2024届宁夏银川二中高二数学第一学期期末考试试题含解析

2024届宁夏银川二中高二数学第一学期期末考试试题

请考生注意：

1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数“力的定义域是R,/(0)=2,对任意xeR,/(x)+/'(x)>1,则不等式e'•/(%)>e*+1的解集为()

A.{%|x>0}B.{%|%<0)

C.{x[x<-1或x>l}D.{x[%<-1或0<%<1}

2.设等差数列{4}的前"项和为S"，若。2=3,%+%=16,则％=()

A.60B.80

C.90D.100

3.已知双曲线Ci的一条渐近线方程为y=kx,离心率为ei,双曲线C2的一条渐近线方程为y=-x,离心率为e2,

k

且双曲线G、C2在第一象限交于点(1,1),贝！Ia=()

1

A.|川B.TTT

C.lD.2

4.定义在R上的函数/(XH-Y+m与函数g(x)=〃x)-丘在[1,2]上具有相同的单调性，则左的取值范围是()

A.(^o,-12]B.[-3,+OO)

C.(-3,+co)D.(-oo,-3]

5.已知数列{q,}的通项公式为an=log,四，其前〃项和为Sn,则满足S”>5的n的最小值为()

n

A.30B.31

C.32D.33

6.已知不等式In小>0只有一个整数解,则，"的取值范围是()

A.[*如2)B.-In2,iln3|

[23J

1,C1

C.—In2,—D.-In3,-

2e3e

7.从全体三位正整数中任取一数，则此数以2为底的对数也是正整数的概率为（）

11

A.——B.-----

225300

1

C.-----D.以上全不对

450

8.若抛物线％=-雨产的焦点到准线的距离为2,则m=（）

1

A.-4B.-

4

£1

D+-

44

9.以x轴为对称轴，抛物线通径的长为8,顶点在坐标原点的抛物线的方程是（）

A.,2=8%B.J=-8x

C.y2=或y2二-8xD.x2=8y或d=-8y

10.等差数列｛%｝的公差公<0,且44=12,q+%=8,则｛%｝的通项公式是O

A.an=2n-2B.an=2〃+4

C.an=-2n+lQD.an=-2〃+12

22

11.如果椭圆工+匕=1上一点P到焦点耳的距离等于6,则线段的中点M到坐标原点的距离等于（）

10036

A.7B.10

C.12D.14

12.设命题甲：a=2,命题乙：直线4：（a—1）%—y—2=0与直线4：2%—1>=。平行，贝!）（）

A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

IPAI

13.在平面上给定相异两点A,B,点尸满足蒲=2,则当2>0且时，尸点的轨迹是一个圆，我们称这个圆

I|

为阿波罗尼斯圆.已知椭圆「+/=1（。〉6〉0）的离心率6=与，A,5为椭圆的长轴端点，C,。为椭圆的短轴端

\PA\

点，动点尸满足茜=3,若的面积的最大值为3,贝！J.PCD面积的最小值为

14.已知ZB为圆。：必+丫2=1的直径，点尸为椭圆L+2L=i上一动点，则的最小值为

43

]"*20211

15.已知数列｛%｝满足：qw—，且an+1=an（a„+1）,记^4=〃1+%++〃〃（几EN"），若Zi----=3,则

3i=ik=\1+以

〃2022=--------.（用《表示）

22

16.已知椭圆二+与=1（。〉6〉0）的左、右焦点分别为6、工，关于原点对称的点A、3在椭圆上，且满足

ab

\AB\=\FiF2\,若令/耳钻=。且Oe,则该椭圆离心率的取值范围为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）如图，在四棱柱ABC。—A4G。中，AB//DC,AB±AD,CD=2AB=2A£>=4,四边形

为菱形，4在平面ABC。内的射影。恰好为AO的中点，M为A5的中点.

（1）求证：平面4。河；

（2）求平面与平面夹角的余弦值.

18.（12分）已知数列｛4,｝为等差数列，满足q=9,a3+a5=12.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列｛凡｝的前"项和S“，并求S,的最大值.

