旧教材适用2023高考数学一轮总复习 第四章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

冗础知识整合I

□知识梳理

1.同角三角函数的基本关系式

(1)平方关系：^sin,CI+cos~々=1.

ςina

(2)商数关系：Sltana=-------=.

--------------CoSa

2.六组诱导公式

公式—"•二三四五六

24兀+JIπ

角π+σ—aJt-a~aT+

a(⅛∈Z)

正弦sinQ—sinCL—sinQsinQCOS4cosa

-⅛⅞-cosa—cosacosQ-cosasina-sinQ

续表

公式—■二三四五八-1-

正切tanatanQ—tana—tan。一一

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

知识拓展1

同角三角函数基本关系式的常用变形

(sina±cosα)'=l±2sinQCoSo；

(sina+cos^)2÷(sina-cos。)?=2；

(sina+cosa)2-(sina-cosa),=4sinarcosa；

sina=tan4cosa(a≠万+A叮，A∈ZL

.2

Slnatar?a∣

si.n2o—a≠^~+⅛π,A∈Z

sina+cos”tan2α+1

cos-a1π

cos2a=q≠--∖-kτι,A∈Z

sinJa+cos'atan'0+1

□双基自测

1.cos(-1560o)的值为()

√311√3

A.-γB.--C.-D.ɪ

答案B

解析cos(-1560o)=cos(-5×360o+240o)=cos240o=cos(180o+60°)=-

cos60o=-ɪ

2.(2021•安徽六安联考)已知Sin(Jl+")=—√‰s(2n—。)，∣θ∖<y,则，等

于()

πJIjIjI

A.一-TB.---C.-D.-

6363

答案D

解析Vsin(兀+。)=-/cos(2π—θ),

Λ—sin6=一小COSO,/.tan0=y∣3.V|夕IV丁,/.。=刀.故选口.

乙O

Sin(0r-3H)+cos(Ji-。)

3.若tan(5π÷Q)=m,的值为（)

sin(—σ)—cos(Ji+。)

%+1加一1

A.B.C.-1D.1

m-∖m+1

答案A

—sino—cosasina÷cosa

解析Vtan(5π+。)=ιn,ΛtanQ=m.原式='

-sina+cosasina—cosa

tanσ+lnι+∖

故选A.

tana—1m-1

4.(2022∙广州天河区高三上综合测试(一))若∣“J则Sin+cosa=

I-TCOSa2

)

7819

A.τB.τC.1D.~

5525

答案A

in222

解析⅛1f-------=G得coso=2sino-∖f又sino+cos=1,/.sina+

1十CoSa2

(2Sina-1)』，解得Sina=M或Sina=O(舍去)，故cos°=于Sina+cos0下

故选ʌ.

5.已知COS31o=a,则Sin239otan149°的值为()

2

1-ar-----2

A.~~~B.y∣1—a

2ι

Ca-]/------9

C.D.一ʌ/1-a

aV

答案B

解析sin2390tan149o=sin(270o-31o)tan(180o-310)=-cos31o(-tan

31o)=sin31°=JFz?.故选B.

2

6.已知sinW，则cos

ɔ

2

3

11兀

~L2

而sin

2

3

2

所以cos

3

核心看向突破I

考向一诱导公式的应用

例1(1)计算：sin(-1200o)cos1290°+

cos(-1020o)sin(-10500)=.

