成人高考(高起专)数学复习资料

成人高考数学复习资料

集合和简易逻辑

考点：交集、并集、补集

概念：

1、由所有既属于集合A又属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的交集，记作AnB,读作“A交B”（求公共元素）

AnB={x|xeA,且XGB}

2、由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A和集合B的并集，记作AUB,读作“A并B”（求全部元素）

AUB={x|x£A，或x£B}

3、如果已知全集为U,且集合A包含于U,则由U中所有不属「A的元素组成的集合，叫做集合A的补集，记作。口从，读作“A补”

GA={x|x£U,且X任A}

解析：集合的交集或并集主要以例举法或不等式的形式出现

考点：简易逻辑

概念：

在•个数学命题中，往往由条件A和结论B两部分构成，写成“如果A成立，那么B成立”。

充分条件：如果A成立，那么B成立，记作“A-B”“A推出B,B不能推出A”。

必要条件：如果B成立，那么A成立，记作“人一8””8推出人，A不能推出B”.

充要条件：如果A-B,又有A-B,记作“ZB”“A推出B,B推出A”。

解析：分析A和B的关系，是A推出B还是B推出A,然后进行判断

不等式和不等式组

考点：不等式的性质

如果a>b,那么b<a；反之，如果b>a,那么a<b成立

如果a>b,且b>c,那么a>c

如果a>b,存在一个c（c可以为正数、负数或一个整式），那么a+ob+c,a-c>b-c

如果a>b,c>0,那么ac>bc（两边同乘、除一个正数，不等号不变）

如果a>b,c<0,那么ac<bc（两边同乘、除一个负数，不等号变号）

如果a>b>0,那么a2>b2

如果a>b>o,那么va>vb；反之，如果Va>7b,那么a>b

解析：不等式两边同加或同乘主要用「解一•元一次不等式或一元二次不等式移项和合并同类项方面

考点：一元一次不等式

定义：只有一个未知数，并且未知数的最好次数是一次的不等式，叫一元一次不等式。

解法：移项、合并同类项（把含有未知数的移到左边，把常数项移到右边，移了之后符号要发生改变）。

如:6x+8>9x-4,求x?把x的项移到左边，把常数项移到右边，变成6x-9x>-4-8，合并同类项之后得-3x>-12,两边同除・3得xv4

（记得改变符号）。

考点：一元一次不等式组

定义：由几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组

解法：求出每个•元一次不等式的值，最后求这几个•元次不等式的交集（公共部分）。

考点：含有绝对值的不等式

定义：含有绝对值符号的不等式，如：|x|<a,|x|>a型不等式及其解法。

简单绝对值不等式的解法：|x|<a的解集是{x卜avxva}，取中间，在数轴上表示所有与原点的距离小于a的点的集合；|x|>a的解

集是{x|x>a或xv-a},取两边，在数轴上表示所有与原点的距离大于a的点的集合。

复杂绝对值不等式的解法：|ax+b|<c,相当于解不等式-c<ax+b<c,不等式三边同时减去b,再同时除以a（注意，当avO的时候，

不等号要改变方向）：|ax+|>c相当于解不等式ax+b>c或ax+bv-c,解法同一元一次不等式一样。

解析•：主要搞清楚取中间还是取两边，取中间是连起来的，取两边有“或”

考点：一元二次不等式

22

定义：含有•个未知数并且未知数的最高次数是二次的不等式，叫做•元二次不等式。如：ax+bx+c>0与ax+bx+c<0

（a>0））

2

解法：求ax+bx+c>0（a>o为例）

2

步骤：（1）先令ax+bx+c=0,求出x（三种方法：求根公式、十字相乘法、配方法）

x_-b士v'b-4ac

求根公式：2a

2

卜字相乘法：如：6X-7x-5=0求x?

