009年5分)设｛6｝是公比为q的等比数列，旧|>1,令2+1(〃=1,2,),若数列抄“｝

有连续四项在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，则6。=▲.

【答案】-9。

【考点】等比数列的性质，数列的应用，等价转化能力和分析问题的能力。

【分析】••““=q+1(〃=1,2,),数列也“｝有连续四项在集合｛-53,-23,19,37,82｝中，

｛可｝有连续四项在集合｛-54,-24,18,36,81｝中。

按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现一24,36,-54,81成等比数列,

3

是｛aj中连续的四项，比为q=

6q=—9。

7.（江苏2010年5分）函数y=x2（x>0）的图像在点（以，.J）处的切线与无轴交点的横坐标为以+「

k为正整数，4=16,则q+/+%=▲

【答.案】21。

【考点】抛物线的性质，函数的切线方程,数列的通项。

【分析】求出函数y=x?在点（4,a/）处的切线方程，然后令y=0代入求出x的值，再结合勾=16得

到数列的通项公式，再得到%+%+%的值：

函数y=/在点（%,）处的切线方程为：y-aj=2%（x—W）,当y=0时，解得》=今。

••a&+j——~o•.q+/+%=16+4+1=21。

8.（江苏2011年5分）设1=%<4<—<。7，其中。1，。3，。5，%成公比为4的等比数列，。2，。4，。6

成公差为1的等差数列，则q的最小值是▲

【答案】V3o

【考点】等差数列、等比数列的意义和性质，不等式的性质。

223

【分析】由题意得，a2>1,a3=q>a2fa2+1>q>a2+1,a2-^-2>q,q>a2+2

・・・要求q的最小值，只要求出的最小值，而。2的最小值为1，

>«2+2>1+2=3o/.<7>V3o

9、（2012江苏卷6）现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-3为公比的等比数列，若从这10

个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是.

【解析】组成满足条件的数列为：L—3,9.—27,81,-243,729,-2187,6561,-19683.从中随机取出一个

3

数共有取法10种，其中小于8的取法共有6种，因此取出的这个数小于8的概率为二.

【点评】本题主要考查古典概型.在利用古典概型解决问题时，关键弄清基本事件数和基本事件总数,

本题要注意审题，“一次随机取两个数”，意味着这两个数不能重复，这一点要特别注意.

10、（2013江苏卷14）14.在正项等比数列｛4｝中，%=g，+a7=3,则满足

（+4+…+4〉为出…。"的最大正整数〃的值为

答案：14.12

二、解答题

1.（江苏2004年12分）设无穷等差数列｛a｝的前n项和为S”.

（I）若首项％=］,公差d=l,求满足5/=（SQ2的正整数k;

（II）求所有的无穷等差数列｛4｝,使得对于一切正整数化都有=（4）2成立.

［答案］解：（I）当=1时，S=na,+―—<7=—n+——=—zz2+n

122222

由%=（Sj,得94+%2=（*2+左）2,即左3（；左—IQ。。

又上中0,所以左=4。

（H）设数列｛a.｝的公差为d,则在S）,=（SR）2中分别取％=1,2,得

S_（S）24］=（1）

《，即《4x32x1'。

S=（S）24%+——1=（24+——［尸质）

42、22

M或3或〃]=1

解得

小d=2

若q=0,1=0,则a“=0,S“=0,从而S『=(SQ2成立;

若q=0,d=6,贝必“=6("—1),由邑=18,($3尸=324,5“=216知的。(邑了,

故所得数列不符合题意。

若4=1,4=0,则%=1,5“=〃,从而.=(SJ成立;

若q=l,d=2,贝！=2〃-1,Sn=1+3++(2〃-1)=〃2,从而5=(5")2成立。

综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：

①{8}:a=0,即0,0,0,…；

②{4}:a=1,即1,1,1,•­­;

③{&}:^=2n—1,即1,3,5,…。

【考点】等差数列的通项公式，等差数列的性质。

【分析】（I）利用等差数列的求和公式表示出前n项的和，代入到=（SQ2求得左。

（II）设数列｛4｝的公差为d,在Sn2=（Sn）2中分别取左=1,2求得见,代入到前n项的和中

分别求得d,进而对可和d进行验证，最后综合求得答案。

2.（江苏2005年14分）设数列｛%｝的前“项和为S"，已知％=1,电=6,%=11，且

（5H-8）S„+1-（5/i+2）S„^An+B,n=1,2,3,­••,其中A.B为常数.

