北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 数列求和

第2课时数列求和

学习目标核心素养

1.能由简单的递推公式求出数列的通1.通过求解数列的前n项和培养数学运

项公式.(重点)算素养.

2.掌握数列求和的基本方法.(重点、2.通过学习数列求和的方法提升逻辑

难点)推理素养.

自主预习揭新制

新知初探

常见数列求和方法

阅读教材Pb5〜Pl6例7以上及Pg〜P"例5以上部分,完成下列问题.

(1)公式法

①等差数列的前n项和公式：

S„=^nCai+a,,)=nai+|n(n—l)d.

②等比数列前n项和公式：

ai(l-q")ai—a„q

—:-------=—:------->q#l，

l-q1-q

｛na1，q=L

③前n个正整数平方和：

12+22+3+..+/==+1*±1).

6

(2)分组求和法

一个数列的每一项如果可以平分成两个或多个等差数列或等比数列，那么可以通过适当分组,进而利

用等差、等比数列求和公式分别求和,从而得到原数列的和.

(3)裂项相消法

数列中的每一项可以平分成前后可以相互抵消的两项之差的求和方法.

(4)错位相减法

由一个等差与一个等比数列对应项乘积构成的数列，可以利用错位相减法转化成等比数列求和.

思考：(1)已知数列｛a,J是等差数列，瓜｝是等比数歹U,求数歹ij｛a“+b“｝前n项和应用什么方法？

［提示］分组求和法.

(2)已知a„=---二,求数列｛a,,｝的前n项和应用什么方法？

nn+1

［提示］裂项相消法.

厂■初试岂

ii-i—1I—1I-----1--------J^干()

1X22X399X100中J')

A幽B变

100100

「98n197

C,99D,函

B烟福磊F；一击，

所以原式=1+[(1-J+…+儒—击)]=1+(1一高=需,]

2.数列｛n2"｝的前n项和为()

A.(n-l)2n+l+2B.n•2"+1+2

C.(n-1)•2"+2D.n•2n+2

A[设数列｛n♦2"｝的前n项和为S“则S“=1X2+2X2?+3X23+…+nX2",①

n+1

所以2sli=1X22+2X2,+…+(n—1)X2"+nX2.0

由②一①得

S„=nX2"+1-(2+22+23+-+2")

+l+

小尹一了各个.2"-2"'+2.]

1-z

3.数列｛aj的通项公式为a“=2"+n,则其前n项和S“=.

2"+1-2+^n(n+l)[S„=2'+l+22+2+23+3H-----F2"+n

=(2+22+23+-+2")+(1+2+3+…+n)

——"+Jn(n+1)=2"*l—2+-n(n+l).]

4-把(2n-I；2n+1)裂为两项，以便求数列[西二壶局的和，则(2n-l)(2n+1)

ip______q[_i_:

2(2n—l2n+lJL(2n-l)(2n+1)

If-J___1-

2k2n-l2n+l

合作探究。提素养

———-----------------------------------------------------------------1■n**-------------------------------------------------------------------------------

国类型1分组求和法

【例1】已知人｝是等差数列，瓜｝是等比数列，且b2=3,b,=9,a产bi,ai4=b

⑴求｛a“｝的通项公式；

(2)设c„-an+b,„求数列｛cj的前n项和.

［解］(D设等差数列｛a,,｝的公差为d,等比数列｛b,.)的公比为q,

b2=biq=3,fb)=l,

由z得

b3=biq'=9［q=3.

.•.b„=b.q"-1=3n",,

又a】=bi=l,

1"|

an=b1=3'=27,

；.1+(14—l)d=27,解得d=2.

/.an=ai+(n—l)d=l+(n—1)X2=2n—1(n=l,2,3,••,).

⑵由⑴知a“=2n—1,b"=3"-’，因此cn=a“+b”=2n—1+3"，

从而数列｛c„｝的前n项和

S0=l+3+“・+(2n—l)+l+3+“・+3nT=nQ+”D+=^=

爆律方法

分组转化求和法的应用条件和解题步骤

(1)应用条件.

一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成.

(2)解题步骤

分析逋不公式或对it货公式适当交手.

分为可求和数列相加的彩式

{分累对分组后的数列求前H项和)

相加得原数列的密II项和

。跟踪训练

1.等差数列｛a｝中，a2=4,ai+a7=15.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)设bn=2an—2+n,求bi+bz+b3H----(b.的值.

［解］(D设等差数列｛a,,｝的公差为d.

a,+d=4,a1=3,

由已知得解得

(ai+3d)+(ai+6d)=15,d=l.

所以a„=ai+(n—l)d=n+2.

n

(2)由(1)可得bn=2+n,

所以bi+bz+ba+…+bio=(2+1)+(2?+2)+(2'+3)+…+(2l0+10)

=(2+22+23+-+2W)+(1+2+3+-+10)

2(1-210)(1+10)X10

1-22-

=(2"-2)+55

=2"+53=2101.

幺型2/错位相减法求和

【例G—已知｛a,J是递增的等差数列,a“a」是方程＞-5x+6=0的根.

