2023年高考数学三轮复习练06导数大题基础练（解析版）

【一专三练】专题06导数大题基础练-新高考数学复习

分层训练(新高考通用)

1.(2022秋•浙江绍兴•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=gd-4x+4∙

⑴求函数f(x)在x=3处的切线方程；

(2)求函数〃x)在［0,3］上的最大值与最小值.

【答案】(1)-4

4

(2)最大值为4,最小值为

【分析】(1)根据导函数在x=3的值，可求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.

(2)根据导函数，确定单调区间，进而可得最值.

【详解】(1)由"x)=gV-4x+4得r(x)=x2-4..∙J'⑶=5又"3)=1,所以函数

/(x)在x=3处的切线方程为:y-l=5(x-3),即y=5x—14

(2)由f'(x)=f-4,令r(x)=χ2-4X),解得χ<-2或r>2

令/'(X)=Y-4<0,解得-24<2,所以F(%)在(0,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增.

所以当x=2时,f(x)最小,且最小值为/(2)=-+*0)=4.43)=1,

故最大值为/(O)=4

2.(2022秋•山西晋中•高三校考阶段练习)已知函数〃x)=Hn"3》2-(4+1卜36夫且

^≠0).

⑴当“<0时，求函数“X)的极值;

(2)当α>0时，求函数f(x)零点的个数.

【答案】(1)有极小值-α-g，无极大值

(2)零点个数为1

【分析】(I)求出导函数，求出极值点，判断导函数的符号，然后求解函数的极值；

(2)利用函数的导数，通过对参数。分类讨论分析其单调性即可知函数的零点个数.

【详解】(1)解：由题意得：

r(x)=,Ia+l)LylI)X+α=(xT]ι),

令/'(x)=0,得X=I或x="(舍去)，

当o<x<ι时，r(χ)<o,函数单调递减;

当x>l时∙，∕<X)>O,函数单调递增；

所以函数/(x)有极小值/⑴=-α-g,无极大值.

(2)由(1)得r(χ)=(l)[i).因为q>0,

①若O<α<l,当0<x<α时，/^x)>O,函数单调递增；

当α<x<l时，/'(x)<O,函数单调递减；

当x>l时，∕qx)>O,函数单调递增；

所以/(x)有极大值/(α)=Hna+；a2_(a+l)“=q[nq_ga_l)<0,

极小值/(1)=一。一；<0，又/(为+2)=Hn(2a+2)>O,

所以函数f(x)有1个零点.

②若a=l,则f'(x)=色三匚.(E所以函数f(x)单调递增，

此时/⑴=—1<0j(20+2)=Hn(2α+2)>0,所以函数”x)有1个零点.

③若α>l,当O<x<l时，/^Λ-)>O,函数单调递增；

当l<x<α时，/'(x)<0,函数单调递减;

当x>“时，/^x)>O,函数单调递增；

所以〃x)有极大值/⑴=-α-g<O,显然极小值/(")<O,

又/(2α+2)="ln(2α+2)>0,所以函数"x)有1个零点.

综上所述，当α>0时，函数/(x)的零点个数为1.

3.(2022秋•河北•高三校联考阶段练习)设/'(X)为函数Ax)的导函数，已知

f(x)=x+f'(O)cos2x+a(aeR),且f(x)的图像经过点(0,2).

(1)求曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

⑵求函数/O)在[0,兀]上的单调区间.

【答案】(I)X7+2=0

π5π

⑵单调递增区间为0,匚和g,π单调递减区间为

12,12

【分析】(1)求导，计算/'(O)得到切线斜率，点斜式求切线方程.

(2)求出函数解析式，求导函数，由导函数的正负解得原函数的单调区间.

(1)

f(x)=x+∕,(0)cos2x+a(aeR),贝IJF(X)=I-2∕'(0)sin2x,得/(O)=L

由题意/(0)=2,可得曲线y=∕(x)在点(OJ(O))处的切线方程为y-2=x,即

x-y+2=0.

(2)

由已知得F(O)=F(O)+α=2.

又由(1)知/'(0)=1,所以α=l.

故/(x)=X+CoS2x+∖.

f∖x)=1—2sin2x,x∈［O,π］,

由广⑶>0,得0≤x*,或*x≤τt;由小)<0,得三<x卷.

故/(χ)在［0,兀］上.的单调递增区间为°，总和(ff,π；单调递减区间为倨，总

4.(2022秋•湖北襄阳•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=χ3-0√,a∈R,且

∕,(1)=1.求：

⑴。的值及曲线y=“X)在点(IJ⑴)处的切线方程;

⑵函数”χ)在区间［0,2］上的最大值.

【答案】(i)y=χτ

⑵4

【分析】(1)先求导，求出参数α,然后根据点斜式写出直线方程.