答案1

解析原式=-sinl200°cos1290o-cos1020o∙sinl050o=-sin(3X360°+

120o)cos(3X360o+210o)-cos(2×360o+300o)sin(2×360o+330o)=-sin

120ocos210o-cos300osin330o=-sin(180o-60o)cos(1800+30o)-cos

ʌ/ɜʌ/ɜ1ɪ

(360o-60o)sin(360°-30°)=sin60°cos300+cos60o∙sin30oɪ2X2+2X2

tan(π+¢7)CoS(2n+α)sin0

(2)化简:

cos(—σ—3π)sin(—3π—σ

答案一1

tan°cosasin—2π+∣σ+yI

解析原式=------j,、「~：~……,]

cos(3n+α)L~sιn(3ɪɪ+)J

tanQCOSasin[ʒr+Q]

__________________12)tan-cos4cosa

—cosasinQ—cosasinCI

tanɑcososinacoso

=---------:-----------=------------∙---------=-1.

sinQcosasinQ

⑶已知cos(750+α)=R,。是第三象限角，则Sin(195°—。)+cos(。一15°)

的值为.

小自17

答案一右

ɪO

5

解析因为COS(75°+α)=X>0,。是第三象限角，所以750+。是第四象限角，

所以Sin(75o+ɑ)=~\/l—cos2(75o+a)=—γτ.

所以Sin(195°—。)+COS(。一15°)

=sin[180o+(15°-σ)]+cos(15°一。)

=—sin(15°—<2r)÷cos(15°—。)

=-sin[90o-(75o+α)]+cos[90°一(750+α)]

=—cos(75°+〃)+Sin(75°+。)

51217

触类旁通

1.诱导公式的两个应用方向与原则

(1)求值，化角的原则与方向：负化正，大化小，化到锐角为终了.

(2)化简，化简的原则与方向：统一角，统一名，同角名少为终了.

2.含2n整数倍的诱导公式的应用

由终边相同的角的关系可知，在计算含有2"的整数倍的三角函数式中可直接将2"的

整数倍去掉后再进行运算，如CoS(5n—α)=CoS(n—a)=-COSa.

亍即时训练1.计算：sin粤+cos学+tan;=()

634

1√3

A.-2B.-1C.0D.2~2

答案A

解析原式=Sin[2π——∣+cos[3π+—∣+tan[2π——1=—sin-—cos-—

tanʌ=~2~2~ɪ=~2,故选A,

2.(2022∙江西宜春中学诊断)已知cose一4=|，则sin(a-彳B=-

2

答案-5

解析因为e一α)+(0_*)=一：-,所以。一筌=一•-―*-一°),所以sin

(°Wrl[-ɪ-(f-°)]=-cos管―a)=*.

COS(Q1--]

3.化简--而二----\*sin(。一冗)CoS(2打一。)的结果为

s】n管+“)——

答案一sil?。

cos(Q~~2)

解析----τ∑---------\*sin(σ­π)cos(2π­σ)

Sin管+。)

sina2

=---------∙(—sinα)cos。=—Sina.

cosCL

精准设计考向，多角度探究突破

考向二同角三角函数的基本关系

角度1切弦互化

例2(1)(2021•安徽合肥高三模拟)已知

(I+")=]且°e⅛,*'则tan

COS。=()

43

A.鼻B

ɔ-4

3D

c∙^4-4

答案B

33

解析因为COS=三，所以Sina——-,显然。在第三象限，所以CoSa—

ɔɔ

43

一彳故tanσɪ-故选B.

⑵已知2tanOSina=3,―a<0,则SinQ的值为()

A.平B.一平C.ɪDT

答案B

2i2。

解析因为2tanasina=3,所以一—=3,所以2sin%=3cos。，即2—2COS,0

cosa

=3COS%所以COS或CoS。=—2(舍去)，又因为一^^-<a<0,所以Sina

故选B.

触类旁通］同角三角函数的基本关系式的功能是根据角的一个三角函数值求其他三

角函数值,主要利用商数关系tan。=*和平方关系I=Sin2α+c°s%∙

即时训练4.（2021•山西大同高三质量检测）已知a为锐角，且tan（JT—0）+3

=0,则sin。等于（）

IB啦C4D童

a3,1075

答案B

解析因为tan（冗一ι）+3=0,所以tana=3,所以Sina=3cos。.因为Sin''ɑ

2

+cosa=If所以siɪ?α=得.又因为ι为锐角，故Sin〃=今『.故选B.

