2022-2023学年山东省临沂市高一年级下册第二次月考数学模拟卷（含解析）

2022-2023学年山东省临沂市高一下册第二次月考数学模拟卷

（含解析）

一、单选题

1.在一ABC中，内角A,B,C所对的边分别为α,b,C,若2。SinB=®?，则A=（）

An,不τ5%cπ'冗-2π

A.-rB.一或:-C.—D.一或二-

666333

【正确答案】D

【分析】由正弦定理得2sinAsinB=VJsinB,化简即得解.

【详解】因为20sin8=√¾,

所以2sinAsinB=GsinB,:.sinA=^-,:.A=工或M.

233

A=9或4都满足题意.

故选：D

2.己知ɑ,尸是两个不同的平面，m,〃是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（）

A.如果m∕∕α,n/Ia,那么，“〃〃

B.如果/n_La,n//a,那么，〃_L"

C.如果"z_L”,mA.a,n!/β,那么e_L£

D.如果α∕∕Q,直线与α所成的角和直线〃与户所成的角相等，那么加〃〃

【正确答案】B

【分析】A.相〃“或利,〃相交或利,〃异面，所以该选项错误；

B.如果加_La,nlIa,那么加J_"，所以该选项正确；

C.ɑ///或α/相交，所以该选项错误；

D.“〃〃或加，”相交或犯〃异面，所以该选项错误.

【详解】A.如果/«〃a,n//a,那么加〃〃或〃?，”相交或机,“异面，所以该选项错误；

B.如果,w_La,nlIa,那么加_L",所以该选项正确；

C.如果m,α,n∕∕β,那么e//夕或α,/相交，所以该选项错误；

D.如果α〃万，直线加与α所成的角和直线〃与夕所成的角相等，那么〃〃?〃或〃〃相交或

加，〃异面，所以该选项错误.

故选：B

3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法

从该校学生中抽取一个容量为，，的样本，已知从高中生中抽取70人，则〃为（）

A.100B.150

C.200D.250

【正确答案】A

【详解】试题分析：根据已知可得：Wv=故选择A

35A00+15003500

分层抽样

4.一个侧棱长为26的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示

的菱形OAB'C',其中O（A'=2,则该直棱柱的体积为（）

A.4√3B.8√3C.16√3D.32√3

【正确答案】C

【分析】根据斜二测画法的定义，求出四边形OABC的面积，然后根据棱柱的体积公式计算

即可.

【详解】解：根据题意，四边形Q4BC为矩形，

因为O'C'=2,O7T=2,所以OC=4,04=2,

所以矩形。45C的面积为4x2=8,

所以直棱柱的体积为8x2G=I6后.

故选：C.

5.泰山于1987年12月12日被列为世界文化与自然双重遗产，泰山及其周边坐落着许多古

塔.某兴趣小组为了测量某古塔的高度，如图所示，在地面上一点A处测得塔顶8的仰角为

60°,在塔底C处测得A处的俯角为45。.已知山岭高C4为256米，则塔高5C为（）

A.256(√Σ-1)米B.256(石-1)米C.256(G-I)米D.256(24-1)米

【正确答案】B

【分析】一αM中求出AZ),再在AABO中求得80,从而可得BC.

【详解】在CΩ4中，Af)=Cf)tanNDCA=256tan45°=256,

在zλABO中，DB=ADtanZBAD=256tan600=256√3,

所以BC=Bo-CD=256(75-1).

故选:B.

6.已知.A5C的内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,下列说法中不正确的是()

A.若“cosA=6cos8,贝ILASC一定是等腰三角形

B.⅛Cos(A-B)-Cos(B-C)=I,则一ABC一定是等边三角形

C.若“cosC+CcoSA=c,则,4?。一定是等腰三角形

D.⅛cos(2B+C)+cosC>0,则一ΛβC一定是钝角三角形

【正确答案】A

TT

【分析】对于A：利用正弦定理得到A=B或A+B=/,即可判断；对于B：由余弦函数的

有界性求出A=B=C=即可判断；对于C：由余弦定理求出b=c,即可判断；对于D：

利用三角公式判断出CoSB<0或CoSA<(),即可得到答案.

【详解】对于A：因为αcosA=bcos8,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,

所以sin2A=sinZB.