21

X

3-5

交叉相乘后3+-10=-7

2

解析：左边两个相乘等广X前的系数，右边两个相乘等「常数项，交叉相乘后相加等「x前的系数，如满足条件即可分解成：（2x+1）

_25

X（3x-5）=0,两个数相乘等于0,只有当2x+1=0或3x-5=0的时候满足条件，所以x=2或x=3。

配方法（省略）

（2）求出x之后，“:>”取两边，“v”取中间，即可求出答案。注意：当avO时必须要不等式两边同乘-1,使得a>0.然后用上面

的步骤来解。

考点：其他不等式

不等式（ax+b）（cx+d）>0（或〈0）的解法

2

这种不等式可依元二次方程（ax+b）（cx+d）=0的两根情况及X系数的正、负来确定其解集。

ax+b-

------>0

不等式cx+d（或〈0）的解法

它与（ax+b）（cx+d）>0（或〈0）是同解不等式，从而前者也可化为元二次不等式求解。

此处看不明白者问我，课堂上讲。

指数与对数

考点：有理指数累

正整数指数暴：a=a，a,a**'a表示n个a相乘，（n=N+且n>i）

04

零的指数第：a=1（aWO）

a~p=1

pe

负整数指数塞：a（a^0,pN+）

分数指数衰：

m

正分数指数耗：a="a（a^O,：mri'N+且n>1）

负分数指数索:(a>0,；mn€+J1n>1)

解析：重点掌握负整数指数室和分数指数第

考点：鎏的运算法则

xyx书

axa=a（同底数指数幕相乘，指数相加）

by（同底数指数辕相除，指数相减）

（a*）y=a,（可以乘进去）

（ab）x=ab（可以分别x次）

解析：重点掌握同底数指数界相乘和相除

考点：对数

b,0aN

定义：如果a=N（a>oJJ.8*1）,那么b叫做以a为底的N的对数，记作9=巳（N>0），这里a叫做底数，N叫做真

数.特别底，以10为底的对数叫做常用对数，通常记N为IgN；以e为底的对数叫做自然对数，e-2.7182818，通常记

作InN

两个恒等式：b

a*LN,logaa=b

几个性质：

logaN=bN>0,零和负数没有对数

logaa=1,当底数和真数相同时等于1

loga1=0,当真数等于1的对数等于o

n

igio=n,（nez）

考点：对数的运算法则

+（真数相乘，等于两个对数相加；两个对数相加，底相同，可以变成真数相乘）

loga（MN）=logaMlogaN

M

loga=logaM-logaN

N（真数相除，等于两个对数相减；两个对数相减，底相同，可以变成真数相除）

n（其数的次数可以移到前面来）

logaM=nlogaMn

1一：

logav'M=logaMn

n（vM=M，真数的次数n可以移到前面来）

b

b

logNaM=-logNM

a

函数

考点：函数的定义域和值域

定义：X的取值范围叫做函数的定义域；y的值的集合叫做函数的值域

求定义域：

y=kx+b

2

y=ax+bx+c一般形式的定义域：XGR

k

y=一

x分式形式的定义域：xRO

y=4根式的形式定义域：x、o

y=logax对数形式的定义域：x>0

解析：考试时•般会求结合两种形式的定义域，分开最后求交集（公共部分）即可

考点：函数的单调性

在y=f（x）定义在某区间上任取X1，X?,且Xi〈X2,相应得出f（x）Mx?）如果：

1、f（%）<f（X2）,则函数y=f（x）在此区间上是单调增加函数，或增函数，此区间叫做函数的单调递增区间。随着x的增加,

y值增加，为增函数。

2、f（X）>f（X2）,则函数y=f（X）在此区间上是单调减少函数，或减函数，此区间叫做函数的单调递减区间。随着x的增加,

y值减少，为减函数。

解析：分别在其定义区间上任取两个值，代入，如果得到的y值增加了，为增函数：相反为减函数。

考点：函数的奇偶性

定义：设函数丫=f（X）的定义域为D,如果对任意的xwD,有・x£D且：

1、f（一X）=-f（X）,则称f（X）为奇函数，奇函数的图像关于原点对称

2、f（一X）=f（X）,则称f（X）为偶函数，偶函数的图像关「y轴对称

解析：判断时先令X=-X,如果得出的y值是原函数，则是偶函数；如果得出的y值是原函数的相反数，则是奇函数；否

则就是非奇非偶函数。

考点：一次函数

定义：函数y=kx+b叫做一次函数，其中k,b为常数，且kw°。当b=o是，y=kx为正比例函数，图像经过原点。

当k>0时，图像主要经过“三象限；当k<0时，图像主要经过二四象限

考点：二次函数

定义：y=ax?+bx+C为二次函数，其中a,b.c为常数，且aw0,当a>0时，其性质如下：

定义域：二次函数的定义域为R

b4ac-b2b

一,x=一

图像：顶点坐标为（2a4a）,对称轴2a,图像为开口向上的抛物线，如果a<o,为开口向下的抛物线

b__b_

单调性：（-8,2a】单调递减，［2a,+8）单调递增；当a<o时相反.

