2024届全国高考数学一轮复习好题专项(正弦定理、余弦定理的应用)练习(附答案)

2024届全国高考数学一轮复习好题专项（正弦定理、余弦定理的应用）练习

一、基础练习

h

1.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在口48。中，已知a+b=----+-----,则口/BC的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

2.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在口Z8C中，已知a+b=----+-----，则口48。的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

3.（2021•辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰•康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他

引以为傲的研究成果之一.定理的内容是：三角形/8C的三条边长分别为a,b,c,分别延长三边两端，

使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点%,。2，片,4,G,坊仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆.现

有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）

28万32兀

亍

4.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”

气象观测仪器的垂直弹射高度：在C处（点C在水平地面的下方，O为CH与水平地面ABO的交点）

进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A,8两地相距100米，ZBAC=60°,其中A到。的距

离比8到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为N3C=30°,A地测得最高点H的仰角为

NOAH=45°,则该仪器的垂直弹射高度CH为（）

//

A.210米B.210百米C.(210+2100)米D.420米

5.（2021•山东省青岛第一中学高一期中）如图所示，为测量山高脑V,选择/和另一座山的山顶。为测量

观测点，从A点测得M点的仰角NMAN=60。，。点的仰角ZCAB=30°以及NMAC=75°,从。点测得

N/C4=60°,若山高80=100夜米，则山高跖V等于（）

AB

A.300米B.360米

C.240米D.320米

6.（2021•四川成都市•成都高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北

侧远处一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南30°方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南

60"方向上，俯角为45°，则该车的行驶速度为（）

D

A.15米/秒B.15石米/秒

C.20米/秒D.20百米/秒

7.（2021•山西临汾市•高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣

园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安

的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山

的坡度比为J7：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡A处测得NC4O=15°,从A处沿

山坡往上前进66m到达8处，在山坡8处测得NC8D=30。，则宝塔CO的高为（）

A.44mB.42mC.48mD.46m

—►—►1

8.（2021•浙江高一期末）在口48。中，AB=2,若BC,CA=-,则N4的最大值是.

2

9.（湖北高考真题））如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，至必处时测得公路北侧一山顶〃在

西偏北30。的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高度

CDm.

10.（宁夏高考真题）为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N

在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离，请设计一个方案，包括：

①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

二、提升练习

1.（2021•四川自贡市•高三三模（文））如图，在山脚N处测得山顶尸的仰角为a,沿倾角为£的斜坡向上

走6米到8处，在8处测得山顶尸的仰角为y（4、B、P、。共面）则山高P等于（）米.

sin。一夕)

6sinasin0-a)

C.岫”+处曾注圆

bsin/sin（/一万）

D.bsinj3+——J

sin（/-（z）

2.（2021•黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形N8CD中，4。=。。，/。=5百，

BC=-y/2,ZADC=\20°,/BCD=75°,则四边形N8CD的面积为

2

3.（2021•合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，

被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学、中学到大学的数

学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且

确实也是所有时代最伟大的数学家之一在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幕，并大斜累，

减中斜哥，余半之，自乘于上：以小斜累乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用

公式S=J（c2cr-（C-+a~b-）2（其中dh,c,S为三角形的三边和面积）表示.在口48。中，a,

b,c分别为角/、B、C所对的边，若。=3,且bcosC-ccos8=则匚Z8C面积的最大值为

3

4.（2021•河南高二月考（文））为测量山高MV.选择/和另一座山的山顶C为测量观测点.从4点测得N

点的仰角AMAN=30°,C点的仰角NCAB=60°以及NNAC=105°,从C点测得ZNCA=30。.已知山

高8C=150米.则所求山高为米.

5.（2021•齐齐哈尔市第八中学校高一期中）在口48。中，己知”2=―刊生一且

aSIH8-SIIL4

cos（4-6）+cosC=l-cos2C.

（1）试确定口48。的形状；

（2）求a一+c的取值范围.

b

7T

6.（2021・重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形Z88中，NDAB=/DCB=—,AB=3,BC=2,

2

NADC、乙48。€（0,乃），.

(1)求DB；

(2)求△D4C面积的最大值.

从①S/usc=h叵且48c为锐角；②AC?=AB、BC?-ABBC;③|诙—前卜彼这三个条件中任

选一个补充在上面的问题中并作答

7.（2021•全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点/处设立一个空气监测中心（大

小忽略不计），在其正东方向点8处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点。处，再

分别安装一套监测设备，且满足4。=2km,力8=4km,BD=BC,ZDBC^9Q°,设ND48=e.

c

（1）当。=2工，求四边形Z8CD的面积;

3

（2）当。为何值时，线段4C最长.