因为A,B为二ABC的内角，所以24=25或2A+2B=π,

TT

所以A=B或A+8=7∙

J2

所以ABC是等腰三角形或直角三角形.故A错误;

对于B：由余弦函数的有界性可知：若-l≤cos(A-B)≤l,-l<cos(3-C)≤l.

因为COS(A-B)∙cos(B-C)=1,所以CoS(A-3)=1,CoS(B-C)=I或

cos(A-B)=-l,cos(B-C)=-l.

当COS(A-3)=LCOS(B—C)=l时，有A=B且B=C,所以A=B=C=I,所以.ABC是等边

三角形.

当COS(A-3)=—LCOS(B-C)=-I时，有A-B=π且B-C=π,不符合题意.

所以一ASC一定是等边三角形.故B正确；

对于C：因为αcosC+CCoSA=c,由余弦定理得：a∙a———+c∙c———=c,

2ab2bc

所以2/=2历，所以。=C

则一ABC一定是等腰三角形.故C正确；

对于D：在ABC中，A+B+C=π,所以CoS(23+C)=cos(3+π-A)=-CoS(3-A),

cosC=∞s(π-A-B)=-COS(A+B).

所以CoS(2B+C)+cosC=-COS(3-A)-CoS(B+A)>0,

所以CoS(B-A)+COS(B+A)<0,即2cos3cosA<0,所以CoS8<0或COSAC0.

所以ABC一定是钝角三角形.

故选:A

二、多选题

7.已知圆锥的顶点为S,底面半径为6,高为1，A,8是底面圆周上两个动点，下列说

法正确的是()

A.圆锥的侧面积是2√¾r

TT

B.SA与底面所成的角是£

C.ZSSAB面积的最大值是百

D.该圆锥内接圆柱侧面积的最大值为叵

2

【正确答案】ABD

【分析】根据圆锥的性质，计算基本量，判断AB选项，根据aS4B的面积公式，计算顶角

的取值范围，计算面积的最值，利用圆锥和内接圆柱的轴截面，计算侧面积的最大值.

【详解】圆锥的母线∕=J(√5)'+1=2,则圆锥的侧面积S=万H=τrx√Jx2=2√^r,故A

正确；

设与底面所成的角是e,Sin。=；,即。=£,故B正确；

26

轴截面的顶角是2xg=4,当顶角等于g时，面积的最大值是gx2x2XSinW=2,

33222

故C错误；

下图是圆锥和圆柱的截面图，设圆柱底面半径『，则高是g(G-r)，则圆锥内接圆柱的侧

面积S=2万4=2…X今G-r)=-竿乃卜唱+字，当r=亭时，侧面积取得最

大值叵，故D正确.

2

故选：ABD

三、单选题

8.过球。表面上一点A引三条长度相等的弦43、AC、AD,且他、AC、AZ)两两夹角都为

60°,若BD=&，则该球的体积为()

.邪)πo^3∖∣3>πCHiπC3下)兀

•----------D•------------C•-------------D«------------

2234

【正确答案】A

将几何体A-38补形成正方体，根据5。求得正方体的边长，从而求得正方体的体对角线

长，也即求得球的直径，由此可求得球的体积.

【详解】依题意，将几何体A-BC。补形成正方体，如下图所示，由于BO=所以正方

体的边长为1,其体对角线长为¢2+F+『=百,也即球的直径为6,半径为半，所以球

的体积为篝惇[坐

本小题主要考查球的体积计算，考查球与内接几何体，考查空间想象能力，考查化归与转化

的数学思想方法，属于基础题.

四、多选题

9.设Z是非零复数，则下列说法正确的是（）

A.若z∈R,则5∈RB.若Zl^=∣z∣,贝!]∣z∣=l

C.若z=5,则z=∣5∣D.若z+2=0,则言=i

IZl

【正确答案】AB

【分析】根据复数的相关概念结合复数的运算逐项分析运算.