(2)先求导，然后根据导数研究函数的最值.

【详解】(1)Q∕(x)=x3-αr2

∕'(X)=3X2-Iax

.∙.∕(l)=3-2o=l,解得：a=l

故/(x)=x3-1，/(1)=0

曲线y=/(χ)在点(IJ⑴)处的斜率为Z=I，切线方程y-/(D=Mx-D

即y=x-∖

(2)由(1)可知：/(x)=x3-X2,/(X)=3X2-2X

2

令f(X)=3X-2X=0,解得X∣=0,X2=—

故当x∈［0,早时，/(x)<0,所以/(x)单调递减；

当x∈g,2］时,/(x)>0,所以/(x)单调递增；

/(X)区间［0,2］内，当x=2时取最大值，最大值为/(2)=4

5.(2022秋・广东揭阳•高三统考阶段练习)已知函数/(x)=gV-21nx-X

(1)求函数/U)在x=l处的切线方程;

(2)求函数/(N在［1,4］上的最小值.

【答案】(I)4x+2y-3=0;(2)，(幻而„=-21n2.

【分析】(1)根据导数的几何意义求解即可；

(2)求导分析/(x)的单调性，再求区间内的最小值即可

【详解】(1)/(l)=^-21nl-l=-l

•••切点为(1，一；)，Γ(x)=x-∣-1

.∙.f(l)=l-2-l=-2

•••切线方程为：y+g=-2(x-l)

故函数/S)在x=l处的切线方程4x+2y-3=0

(2)/Cx)=x_2_］=牝2)(x+l)go)

XX

令/'(X)=O

X=2或X=-I(舍)

XM2(2,4]

r(ʃ)——O-X.

最小值

AM递减递增

-21n2

"(x)mM=A2)=-21n2

6.(2022•浙江•高三专题练习)设函数/(x)=OX-2-InX(α∈R).

⑴若/(x)在点(ej(e))处的切线为χ-ey+8=0,求“，人的值；

⑵求/(x)的单调区间.

2

【答案】(1)。=—,⅛=-2e;

e

(2)答案见解析.

【分析】(1)已知切线求方程参数，第一步求导，切点在曲线，切点在切线，切点处的

导数值为切线斜率.

(2)第一步定义域，第二步求导，第三步令导数大于或小于0,求解析，即可得到答案.

【详解】⑴"x)=0x-2-InMaeR)的定义域为(0,+8),f'(x)=a-^-,

因为/(》)在点卜,/(6))处的切线为犬-0+人=。，

11ɔ

所以r(e)=α-^=L所以α=J所以〃e)=T

eee

把点代入x-ey+b=O得：b=-2e.

?

即4,人的值为：a=—,b=—2e.

e

(2)由(1)知：/,(x)=α-i=≡^-(x>0).

①当α≤OB寸，/'(x)<0在(0，+8)上恒成立，所以〃”)在(。，+8)单调递减;

②当α>0时，令T(X)=0,解得：X=-,

列表得:

,+c0

X

a⅛)

r(χ)-O÷

y=∕(χ)单调递减极小值单调递增

所以，α>0时，"x)的递减区间为(0，：),单增区间为\，+8

综上所述：当α≤0时，"x)在(0，+功单调递减;

当a>0时，/(x)的递减区间为(O，£j,单增区间为+

【点睛】导函数中得切线问题第一步求导，第二步列切点在曲线，切点在切线，切点处

的导数值为切线斜率这三个方程，可解切线相关问题.

7.(2022秋•江苏镇江•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=gχ2-2αinx+(α-2)x.

(1)当α=T时，求函数/(χ)的单调区间；

(2)是否存在实数“，使函数g(x)=/(X)-OX在(0,+8)上单调递增？若存在，求出”的

取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(I)增区间为(0,1),(2,+∞),减区间为(1,2)；(2)存在，4e1-8,-B.

【分析】(1)将。=-1代入，求出函数的定义域以及导函数，利用导数与函数的单调性

之间的即可求解.

(2)由题意可得g'(x)=∕,(x)-α=X-«-2≥O恒成立，分离参数可得α≤[(X-1)?-ɪ

恒成立，令火幻=；(X-I)2-；,利用导数求出e(x)的最小值即可求解.

【详解】解：(1)当。=—1时，

C1

/(x)="X"9+21nx-3x(x>0),

则r(x)=x+i-3=χi+2=(D(X-2)

XXX

当O<x<l或x>2时，∕,(x)>O,/(χ)单调递增；

当l<x<2时，/V)<0,f(χ)单调递减.

/(x)的单调递增区间为(0,1),(2,*o),单调递减区间为(1,2).