8.（2021江苏高一月考）缉私船在/处测出某走私船在方位角为30。（航向），距离为10海里的C处，并测

得走私船正沿方位角150°的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行逃往相距27海里的陆地D处，缉私船

立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获.（方位角：从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线

之间的水平夹角）

（1）若u=21,求缉私船航行的方位角正弦值和截获走私船所需的时间；

（2）缉私船是否有两种不同的航向均恰能成功截获走私船？若能，求v的取值范围，若不能请说明理由.

9.（2021・广东汕头市•高三二模）随着人们生活水平的不断提高，人们对餐饮服务行业的要求也越来越高，

由于工作繁忙无法抽出时间来享受美食，这样网上外卖订餐应运而生.现有美团外卖送餐员小李在A地接到

两份外卖单，他须分别到8地、。地取餐，再将两份外卖一起送到C地，运餐过程不返回/地B,C,D

各地的示意图如图所示，BD=2km,AD=2V3km.ZABD=120。,NDCB=45°,NCOB=30°,

假设小李到达反。两地时都可以马上取餐（取餐时间忽略不计），送餐过程一路畅通.若小李送餐骑行的平均

速度为每小时20千米，请你帮小李设计出所有送餐路径（如：ABTBDTDBTBC）,并计算各种送餐

路径的路程，然后选择一条最快送达的送餐路径，并计算出最短送餐时间为多少分钟.（各数值保留3位小

数）（参考数据:y/2«1.414.V3«1.732）

10.（2021•江苏扬州市•扬州中学高三其他模拟）如图，某生态农庄内有一直角梯形区域488,AB//CD,

AB1BC,48=3百米，8=2百米.该区域内原有道路ZC,现新修一条直道。P（宽度忽略不计）,

7T

点尸在道路ZC上（异于A,C两点），NBAC=—，ZDPA=0.

（1）用。表示直道QP的长度；

（2）计划在尸区域内种植观赏植物，在口8。区域内种植经济作物.已知种植观赏植物的成本为每平

方百米2万元，种植经济作物的成本为每平方百米1万元，新建道路。P的成本为每百米1万元，求以上

三项费用总和的最小值.

三、真题练习

1.（2021•全国高考真题（理））已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且

/与尸6=60。,|「用=3|尸闾，则C的离心率为（）

A.旦B.叵C.币D.VB

22

2.（2021•全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86

（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有4B,

C三点，且4B,C在同一水平面上的投影4,8',。满足N4C8'=45°,ZA'B'C=60°.由。点测得

8点的仰角为15°,与CC'的差为100；由8点测得/点的仰角为45°,则4C两点到水平面48'。'

的高度差44'-CC'约为（6=1.732）（)

A.346B.373C.446D.473

3.（2021•全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛

的高.如图，点E,H,G在水平线4C上，DE和尸G是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，

称为“表高”，EG称为“表距”，GC和E”都称为“表目距”，GC与即的差称为“表目距的差”则海岛的高

AB=（）

表高x表距表高x表距

A.+表高B.

表目距的差表目距的差一

表高x表距表高x表距一

C.+表距D.

表目距的差表目距的差一

4.（2021•浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角

形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）.若直角三角形直角边的长分别是3,4,记大正方

形的面积为5,小正方形的面积为邑，则率=.

5.（2021・北京高考真题）已知在口48。中，c=2bcosB,C=^-.

（1）求8的大小；

（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使□月存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度.

①c="＞：②周长为4+26：③面积为义^^逆；

4

6.（上海高考真题）如图，，，&C二地有直道相通，.18=5千米，XC=3千米，BC=4千米.现甲、

乙两警员同时从H地出发匀速前往8地，经过r小时，他们之间的距离为了⑺（单位：千米）.甲的路线是

AB,速度为5千米/小时，乙的路线是XC3,速度为8千米/小时.乙到达8地后原地等待.设，=4时乙

到达。地.

（1）求4与/（G）的值；

（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当4时，求了⑺的表达式，并判断了G）在匕刀上

得最大值是否超过3?说明理由.

参考答案

一、基础练习

1.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在口48。中，已知a+b=，一+」一，则口23。的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

【答案解析】

先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.

