2022-2023学年浙南名校高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙南名校联盟高二(下)期末数学试卷

一、单选题(本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)

1.已知集合4={x|(x+1)。-2)<0},B={X|2XT21},则4DB=()

A.(1,2)B.[1,2)C.(-1,2)D.(0,2)

2.已知复数z满足(l+2i)z=4+3i,则复数z的实部和虚部之和为()

A.3B.V5C.1D.—1

3.已知n是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题是真命题的为()

A.若mJ",九ua,则小〃。

B.若m1a,m//n,则n1a

C.若m〃a,n//a,则rn〃n

D.若aJLS，aC\=m,nIm,则n_La

4.已知五=(l,x),至=(3,-4)，若向量五在向量肚的投影向量为(一|俗，则x=()

A.2B.—2C.1D.—1

5.已知函数/(%)的部分图象如图所示，则/(%)可能为()

A./(%)=sinx+ln(x+V%24-1)B./(%)=sinx-ln(x+V%2+1)

C./(%)=cosx4-ln(x+Vx2+1)D./(%)=cosx-ln(x+Vx2+1)

6.已知直线丫=a%+b与函数f(x)=不)%相切，则上)

A.有最大值eB.有最小值-eC.有最大值工D.有最小值一工

ee

7.过点G(2,2)作两条直线分别交抛物线f=2x于4,B两点，记直线GA,GB的斜率分为七,

k2,若心+0=5,七・七=-2,则直线4B的方程为()

A.2x+9y+12=0B.2x-9y-12=0

C.4%+18y+13=0D.4x-18y-13=0

8.已知a=1.0厂10°,b=sin^r,c=-,则()

JLU7T

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

二、多选题(本大题共4小题，共20・0分。在每小题有多项符合题目要求)

9.某校开学初组织新生进行数学摸底测试，现从1000名考生中，随机抽取200人的成绩(满

分为100分)作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为

[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].则下列说法正确的是()

频率

组距

405060708090100成绩/分

A.a=0.2

B.估计这次考试的75%分位数为82.4

C.在该样本中，若采用分层随机抽样的方法，从成绩低于60分和90分及以上的学生中共抽

取10人，则应在[50,60)中抽取2人

D.若成绩在60分及以上算合格，估计该校新生成绩合格的人数为860人

10.若函数/'(x)=sinx-acosx满足/(x)+/1(与-x)=0,将函数/(x)图象上所有点的横坐

标缩短到原来的)再向左平移g个单位，得到函数g(x)的图象，则下列说法错误的是()

LJ

A.a=?B.g(x)为奇函数

C.g(x)关于直线x=-震对称D.g(x)在区间(为)上单调递增

11.已知半径为1的球内切于半径为r,高为八的一个圆锥(球与圆锥的侧面、底面都相切)，

则下列说法正确的是()

A./港=2

B.圆锥的体积与表面积之比为定值

C.圆锥表面积的最小值是87r

D.当圆锥的表面积最小时，圆锥的顶角为60。

222

12.已知F[(-c,0),尸2(。,0)(c＞0)是椭圆G：滔x+3v=1(%＞瓦＞0)与双曲线tC2：混x一

看=1@＞0也＞0)共同的焦点，ei，02分别为Q,。2的离心率，点M是它们的一个交点，

则以下判断正确的有()

A.A&MFz面积为瓦历

B.若"MF?=。，则e】e(sing,1)

C.若“MF2=亭，则0送2的取值范围为[?,+8)

D.若4F1MF2=等则或+域的取值范围为(2,+8)

三、填空题(本大题共4小题，共20.()分)

13.在。-令11的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中所有各项的系数和为

14.若直线ky=kx+l截圆C2：(x-2)2+y2=5所得弦长|4B|=4,则/c的值为.

15.设max{a,b}=若数列{5}前n项和为之,a6=16,an+1=max(an+3,2an},

则S7=.

16.已知实数x,y满足e*=+/ny),则孙的取值范围为.

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题10.0分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，P4_L平面力BCD,四边形ABCC为等腰梯形,4B〃CC,AD=CD=

PA=^AB,点£为棱PD的中点.

(1)证明：AELPB,

(2)求平面4EC与平面ABC所成角的余弦值.

P

AB

18.(本小题12.0分)

在△ABC中，内角4B,C的对边分别为a,b,c,已知塔=殁铝+1.

bcosB

(1)若C=[,求4B；

(2)求扁的取值范围・

19.(本小题12.0分)

已知〃为数列｛即｝的前n项积，且%=1，｛%｝是公比为:的等比数列，设垢=l+log2an.

an乙

(1)求证：数列｛%｝为等比数列，并求｛%｝的通项公式；

(2)记数列｛驾处｝的前n项和为又，求使%-bn<2023的最大整数n.