(2)假设存在实数4，使g(x)=/(X)-依在(0,+8)上是增函数，

则g'(x)=∕'(x)-α=X-即-220恒成立，

X

即厂-2Λ-2"2O在(O,+∞)上恒成立,

X

九2—2x—2Q≥O在(0,+8)上恒成立，

:∙a<-^x2-2xj=-(ɪ-1)^——怛成立.

又9(X)-3，

X€(0,+8)的最小值为-g.

.∙.当a≤-g时，g'(x)*O恒成立.

又当“=时，g，(X)=宜辿，

2X

当且仅当χ=l时，g'(χ)=o.

故当“©(-<»,一；时，

g(x)=∕(X)-S在(O,+∞)上单调递增.

8.(2022秋•江苏苏州•高三统考期中)给定函数/(x)=(x+l)e'.

(1)判断函数/(N的单调性，并求出f(χ)的极值;

(2)画出函数/*)的大致图象;

(3)求出方程/(x)="(αeR)的解的个数

【答案】⑴单调递增区间为(-2,+8)；单调递减区间为(F,-2),极小值,/(-2)=-4

e

⑵答案见详解；(3)当"T时’解为。个；当“=T或/°时’解为1个；当

T<"°时’解为2个

【分析】(1)求出导函数/'(X),再由导数与函数单调性之间的关系即可求解.

(2)由函数的单调性、极值即可作出图象.

(3)利用数形结合法即可求解.

【详解】(1)由/(x)=(x+l)e",定义域为R

f'(x)-ex+(x+l)e*=(X+2)e”,

令用x)>0,即χ>2

令r(x)=0,即x=—2,

令r(x)<0,即X<-2,

所以函数的单调递增区间为(-2,48)；

单调递减区间为(rɑ,-2),X=-2为极小值点,

所以函数的极小值为"-2)=-∖.

(2)函数/(x)的大致图象，如图所示:

(3)方程解的个数等价于y=∕(x)TV=。的交点个数.

作出“X)与y=α的图象，

当α=-二或α≥O时，方程/(X)=a(a∈R)的解为1个；

e"

当-[<α<O时，方程/(X)=a{a∈R)的解为2个；

e

9.(2022秋•江苏淮安•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=(x-2)e<+α∙

(1)求函数/(x)的单调区间；

⑵若/(X)≥0恒成立，求。的取值范围.

【答案】(1)函数/(x)单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(l,+∞);

(2)[e,+s).

【分析】(1)求导根据导函数正负得到单调区间；

(2)由题可知.f(x)m∕O,进而可得r+α≥0,即得.

(1)

*•'f(x)=(x-2)ev+a,

/'(x)=(x-l)e*,

令r(χ)=o,解得：χ=ι,

所以xe(γ,l),∕'(x)<O,函数”x)在(-∞,1)上单调递减，Xe(I,+8),r(x)>O,函数

/(x)在(l,*o)上单调递增，

即函数/(x)单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,转)；

(2)

由题可知/(x)*>0，

由(1)可知，当X=I时，函数F(X)有最小值/⑴=Y+”,

；・-e+a≥0,即α≥e,

故。的取值范围为［e,+8).

10.(2022秋•江苏•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=COSΛ-χ2.

⑴设g(χ)=rα),求g(χ)在区间会兀上的最值；

⑵讨论/(χ)的零点个数.

【答案】(1)最大值为-二-立，最小值为-2π

22

⑵/(x)在R上有两个零点

【分析】(1)利用导数讨论单调性即可求最值；(2)讨论函数在［O,+e)上的单调性，并用

零点的存在性定理确定零点个数，再根据函数为偶函数即可求解.

【详解】⑴因为g(x)=∕'(x)=-2X-SinX,g<x)=-2-CoSX<0,

所以g(x)在区间：，兀上单调递减，

所以当X=；时,g(x)取最大值=-5-；

当X=兀时•，8(Κ)取最小值8(兀)=-2兀.

(2)先讨论/(x)在［0,+巧上的零点个数，

由(1)可知，/(同在(0,的)上递减，∕,(x)<∕,(0)=0,

所以/(x)在(0,+8)上递减，因为〃0)=1>0,/(小=-但］<°，

所以/(x)在［0,+8)上有唯一零点，

又因为/(-x)=COS(-X)-(-X)2=COSX-X2=/(x),

所以/(X)是偶函数，所以/(X)在R上有两个零点.

11.(2022秋•黑龙江大庆•高三铁人中学校考开学考试)已知函数/(x)=V-3d+3云+c

在x=0处取得极大值1.

⑴求函数y=∕(χ)的图象在户-1处的切线方程；

(2)求过点(1,-1)与曲线y=“X)相切的直线方程.