5.已知tan(α-π)=-,

答案B

33Λπ3πA

解析由tan（Q-Jl）=a，得tan。=彳又因为aɛlɪ*~b所以。为第三象限

44

的角，cos"=^?所以Sin=COS°=一守故选B.

角度2"1”的变换

例3（2022•云南保山模拟）已知黑法鬻:=5,贝IJSin%—Sinac。Sa的值

是（）

22

A-MB--5—2D.2

答案A

,sina+3cosatan。+3

解析由-----------得∙=5,即tana=2.所以sir?4—sinacos

3cosa-sm3=5,3—tana

SiI?。一Sin^cosQtan2o-tano2

=己故选A

sin2Q+cos2atan2a+ɪ.

触类旁通J对于含有Sinj。，cos2a,sinαrcosa的三角函数求值题，一般可以考

虑添加分母1,再将1用“Sil?。+CoS24”代替，然后用分子分母同除以角的余弦的平方的

方式将其转化为关于tanG的式子，从而求解.

3

即时训练6.若tana=^,则cos?α+2sin2。=()

644816

A，25β∙25c,1D，25

答案A

.3

sina=-,

sina3,..5

解析解法一：由tan4=---------=τ,cos2o+sin2σ=1,得《4或

cosa4

cosa=5

3

sina=一1

5,2416,4864

贝!∣sin2。=2sinαrcosa=77，贝IJcos2a+2sin2a25+加=云.故边

4Zb

cos

5,

A.

cos2ci+4sin^cosα1+4tana1+364

解法二:cos2a+2sin2a^.故选A.

cos2o+sir?al÷tan,ici925

1+T6

角度3sina+coso,sino—cosa,sinOCOS。之间的关系例4(1)已知

15π。<弓~,则COSσ—sin。的值为（）

sinQCoSa且rl丁V

o4

_33

ʌ.B.C.d

22^4∙W

答案B

5π3π

解析..COSa<0,sin。<0且ICoSα∣V∣sinGI»・・COSQ—

、213a-Sina邛

sina>0.X(cosa—sina)=1-2sinαcosa=1—2×-=",..cos

o4

故选B.

7

⑵（2021•甘肃兰州高三模拟）已知Sin“+cosa、，sinα>cos则tana

4

答案3

74924

解析••飞ino+coso=-,Λ1+2sinσcoscι=—,即2sinɑeosa=77.Xcos2a

ɔzɔzɔ

÷sin2ɑ=1,且Sina>cos。，Λsina=-,cos。tana=-

ɔɔO

触类旁通］

(1)己知asin。+6CoSα=c,可与Sin'。+cos,。=1联立，求得Sin%cos

(2)sinO+coso,sino—cosa,sinICOS。之间的关系为

(sina+cos^)2=l+2sin4cosa,

(sina-cosσ)2=l-2sinacosa,

(sino+cosσ)2÷(sino-cos^)2=2.

因此，已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余两个代数式的值.

即时训练7.若一—÷—ɪ—=小,则SinQCoS。=()

sinacosQV

11

A∙-§b∙3

C.—；或1D.!或一1

JO

答案A

解析由一---÷---ɪ----=/,可得Sina+cosa=yβsinacosa,两边平方，

sinacosovY

得1+2Sinαrcosa=3sin20rcos~a,解得SinqCoS。=—1或Sinαrcosα=l.由题意，

ð

知一l<sinα<l,-Kcos〃<1,且sinα≠0,coso≠0,所以sinαcosL故选

A.

8.(2022•河南洛阳高三阶段考试)若SinO1CoS。是方程4^+2/X+R=0的两个根，

则"的值为()

A.l+√5B.l-√5

C.l+√5D.-l-√5

答案B

解析由题意得SinO+cos0=一£SinOCOS8=：,又(Sin0+cos^)2=1+

Rm

2sin9cosO,所以∖∙=ι+步解得力=1士4，又八=A必一16G0,解得卬Wo或加N4,

所以m=l-yβ.故选B.