22

4ac-b4ac一b

y=------------y=------------

最大值、最小值：4a为最小值；当avO时4a取最大值

bc

X+X2=—一%x2=一

韦达定理：aa

考点：反比例函数

k

y=-

定义：X叫做反比例函数

定义域：XH°

是奇函数

当k>0时，函数在区间（-8,0）与区间（0,+8）内是减函数

当k<0时，函数在区间（0）与区间（o,+8）内是增函数

考点：指数函数

定义：函数丫=a'（a>°"a*1）叫做指数函数

定义域：指数函数的定义域为R

性质：

a0=1,a1=a

ax>0

图像：经过点（0,1）,当a>1时，函数单调递增，曲线左方与x轴无限靠近；当Ovavl时，函数单调递减，曲线右方可与x轴无限

靠近。（详细见教材12页图）

考点：对数函数

定义：函数丫=l°9ax（a>O.l:La*1）叫做对数函数

定义域：对数函数的定义域为（0,+°°）

性质：

loga1=0,logaa=1

零和负数没有对数

图像：经过点（1,0）,当a>1时，函数单调递增，曲线下方与y轴无限靠近；当0vav1时，函数单调递减，曲线上方与y釉无限靠

近。（详细见教材13页图）

数列

考点：通项公式

定义：如果一个数列｛an）的第「项&与项数n之间的函数关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

Sn表示前n项之和，即S=柒+a2+a3+…,他们有以下关系:

=Sn-Sn」,n22

an由

—=q

备注：这个公式主要用来求当不知道是什么数列的情况下。如果满足

an,an*-an=d则是等差数列，如果满足an则

是等比数列，判断出来之后可以直接用以下等差数列或等比数列的知识点来求。

考点：等差数列

a

定义：从第二项开始，每一项与它前一项的差等于同一个常数，叫做等差数列，常数叫公差，用d表示。an4-n=d

1、等差数列的通项公式是：an=+（n-1）d

n（ai+a）n（n-1）d

nno〔+------------

Sn=-------------=na

2、前n项和公式是：22

3、等差中项：如果a,A.b成差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且有

a+b

A=------

2

考点：等比数列

亘i=q

定义：从第二项开始，每一项与它前•项的比等于同•个常数，叫做等比数列，常数叫公比，用q表小。an

1、等比数列的通项公式是4=a1q,

&=包（1二〉=亘-29_）9-1）

2、前n项和公式是：1-q1-q

3、等比中项：如果a,B.b成比数列，那么B叫做a与b的等比中项，且有

B=土Jab

=Gn｝是等

重点：若mn.p.qeN,且m+n=p-q那么：当数列On，是等差数列时，有+Hn3p+Hq当数列

比数列时，有am-an=ap-aq

导数

考点：导数的几何意义

1、几何意义：函数f（X）在点（x（）,yo）处的导数值f（%）即为f（x）在点（xc）处切线的斜率。即k=f（%）=tana

（«为切线的倾斜角）.

备注：这里主要考求经过点（。）的切线方程，用点斜式得出切线方程

x（）,yy-y0=k（x-x0）

2、函数的导数公式：c为常数

（c）'=0

（xn）r=nxn^

考点：多项式函数单调性的判别方法

在区间（a,b）内，如果f‘（X）‘°则f（X）为增函数；如果f＞（X）＜0,f（X）为减函数。所以求函数单调性除可以根据函数

的性质求解外，还可以先对函数求导，然后令f'（X）'°解不等式就得到单调递增区间，令f'（X）=°解不等式即得单调递减区

间。

考点：最大、最小值

1、确定函数的定义区间，求出导数f（X）

2、令f'（X）=°求函数的驻点（驻点即「（X）=°时x的根）

3、用函数的根把定义区间分成若干小区间，并列成表格.检查f'（X）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（X）在这

个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（X）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个

根处无极值。

求出后比较得出最大值和最小值

此知识点参考2009年全国统•成人高考文科试题第23题

三角函数及其有关概念

考点：终边相同的角

在•个平面内做•条射线，逆时针旋转得到•个正角a,顺时针旋转得到个负角b,不旋转得到•个零角。

终边相同的角

{|B=k・360+«,k属于Z}

考点：角的度量

弧度制：等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，a表示角，I表示a所对的弧长，r表示半径，则：