【答案】⑴y+6=0

(2)3x+,y-2=0

【分析】(1)根据题意结合导数与极值的关系求匕,c,再根据导数的几何意义求切线方

程；(2)先设切点坐标，根据导数的几何意义求切线方程，根据题意列式求解方,进而

可得结果.

【详解】(1)/(x)=X3-3X2+3hx+c,则/'(无)=3f—6x+3b,

ff(0)=3fc=0仿=O

由题意可得［溜,,解得｛1,

/(O)=C=I［c=l

即/(x)=x3-3d+l,∕,(X)=3X2-6X,

令用x)>0,解得x>2或x<0,

故」(x)在(F,0),(2,—)上单调递增，在(0,2)上单调递减，则〃力在x=0处取得极大

值1,

即b=O,c=l符合题意.

V∕(-l)=-3√,(-l)=9,则切点坐标为(T,-3),切线斜率&=9,

函数y=∕(x)的图象在广―1处的切线方程为y+3=9(x+l),即9x—y+6=0.

(2)由(1)可得：/(X)=Λ3-3X2+1,∕,(X)=3X2-6X,

设切点坐标为(女,片-3片+1),切线斜率A=3x：-6x0,

则切线方程为y—(X—3x；+1)=(3片—6Xo)(X—%),

I切线过点(L-I),则一1-(%—3考+1)=(3石—6%XIT°),整理得(XOT)3=0,即%=1,

•••切线方程为y+1=—3(x—1),即3x+y-2=0.

12.(2022秋•安徽安庆•高三校考阶段练习)已知函数/(x)=(Λ-+∣)et',(k为常数，⅛≠0).

⑴当Z=I时，求函数f(x)的极值；

(2)若函数/(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数k的取值范围.

【答案】(1)极小值-士，无极大值；

e

⑵_；，0卜(0，+8).

【分析】(1)利用导数判断/(X)的单调性，根据单调性即可求得函数极值；

(2)根据/'(x)≥O在区间(0,1)卜.恒成立，列出不等式，求解即可.

【详解】(1)当Z=I时，函数/(x)=(x+l)e',f'(x)=(x+2)e∖

令/'(x)=O,解得x=-2.

令Γ(x)>0,解得x>-2,.∙.函数/(x)在区间(-2,+8)上单调递增；

令f'(x)<0,解得x<-2,.,・函数/(x)在区间(-8,-2)上单调递减.

当后一2时，函数/(x)取得极小值，/(-2)=-4,无极大值.

e

(2)由题可得尸(X)=(履+%+1)*,因为函数f(X)在区间9,1)上是单调增函数,

所以/'(X)≥0在区间(0,1)上恒成立，但是∕,(X)不恒等于0.

.∙.g(x)=履+左+120在区间(0,1)上恒成立，但是不恒等于0.

[g(0)≥01

二二、八，≡∣U+l>0K2⅛+l>0,解得22—彳・

因此实数%的取值范围是O)U(O,+8).

2χ2

13.(2022秋•安徽•高三校联考阶段练习)已知函数/(X)=In—+(〃——)％-f

aa

⑴若a<0,讨论八“)的单调性;

2

(2)若V^∈(0,+oo),ʃ(ɪ)<axex+(a------∖)x-x2,求实数Q的取值范围.

a

【答案】(1)八必在(70,会上单调递增，在(参0)上单调递减

+∞

2

【分析】(1)先求导，利用导数可得单调性；(2)由题意整理得ln=<ag'-ln(以e'),令

a

2

/=αre(>0),则ln∕V-lnf,令gQ)="hu,利用导数研究最值，可得实数。的取

值范围∙

【详解】(1)因为a<0,由子>0,得x<0,即/(X)的定义域为(-∞,0)∙

2τ2c

因为/(x)=ln-+(a--)x-x2,

a

所以122(∙χ--)(^+-)

力以r(X)=_L+q_N_2x=--------Z--------

XaX

因为x<0,a<0,x+,<0,

a

-8,∙^时，f∖x)>O,

所以当Xe

当XWd,0)时，/'(X)<0,

所以当a<0时，/3在卜8,1J上单调递增，在［*0J上单调递减.

2

2

(2)当x∈(0,+8)时，a>O,f(x)<cιxex÷(a------∖)x-x2,

2χ2

即In—<axex-x,所以In二<cυcex-In(Ore工).

aa

2

令f=axex(t>0),则In-YVf-Inf,

151

令gQ)=iTn/,则g(/)=l_；=—^―,

所以当r∈(O,l)时∙，g,(t)<O,当te(l,4∞)时,g,(t)>O,

所以g(r)在S,1)上单调递减，在(1,内)上单调递增,

所以Tf>0,g(f)2g⑴=1,

2

即DX>0,are"-In(OVer)≥1,所以In—<1,

22

所以~<e,又。>0,所以〃>

aτe

2

所以实数”的取值范围是

14.(2022秋•重庆江北•高三校考阶段练习)设函数/(x)=X3+以2+for,/(x)在x=l处

的切线方程为y=4x-3.