课时作业I

1.sin210ocosl20o的值为()

13

B.

ʌ-4fC2

答案A

解析sin210ocos120°sin(180o+30o)cos(180o-60°)=-sin30o(-

cos60o)=故选A.

2×2

卷L的值为（

2.COS,)

O

ɪ1*D∙

A.B-^2C.

22

答案B

26π=COsfπ-ɪπ—ɪ.故选B.

解析COS—-=­cos-=

3.（2021•湖北宜昌高三模拟）已知sin（π-α）=log∖,且α∈一万，θ）则tan（2

π

。）的值为（)

B.WC.

A._亚

3

答案B

Sin(九—a)=Sino=lg^=-ɪ,Xa∈f-,

解析01y，θj,所以coso=Λ∕1-sin2o

sinaʌʃɜ

~~ftan(2Ji—a)=tan(-o)=—tana=----

COSq3,

11

B

Λ.3-3-

C述D+≡

3-3

答案A

=；,所以sin

解析因为cosa

O

=J故选A.

ɔ

5.(2022•天津西青区模拟)已知Sina÷cosa=-y∣29则tana+~~~ɪ=()

Ytano

B.ɪC.-2D._1

A.2~2

答案A

,2

解析Vsina÷cosa=-y∣2f..(sina÷cosσ)=2,Λl÷2sinσcosa=2

ΛsinQCOSα=*tana41sincosasino+cos2o

=1=2.故选A.

tanQcosQsinQsinαcosa

2

6.∙∖∕l+2sin~(π—3)cos~(π+3)化筒的结果是()

ʌ.sinɜ-cos3B.eosɜ-sin3

C.÷(sinɜ-cos3)D.以上都不对

答案A

解析Vsin(ɪɪ3)sin3，cos(π+3)cos3,

<l+2sin~(π-3)cos~(π+3)=Λjl-2sin3cos3=(sin3-cos3)2=∣sin3—

π

cos31.V-ɪ-<3<π,Λsin3>0,cos3<0.；•原式=Sin3—cos3.故选A.

何O,5

7.已知sin夕+cos“4，则SinO—cos夕的值为（)

AW1

ɪd

B.C.∙^3

ɔ33

答案C

ɪθ[67

解析,/(sinO+cosO)*1Λl+2sin9cos。=勺，.*.2sin9cosO=-,贝Ij

夕=1—可得sinO—cosJ=±',又

(sinO—cosOp=1一2SinBcos

yyɔ

8∈(o,ʌl,O—cos夕=一平■.故选C.

Λsin"cos。，Λsin

八AyI+sina÷cos。+2Sinac∏ςa

8.化简-----------------ɪ-----------------的结果是（）

l+sina+cosa

A.2sinQB.2cosa

C.sino+costD.sina-cosα

答案C

Sin'。+COS24+2SinaCOSo+sino+cosa

解析原式=

l+sina÷cosa

(sina+cosa)'+sino+cosa

l+sina+cosa

(sinci+coso)(sino+cos。+1)

l+sina+cosa

=sino+cos。.故选C.

9.(2021•新高考I卷)若tan夕=—2,则

Sin8(1+sin21)

sin夕+cos°

答案C

解析解法一：因为tan。=一2,所以

Sin0(1+sin2。)_Sin0(Sin〃+cos〃)’

夕(sinO+cos8)=

sinθ+cos°sin0+cos夕

sin23*50+sinJCOS0tan"+tan04—224

sin2^+cos2^-=l+tan2^=l+4=5,故选C-

Sin0(1+sin2〃)

解法二:

sin0+cos8

sin0(Sin"0+2sin〃CoS0+COSJ0)