⑴求A与B的值；（2分）

⑵证明：数列｛%｝为等差数列；（6分）

⑶证明：不等式庖二-向%>1对任何正整数小,“都成立.（6分）

【答案】解：（1）由已知，得S]=%=1,S2=ax+a2=7,S3—=18,

由(5/7—8)S“+]—(5"+2)S“=An+B,知

—3s2—7S]=A+BA+B=-28

即4

<2S-12S=2A+B解得A=—20,5=—8。

322A+B-48

(2)由(1)得(5〃-8)S,+i—(5〃+2)S“=—20〃一8①

；•(5〃-3)S〃+2-(5n+7)S〃+i=-20H-28②

②—①得，(5〃-3电+2-(10〃-1电+]+(5"+2电=-20③

•••(5n+2)Sn+3-(10n+9)Sn+2+(5n+7)S„+1=-20④

④一③得(5九+2电+3一(15〃+6)S“+2+(15n+6)5,i+1-(5n+2)5.=0。

'''%=S"+i—S”,：.(5n+2)an+3-(lOn+4)an+2+(5n+7)an+1=0»

(5"+2)H0，an+3-2an+2+an+1=0oan+3-an+2-an+2-an+1,n>l«

又：%—电=。2-%=5，，数列｛4｝为等差数列。

(3)由(2)可知”氏=1+5(〃-1)=5〃一4,

要证庖二->1，只要证5ami>1+aman+

因为*m=5nm-4,aman=(5m-4)(5〃-4)=25rm-20(加+n)+16,

故只要证5(5加〃-4)>1+25mn-20(m+n)+16+2^aman,

即只要证20m+20〃-37>2ja,,4。

因为

2^Jaman<am+an=5m+5n-8<5m+5n-8+(15m+15n-29)=20/n+20n-37,

由于以上过程是可逆的，所以命题得证。

【考点】数列的应用。

—3s2—7S]=A+B

【分析】(1)由题意知,从而解得A=—20,B=-8o

2s3-12S2=2A+B

(2)由(I)得(5〃—8)S.+i—(5〃+2)S,=—20〃—8,所以在式中令〃="+l,可得

(5H-3)S〃+2—(5〃+7)S〃+i=-20n-28.

由此入手能够推出数列｛an｝为等差数列。

(3)由(2)可知，％=1+5("-1)=5〃—4,然后用分析法可以使命题得证。

3.(江苏2006年14分)设数列｛%｝、也J、｛c“｝满足：bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2

(n=l,2,3,

证明｛为｝为等差数列的充分必要条件是｛c,｝为等差数列且6“(〃=1,2,3,…)

【答案】证明：必要性：设｛%｝是公差为4的等差数列，则

2+1-2=(%-an+3)一(。〃-4+2)=(%一♦)-(%+3-4+2)=4-4=0。

bn<bn+l(n=l,2,3,•­­)成立。

又c〃+i一%=(4+1一。〃)+2(。〃+2-%)+3(/+2-4+2)=4+24+3&=64(常数)

(n=l,2,3,,,,)

・•・数列｛%｝为等差数列。

充分性：设数列｛%｝是公差为4的等差数列，且(”1,2,3,…),

c=a+

,nn2"”+i+3。“+2①，••cn+2=a„+2+2a鹏+3an+4②，

①一②得cn-cn+2=(a„-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+l+3bn+2。

又•:c”~c„+2=(cn-%+J)+(c“+|-g+2)=一2心，'-bn+2bn+l+3bn+2=-2d2③。

从而有bn+l+2a+2+3bn+3=-ld2④。

...④一③得(2+]-〃)+2(4+2-2+1)+3(4+3-2+2)=。⑤。

••.一%]，即%"o,bn+2-bn+l>G,bn+3-bn+2>Q,

，由⑤得*i=0(n=l,2,3,…)。

由此不妨设d=〃3(〃=1,2,3,…)则%-4什2=/(常数)。

由此cn=an+2an+i+3an+2=4a“+2a/l+I-3d3@,

从而c„+1=an+l+2%+2+3a,+3=4a„+1+2a„+2-34=4a„+1+2%-5d3⑦。

.•.⑦一⑥得cn+1-cn=(4%+2an-5J3)-(4a„+2a,用-3/)=2(an+l-an)-2d3„

a〃+i—a”=5(cc+1—Cc)+d3=—d2+4(常数,=1,2,3,,,,)°

所以数列｛a.｝是等差数列。

【考点】等差数列的性质，必要条件、充分条件与充要条件的判断。

【分析】本题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题

的能力，理解公差d的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法，，

熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来。

5.(江苏2007年16分)已知｛a“｝是等差数列，｛a｝是公比为q的等比数列,见=配出=dN见，

记乂为数列｛"｝的前八项和，

(1)若为=m(加,女是大于2的正整数)，求证：Sj=(〃z—l)q；(4分)