(1)求实数”，〃的值;

(2)求函数/(x)在卜1,1］上的单调区间和最值.

a=∖,

【答案】(1)

b=-∖.

(2)单调递增区间为(g,l,单调递减区间为T最大值为1,最小值为一\.

【分析】(1)由题意先求f(x)的导函数，利用导数的几何意义和切点的性质，建立a,b

的方程求解即可.

(2)求f(x)的导函数，确定函数的单调性，即可求函数F(X)在［-1』上的最值.

因为/(x)=d+衣2+bx,所以/'(x)=3χ2+2tzr+6,

/、/⑴=2α+6+3=4

又“x)的图象在x=l处的切线方程为y=4x-3,所以"L+α+匕=4-3

(2)

由(1)可知，∕r(x)=3X2+2Λ-1=(3X-1)(X+1),

则当XeT，；)时，r(x)≤O;当Xe1,l时，/")>°，

故"x)的单调递增区间为(；，1，单调递减区间为T

又〃-I)=IJ⑴=IJf,

所以“x)在上的最大值为1,最小值为-捺.

15.(2022秋•辽宁葫芦岛•高三校联考阶段练习)已知函数Fa)=63-12尤?+1.

(1)讨论〃χ)的单调性；

(2)当α=l时，求/(x)在上的最大值与最小值.

【答案】(1)分类讨论，答案见解析；

⑵最大值为1,最小值为-12.

【分析】(I)对参数。分类讨论，结合导数研究每一种情况下对应的单调性即可;

(2)根据(I)中所求函数的单调性，即可求得函数的最值.

【详解】(1)因为/'(x)=3加-24x=3x(8).

当α=0时∙，/(x)在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减；

当a>0时，若Xe(O［J，∕,(x)<0;若xe(-∞,0)u(j,+∞),>0,

所以/(x)在(Oq)上单调递减，在(e,0),1%+8)上单调递增；

当α<0时，若x∈t8,U(O,+8),∕,(x)<0:若xe(g,θ),/,x)>0.

所以/(x)在弓，。)上单调递增，在1-8,2，(0,+8)上单调递减；

综上所述：当α=0时，/(x)在(-,O)上单调递增，在(0,+⑹上单调递减；

当a>0时，小)在(0,W上单调递减，在(-8,0),已+8)上单调递增；

Wla<0时，/(x)在(),0)上单调递增，在卜8,§,(0,田)上单调递减.

(2)当α=l时-，由(1)知，f(x)在(0,1］上单调递减，在［TO)上单调递增，

所以f(χ)在［T,l］上的最大值为F(O)=L

因为J(T)=T2,/(I)=-IO,所以/(x)在［-1,1］上的最小值为-⑵

综上所述：/(x)的最大值为1,最小值为-12.

16.(2022秋•河北衡水•高三河北深州市中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=--x3+x2+3x+l.

(1)求/(x)的单调区间及极值；

⑵求/(x)在区间［0,6］上的最值.

【答案】(1)单调增区间为单调减区间为(f),-l)和(3,+∞);极小值-∙∣;极大

值10

⑵最大值为10；最小值为-17

【分析】(1)求出函数的导函数，得到((x)，/(x)的变化表，即可得到函数的单调区

间与极值；

(2)由(1)可得”x)在区间［0,6］上的单调性，求出区间端点值，即可得到函数的最

值；

【详解】(1)解：函数"x)的定义域为R,∕,(X)=-X2+2X+3=-(X-3)(X+1).

令/'(x)=0,得X=-I或x=3.

当X变化时，/'(X),"X)的变化情况如表所示.

X(-∞,T)-1(T,3)3(3,+oo)

r(ɪ)—O+O—

_2

单调递减单调递增10单调递减

/(ɪ)~3

故“X)的单调增区间为［-1,3］,单调减区间为(7,T)和(3,4W).

当X=T时，/(X)有极小值/(-1)=-：；当x=3时，“X)有极大值"3)=10.

(2)解：由(1)可知，/(x)在［0,3］上单调递增，在［3,6］上单调递减，所以在［0,6］

上的最大值为"3)=10.

又〃O)=Lf(6)=-17,/(6)<∕(0),所以〃力在区间［0,6］上的最小值为"6)=-17.

17.(2022秋•福建龙岩•高三上杭一中校考阶段练习)已知函数/(x)=α√-(α+2)x+Inx.