【过程详解】

解：由正弦定理得sinN+sinB=@R0■+期2=COSN+COS8,

tanAtanB

整理得：sinA-cosA=-sin5+cosB

即行sin（N,又因为48e（0,;r）,所以e

"NT

所以—移项得：Z+8=',所以三角形一定为直角三角形.

故选：B

2.（2021•江西省万载中学高一期末（理））在口力8。中，已知a+b=一乙+/一,则□ZBC的形状一

tanAtanB

定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形

【答案】B

【答案解析】

先通过“边化角”，再通过辅助角公式，即可求出答案.

【过程详解】

e.——„sinJsin5,八

解：由正弦定理得sin/+sin8=----+-----=cosJ+cos5,

tanAtanB

整理得：sin力一cosZ=—sin3+cos8

兀713万

即J^sin］力一（=-V2sinB,又因为48e（0,乃），所以（/一.

G了彳

7t3zr

所以（4-7）=—移项得：4+8=1,所以三角形一定为直角三角形.

故选：B

3.（2021•辽宁高三其他模拟）英国数学家约翰•康威在数学上的成就是全面性的，其中“康威圆定理”是他

引以为傲的研究成果之一.定理的内容是：三角形"8C的三条边长分别为a,b,c,分别延长三边两端，

使其距离等于对边的长度，如图所示，所得六点4，。2,4,4，£，坊仍在一个圆上，这个圆被称为康威圆.现

有一边长为2的正三角形，则该三角形生成的康威圆的面积是（）

28万32%

C.——D.----

33

【答案】C

【答案解析】

由“康威圆定理”可知的康威圆圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心，据此可得圆

的半径，进一步可求其面积.

【过程详解】

康威圆的圆心即为三角形内切圆的圆心，正三角形内切圆的圆心即为中心,

故选:C.

4.（2021•黑龙江哈尔滨市•哈尔滨三中高三其他模拟（理））某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”

气象观测仪器的垂直弹射高度：在。处（点C在水平地面Z8O的下方，O为CH与水平地面18。的交点）

进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点A,8两地相距100米，NB4C=60。,其中A到。的距

离比8到C的距离远40米.A地测得该仪器在C处的俯角为NQ4C=30°,A地测得最高点H的仰角为

ZOAH=45°,则该仪器的垂直弹射高度CH为()

A.210米B.210百米C.(210+210JJ)米D.420米

【答案】C

【答案解析】

在口48。中利用余弦定理求出ZC,进而在△NOC中可求出O4OC,再在△40〃中求出。〃，即可得

解.

【过程详解】

设8C=x,所以NC=x+40,在口48。中，ABAC=60°,48=100,所以，

x2-100:+(x+40)--2x100x(x+40)xcos60,,即x=380,AC=x+40=420.

在mA4O。中，NQ4C=3O°,所以OC=210,W=21OG，又在火ZDZO”中，NOZ"=45°,所

以OH=OA=2105因此C〃=OC+O"=210+210g.

故答案为：C.

5.(2021•山东省青岛第一中学高一期中)如图所示，为测量山高初V,选择4和另一座山的山顶C为测量

观测点，从A点测得M点的仰角NMAN=60°，。点的仰角ZCAB=30°以及NMAC=75°,从。点测得

NA/C4=60°,若山高8c=100五米，则山高上W等于()

A.300米B.360米

C.240米D.320米

【答案】A

【答案解析】

在及中，可求得4C,根据正弦定理，在VC4M中，可求得在RtAAMN中,即可求得答案.

【过程详解】

因为在H/ZXC48中，5C=100V2>ZCAB=30°,

所以力。=-^^=200式，

sin30°

在VC4/中，ZAMC=\S00-ZMCA-ZMAC=45°,

由正弦定理得：———=———,即200&=卫二,

sinZAMCsin/.MCAsin450sin60°

所以/M=200jJ，

在RtA/MN中,AMAN=60°,

所以MTV=sin600=200百xJ=300（米）

2

故选：A

6.（2021•四川成都市•成都高一期中）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西匀速行驶，在公路北

侧远处-一座高900米的山顶D的测得点A的在东偏南30°方向上过一分钟后测得点B处在山顶地的东偏南

60°方向上，俯角为45°，则该车的行驶速度为（)

D

A.15米/秒B.15石米/秒

C.20米/秒D.20百米/秒

【答案】A

【答案解析】

根据题意可得Z8=900,再除以时间即可得解.