(2)若&是某一正整数)，求证：q是整数，且数列｛4｝中每一项都是数列｛4｝中的项；(8

分)

(3)是否存在这样的正数q,使等比数列｛么｝中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的值，并

加以说明；若不存在，请说明理由；(4分)

【答案】解：设｛4“｝的公差为d,由％=4，4=dw%，知d=G](q—1)(qw0)

(1)证：4=am,

qq'T=%+(m—l)q(q—1),qk~'=l+(m—1)(^—1)=2—m+(m—1)^«

।=--1—w—i)q)/

i-qq

(2)证：:A=qq2,〃,=q且&=4，

q1=l+(z-1)(^-1),q1-(z-1)+(z-2)=0,

解得，q=1或q=1一2,但w1,q=i-2o

•・,i是正整数，・・・i—2是整数，即q是整数。

+

设数列｛"｝中任意一项为bn=q/i(neN),

设数列｛a“｝中的某一项a„,=q+(加一1)。1(q-l)(机eN*｝

现在只要证明存在正整数机,使得仇=味，即在方程%"T=%+(加—i)%(q—1)中

m有正整数解即可。

H-11

c〃一2

.*qn1=1+(m—1)(^—l),m—1=--------=1+qq2+q

qt

n2

:・iri=2+q+夕2+qo

右i=1,则q——1,那么Z?2W-i=b、=4，b2rl—b?—a?。

当i23时，:q=4，a2=b2,只要考虑〃N3的情况,

:&=q,iN3,，q是正整数。，加是正整数。

数列｛々｝中任意一项为a=adi("wN+)与数列｛4｝的第2+q+/+0-2项

相等，从而结论成立。

(3)设数列｛。〃｝中有三项勾，2,Z?p<〃v租，川,pwN+)成等差数列，则有

nlmxp

2axq-=aiq-+axq-\

设〃一加=羽P_〃=y,(x,y£N+),贝U2=二+。

令X=l,y=2,则，_2q+]=0,(夕一1)(d+g_1)=0。

x/5-1

丁qW1,・，・/+q—1=0,解得q=—-—(舍去负值)o

1+

即存在q=宫二使得｛bn｝中有三项bm,bm+l,bm+3(meN)成等差数列。

【考点】数列的求和，等差数列的性质，等比数列的性质

【分析】(1)设｛4｝的公差为d，由。1=白，把仇=(代入。或"'?"，即可表示出S-,题设得

证。

1

(2)禾!1用i>3=aiq,a1=(\+(z-l)a1(^-1),可得

=1+(i—1)(q—1),即d—«—1)q+(i—2)=0,整理即可求得“=i—2,从而可判定『一2是整数,

即q是整数。设数列｛以｝中任意一项为勿=a0i(“eN+),设数列｛4｝中的某一项

+

am=a1+(m-l)o1(^-1)(me7V),只要证明存在正整数机，使得仇=勺，即在方程

%q"T=4+(m—l)4(q—1)中加有正整数解即可。

(3)设数列｛4｝中有三项0,2,女(m<〃<p,m,”,pwN+)成等差数列，利用等差中项的

性质建立等式，设=x,p—九=y,(x,yeN+),从而可得以2=4+(7>,令x=l,y=2”求

得qo

6.(江苏2008年16分)(1)设4,出，•,％是各项均不为零的〃(〃三4)项等差数列，且公差d20,

若将此数列删去某一项后得到的数列(按原来的顺序)是等比数列.

(i)当"=4时，求色的数值；

(ii)求〃的所有可能值.

(2)求证：对于给定的正整数“524),存在一个各项及公差均不为零的等差数列3%,bn,

其中任意三项(按原来的顺序)都不能组成等比数列.