【详解】设z=α+为mS∈R,但。*不同时为0,则1=4一万，可得IZl=Il^∣=Ja2+从，

对于A：若z=α+biwR,则Z?=0,

故5=α∈R,A正确；

对于B：*/z∙z=(α+⅛i)(α-⅛i)=a2+⅛2=]z∣2,

若疗=∣z∣,则IZF=IZ∣,

解得:IZl=I或IZI=O(舍)，B正确；

对于C：若z=5,BPa+bι-a-h∖,解得6=0,

故z=α(α*0),则IZl=Ia

ll.l{a=z,a>0

可得Z=HXλ,C不正确；

1[-a=-z,a<O

对于D：z+z=0,则(α+力i)+(α-bi)=O,解彳导4=0,

即Z为纯虚数,此时IZR丘|=忖,五0,

,,zzbi[i,⅛>0

故〕=E=HJ=I.八，D不正确.

IZlIZIWz<O

故选：AB.

10.已知向量α=(2,l),ft=(-3,1),则()

A.(α+⅛)±a

B.向量d在向量人上的投影向量是-叵b

2

C.∖a+2b|=5

D.与向量&共线的单位向量是(华，冬)

【正确答案】AC

【分析】由向量垂直的坐标表示，数量积的定义，模的坐标表示，共线向量的坐标表示及单

位向量的定义计算后判断.

【详解】解：因为向量。=(2,1),1=(-3,1),故α∙5=-5,

对于A,a+b=(-1,2),所以(α+b)∙+=2x(-l)+2xl=0,所以(〃+b)_L。，故A正确;

对于B,向量值在向量b上的投影向量是

⑷CoSe上=∣α∣∙"?=詈■.0=?Ib=-,(注是向量G/的夹角)，故B错误；

∖b∖I。IWw∖b∖-(-3)^+12

对于C,67+2/?=(-4,3),所以Iα+2〃I=J(-4)?+3?=5,故C正确；

对于D,4共线的单位向量是±看，即(手，《)或(一竽，-半)，故D错误.

故选：AC.

11.(多选)已知/U)=g(l+cos2x)sin2χ(x∈H),则下面结论正确的是()

TT

A.y(x)的最小正周期T=5B.yu)是偶函数

c∙yu)的最大值为:D.火外的最小正周期T=Z

【正确答案】ABC

【分析】利用二倍角余弦公式、同角三角函数的平方关系可得式X)=J(I-cos4x),再结合

8

所得三角函数的性质及各选项的描述判断正误.

【详解】:於)=—(1÷cos2x)(1—cos2x)=ɪ(l—COS22Λ)=—sin22x=L(I-cos4x),

4448

∙∖Λ-x)=ɪ[l—cos4(—x)]=∣(I-COS4x)=於)，

OO

-2ππ

/=—=—，

42

tΛX)的最大值为：χ2=。,

o4

故A、B、C正确，D错误.

故选：ABC

12.正方体A88-A4GA棱长为1,若尸是空间异于G的一个动点，且PG_LBA，则下

列正确的是()

A.PC"/平面ACBl

B.存在唯一一点、P,使PDj/B。

C.存在无数个点P,使PDIBC

D.若以_LPC,则点P到直线AG的最短距离为亚

【正确答案】ACD

【分析】点尸为动点，确定尸点的运动轨迹是解题的关键，将条件的异面垂直转化为线面垂

直，找到8。的垂面，即可确定P点的轨迹，对于A,由面面平行进行判断，对于B,利用

反证法和平行的传递性进行判断，对于C,将异面垂直转化为线面垂直，找到BC的垂面进

行判断，对于D,由B4JLPC得到P点也在球面上，所以P点是球面与平面的并线，考查球

截面的问题，类比圆的问题进行解决

【详解】解：对于A,因为BO,，平面OAG，所以点P在平面OAG上，又因为平面DAG〃

平面ABC,所以PC"/平面4C4,所以A正确，

对于B,假设存在点P,使得PR"BC，因为A。〃及。，所以尸。〃AQ,这与A在平面

DAG外矛盾，所以假设不成立，即点P不存在，所以B错误，

对于C,如图，因为80，平面4RG8,平面ARGB平面AGO=C7,所以当点P在直

线CIF上时，恒有PDjB0,所以C正确,

如图，若E4LPC,则点P在以。为球心，OA（OA=立）为半径的球面上，设8RI平面

2

DA1G=E,则B点到平面。AG的距离为BE=gBR=苧，所以。点到平面》4G的距离

为LBE=B,所以平面DAIG被球面截得的圆的半径为r=J［变］且］=—>且圆心

23K2J3J6

为。E中点，设为0∣,则在等边三角形QAG中，。倒直线AC的距离为亚χ2=亚，所

233

以点P到直线4G的距离的最小值为""-逅=亚，所以D正确，

3366

故选：ACD

五、填空题

13.己知i为虚数单位，若Z=(Iy]I),则IZl=.