【过程详解】

根据题意CD=900,由8处在山顶俯角为45°，

所以BC=900,

由/东偏南30°，8东偏南60°，

所以N8ZC=30°,ZACB=60'—30°=30°,

所以口48。为等腰三角形，所以力8=900,

由婴=15,所以速度为15米/秒，

故选：A

7.（2021•山西临汾市•高三其他模拟（文））说起延安革命纪念地景区，可谓是家喻户晓，它由宝塔山、枣

园革命旧址、杨家岭革命旧址、中共中央西北局旧址、延安革命纪念馆组成.尤其宝塔山，它可是圣地延安

的标志，也是中国革命的摇篮，见证了中国革命的进程，在中国老百姓的心中具有重要地位.如图，宝塔山

的坡度比为近：3（坡度比即坡面的垂直高度和水平宽度的比），在山坡A处测得NC4D=15°,从A处沿

山坡往上前进66m到达8处，在山坡8处测得NC8Z）=30°,则宝塔8的高为（)

A.44mB.42mC.48mD.46m

【答案】A

【答案解析】

由已知可得BC=AB=66,在色BCD中利用正弦定理可求得.

【过程详解】

由题可知NC4D=15°,ZCBD=30°,则N/C8=15°，

BC=AB=66,

万3

设坡角为6,则由题可得tan。="，则可求得cos。=一，

34

7T

在△8CD中，ABDC=O+-,

2

CDBCCD_66_66

由正弦定理可得sin30。=.（二,%），即丁=嬴）=丁，解得。=44,

sint/H———

I2）24

故宝塔8的高为44m.

故选：A.

8.（2021•浙江高一期末）在口48C中，AB=2,若册•画二工，则N4的最大值是

2

【答案】-

4

【答案解析】

由前•第=」,结合向量数量积的定义及余弦定理可得/+〃=3,进而可求得cosZ="+4-a-,而

24b

要求NN的最大值，只要求解cos/的最小值即可

【过程详解】

---------1

解：因为8C・C4=—,

2

所以HcosC=-1,由余弦定理得ab•矿+"-4,得/+/=3,

22ab2

A2+4—Q2/+4(3/)

由余弦定理可得cosA=

4b4b

=^^■=-+—>2./--=—,当且仅当g=4,即6=正时取等号，此时cosZ取得最小值,

4b248'24b224b2

IT

根据余弦函数"COSX在(0,.)上单调递减可知，此时角A取得最大值为“

7C

所以4的最大值是7,

71

故答案为y

9.(湖北高考真题))如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，至必处时测得公路北侧一山顶〃在

西偏北30。的方向上，行驶600nl后到达B处，测得此山顶在西偏北75。的方向上，仰角为30。，则此山的高度

CD=m.

【答案】100V6

【答案解析】

由题设可知在中，NClS=30"NzL8C=105。,由此可得NXCB=45一，由正弦定理可得

CB_600

sin30°sin45-；解之得C8=3000,又因为NC3Z)=30'所以CO=C5tan30'=100、K,应填

IOOA/6.

10.（宁夏高考真题）为了测量两山顶M,N间的距离，飞机沿水平方向在A,B两点进行测量，A,B,M,N

在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A,B间的距离，请设计一个方案，包括：

①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.

【答案】见答案解析

【答案解析】

要求长度，需要测量的数据有：A点到M,N点的俯角的,伉，最后通过正弦定理得到最终结果.

①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角％,凡；

B点到M,N的俯角。2，为；A,8的距离d......3分

②第一步：计算AM.由正弦定理4M=.即”.,

sin（a1+a2）

第二步：计算ZN.由正弦定理⑷V=.要咤

sig-61）

第三步：计算MN.由余弦定理MN=y/AM2+AN2-2AMxANcos^-

练提升

1.（2021•四川自贡市•高三三模（文））如图，在山脚/处测得山顶P的仰角为a,沿倾角为少的斜坡向上

走6米到8处，在8处测得山顶尸的仰角为y（A,B、P、0共面）则山高尸等于（）米.

6sinasin(/-/?)

sin(y-a)

Bsin(y-7?)

bsinasin(y-a)

6sin/sin(a-/7)

C.bsinj3+

sin(/-/7)

.6sin/sin(y-/?)

D.bsin0+------；~~-

sin(y-a)

【答案】A

【答案解析】

已知仰角为a，48的倾斜角/8/0=/，在8处测得山顶尸的仰角为/,用正弦定理可计算出高度.