(1)求｛&,｝的通项公式;

(2)求数列11的前n项和.

2

［解］(1)方程X—5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.

设数列a｝的公差为d,则a-a2=2d,故d=g,

31

从而a,=2,所以⑸｝的通项公式为3„=^+1.

(2)设榭的前n项和为S„,由⑴知会=炭,

则Sn=£+^?H---n+1n+2

i2'i-I,

两式相减得;Sn='+Q?+…+酒j-5著—习g著,所以Sn=2n+4

展件力注

利用错位相减法的一般类型及思路

(1)适用的数列类型：｛a.bj,其中数列｛aj是公差为d的等差数列，｛bj是公比为qWl的等比数歹(］.

⑵思路:设S„=aibi+a2b2H------Fa„b„(*),

则qS„=aib2+&b3H-----Fa„-ib„+a„b„+i(**),

(*)—(**)得：(1—q)S„=aibi+d(b24-b3H-----Fb„)—a„b„+b就转化为根据公式可求的和.

［提醒］用错位相减法求和时容易出现以下两点错误:

(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号.

(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n-1项和当作n项和.

@跟踪训练

2.已知a„=-求数列⑸｝的前n项和S,,.

［解］Sn=j+j+1T------Fn—1,n

ooJ

L-l,2n—1,n

养“=『+三+

3"

两式相减得

§Sn=§+『+可-I于一尹

11n

方—7^一打'

_3］n_32n+3

=

助r以sn~4X3^~2xT4-TxF,

幺型3裂项相消法求和

［探究问题］

1.观察下列两组代数式，会发现什么特点？你能给出一般式吗?

111

--与--

2X323

11

_-L与.--

3X434

1_111_11

［提示］2X3=2-3,3X4=EF

心111

一般式：n(n+l)=n-n+T-

2.观察下列两组代数式，你能发现它们之间的关系吗？你能用一个表达式表示其规律吗？

(,1)、--1--与」----1

'"2X4^24'

/、1」1

⑵而与5一斤

［提示］/5T)短噢-8

表达式：而为=鉴_4)

［例3］设数歹i」｛aj满足a1+3az+…+(2n—l)a.=2n.

⑴求｛aj的通项公式;

(2)求数列的前n项和.

思路探究：(1)利用｛4,｝满足的关系式,通过消项求得数列的通项公式；(2)观察数列的结构特征,利用

裂项相消法求得数列的前n项和.

［解］⑴因为ai+3a2+…+(2n—l)a“=2n,

故当n22时,ad3a2+…+(2n—3)an-i—2(n-1),

2

两式相减得(2n-1)&=2,所以a“=7j---r(n>2),

2n—1

又由题设可得a,=2,满足上式，

2

所以｛aj的通项公式为a„=T-

⑵设的前n项和为Sn.

山(1)知2n+l=(2n+l)(2n-1)=2n一1-2n+Y

e1.11.111_2n

则s“=i蓝+1号+…+左=1一诟不T2n+T=2n+T-

［母题探究］

a—

1.(变条件)把例3中数列｛aj满足的条件，+3a2+…+(2n—l)an=2n”换为anan+i=2an4-ian,ai

=1"，试解答例3的⑴⑵题.

［解］(1)由a“一ae=2a.+冏得」一一工=2,所以数歹是以2为公差，以上=1为首项的等差数歹U,

an+ianlanJai

故———1~2(n—1)=2n—1,所以an—---r.

anaiZn_1

⑵设｛赤不r｝的前n项和为S,"由(D知2n+l=(2n-l)(2n+l)=2(2n-l—2n+l)'则S"=2

(1,11,,11A

飞+…+罚

29

若数列｛bn｝的前n项和为S„,S„>求n的最小

值.

22

［解］由例3的解析可知an=-----r,故一=2n—1,

zn1an

4科+1；m-1日g-k)，

所以SN=E(小一］+乖一小H---卜4211+1—q2n-1)=-(^20+1—1),

291______?9899

由S”〉歹得2(q2n+1—1)解得n>_2_,

又nGN+,故n的最小值为450.

理律方法

常见的裂项方法(其中n为正整数)

⑴n(n+k)-/nn+k)

1彳11)

⑵(2n-1)(2n+1)=E(2n-1-2n+1)

⑶

k-n(n+l)1-(n+2)=211n(Mn+_l)__(n+li)_(n+2)1J'

⑷雨+-=\g_护

(5)log.(l+；)=log“(n+l)—logan.

［提醒］利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩

两项,后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之

积与原通项公式相等.

匚海堂小结A

求数列的前n项和,一般有下列几种方法.

(1)错位相减法

适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(2)分组求和法

把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

(3)裂项相消法

把一个数列的通项公式分成两项差的形式,相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.

(4)奇偶并项法

当数列通项中出现(-1)"或(-1)"+'时，常常需要对n取值的奇偶性进行分类讨论.

(5)倒序相加法

例如,等差数列前n项和公式的推导方法.

当堂达标*国皿基

1.判断正误(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前n项和时应用S.=迎岁较为合理.()

⑶数列{aj是周期为k的周期数列,那么S.=mSk(m,k为大于