【答案】解：(1)(i)当n=4时，％,4，%，%中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项

成等比数列，则推出庐0。

若删去4，则即(q+2d尸=%•(q+3d)化简得q+4d=0,得以=-4。

一d

若删去生，则即(q+1了=%,(4+3d)化简得%—d=0,得」*=1。

一d

综上，得&=-4或色=1。

dd

(ii)当77=5时，％,生,％,。4，。5中同样不可能删去“1，。2，。4，。5，否则出现连续三项。

若删去?，则q・%=。2，即%(%+4d)=(q+d>(q+3d)化简得3d2=0,因为d，0,

所以为不能删去；

当时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列%,出,%，「a”-，4」为中，由于不能删

去首项或末项，若删去自，则必有％,，an-2，这与dwO矛盾；同样若删去也有

a

-an这与d/0矛盾；若删去名，，，。“_2中任意一个，则必有,n-i>这与d#0

矛盾。(或者说：当〃》6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)。

综上所述，n=4o

(2)假设对于某个正整数〃，存在一个公差为d的〃项等差数列仇力2,……bn,

其中2+i，4+i，么+「(0Kx<y<z<"-l)为任意三项成等比数列，

222

则%+i=-+i也+i,即也+yd)=.+xd)•(伪+zd),化简得(y-xz)d=(x+z-2y)brd

(*)

由々dwO知，产-xz与x+z-2y同时为0或同时不为0。

当一双与x+z-2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾;

故丁―亚与x+z—2y同时不为0,所以由(*)得勾=上士_

dx+z-2y

V0<%<y<z<n—1且x.、y、z为整数，，上式右边为有理数，从而4为有理数。

d

•••对于任意的正整数九（"24）,只要上为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列。例如〃项

数列1,1+5/2,1+272,……，1+5-1）也满足要求。

【考点】等差数列的性质，等比关系的确定，等比数列的性质

【分析】（1）根据题意，对〃=4,〃=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性

质进行论证，从而推广到"24的所有情况.

（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可。

7.（江苏2009年14分）学设｛〃“｝是公差不为零的等差数列，S,为其前”项和，满足

出2+？2=%2+%2,S7=7。（1）求数列｛%｝的通项公式及前"项和S“

（2）试求所有的正整数相，使得43为数列｛%｝中的项。，

am+2

【答案】解：（1）设公差为d,则国—由性质得—3d（〃4+々3）="（。4+。3）。

dw0,・\/+%=°，即2%+5d=0。

又由S7=7得7〃]H—-—d=7,解得4=-5,d=2。

・••数列｛“〃｝的通项公式为=2〃一7；前〃项和=n2-6n0

（2）:=（”“，+2―4）（册+2—2）=2〃?_9+为数列（a1中的项，

a

m+2«m+22机一3"

Q

为整数，且加为正整数，，优=1,2。

2m-3

经检验，符合题意的正整数只有m=2。

【考点】数列的求和，等差数冽的性质。

【分析】（1）先把已知条件用q及d表示，然后联立方程求出q,d代入等差数列的通项公式及前〃

项和公式可求。

（2）先把已知化简可得殳％a=2m-9+」一，然后结合数列｛4｝的通项公式可寻求加满

限2m-3

足的条件。

8.（江苏2010年16分）设各项均为正数的数列｛«„｝的前n项和为S）,，已知2%=%+%，数列店）

是公差为d的等差数列。

（1）求数列｛%｝的通项公式（用〃，△表示）；

(2)设c为实数，对满足加+〃=3左且加的任意正整数机,“次，不等式S,“+S”〉cSk都成立。

9

求证：c的最大值为

2

【答案】解：(1)由题意知：d>0,卮=店+(〃一1)4=册+(〃-1)4

2a2=4+/=>3«2=$3=>3(52-51)=53,3[(^a^+d)~-a^=(y[a^+2d)~,

22

化简，得：a｛--d+d=0,=d,al=d

yJ~S^=d+(n—V)d=nd,Sn=rrd~>

当2时，%=s“—S,i=/?d2—(〃—1)2/2=(2〃—1)/2,适合”=1情形。

故所求4=(2"-1)储。

22

222222222m

(2)Sm+Sn>cSk=>md+nd>c-kd=>m+n>c-k,c<+〃恒成

rnTIKi2.