20.(本小题12.0分)

北京时间4月30H晚，2023年国际象棋世界冠军赛在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳闭幕，来自温

州的国际象棋男子特级大师丁立人最终击败涅波姆尼齐亚，加冕世界棋王.这是中国棋手首次

夺得国际象棋男子世界冠军.某小学为了提高同学学习国际象棋的兴趣，举行了二年级国际象

棋男子团体赛，各班级均可以报送一支5人队伍.比赛分多轮进行，每轮比赛每队都需选定4名

选手，每轮比赛选手可不同.比赛没有平局，每轮比赛结束，得胜班级得1分，反之0分.晋级赛

规则如下：第一轮随机为各队伍匹配对手；从第二轮比赛开始，积分相同的队伍之间再由抽

签决定对手.具体比赛程序如图.这样进行三轮对抗之后，得2分及以上的班级晋级，反之淘汰.

晋级的队伍再进行相应的比赛.

第一轮

获胜失败

第二轮1分队伍0分队伍

获胜失败获胜失败

第三轮2分队伍(1分队伍)0分队伍

(1)二(1)班选派了4,B,C,D,E五名选手，在第一轮比赛中，已知选手4参加了比赛，请

列举出该班级所有可能的首发队员的样本空间；

(2)现共有8支参赛队伍，且实力相当，二(3)班在第一轮比赛输给了二(4)班，则两队在第三

轮重新遇上的概率为多少？

(3)某班级在筹备队员时，班内已推选水平较为稳定的选手4名，很多同学纷纷自荐最后一个

名额.现共有5名自荐选手，分别为五级棋士2名、六级棋士2名和七级棋士1名，五、六、七级

棋士被选上的概率分别为0.8,0.6,0.5,最后一名选手会在这5名同学中产生.现任选一名自

荐同学，计算该同学被选上的概率，并用X表示选出的该同学的级别，求X的分布列.

21.(本小题12.0分)

已知双曲线C：★一《=l(a>0,6>0)离心率为2,公分别是左、右顶点，点M是直线

x=l上一点，且满足31。必帆4遇2=tanNM4Ai，直线M&，分别交双曲线右支于8,

C两点.记△M&A?，AMEC的面积分别为a,S2.

(1)求双曲线C的方程；

(2)求3的最大值.

22.(本小题12.0分)

已知函数/(x)=ex(2x2-%—1).

(1)求/(x)的单调区间；

(2)若g(x)=|f(x)|-a(a>0)有3个不同的零点与<x2<x3.

(i)求实数a的取值范围；

(ii)求证：x2+x3<2.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A=(x\(x+l)(x-2)<0}={x|-1<x<2}>

B={x|2x-1>1]={x\x>1],

故4nB=[1,2).

故选:B.

解一元二次不等式和指数不等式，求出4B,从而得到交集.

本题考查交集定义、一元二次不等式和指数不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题.

2.【答案】C

【解析】解：由(l+2i)z=4+3i,得2=符=容黔察=匕瞥好=2-i,

l+2i(l+2i)(l-2i)5

所以复数Z的实部和虚部之和为2+(-1)=1.

故选：C.

先对(1+2i)z=4+3i化简求出复数z,从而可求出其实部和虚部之和.

本题考查了复数的运算，考查复数的有关概念，是基础题.

3.【答案】B

【解析】解：对于4：若nca,

则m〃。或mua,故A错误；

对于若?n_La,m//n,根据线面垂直的性质定理可得九_La,故3正确；

对于C：若？n〃a,n//a,

则〃九或m与九相交，或ni与九异面，故C错误；

对于D：若a工0,aC\p=m,n1m,

则九1a或nua或n〃a或n与a相交(不垂直)，故。错误.

故选：B.

根据线线、线面、面面的位置关系判断即可.

本题考查空间中线线，线面，面面间的位置关系判断，属于基础题.

4.【答案】A

【解析】解：由题意可得五•1=3-4%，J32+（-4尸=5,向量方在向量方上的投影向量

Mg-bb3-4xj*

/1J—.,~~~~b,

\b\\b\25

又因为题目所给的投影向量为（一■）=一颉

所以誉=_",

解得x=2,

故选：A.

直接利用向量不在向量E上的投影向量公式，与所给的投影向量对应系数相等即可得出x的值.