(1)若/'(l)=0,求。的值；

(2)若"≥1,求证：当xw［l,e］时，Γ(x)≥O,其中e为自然对数的底数.

【答案】(1)1;(2)证明见解析.

【分析】(1)求出((x),根据题意可得24-(α+2)+l=0,解方程即可求出结果；

(2)求出((x),根据不等式的性质即可证出结论.

【详解】(1)因为尸⑴=0,尸(X)=2αr-(α+2)+g,

所以2α-(α+2)+l=0,解得α=l.

(2)函数f(x)=OX2-(a+2)x+InX的定义域是(O,+∞),

∕r(x)=20x-(α+2)+-,

所以尸(x)=2/-m+2)x+l=(2x-l)(0x-l)

XX

当α≥l,x∈［l,e］时，2x-l>0♦ax-l≥O,

可得r(x)≥o.

18.(2022秋•福建莆田•高三莆田第二十五中学校考期中)已知函数

/(x)=X-SinX-COSX.

⑴求曲线y=/(χ)在X=O处的切线方程；

(2)当x∈[0,2π]时,，求函数/*)的最值.

【答案】⑴y=τ

3

⑵/(X)∏≡=5兀+L∕(x)min=T

【分析】(1)求导,利用导数即可求解斜率,根据点斜式即可求解切线方程，

(2)利用导数确定单调区间，进而可得最值.

【详解】(1)由/(x)=X-SinX—Costr,得/'(x)=l—CoSX+sinx,

所以，/(O)=-Lf(O)=O.

所以曲线y=∕(χ)在X=O处的切线方程为y+i=0,即y=-L

(2)令f'(x)=l+√∑sin[x-()>O,则Sin(X-孝，因此

π,π5π.八，3兀分,,〜

-----F2kn<X—<Fλ2Aτι=>2kjι<x<F2kτι,k∈Z,

4442

由于XelO,2π],故Xe(O,∙∣兀)，

故函数y=F⑺在(Oq兀)上递增，在仁兀，2兀)上递减，

故7(x)∏≡=/(3)=3+1/"*°=min{∕(0),f(2n)}=-l

19.(2022秋•山东菊泽•高三统考期末)设函数/(x)=χ2+cos2χ.

(1)求曲线y=∕(χ)在点¥"(/)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;

⑵求函数/(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值.

【答案】(1)=

32

(2)最大值为方2+[,最小值为1

_2

【分析】(1)求得r(χ)=2χ-si∏2x,得到「名)=乃j(g=?,利用直线的点斜式方

2

程，求得切线方程为y=〃X-二，进而求得二角形的面积；

4

(2)由/'(x)=2x-sin2x,得至∣J∕"(x)=2(l-cos2x)≥0,结合广(0)=0,得到/(x)在

［0,可上单调递增，进而求得函数的最值.

(1)

解：由题意，函数/(x)=χ2+COs2χ,

则r(x)=2x-2sinxcosx=2x-sin2x,nʃf'(-)=π,f(―)=—,

所以曲线y=∕(χ)在点弓.吗))处的切线方程为y-*=Jχg),

^y=πx-Ξ^,可得直线y=%χ-:在X轴，J轴上的截距分别为5，—!，

.)3

所以所求三角形的面积为Lχ三χ二=二.

24432

(2)

解：由f'(x)=2x-2sinxcosx=Irx-sin2x,

则/(x)=2-2cos2x=2(1-cos2x)≥0,所以函数((x)为增函数，

又因为/'(0)=0，所以当尤40,句时,r(x)≥0,

所以函数/(x)在［0,句上单调递增，

所以函数〃x)在区间［0,句上的最大值为/(")=/+1，最小值为〃O)=L

即函数“X)在区间［0,句上的最大值为/+1,最小值为I.

20.(2022秋•江苏常州•高三校考阶段练习)已知函数〃X)=奴+"cosXgseR),若

"x)在点(OJ(O))处的切线方程为y=gχ+2.

(1)求f(x)的解析式;

⑵求函数F(X)在［0,2兀］上的极值.

【答案】⑴/(x)=gx+l+cosX

(2)极大值1+工+@,极小值1+2-3

122122

【分析】(1)根据导数与切线方程的关系列式计算即可；

(2)求出函数的单调区间，根据单调区间确定函数在区间内的极值.