19.（12分）已知点P（5,0）和圆。：/+y2一4x—4y+3=0.

（1）求圆C的圆心坐标和半径；

（2）设Q为圆。上的点，求的取值范围.

20.（12分）已知｛4｝是公差不为零等差数列，4=1,且%、4、%成等比数列

（1）求数列｛4｝的通项公式：

711

(2)设bn=-----.数列｛耳｝的前〃项和为S，，求证：5n<-

anan+\2

21.(12分)将离心率相同的两个椭圆GC如下放置，可以形成一个对称性很强的几何图形，现已知G：]+/=i.

(1)若在第一象限内公共点的横坐标为1，求G的标准方程；

(2)假设一条斜率为正的直线/与。1，。2依次切于A,3两点，与y轴正半轴交于。点，试求5SqAB-S0B0的最大值

及此时的标准方程.

22.(10分)已知函数y=/(x)是定义在实数集R上的奇函数，且当x>0时，/(x)=2工+2一工

(1)求Ax)的解析式；

(2)若时(x)W2f+根-1在(0,+s)上恒成立，求机的取值范围

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解题分析】构造函数g(£»=1"(%)-e\结合已知条件可得g'(x)>0恒成立，可得g(x)为R上的减函数，再

由g(0)=1,从而将不等式转换为g(x)>g(O),根据单调性即可求解.

【题目详解】构造函数g(x)=e，"(x)—e\

因为g'(x)=eA-/(^)+eA-f(x)-ev=eA[/(x)+-e*>e'—e'=0,

所以g(x)=e'"(x)-/为R上的增函数

又因为g(O)=e°"(O)—e°=l,

所以原不等式转化为e"(x)—e、>l,即g(x)>g(O),解得%>0.

所以原不等式的解集为{xIx>0},

故选：A.

2、D

【解题分析】由题设条件求出％,",从而可求Ho.

【题目详解】设公差为d,

[4+2d—3%=1

因为%=3,。4+。5=16,故〈,解得<

2q+id=16d—2

10x9

^rS10=10xl+-^—x2=100,

故选：D.

3、C

【解题分析】根据渐近线方程设出双曲线方程，再由过点(U),可知双曲线方程，从而可求离心率.

2

【题目详解】由题，设双曲线G的方程为必-3=4,又因为其过(1,1)，且可知左2彳1,不妨设左2>1,

2

vP_1_______21一

代入必一二=/，得彳=~一，所以双曲线G的方程为左2—1k-i

kk,9

y2x2

同理可得双曲线。2的方程为正工F^i

丁

所以可得《2=炉石，

所以员=1,当0〈人2<1时，结论依然成立.

e2

故选：c

4、B

【解题分析】判定函数/(X)单调性，再利用导数结合函数g(x)在［1,2］的单调性列式计算作答.

【题目详解】由函数/(%)=-d+加得：r(x)=-3*W0,当且仅当x=o时取“="，则/(九)在R上单调递减,

于是得函数g(x)=—三+相―"在［1,2］上单调递减，即Vxe［l,2］,g'(x)=-—左40,即左2―3小，

而-3必在［1,2］上单调递减,当尤=1时，(一3/)1mx=-3,贝”之—3,

所以左的取值范围是［—3,+“).

故选：B

5、C

【解题分析】由条件可得S〃=log,(?x2?x"xLx*］得出S.，再由S“〉5解出〃的范围，得出答案.

［123n)

77+1

【题目详解】由%=142——，

n

,F1+112+13+172+1

贝！IS“=log—+log——+log—+L+log-----

2122232n

,(M2+i3+i1।(八

=log2-pXmx.xLX——=log2(n+l)

由S“〉5,即log2(〃+l)>5,即M+1>25,所以〃>31

所以满足S〃〉5的〃的最小值为为32

故选:C

6、B

【解题分析】依据导函数得到函数的单调性，数形结合去求解即可解决.