【过程详解】

由题意可知，NPAQ=a,ZPBC=/,

ZPAB=a-j3

分别在R£L4P0,R仁BPC中,

ZAPQ=^-a,4BPQ=；-y,

所以NAPB=NAPQ-NBPQ=y—a,

又sinNABP=sin[7i-QPB+ZBAP)]

=sin(ZAPB+NBAP)=sin。-夕)，

N5AP

在△/BP中，由正弦定理可得

sinZAPBsinZ.ABP

即b=.4P

sin(7-a)sin(/-/?)

♦pJsin(y—夕)

sin(7-a)，

在RU/P。中，

6sinasin(7-0

PQ=APsina

sin(7-a)

故选：A.

2.（2021•黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（理））在如图所示四边形/BCD中，AD=DC，AC=56

5C=-V2,ZJDC=120°,NBC。=75°,则四边形48C。的面积为

2

【答案】1073

【答案解析】

TT7T

由已知条件可得5,NDCA=—,/ACB=一,应用三角形面积公式求S△彳比,,即

64

可求四边形4SCQ的面积.

【过程详解】

AC

AD=DC=—57T

由题意，知：c.ZADC,且/。CZ=—,NACB=一,

2sin--------64

2

：.S.DC=-DC-AC-sinZDCA,SACB=-ACBCsinZACB,

四边形NBC。的面积S“c+S4B=gx5x5Gx；+；x5jix竽x曰=106.

故答案为：10月

3.（2021•合肥一六八中学高三其他模拟（文））南宋数学家秦九韶著有《数书九章》，创造了“大衍求一术”，

被称为“中国剩余定理”.他所论的“正负开方术”，被称为“秦九韶程序”.世界各国从小学、中学到大学的数

学课程，几乎都接触到他的定理、定律和解题原则.科学史家称秦九韶：“他那个民族、他那个时代，并且

确实也是所有时代最伟大的数学家之一”.在《数书九章》中提出“三斜求积术“，即以小斜靠，并大斜球，

减中斜'暴，余半之，自乘于上：以小斜寨乘大斜帮，减上，余四约之，为实：一为从隅，开平方得积可用

2,2_12

-c2a2-（-~色二乙）2（其中“，b,c,S为三角形的三边和面积）表示.在口48。中，a,

4L2J

b,c分别为角/、B、C所对的边，若。=3,且bcosC—ccos8=3二则口/BC面积的最大值为.

3

【答案】期

4

【答案解析】

利用余弦定理化简已知条件得到仇c的关系式，将b,c的关系式代入所给的面积公式中，将面积S转化为关

于c的函数形式，根据二次函数的对称轴求解出面积的最大值即可.

【过程详解】

h「2c2a2+b2-c2a2+c2-b22c2

因为bcosC-ccos8n=——，所以------------------------=——，

32a2a3

A2_22C2

所以£__JC=/，所以/=3d，

33

|l「c2.+9-3c2、21F/2A\2243-

所以舟o存="［%-（）卜由［一（0-9）+丁］,

所以当,2=9时，S”有最大值为（S=?¥=乎，

故答案为：型.

4

4.（2021•河南高二月考（文））为测量山高MN.选择4和另一座山的山顶C为测量观测点.从N点测得N

点的仰角/朋ZN=30°,C点的仰角NC48=60°以及4%C=105°,从C点测得NN。=30。.已知山

高BC=150米厕所求山高儿W为米.

【答案】25m

【答案解析】

在R/QZ8C中可求得ZC=100G，再在△/(7%利用正弦定理可求出©V=506，即可求得山高.

【过程详解】

由题，在R/DNBC中，8c=150,NC4B=6(T,,-,JC=10073.

在△XCN中，NNAC=T05°,NNO=30°,则NZNC=45°，

AN_10073

ANAC

由正弦定理可得，即丁=6，解得NN=50太，

sinZNCA一sinNANC

2T

又在RtAAMN中,/MAN=30。，：.MN=25瓜,

所以所求山高MTV为256米.

故答案为：256.

5.(2021•齐齐哈尔市第八中学校高一期中)在口48。中，已知”2=———且

asin5-sia4

cos(?l-5)+cosC=l-cos2C.

(1)试确定口/BC的形状；

(2)求牛的取值范围.

b

【答案】(1)直角三角形；(2)(1,72).

【答案解析】

（1）根据正弦定理化简整理得到〃=/+,2即可判断三角形的形状；（2）由正弦定理将陪表示成

b

siM+cos4,接着根据三角函数的知识求解取值范围即可.