立。

"广+"29

又加+”=3左且机¥n,2(疗+“2)>(m+n)2=9k2=>-----——>—,

k2

故cK‘9，即c的最大值为9二。

22

【考点】等差数列的通项、求和以及基本不等式。

【分析】(1)根据等差数列的通项公式，结合已知，列出关于％、d的方程，求出生,从而推出S“，

再利用可与S“的关系求出％。

(2)利用(1)的结论，对S,“+S”>cS尢进行化简，转化为基本不等式问题求解，求出c的最

大值的范围。

9.(江苏2011年16分)设M为部分正整数组成的集合，数列｛氏｝的首项为=1,前n项和为S.，

已知对任意整数上属于M,当">左时，S"+&+S,』=2(S“+SQ都成立.

(1)设旧｛1｝,%=2,求生的值；(2)设后｛3,4｝,求数列｛4｝的通项公式.

【答案】解：(1)由题设知，当“22时，Sn+1+S,i=2(S,+SI即(Sn+1-Sn)-(Sn-S,7)=21,

•,an+\~an~2al—2O

又&=2,...当“之2时，an-a2+2(n-2)=2H-2,%的值为8。

(2)由题设知，当左e"={3,4},

且〃〉上时，Sn+k+Sn_k=2(S"+SQ且Sn+M+Sn+l_k=2(S"+i+Sk),

两式相减得an+1+k-an+1_k=2an+1,即an+1+k-an+1=an+l_k-an+l,

.•.当—8时,a.6，%,an,an+3,an+6成等差数列,且an_6,an_2,an+2,an+6也成等差数

列。

二当〃-8时,2an=an+3+an_3=an+6+an_6(*),且an+2+an_2=an+6+an_6。

.,.当—8时,2an=an+2+an_2,^an+2-an=an-an_2.

.,.当—9时,a.3,%_],an+1,限成等差数列,从而an+3+j=an+l+an«。

•1•由(*)式知2%=an+l+%,即an+1-an=an-an_x。

・•・当时，设d=一。〃t，当2W根<8时，m+6>8,从而由(*)式知

2。冽+6=4机+am+n

aa2

**•2am+7=m+l+m+13，从而(^„+7-%+6)=。冽+1-+(〃m+13一〃根+12，

〃加+1—〃加—2d—d=do—d,对任意都nN2成立。

又由Sn+k+s…-2Sn=2SkUe{3,4})可知(SM-SJ-(Sn-Sn_k)=2几,

7

，9』=253且16〃=254。解得%=]d。

._3,_L

••—afcii—cio

2212

数列{氏}为等差数列，由%=1知d=2,所以数列{%}的通项公式为%=2〃—1。

【考点】数列递推式，数列与函数的综合。

【分析】(1)由集合M的元素只有一个1,得到左=1,所以当“大于1即”大于等于2时

S田+S」=2⑸+S4),都成立，变形后，利用％=1化简，得到当〃大于等于2时，此数列除去

首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2,

所以把九=5代入通项公式即可求出第5项的值；

⑵由S3+S〃Y=2⑸+，)，利用数列递推式得到(S〃+&-S〃)—S,一*)=2S一从

而求出d=2,得到数列｛凡｝的通项公式。

10.（江苏2011年附加10分）设整数〃24,尸（。乃）是平面直角坐标系%Oy中的点，其中

a,bw｛1,2,3,…，〃>a>b.

（1）记4为满足5=3的点P的个数，求4；

（2）记纥为满足g（a-»是整数的点P的个数，求用.

【答案】解：（1）•••点尸的坐标满足条件l〈b=a—3W〃—3,A“=〃—3。

（2）设左为正整数，记/，（左）为满足条件以及a-3=3左的点尸的个数。只要讨论

工,伏）21的情形。

由1<Z?=。一3左<〃一3左，知力（左）=〃一3左，且左V

设〃-1=3"+厂，其中加£N*/£｛0,1,2｝,则上《加,

m(2n—3m—3)