Inx

【题目详解】不等式Inx-小>0只有一个整数解，可化为——〉根只有一个整数解

x

人7/、Inx八、、1-lnx

令/z(x)=----(zx>0),贝!J/zCx)=——2—

XX

当0<x<e时，〃(%)>0,久尤)单调递增；当％〉e时，”(%)<0,/z(%)单调递减，

则当x二e时，/%)取最大值公e)=a=—,/z(-)=-^=-e

eee

e

Inx

当元〉e时，/2(%)=，>0恒成立，以九)的草图如下：

X

飘2)=浮=ln0=ln我，/z(3)=?=ln为=ln强，则/z(2)<〃(3)

InV

若——〉加只有一个整数解，则/z(2)Km</z(3),即加£*，'臼

故不等式Inx—7%>0只有一个整数解，则机的取值范围是gin211n

故选：B

7、B

【解题分析】利用古典概型的概率求法求解.

【题目详解】从全体三位正整数中任取一数共有900种取法，

以2为底的对数也是正整数的三位数有27,28,23共3个，

31

所以以此数以2为底的对数也是正整数的概率为/?=—=—,

故选：B

8、D

【解题分析】把抛物线的方程化为标准方程，由焦点到准线的距离为口，即可得到结果，得到答案.

【题目详解】由题意，抛物线X=T殴2,可得y2=—^x,

m

又由抛物线的焦点到准线的距离为2,即，一=2,解得小=土工.

2m4

故选D.

【题目点拨】本题主要考查了抛物线的标准方程，以及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的焦点到准线

的距离为。是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

9、C

【解题分析】由分焦点在x轴的正半轴上和焦点在x轴的负半轴上，两种情况讨论设出方程，根据2P=8,即可求解.

【题目详解】由题意，抛物线的顶点在原点，以左轴为对称轴，且通经长为8,

当抛物线的焦点在X轴的正半轴上时，设抛物线的方程为y2=2px(p〉0),

可得2p=8,解得。=4,所以抛物线方程为>2=8%；

当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时，设抛物线的方程为V=-2px(p>0),

可得2p=8,解得。=4,所以抛物线方程为y=—8x,

所以所求抛物线的方程为/=±8%.

故选：C.

10、C

【解题分析】由于数列｛叫为等差数列，所以6+%=g+%=8,再由。2%=12可得生，%可以看成一元二次方

程X2—8x+12=0的两个根，由d<0可知出〉%，所以g=6,。4=2,从而可求出q,d,可得到通项公式.

【题目详解】解：因为数列｛4｝为等差数列，所以4+4=出+%=8,

因为。2%=12,所以%，%可以看成一元二次方程f—8x+12=0的两个根，

因为d<0,所以g=6,4=2,

%+d=6d=—2

所以《解得

%+3d=2%=8

所以%—8—2(n—1)=-2zz+10

故选：C

【题目点拨】此题考查的是等差数列的通项公式和性质，属于基础题.

11、A

【解题分析】可由椭圆方程先求出。，在利用椭圆的定义求出归41+1。阊，利用已知归耳|求解出|「阊，再取P耳的

中点"，连接利用中位线，即可求解出线段的中点”到坐标原点的距离.

【题目详解】

22

因为椭圆工+匕=1,a=10,所以归周+户闾=2a=20,结合|尸耳|=6得，|尸闾=14,取尸耳的中点M,连

10036

接OM,所以加为的中位线，所以|。闾=/「用=7.

故选：A.

12、A

【解题分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合两直线平行的性质进行求解即可.

【题目详解】当〃=2时，直线《的方程为％—y—2=。，直线乙方程为％—y=0,此时，直线4与直线4平行，即甲=>

乙；

直线4（a—l）x—y—2=0和直线42%—今=0平行，贝！一I”,，解得°=2或a=—1,

即乙K甲；则甲是乙的充分不必要条件.

故选：A.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、1

\PA\—

【解题分析】先根据扁=3o求出圆的方程，再由△?/记的面积的最大值结合离心率求出。和b的值，进而求出

PCD面积的最小值.

