《整式乘法》（第2课时）示范公开课教学设计【北师大版七年级数学下册】

第一章整式的乘除1.4整式的乘法第2课时教学设计一、教学目标1.探索单项式与多项式乘法运算的法则，理解单项式乘以多项式的运算法则；2.会利用法则进行单项式与多项式的乘法运算，理解单项式与多项式相乘的算理，体会乘法分配律及转化的数学思想．二、教学重点及难点重点：单项式与多项式相乘的乘法法则及应用．难点：灵活运用单项式与多项式相乘的乘法法则．三、教学准备多媒体课件四、相关资源相关图片五、教学过程【复习巩固】1．单项式与单项式相乘的法则是什么？（单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式）2．什么叫多项式？什么是多项式的项？几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，组成多项式的每个单项式叫做多项式的项3．指出下列多项式的项：（1）；（2）．中的项分别是：；中的项分别是：．设计意图：复习回顾式导入新课有助于让学生回顾所学知识，为本节课的学习做好铺垫．【问题情境】才艺展示中，小颖也作了一幅画，所用纸的大小如图所示，她在纸的左、右两边各留了的空白，这幅画的画面面积是多少？先让学生独立思考，之后全班交流．交流时引导学生呈现出自己的思考过程？法一：先表示出画面的长和宽，由此得到画面的面积为；法二：先求出纸的面积，再减去两块空白处的面积，由此得到画面的面积为教师启发学生：两种方法得到的答案不一样，到底哪种方法对？短暂的思考之后，学生回答都对，由此引出=这个等式．引导学生观察这个算式，并思考两个问题：式子的左边是什么运算？能不能用学过的法则说明这个等式成立的原因？学生不难总结出，式子的左边是一个单项式与一个多项式相乘，利用乘法分配律可得=，再根据单项式乘单项式法则或同底数幂的乘法性质得到=，即=.由此引出本节课的学习内容：单项式乘以多项式．设计意图：通过实际问题情境引入思考，使学生感受到探索和掌握新知识的必要性，同时也可感受到数学无处不在，它源于生活，又服务于生活．【探究新知】活动1.问题：三家连锁店以相同的价格m（单位：元／瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：瓶）分别是a，b，c．你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品总收入吗？让学生分析题意，得出两种解法：解法1：先求三家连锁店的总销量，再求总收入，即总收入（单位：元）为：m(a＋b＋c)①解法2：先分别求三家连锁店的收入，再求它们的和，即总收入（单位：元）为：ma＋mb＋mc②活动2.请学生探究①和②表示的结果是否一致？由于①和②表示同一个量，所以：m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc．得出上述结论后，教师再引导学生由乘法分配律(a＋b)c=ac＋bc这个角度，推出结论m(a＋b＋c)=ma＋mb＋mc．我们把m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc和（a＋b＋c）m＝am＋bm＋cm的运算叫乘法分配律的正向运算，反过来，我们也把ma＋mb＋mc＝m（a＋b＋c）和am＋bm＋cm＝（a＋b＋c）m叫乘法分配律的逆向运算，其逆向运算也是成立的．活动3.想一想：（1）及等于什么？你是怎样计算的？（2）你能由此总结出单项式与多项式相乘的乘法法则吗？师生共同总结单项式与多项式相乘的乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．设计意图：通过生活中的实例讲解数学知识，易激起学生的学习兴趣，体验数学的实用性．而教师对单项式乘以单项式的法则的阐述，有助于学生更深层的理解此法则．【典型例题】例1．计算：（1）2ab(5ab2+3a2b)；（2）(ab2－2ab)·ab;（3）（4）分析：利用单项式乘以多项式法则计算即可．解：（1）2ab(5ab2+3a2b)=2ab·(5ab2)+2ab·(3a2b)——乘法分配律=10a2b3+6a3b2——单项式与单项式相乘（2）(ab2－2ab)·ab=(ab2)·ab+(－2ab)·ab——乘法分配律=a2b3－a2b2——单项式与单项式相乘（3）（4）==设计意图：单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．例2．先化简，再求值：，其中．解：原式＝=12x．把代入12x中，原式=12x=．