【正确答案】1

【分析】根据复数的乘除法公式求出z=-i,再由复数模的公式即可求出答案.

r洋槌】「=(1-2i)∙(2+i)2+ii-2i2"4-3i)(3-4i)_25i=

【÷ffl+l'3+4i3+4i(3+4i)(3-4i)9+16

IzI=H=1

故1

14.己知向量α=(2,l),α∙6=10,卜+0=50,则M=.

【正确答案】5

【分析】卜+W=5a两边平方后，结合W=5,ab=10,求出答案.

2

【详解】卜+0=50两边平方得，a+2a-b+b=50

BP|«|+2α∙⅛+1/?|=50,

因为,「=22+F=5,α∙⅛=10,

故4=25,解得M=5.

故5

15.为了了解我国13岁男孩的平均身高，从北方抽取了300个男孩，平均身高L60m；从

南方抽取了200个男孩，平均身高1.50m,由此可推断我国13岁男孩的平均身高为

【正确答案】1.56m

【分析】根据平均数的计算公式，准确计算，即可求解.

300xlxl5

【详解】根据平均数的计算公式，我国13岁男孩的平均身高为：3^^θθ∙°=1.56

米.

故答案为•1.56〃？

六、双空题

16.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.古希腊历史

学家希罗多德记载：胡夫金字塔的每一个侧面三角形的面积等于金字塔高的平方，则其侧面

三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为;侧面与底面所成二面角的余弦值

【分析】画出图形，设正四棱锥的底面边长为α=2,高为/?,斜高为〃，E为CO的中点,

可得

h2=-×2h'

-2,求出"，从而可求出答案

H=A2+1

【详解】解：如图，设正四棱锥的底面边长为α=2,高为〃，斜高为"，E为8的中点,

则由题意得

h1=-×2h,

<2,得/I?_]=/?,

h'2=A2+1

解得方=逅±'或"=*1i（舍去），

22

所以2=在±1,

24

所以侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为回ɪ,

因为依_LCQ,OE，8,所以/PEO是侧面与底面所成二面角的平面角,

OE1√5-l

cos/.PEO=——=—ɛ=——=

因为PE√5+l2

2

所以侧面与底面所成二面角的余弦值为避二ɪ，

故叵L叵≤

42

P

七、解答题

17.已知复数Z=(W+l)(〃L2)+(w-2)i(〃?eR),其中i为虚数单位.

(1)若Z是纯虚数，求实数”的值；

(2)若相=3,Z是关于X的实系数方程χ2+αχ+z,=o的一个复数根，求实数”，匕的值.

【正确答案】(1)1

(2)a=—8,⅛=17

【分析】(1)根据题意列方程组，即可求出机；

(2)判断出z=4+i和1=4.i是方程的根，以根与系数的关系即可求解.

【详解】(1)因为复数z=(m+l)(∕n-2)+(“一2)i(∕n∈R)是纯虚数,

所以［叫叫.2)=0,解得：i

∕H-2≠0

(2)当m=3时，z=(,x+l)(w-2)+(m-2)i=4+i.

因为Z是关于X的实系数方程f+αr+"=o的一个复数根，所以Z的共轨复数)=4T也是实

系数方程/+5+6=0的根，

所以(4+i)+(4-i)=—α,(4+i)*(4-i)=。，解得.α=-8,b=17

18.如图是古希腊数学家特埃特图斯(刀7"*仙心，约公元前417年一公元前369年)用来

构造无理数血，G，出，…的平面图形.根据图中数据解决下列问题.

4

1

d1C

（1）计算图中线段8。的长度；

（2）求/D4B的余弦值.

【正确答案】ɑ）BD=h+亚;（2）2由二技.

3TT

【分析】⑴由题知BC=Co=I,NBCDF进而在利用余弦定理求解即可；

（2）结合（1）得AB=I,AD=如,BD=∖∣2+y∣2»进而在aABO中利用余弦定理求解

即可.