=sin0(sin0+cos夕)=cos29(tan2。

sin+cos°

+tank由tan'=黑Sin词O=-2,sin"+c。/"=1,解得cos"=弓i.所以

Sin0(1+sin2〃)ɪ2

—cos2θ(tan26,+tanθ)=-×(4-2)=~.故选C.

sin0+cos8ɔɔ

10.(2022•甘肃武威模拟)若sin¢+sin2Θ=∖,则CoS'。+COS'〃+CoS'，的值为

()

Λ.0B.1C.-1D.邓Jl

答案B

解析由sin9+sin'夕=1,得sin。=1—sin'J=Cos'，，.*.cos2夕+cos'夕+cos'0

=sin9+sin'e+sir?J=Sin÷sin20(sin+sin~J)=sin0+sin"。=1.故选B.

11.(2021•广西柳州高三检测)已知Sind+3COSσ+l=0,则tan。的值为()

3-4

b∙-4^-3

Q44

C.I或一鼻D.一鼻或不存在

OO

答案D

解析由Sina=-3cosa-1,可得(-3COS。-1)'+CoS*。=1,即5cos"ι+3cos。

3

=0,解得CoS。=—三或CoSa=0,当COS。=0时，tan。的值不存在，当CoSa=—

5

∙oi4sina4

7•时，sinCL=­3cosa—1=-,tanQ=------=一；；.故选D.

55cosa3

12.（2021•河南部分重点中学高三联考）定义：角。与。都是任意角，若满足夕+。

π1

=万,则称。与φ“广义互余”.已知sin（n+。）=一『则下列角£中，可能与角a“广

义互余”的是（）

ʌ/ɪʒ1

A.sin^=~~*B.CoS（n+£）=：

ɔ4

C.tanβ=√T5D.tanβ

答案C

,11JIjl

解析Vsin（π+0r）=-sina=­7,Λsina=7,右a+B=F贝UB=-T■—Sin

44NN）

β=sin■-。)=CoS。=土当±故A不符合条件；CoS(n+£)=-cos£=-cos

土返

仟一。)=-Sin〃=一；,故B不符合条件；tan£=Jn《=_故C符合

∖∆)4cosP1V

4

条件，D不符合条件.故选C.

4π5冗/4π^

13.sin∙cos∙tan(--ξ-J的值是.

焚案一述

厂14

14.（2022•陕西千阳中学高三模拟（一））已知0是第四象限角，且sin“十

4

答案一可

πJTJIJI

解析：。是第四象限角，；.一万+24n<0<2*n,A∈Z,则一彳+2%“<。+7〈丁+

15.已知cos

,.sin3(五一。)÷cos(。+n)

r川而S所1

5cosIa∣+3sinI-a

卜…3

口案35

解析因为CoS仔+α)=2sin一)，所以一sin。=-2cosa,则sina=2cos

a,代入sin%+cos2。=1,得cos%=1

5

sin3(JI-0r)+cos(α+JI)sin%-cosa

所以∙

‘5no—3cosa

5cos--al+3sin

8COS3O—COSO81

'=一CO2Q——■—

7cosa7735,

1

的值

是

16.（2022∙福建泉州模拟）已知l+s：n/一-

夕S

1

案

答2-

—sin'o=COS2a，cosa≠0,1—sino≠0,所以(l+sinσ)(1—sina)

1COS1

1+sinQCOSQCOSa-即-

=cosacosa,即.所以∙2S•nσ2

cosa1—sina1-sina1-

17.（2021•陕西咸阳高三质量检测）已知α为第三象限角，Ka）=

in(。兰｝os(ɪ+

sintan(π—σ)

tan(—G—π)sin(-a——π)

⑴化简A。）;

3π=1，求Ha）的值.

⑵若COSa

一^Fɔ

sinTCoS

解⑴六。）=—

tan（一。一B）Sin（一。一冗）

(—cosa)sino(—tanQ)

cosa.