B„=£于4k)=f(〃-3k)=mn-'吗+1)

k=lk=TL2

n-l-r（«-l）（n-2）r（r-l）

将m=-------代入上式，化简得Bn=----------------------，

366

〃（〃―3）,.是整数

Bn=<6八3。、。

（〃―1）（〃-2）,不是整数

163

【考点】计数原理，数列递推式。

【分析】（1）.4〃为满足a-8=3的点P的个数，显然尸（。力）的坐标的差值，与4中元素个数有关,

直接写出4的表达式即可。

（2）设左为正整数，记力，（左）为满足题设条件以及a—6=3左的点尸的个数，讨论力（左））1

〃一1

的情形，推出力（幻=”一3左，根据左的范围左W亍，说明〃-1是3的倍数和余数，然后求出纥。

an+b1

11.（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列｛&｝和｛〃｝满足：an+｝=',

A/+bn

nGN*,

(.1)设2+1=1+%,neN*,求证：数列田是等差数列；

a”[⑷

(2)设么+]=、/，・%,MN*,且｛?｝是等比数列，求4和4的值.

b猴+%

【答案】解：（1）•••6,+1=1+2,.*5“+]=

d+b,

乐+1

=l（zzeN*）

b\

.••数列”是以1为公差的等差数列。

\an)

•••4>0,bn>0,.•.（—/）<。：+片<@+2

V应。(*)

设等比数列｛凡｝的公比为q,由4>0知q>0,下面用反.证法证明4=1

n

若q>1,则q二"<。24虎，，当〃）logg——时，an+1=axq>yfl,与

n

若0<q<l,则白二">七>1,，当〃>log,时，an+i=axq<1,与(*)矛盾。

q,色

，综上所述，4=1。・,•册=%(neN*),\<ax<42o

又・・・么+i=行•%=克•0(〃£N*),・・・｛bn｝是公比是变的等比数列。

册ai

若见于近,则^^>1,于是4</?2<0。

%一

2

%+么即可=,得匕fl±fl2g

又由4+1q+4,iiv-i

an+bn«i2+V'”『T

:•如b2,巴中至少有两项相同，与许vb2Vb3矛盾。，凡二立。

=^2o

：•bn=

%=b2=y[lo

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

T7,I/,\2

【解析】⑴根据题设%+i=a”和么+i=i+—,求出口=/+组，从而证明

qa：+b：anan+lV\any

/,\2/\2

_生=1而得证。

a

l%+17\nJ

（2）根据基本不等式得到1〈/+i=%："V垃,用反证法证明等比数.列｛q｝的公比

击j+必

q=lo

从而得到an=aAneN*）的结论，再由2口=0・%=正.，知也｝是公比是也的等比数列。最后

用反证法求出ax=b2=^2o

12、（2013江苏卷19）19.本小题满分16分。设｛〃〃｝是首项为。，公差为d的等差数列（dw0）,S〃

是其前〃项和。记％=孚」，neN*,其.中c为实数。

n+c

（1）若c=0,且%用，印成等比数列，证明：.S"&=/s&（k,〃eN*）；

（2）若｛々｝是等差数列，证明：c=0o

13.本小题满分16分。

设函数/(x)=lnx-ox,g(x)=e*-ax,其中a为实数。

(1)若/'(X)在(1,+8)上是单调减函数，且g(x)在(l,+oo)上有最小值，求。的取值范围；

(2)若g(x)在(-1,+8)上是单调增函数，试求/Xx)的零点个数，并证明你的结论。

19.证明：•••{4}是首项为以，公差为d的等差数列(d/0),S”是其前几项和

"(〃一1)

•.S=naH-------a

n2

O1

(1)*.*c=0b=--—a+——d

nn2c

箝2

1293

Vbvb2,“成等比数列b2=b©4(a+—d)=a(a+—d)

**•—ad——0**•—d(ad)-0***d0ci——d：♦d=2cl

24222

0n(n-1)7n(n-1).

S=na-\----------a=na-\-----------2a=n2a

n22

二・左边二S成=(nk)2a=n2k2a右边二Ms4-〃2k2a

：.左边二右边原式成立

(2)・・・{b〃}是等差数列.••设公差为4,・・・〉=4+(〃—1)4带入第=等匚得:

n+c

nS]]

+

b]+(72—1)4——2~~~二(4—d)/+(b]—d]—ciH—d)"+cd1九—c(&-)对nGN恒成

n+c22

d[——d=0

<b>—d、—ci—d=0

2

cd】=0

c(4-4)=0

由①式得：4=gd*.*dw04w0

由③式得：c=0

、工一、十/八什八e/八7cn[(n-l)d+2a].(n-V)d+2a

法一，：证：⑴右则=〃+(〃一

c=0,axl)d,Sn=---------2----------,h〃=--------2--------.

当bpb2,b4成等比数列,及=bh,

即：+