TTTT3乃

【详解】解：（I）在488,BC=CD=1,ZBCo=—+—=一

244

由余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcosNBCD

=12+12-2×1×1×∣∣=2+√2,

,∙BD=∙∖∣2+∖∣2■

(2)在AABO中，AB=I,AD=Λ∣3,BD=∖∣2+血，

由余弦定理得COSNDAB=ABrAQ--Bq

IAB-AD

产+(后一μ+后26-显

2×l×∖β6

•/…2√3-√6

・・cosZ.DAB=-----------.

6

19.如图，在三棱锥P-ABC中，E,F分别为AC,BC的中点.

P

AC

R

(1)求证：EF〃平面PAB；

(2)若平面PACl.平面ABC,且PA=PC,ZABC=90o,求证：平面PEFi.平面PBC.

【正确答案】见解析

【详解】试题分析：(1)利用E,F分别是AC,BC的中点，说明EF〃AB,通过直线与平

面平行的判定定理直接证明EF〃平面PAB.

(2)证明PELAC,利用平面与平面垂直的判定定理证明PE_L平面ABC,通过证明

PE±BC.EFlBC,EF∩PE=E,证明BCJ_平面PEF,然后推出平面PEFJ_平面PBC.

证明：(1)VE,F分别是AC,BC的中点，.∙.EF"AB.

又EFC平面PAB,

ABU平面PAB,

,EF〃平面PAB.

(2)在三角形PAC中，VPA=PC,E为AC中点，

ΛPE±AC.

：平面PAC_L平面ABC,

平面PACn平面ABC≈AC,

.∙.PE，平面ABC.

ΛPE±BC.

又EF〃AB,ZABC=90o,ΛEF±BC,

又EF∩PE=E,

BCl5PffiPEF.

，平面PEFL平面PBC,

平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定.

20.已知向量α=(G,T)，⅛=(1,Λ)(Λ∈R).

(1)若4与b的夹角为锐角，求实数，的取值范围;

⑵已知A8=nuz+b,AC=a+mb,其中A,B,C是坐标平面内不同的三点，且A,B,

C三点共线，当2=%时，求机的值.

【正确答案】(1)∕l<G且2*-理；(2)/«=-1.

3

【分析】(1)根据”与6的夹角为锐角可知，〃为>0且“与b不共线，将坐标代入求解即可；

(2)由A,B,C三点共线可得益〃泥，根据向量平行的坐标表示列出方程再结合∕l=”,

即可求出机的值.

【详解】(1)因为“力=6-∕l,α与分的夹角为锐角，

所以"力>0，即JJ-∕l>0,解得；l<JL

当α∕∕b时,G>l=-1,B∣Jλ=--,此时，b==-^(>∕3,-l)=,

3IɜJ33

α与b的夹角为0,也满足am>。，但不满足题意，所以/1声-立，

3

综上，λ<ʌ/ɜ.S./≠—.

3

(2)由题知，AB=ma+b=(y∕3m,-m)+(l,λ)=(x∕3m+∖,λ-m),

AC=a+mb=(ʌ/ɜ,-1)+(/?/,λm)=(∖∣3+m,λm-∖)

UUUUUU

因为A,B,C三点共线，所以43//AC，

所以(yβιn+l)(Λzn-l)-(ʌ/ɜ+m){λ-〃7)=0.

当/1=加时，y∣3m+1=0或>一1=0.

当6〃+1=0时，A3=0，点A与点8重合，与题意矛盾；

当加一1=0时，〃7=1或机=-L

若帆=1,AB=AC,点B与点C重合，与题意矛盾；

若加=-1,AB=-AC满足题意.

综上，m=-↑.

21.在ABC中，角4B,C的对边分别为“,仇c,已知二AfiC的面积为3sin4,周长为4(至+1).

-B.sinB÷sinC=V2sinA.

(1)求。及CoSA的值；

（2）求cos（2A-qJ的值.

【正确答案】（1）。=4；cosA=∣.

（2）必I

18

【分析】（1）由己知及三角形面积公式可求bc=6,进而可求a,利用余弦定理即可得解CosA

的值；（2）利用同角三角函数基本关系式可求s%A,利用二倍角公式可求S加2A,cos2A的

值，进而利用两角差的余弦函数公式即可得解.

【详解】（1）S=LheSirL4=3sinΛ/.be=6

2

h+c=∖[2a・，