总结单项式与多项式相乘的实质、一般步骤及计算时的注意事项：（1）单项式与多项式相乘的实质是利用乘法分配律把单项式乘多项式转化为单项式乘单项式．（2）单项式与多项式相乘时，分三个阶段：①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；②按照单项式的乘法法则运算；③再把所得的积相加．设计意图：总结规律，熟练运算.例3．一条防洪堤坝，其横断面是梯形，上底宽a米，下底宽(a＋2b)米，坝高eq\f(1,2)a米．(1)求防洪堤坝的横断面面积；(2)如果防洪堤坝长100米，那么这段防洪堤坝的体积是多少立方米？分析：(1)根据梯形的面积公式，然后利用单项式乘以多项式的运算法则计算；(2)防洪堤坝的体积＝梯形面积×坝长．解：(1)防洪堤坝的横断面面积S＝eq\f(1,2)[a＋(a＋2b)]×eq\f(1,2)a＝eq\f(1,4)a(2a＋2b)＝eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab(平方米)．故防洪堤坝的横断面面积为(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)平方米；(2)堤坝的体积V＝Sl＝(eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)ab)×100＝50a2＋50ab(立方米)．故这段防洪堤坝的体积是(50a2＋50ab)立方米．设计意图：本题要知道梯形的面积公式及堤坝的体积(堤坝体积＝梯形面积×长度)的计算方法，同时掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．例4（1）下列运算正确的是（）．DA．a2·a3＝a6B．（－3x）3＝－3x3C．2x3·5x2＝7x5D．（－2a2）（3ab2－5ab3）＝－6a3b2＋10a3b3（2）已知|a－2|＋（b－）2=0，求－a（a2－2ab－b2）－b（ab＋2a2－b2）的值．解：因为|a－2|＋（b－）2=0，所以a－2=0，b－=0，因此a=2，b=．－a（a2－2ab－b2）－b（ab＋2a2－b2）=－a3＋2a2b＋ab2－ab2－2a2b＋b3=－a3＋b3．当a=2，b=12时，原式=－7．（3）现规定一种运算：a☆b＝ab＋a－b，其中a，b为实数，求a☆b＋（b－a）☆b的值．解：由题意知：原式例5．计算：（1）2ab（5ab2＋3a2b）；（2）；（3）；解：（1）原式＝10a2b3＋6a3b2．（2）原式＝y2－2y－y2－2y＝－4y．（3）．设计意图：综合运用所学知识，提升运算能力．【随堂练习】1．选择．（1）化简的结果是（）．BA．B．C．D．（2）如图是L形钢条截面，它的面积为（）．BA．ac＋bcB．ac＋(b－c)cC．(a－c)c＋(b－c)cD．a＋b＋2c＋(a－c)＋(b－c)（3）下列各式中计算错误的是（）．CA．B．C．D．2．先化简，再求值：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2，其中a＝2．分析：首先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代入已知的数值计算即可．解：5a(2a2－5a＋3)－2a2(5a＋5)＋7a2＝10a3－25a2＋15a－10a3－10a2＋7a2＝－28a2＋15a，当a＝2时，原式＝－82．3．把写成积的形式．解：∵＝mn×m＋mn×1＋mn×n＝mn（m＋1＋n）．∴其积的形式为mn（m＋1＋n）．拓展：若mn＝2，m＋n＝1，求多项式的值．解：∵＝mn×m＋mn×1＋mn×n＝mn（m＋1＋n）．∴＝mn（m＋1＋n）＝2（1＋1）＝4．设计意图：通过例题让学生学会运用所学知识解决问题，特别是要注意总结单项式乘以多项式运算中会出现的问题以便今后能有所注意．4．计算下列各题：（1）－2x·(eq\f(1,2)x2y＋3y－1)．（2）；（3）．（4）x（x—y）—y（x—y）（5）a（＋a＋1）＋（—1）（＋a＋1）（6）x（—x—1）＋2（＋1）—x（3＋6x）解：（1）原式＝－2x·eq\f(1,2)x2y＋(－2x)·3y＋(－2x)·(－1)＝－x3y＋(－6xy)＋2x＝－x3y－6xy＋2x．（2）原式===；（3）原式====．（4）x（x—y）—y（x—y）（5）（6）x（—x—1）＋2（＋1）—x（3＋6x）设计意图：理解多项式乘多项式的乘法法则，灵活地运用法则