|a|=L

r

角度和弧度的转换：

180°=71弧度

一0

360=2兀弧度

考点：任意角的三角函数

定义：在平面直角坐标系中，设P（x,y）是角a的终边上的任意一点，且原点到该点的距离为r（r=X+y，r>0）,则比

值

yxyxrr

»,»,J

rrxyxy

分别叫做角a的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割，即

yxyxrr

sina=,cosa=,tana=,cota=,seca=,csca=

rrxyxy

考点：特殊角的三角函数值

0°30°4560°90°180°270°

a

n冗7t

071竺

64322

0后M10

sina-1

222

如1_

cosa10-10

222

tana01不存在0不存在

-3~

cota不存在1a0不存在0

6~3

三角函数式的变换

考点：倒数关系、商数关系、平方关系

.22J」22」22

平方关系是：sina+cosa=1,1+tana=seca,1+cota=csca；

倒数关系是：tanacota=1,sinacsca=1,cosaseca=1

sinacosa

tana=cota=

商数关系是：cosa,sina。

考点：诱导公式

1、第组：函数同名称，符号看象限

sin(180°+a)=-sina,cos(180°+a)=-cosa,tan(180°+a)=tana,cot(180°+a)=cota

sin(180°-a)=sina,cos(1800-a)=-cosa,tan(180°-a)=-tana,cot(180°-a)=-cota

o

sin(3600-a)=-sina,cos(3600-a)=cosa,tan(360°-a)=-tana,cot(360-a)=-cota

sin(k360°+a)=sina,cos(k360°+a)=cosa,tan(k360°+a)=tana,cot(k360°+a)=cota

sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana,cot(-a)=-cota2、第二

组：变为余函数，符号看象限

sin(900+a)=cosa,cos(90°+a)=-sina，tan(90°+a)=-cota,cot(90°+a)=-tana

sin(900-a)=cosa,cos(900-a)=sina,tan(90°-a)=cota,cot(90°-a)=tana

sin(2700-a)=-cosa,cos(2700-a)=-sina,tan(270°-a)=cota,cot(270°-a)=tana

oo

sin(270+a)=-cosa,cos(270+a)=sina,tan(270°+a)=-cota,cot(270°+a)=-tana

考点：两角和、差，倍角公式

1两角和、差：sin(a±P)=sinacosB±cosasinP

cos(a±P)=cosacosP+sinasinP

tana±tanB

tan(a±P)=1Ttana-tanP

1

sin2a=sinacosa

2、倍角公式：sin2a=2sinacosa-2

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

2tana

tan2a=2

1-tana0

这个公式很重要，特别记得凡是出现三角函数平方的都要用到余弦的倍角公式,出现sinacosa的都要用到sin2a,此考点主

要在考函数的周期公式用到。

f22b

asinx+bcosx=va+bsin（x+Q）,tan@=

3、辅助公式：a,这个公式一般在求最大值或最小值时用。

三角函数的图像和性质

考点：三角函数的周期公式、最大值与最小值

标准型周期公式最大值最小值

T_2n

y=Asin(cox+①)+k1-----k+|A|k-|A|

心|

丁=红

y=Acos(cox+@)+kk+|A|k-|A|

|w1

y=Atan(cox+9)+kT=—无最大值无最小值

10|

考点：正弦、余弦、正切函数的性质

JT7T］「7T3^

12k冗—,2k兀+一」2k兀+—,2kn+—_

1、y=sinx的递增区间是［22一（kwZ）,递减区间是［22_（YZ）；

2、V=cosx的递增区间是bkn-冗,2kn】（k己Z）,递减区间是泳冗,2kk+冗】（k三Z）；

（n五、

k%——,k冗+—।__

3、y=tanx的递增区间是122J（kez）,y=cotx的递减区间是（依，依+冗）（内2）。

4、y=sinx为奇函数，y=c°sx为偶函数，y=tanX为奇函数。一般判断函数的奇偶性会考到。

解三角形

考点：余弦定理（已知两边一角）

222

由余弦定理第一种形式：b=a+c-2accosB

a2+,c2-b.2

由余弦定理第二种形式：cosB=2ac

考点：正弦定理（已知两角一边）

正弦定理（其中R表示三角形的外接圆半径）：SinAsinBsinC

考点：面积公式（已知两边夹角求面积）

已知△ABC,A角所对的边长为a,B角所对的边长为b,C知所对的边长为c,则三角形的面积如下:

S/bbc=-absinC=-acsinB=-bcsinA

222

平面向量

考点：向量的内枳运算（数量税）

a与b的数量积（或内积）

—*—*I—♦—♦

a-b=a.b-cos0

考点：向量的坐标运算

设a=（%,%）b=（x2,y2）,则：

加法运算:a+b=（Xi，X）+（X2,丫2L（Xi+X2>YI+丫2）

减法运算：a-b=（xi'yi）-（x2>yz）=（xi-x2,yi-Yz）_

数乘运算:ka=k（Xi，wL（%ky）

内积运算：a•b=（X1>yi）*（x2>Y2）=X1x2+V、V2

垂直向量：a_Lb=XiX2+yiy2=0

向量的模：|a|=\'X+y

重点是向量垂直或求内积运算。

考点：两个公式

1、平面内两点的距离公式：

已知R（X,y,）,P2（x2,y2）两点，其距离：

RPg=、/（X1-X2）~一y2）~

线段的中点公式：

已知巳（为，乂），巳仅2,丫2）两点，线段PF2的中点的M的坐标为（x,y）,则：

XqX2心2

2’2

直线

考点：直线的斜率

丫2f

直线斜率的定义式为k=tana（a为倾斜知），已知两点可以求的斜率k=x2-xi,（点A（XI，YI）和点B（X2,丫2）为直线上任意

两点）.

考点：直线方程的几种形式

点斜式：y-y。=k（x-x（））,已知斜率k和某点坐标（Xo,y。）

斜截式：y=kx+b,已知斜率k和在y轴的截距b

y--_x-x,

两点式：於一X2-Xi,已知两点坐标A（x1,y1）,B（x2,y2）

截距式：ab,已知在x轴的截距是a,在y轴的截距是b

—.般式：Ax+By+C=0

重点：直线的点斜式

考点：两条直线的位置关系

自线号

Ax+Biy+C]=O,l2：AgX+B2y+C2=0

两条直线平行：&=k2

两条直线垂直：kiX|<2=-1

重点：平行或垂直两条直线的斜率关系

考点：点到直线的距离公式

d[Ax。+By°+C|

点P（%,yo）到直线I：Ax+By+C=0的距离：A2B2

圆锥曲线

考点：圆

2.22

1,圆的标准方程是：（x-a）+（y-b）=r,其中：半径是r>圆心坐标为（a,b）,

v,D2+E2-4F

22221=---------------------

2、圆的-般方程是：x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0),其中：半径是2，圆心坐

d

标是I22)

3、圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：八>0,=0,<0,等价于直线与圆相交.相切.相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径.等于半径.小「半径，等价「直线与圆相离.相切.相交。

考点：椭圆

2222

2L+L=1匕+L=1

22和2

1.椭圆标准方程的两种形式是:aba?b(a>b>0)o

222

c

—x+十—y=1।

221/X=±—e=­

2.椭圆ab(a>b>0）的焦点坐标是（士c,0）,准线方程是c，离心率是a,长轴长是2a,短轴长

222

是2a,焦距是2c,其中c=a-b。

重点：弄清楚a,b、c分别表示什么意思，并能求出标准方程。

考点：双曲线

x22y1y2x2

.双曲线标准方程的两种形式是：22和2

1aba?b（a>0,b>0）o

22a2cb

x_y=1..x=i—e=y=±X

2.双曲线的焦点坐标是(二C，U),准线方程是c,离心率是a,渐近线方程是a,长轴长

222

是2a,短轴长是2a,焦距是2c。其中c=a+b。

AB|=J(1+k)(xi-x)

3.若直线丫=kx+b与圆锥曲线交了.两点A(x1,y1).B(x2.y2),则弦长为2

4.若直线x=my+t与圆锥曲线交于•两点A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长为

22

AB=；(1+m)(yi-y2)

重点：弄清楚a、b、c分别表示什么意思，并能求标准方程。

考点：抛物线

2222

1.抛物线标准方程的四种形式是：y=2px,y=-2px,x=2py,x=-2py。

2x=_2

2.抛物线y=2px的焦点坐标是：＜2J,准线方程是：2。

重点：弄清楚抛物线开口往哪个方向，然后能求p,从而得招焦点坐标和准线方程。

排列组合、概率统计

考点：分类计数法和分步计数法

分类计数法：完成一件事有两类办法，第一类办法由m种方法，第二类办法有n种方法，无论用哪一类办法中的哪种方法，都能完

成这件事，则完成这件事总共有m+n种方法。

分步计数法：完成一件事有两个步骤，第一个步骤有m种方法，第二个步骤有n种方法，连续完成这两个步骤这件事才完成，那么

完成这件事总共有mxn种方法。

考点：排列和组合的公式