【题目详解】解：由题意，设A（—a,0）,B（a,0）,P（x,y）

因为—

两边平方整理得:

所以圆心为半径r=：a

因为APAB的面积的最大值为3

13

所以一x2ax—。=3,解得：a=2

24

因为椭圆三+1=1（。〉6〉0）离心率e=¥

即£=走，所以c=G

a2

由〃2=/+c2得：b=l

1(53、53

所以/CD面积的最小值为：S=-x2Z，xU--«=r2_r2=1

故答案为：1.

【题目点拨】思路点睛：本题先根据已知的比例关系求出阿波罗尼斯圆的方程，再利用已知面积和离心率求出椭圆的

方程，进而求得面积-PCD的最值.

14、2

【解题分析】方法一：通过对称性取特殊位置，设出产的坐标，利用向量的数量积转化求解最小值即可

方法二：利用向量的数量积，转化为向量的和与差的平方，通过圆的特殊性，转化求解即可

【题目详解】解：方法一：依据对称性，不妨设直径Z夕在*轴上，P（2cosx,V3sinx）,A（-1,O）,B（1,O）

从而PA•P8=(2cosx-l)(2cosx+1)+3sin2x-2+cos2x>2

故答案为2

_____.__,__,___2

方法二：。49=(私+网)2—(0A-M)2=4PB-4♦2

=PO_1=|P0|92—1，

44

而口0加=6,则答案2

故答案为2

【题目点拨】本题考查直线与圆的位置关系、椭圆方程的几何性质•考查转化思想以及计算能力

a

15、x

1—3。］

/、111

【解题分析】由4+1=。〃（见+1）可得—--------，结合已知条件，利用裂项相消求和法即可得答案.

%+1anan+l

【题目详解】解：因为4+1=4（4+1）,

1111111

所以—=-=即-----

1―Tna---------17，7=-----------，

4+i4（4,+1）n4+14+1an4+i

J____］__1____1_

所以Z

a

k=ln4+1q4+1

等1c111

因为自不=3,所以了一二:？，又％二，

4

所以%°22=匚M.

a

故答案为:{

1—3。］

「I

【解题分析】由|AB|=|片阊得AFXBF,为矩形，则跳;=2c•sin夕A片=2c•cos8=3耳，故e=上=-----------

asin夕+cos0

结合正弦函数即可求得范围

【题目详解】由已知可得AB=2c,且四边形入耳5层为矩形

所以BFi=2c-sin0,AFX=2c-cos0=BF2,

又因为_B耳+BF?=2a,所以2c•sing+2c•cos。=2。

e-_—_______1_____—___1

得离心率asin0+cos0逝sinl6>+1

TCZ74T-_.（八》）

因为Oe-，可得+

32

从而ee

故答案为:

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）证明见解析

⑵叵

31

【解题分析】（1）先证明BCLOM,即可证明平面4。河；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

因为。为A在平面A3CZ）内的射影，

所以4。，平面ABCD,

因为BCu平面43。，所以

如图，连接B。，在中，BD=yjAB2+AD2=2y/2-

设CZ>的中点为尸，连接5P,

因为AB//DC,AB±AD,CD=2AB=2AD=4,

所以且BP=PC=2,则3C=2jL

因为BD?+BC2=16=CD2,

所以

易知OMIIBD,所以

因为AOu平面4。河，。加匚平面4。河，\ocyOM=o,

所以8C,平面4。河.

【小问2详解】

由(1)知A。_L平面A5CD,

所以可以点0为坐标原点，以。4,0\,所在直线分别为X,Z,以平面ABC。内过点。且垂直于04的直线为y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则。(0,0,0),4(1,0,0),5(1,2,0),4(0,0，司,C(-l,4,0),Q(-2,4,73)

所以04=(1,0,0),04==(0,0,73),A§=(1，2,—6)，BC1=(-3,2,73),

设平面慎入口的法向量为加式七,％*]),"，。?^。，％。^：。，

玉二0,

则/7八可取平面AA.D.D的一个法向量为m=(0,1,0).

J3Z]=0.