【过程详解】

解：（1）由正弦定理得："2=—竺，

ab-a

所以/一/=岫①

因为cos(Z-6)+cosC=l-cos2C,

所以cos(/-5)-cos(4+5)=2sin2C.

所以sirL4sin5=sin2C，ab=c2②

把②代入①得2=/即〃=。2

所以口/8C是直角三角形

7FTTTT

(2)由(1)知8=上，所以4+C=—,C=一—A

222

所以sinC=sin(5-Z)=cosZ.

根据正弦定理得一；一=----：------=SIIL4+COS/=J2sin/+一

bsinBI4J

因为所以0<4<一,—<A-\—<一

4442

<sin[Z+()<1,1<V2sin[4+£)<V2

即管的取值范围是（1,3）.

7F

6.（2021・重庆市长寿中学校高三其他模拟）如图四边形ABCD中，NDAB=NDCB=—,AB=3,BC=2,

2

NADC、8Ce（O,乃），.

D

（1）求DB；

（2）求△R4C面积的最大值.

从①口叱=¥且48c为锐角；@AC2=AB2+BC2-ABBC;③|诙一就卜甘这三个条件中任

选一个补充在上面的问题中并作答

【答案】（1）条件选择见答案解析，80=2亘；（2）友.

312

【答案解析】

（1）选①：利用三角形的面积公式求出sin48C,结合46c为锐角求出48c的值，利用余弦定理

求出4C,再利用正弦定理可求得8。的长；

选②：利用余弦定理计算得出cos乙48。的值，结合43c的取值范围可求得43c的值，利用余弦定

理求出NC,再利用正弦定理可求得8。的长；

选③：求出ZC,利用余弦定理计算得出cosNZ8C的值，结合48c的取值范围可求得48c的值，

再利用正弦定理可求得80的长；

（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得/D-CD的最大值，利用三角形的面积公式可得结果.

【过程详解】

（1）选①，S,„=-ABBC-sinZABC==>sinZABC=-1

△A"灰r222

TT

•••48C是锐角，.,.NZ8C=一,

3

由余弦定理可得月。2=462+8。2一245・8。（；05/民4。=7，则/C=J7，

TT

・・・NDAB=ZDCB则BD是四边形ABCD的外接圆直径，

2

BD是□Z8C的外接圆直径，；.BD=———=J7x2=2应；

sinNABC百3

选②:八―—合川

2

VZ^5CG(O,^),:.ZABC=^,

由余弦定理可得Z。2=482+5。2一245・3。(；05/8工。=7，则NC=J7,

71

・・・/DAB=/DCB=-,则BD是四边形ABCD的外接圆直径，

2

BD是口ABC的外接圆直径，：.BD=———=J7x-%=冬包；

sinZABCJ53

AB2+BC2-AC2]_

选③：网-明=|引=V7由余弦定理可得cosNJBC=

2ABBC2

•.•48CG(O/),;/8C=W，

7T

v/DAB=ZDCB=-,则BD是四边形ABCD的外接圆直径，

2

BD是口ABC的外接圆直径，；.BD=———=J7x2=2叵.

sinZABCG3

2九

(2)由⑴AC=S，ZADC=—,

3

在A4C。中，由余弦定理可得

7=AC?=AD2+CD2-2ADCDcosZADC=AD2+CD2+AD-CD>3AD-CD，

7

所以，ADCD<-,当且仅当4。=CD时，等号成立.

3

国叶c<1J~6_7拒

达IU匕，oK-x-x=•

A23212

7.（2021•全国高一专题练习）如图，为了检测某工业区的空气质量，在点力处设立一个空气监测中心（大

小忽略不计），在其正东方向点8处安装一套监测设备.为了使监测数据更加准确，在点C和点。处，再

分别安装一套监测设备，且满足49=2km,48=4km,BD=BC,ADBC=90°,设NDAB=6.

C

D

AB

24

(1)当。=—,求四边形Z3CD的面积；

3

(2)当。为何值时，线段ZC最长.

3

【答案】(1)14+2百；(2)夕=彳乃时，4C最长为2+4JL

【答案解析】

(1)利用余弦定理求出8Z)=2j7=8C，即得解;

sin°sin。

(2)先求出80=2,5—4cos(9，设4&)=a>ina=忑彳°，cosZABC

j5-4cos6'

利用余弦定理求出上=36+16岳m(吒)即得解.

【过程详解】

今2万