【详解】(1)因为/(x)=Or+6+CoSX(α,6eR),所以尸(X)=α-sinx,

/(0)=⅛+cos0=⅛+l=2

由题意得.八1.所以α=77,b=\；

f(O)=α-sιnθ=〃=—2

,2

故/(X)的解析式为/(x)=gx+l+cosx

(2)由(1)得/(x)=；x+l+cosx,用X)=B-Sinx,

,

因为x∈[0,27t],当0≤x≤2时，∕(x)>0,函数”x)单调递增，

6

当F<χ<乎时，/(χ)<0,函数“X)单调递减，

OO

当当≤x≤2π时，/'(x)≥0,函数”x)单调递增，

O

故当χ=m时，函数取得极大值/■⑶」X∙Ξ+1+COS2=1+J更，

6,⑹266122

故当Xq时，函数取得极小值/(詈)=gχ*l+cos答1+泮*

21.(2022秋•山东济宁•高三校考阶段练习)已知/(x)=x+A,且/(2)=1

X

(1)求实数k的值；

(2)判断此函数的奇偶性并证明；

(3)判断此函数在(0，+8)的单调性(无需证明).

【答案】(1)&=-2

(2)奇函数，证明见解析

(3)单调递增

【分析】(1)由〃2)=1解出人即可；

(2)利用奇偶性的定义判断证明即可；

(3)由导数法判断即可.

(1)

由/(2)=2+g=l,解得&=一2

(2)

/(x)为奇函数.

2

证明：由(1)w∕ω=χ-,则Xw(-∞,o)u(o,+∞),

X

22

.f(-χ)=-χ—=一(X--)=-∕ω,.∙∙ʃ(ɪ)为奇函数

-XX

(3)

2

•；f'{x}=l+4>0,.∙.f(χ)在(O,+∞)上单调递增

X

22.(2022秋•山东临沂•高三统考期中)已知函数f(x)=αe'+Ainx-2x,曲线y=f(x)

在点(0,f(0))处的切线为V=L

⑴求。也

(2)求/(χ)的最小值.

[α=1

【答案】⑴A,

(2)1

【分析】(I)求得/(x)的导数，结合切点，可得。的方程组，即可得α,b的值；

(2)求出Ax)的解析式，求得导数，令导数为0,求得极值点，讨论当x<0和x>0时

区间的单调性，可得最值.

【详解】(1)解：由已知：∕,(x)=ae`+hcofix-2

V曲线y="χ)在点(Oj(O))处的切线方程为y=ɪ

.["°)=ι,即卜=1,

∙∙[r(o)=o,1'1μ+⅛-2=o,

[b=l.

(2)由(1)知，∕r(x)=e'+cosx-2,

当XVO时

β/ev<1,coax<1

.∙.∕,(χ)≤0

•••/(X)单调递减.

当x>0时，令g(x)=J"(x),则g'(x)=e*-SinX

Vex>l,sinx≤1

g'(x)>O,

.∙./'(X)单调递增

.∙.r(x)>r(o)=o.

.∙.当x>0时∙，/(x)单调递增.

二"χL="°)=i∙

∙∙∙∕(χ)的最小值为1.

23.(2022秋•山东•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=e'M'-(x+l).

⑴求函数y=∕(χ)在点处的切线方程；

(2)证明：函数y=/(X)在(-1,0］上有且仅有一个零点.

【答案】(l)x+y-e+l=O;

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据导数几何意义求解.

(2)判断函数y=∕(x)在(-1,01上单调性，然后观察零点.

【详解】⑴因为r(x)=e'M'cosx-1,且G)=e-尸,∕,⅛‰-l,

所以切线方程为,_"_5_1)=_卜一'|),

即所求切线方程为χ+y-e+ι=o.

(2)∕,(x)=esi"r∙cosx-l.

因为xe(-l,θ],所以SinX≤0,esinx≤1.O<cosx≤l,

所以e∙'∙cosx≤l,所以f'(x)≤O,当且仅当X=O时取等号，

所以/(x)在(TO］上是减函数,且/(o)=o,

所以/(x)在(T,0］上仅有一个零点.

24.(2022秋•湖北•高三校联考阶段练习)已知函数"x)=0√+7χ3.

⑴讨论/(x)的单调性.

(2)当4=1时，试问曲线y^(x)是否存在过坐标原点且斜率不为0的切线？若存在，求

切点的横坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)答案见解析

14

(2)存在，切点的横坐标为-T

【分析】(1)利用导数来讨论单调性，求单调区间；(2)根据过曲线外的一个点作曲线的

切线的求解方法即可.

【详解】(1)∕,(x)=40x3+21X2=X2(40r+21).

当a=0时，F(X)在R上单调递增.

当a>0时，若xe1-e,-亮),∕'(x)<0;若Xd-亲+e)J'(X)20.

则〃x)在‘叫-葛)上单调递减，在‘K,+"上单调递增.

当a<0时,若x{-8,-为,尸(X)Z0；若%€(-葛,+8]J'(x)<0.

则F(X)在1-8,-上单调递增，在卜亮,+8)匕单调递减.