设平面4刀。1的法向量为〃=(%2，%，22)，nBC]=0,n-AiB=09

—3X+2%+—0,

则2

x2+2y2-A/3Z2=0,

令%=G，得平面的一个法向量为〃=(26,6,4)

设平面与平面用2。的平面角为a,

由法向量的方向可知a与法向量的夹角大小相等，

m-n#>A/93

所…

所以平面ABC］与平面惧2。夹角的余弦值为叵.

31

18、(1)%=—"+10

n219

(2)S=-—+—n,45

22

【解题分析】(1)由等差数列的通项列出方程组，得出通项公式；

(2)先得出S“，再由二次函数的性质得出最大值.

【小问1详解】

4=9

由<cs1c，解得d=-l,即a„=~n+10

2al+6a=12

【小问2详解】

〃(9+10—〃)=上+2,二次型函数开口向下，对称轴为"=9.5,

"2222

则当〃=9或10时，S“有最大值45.

19、(1)圆心。的坐标为(2,2),半径厂=逐；

(2)［履-后而+⑸

【解题分析】(1)利用配方法化圆的一般方程为标准方程，可得圆心坐标与半径；

(2)由两点间的距离公式求得IPCI,得到|PC|+r与|PC|-r,贝!11PQI的取值范围可求

【小问1详解】

解：由x~+—4x—4y+3=0,得(x—2)?+(y—2)~=5,

二圆心。的坐标为(2,2),半径厂=逐；

【小问2详解】

解：尸(5,0),.-JPC|=J(5-2)2+(0-2)2=而，

PC|+r=V13+A/5,\PC\-r=4i3-yj5

IPCI-^JPQ\\PC\+r,

.'.IPQ\的取值范围是[屈-V5,^3+V5]

20、（1）an=2/z-l；

（2）证明见解析.

【解题分析】（1）设等差数列｛4｝的公差为d,则dwO,根据题意可得出关于d的方程，求出2的值，利用等差数

列的通项公式可求得数列｛«„｝的通项公式；

（2）求得用=!（二工-不二],利用裂项相消法求出S“，即可证得结论成立.

2^2w-l2n+l）

【小问1详解】

解：设等差数列｛4｝的公差为2,则dwO,

由题意可得a；=4生，即（l+d）2=l+4d,整理可得屋一2d=0，d力0,解得d=2,

因此，a“=4+（〃-l）d=l+2（〃—1）=2〃一1.

【小问2详解】

aa-，

证明："~nn+i（2n-l）（2n+l）~2[2n-l~2n+lJ

M++P----＜匕

因此，s

n=1l3j（35J｛57）Un-12n+\）\22（2n+l）2

故原不等式得证.

4x22/_

Z1■、\17----1----—1

55

（2）2;%2+^=l

2

【解题分析】（1）设。2：必+；=/1,将点,¥1代入得出。2的标准方程；

（2）联立G，02与直线/的方程，得出A3两点的坐标，进而得出5s△0"-SMB»=&g，再结合导数得出

乙十K

5sOAB—Sobq的最大值及此时C2的标准方程.

【小问1详解】

由题意得：在第一象限的公共点为11，/J

21

设G:必+-^―=49则有：1+2_5丸

一22~4~

4x22V2

二.C2的标准方程为：手+3-=1；

【小问2详解】

2

2

设/:y=kx+m{m>0,>0）,C2:x+^-=4A（%口坊）,3（与%）

\y=kx+m八、

口_1_2y2_2=f（1+2k2）/_|_4kmx+2m92-2=0

则△=163加2—8（1+2左2）（加2-1）二0

-2kmm

=>m2=2k2+1①，%=

1+2左2-11+242

y=kx+m

2y2=>（^2+A:2x2+2knvc+m2-22=0

x—X

2

则n△=4k2席-4（2+Zr2）（m2-22）=0

-km2m

=^>m2=A（Jc2+2^②，x,又Q（0,〃z）.

22+左2'%-2+-2

2

SAOBQ=；机（一%）km2k+k

，由①有:S^OM=生方

2（2+公）△°BQ4+2左2