……/∖∣[4AΠ3+21AH2=k,

(2)设切点为(根,如F2),则Π{4T、，

m+Int=km,

消去左，得4"+2Im3="+7布，

14

即3)/+14/√=0,解得m=0或加=一了.

14

当利=0时，2=0；当机=一§时，k≠0.

所以曲线产“X)存在过坐标原点且斜率不为0的切线，且切点的横坐标为一号.

25.(2022秋•湖北省直辖县级单位福三校考阶段练习)已知函数/(x)=χ3-∕-χ+]

(1)求y=f(x)在(OJ(O))处的切线方程：

(2)求函数AN的单调区间与极值.

【答案】⑴χ+yT=0;

(2)函数y=∕(x)的单调递增区间为18,一目和(1,同，单调递减区间为(-g,l),极大

值为3兰2，极小值为0∙

【分析】(1)求出函数y=f(χ)的导数，计算出40)和/'(0)的值，利用点斜式写出切

线的方程；

(2)解方程f'(χ)=o,然后列表对函数y=f(χ)进行分析,可得出函数y=C(χ)的单

调区间和极值.

【详解】(1)V/(x)=x3-x2-x+l,

.∙.∕,(X)=3X2—2X-1,

∙√(o)=ι.r(o)=τ,

因此，函数y=∕(χ)在点(0,f(0))处的切线方程为y-i=-χ,即x+y-l=。；

(2)因为r(x)=3χ2-2x-l=(3x+l)(x-l),

令/'(x)=0,得X=-g或x=l,

当X变化时,/(x)./'(X)变化如下：

Xoj1(1,÷∞)

(-°'4)^3H)

/'(X)+O—O+

32JB

“X)极大值为∖极小值。

因此，函数y=∕(χ)的单调递增区间为18,-g)和。,”)，单调递减区间为‘小

32

极大值为N，极小值为0∙

27

26.(2022秋•湖南常德•高三校联考阶段练习)已知函数/(x)=l-αrcosx(αwθ).

(I)当。=1时，求曲线y=f(χ)在点(O"(o))处的切线方程;

π

(2)求函数外幻在0,-的最小值.

_4_

【答案】(I)x+y—1=0;(2)答案见解析.

【分析】(1)根据导数的几何意义得出切线方程；

(2)由导数得出f'(x)=α(xsinx-cosx),令g(x)=xsinx-cosx,利用导数得出

XSinX-cosx<0在θΛ恒成立，再讨论0>0,a<0时函数/(x)的单调性，进而得出最

4

值.

【详解】解：(1)当」=1时,/(x)=l-xcosx,Λ∕,(x)=XSinx-COSX,

又"0)=1得切点(0,1)，；.%=/'(。)=—1,

所以切线方程为y_i=_x,即χ+y-ι=0;

ʌπ

(2)/(x)=l-αrcosx/./'(X)=Q(XSinX-COSx),x∈0,—

4

令g(x)=xsinX-COSX,.∖g'(x)=2sinx+xcosx

TTTT

由XWO,-,得g,(x)≥O,所以g(x)在0,-上为单调增函数

Xg(O)=-KO,若］=£(1卜0

所以g(χ)<0在0,(］上恒成立

冗

即XSinX—CoSXVo在0,—恒成立

_4_

,

当4>0时，∕ω<0,知/(X)在θɪ上为减函数，从而/(χ)nιhl=∕(f=l

当。<0时，r(x)>O,知/(X)在0,(］上为增函数，从而/(X)mta=/(0)=1；

综上，当α>0时，=l-用；当α<0时/Cr)*=/(O)=L

【点睛】关键点睛：解决问题二的关键在于利用导数得出其单调性，进而得出最值.

27.(2022秋•湖南衡阳•高三校考期中)设函数/(x)=αxlnx+"α≠0.

(1)若曲线y=/(x)在点(1,/(1))处的切线方程为y=2x+1,求α,b；

(2)求函数/(X)的单调区间.

【答案】(l)a=2S=3

(2)答案见解析

【分析】⑴求出f'(x)J'(l)=2J(l)=3,建立。力方程关系，即可求出结论;

(2)对。分类讨论,求出F(X)的单调区间.

【详解】(I)由于切点在切线上，所以y=2xl+l=3,函数通过点(1,3)

.∙./(l)=0+⅛=3,⅛=3

,

又/(x)=α(lnx+l),根据导数几何意义，∕(l)=π(∣nl+l)=α=2

a=2,b=3；

(2)由可知/'(x)="(lnx+I)x>0

当4>0时，/'(x)="(lnx+l)>0则x>J；/(*)<0,0<》<！

Ce

当“<0时，/'(x)=α(lnx+l)>0则O<x<Lf'(x)<O,x>l

Ce

当α>0时，/S