本题主要考查了投影向量的定义，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：根据函数/(x)的部分图象，可得“X)为奇函数，

设g(x)=ln(x+Vx2+1)>g(~x)=ln(—x+Vx2+1)=In'+平一二；"

=—ln(x+Vx2+1)=—g(x)>为奇函数，

对于A,x€R,/(—%)=—sinx+ln(—%+Vx2+1)=—sinx-In(%+Vx2+1)=—/(x),为奇

函数，

xG(0,利时，/(x)=sinx+ln(x+Vx24-1)>0，当久>兀时，sinxG[-1,1],

ln(zr+VIT2+1)>ln(2zr)>1.所以当x>0时，/(x)>0,故A错误；

对于B,%6/?,/(—x)=—sinx-ln(—x+Vx24-1)=sinx-ln(x+Vx2+1)=/(x),

所以/(x)为偶函数，故8错误；

对于C,xER,/(-X)=cosx-ln(x+Vx2+1)±/(x)»f(x)为非奇非偶函数，故C错误；

对于D,xG.R,/(—%)=-cosx-ln(x+Vx2+1)=—/(%)>故。正确.

故选：D.

根据函数的图象结合选项函数的性质判断可得答案.

本题考查函数的奇偶性，考查诱导公式，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解:已知f(x)=Wnx,函数定义域为(0,+8),

不妨设切点为(%o,%0仇)，

可得「(%)=Inx+1,

因为直线y=ax4-b与函数/(%)=%仇%相切，

所以切线的斜率。=仇勺+1,

而函数/(%)在切点处的切线方程为y-xolnxo=a(x-x0)»

即y=ax-XQ,

所以b=—XQ,

此时?=皿，

不妨设g(x)=殍，函数定义域为(0,+00),

可得9'(幻=卡，

当0<xVe时，g'(x)>0,g(%)单调递增；

当％〉e时，g'(x)<0,g(x)单调递减，

所以当x=e时，函数g(x)取得极大值也是最大值，最大值g(e)=；,无最小值.

故选：C.

由题意，先设出切点坐标，求出切线方程，根据直线、=奴+4与函数〃；0=浦7^相切，列出等

式得出a和b的关系，构造函数g(x)=9，对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调

性，进而即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理和运算能力.

7.【答案】A

【解析】解：因为点G(2,2)作两条直线分别交抛物线y2=2x于4B两点，

G(2,2)在抛物线y2=2x±,所以直线斜率一定不为0,

设直线AB的方程为:x=my4-n,设4aL，%)，8(如力)，

与必=2x联立方程可得：y2=2my+2n,即y?—2my—2n=0,

所以为+丫2=2m,-y2=一2九，

则自十七=^|+妥=券+发=熹+熹

2(72+2)+2(y]+2)_2(%+及)+8

(为+2)仇+2)—匕及+2。1+及)+4

・

22m+82m+4所以8n1—5几+6=0①,

-2n+4m+4—n+2m+2

_y「2.及_2__2_____2_44

Xi-2亚―2%+2为+2丫1，及+2。1+为)+4—2n+4zn+4

所以九—2m—3=0②，由①②可得：n=—6,m=—1,

Q

所以刀=一3一6,故2x+9y+12=0.

故选:A.

设直线AB的方程为：x-my+n,A^,y^）,^（上,力），与抛物线联立得到当+%，%・%，由

斜率公式表示出灯+七，七•七结合韦达定理化简可得8m-5n+6=0,n-2m-3=0,解方

程求出m,n,即可求出直线4B的方程.

本题考查抛物线的性质，属于中档题.

8.【答案】B

ln(l+1)

【解析】解：吗、吗皿工尸吗lim

xt4-oo(l+J-)x=%—>4-ooei1+=%—>-|-ooex/n1(14%)7=%—»4.-ooex=

Um】n(l+J)1

1----1limln(l+t)lim,

—>0ex=ttOe-t—=t->0e-i-=e

x

所以1.011。。=(1+焉yoo^e,

所以a=1.0厂1°。々]>^=c,

e7T

又当xW(0,5)时，sinx<%,

所以匕=而看<看<；=以

所以a>c>b.

故选：B.

先求极限可得x-=8(l+»=e，则1.01i0°=(l++可得a>c,当xe(0,今时,

sinx<x,可得b<a,即可得出答案.

本题考查数值的大小关系，解题中注意放缩法的应用，属于中档题.

9.【答案】BD

【解析】解：对于4由(0.004+0.010+2a+0.030+0.006)x10=1得a=0.025,故A错误;

对于B：成绩在［40,80)时所占的频率为：(0.004+0.010+0.025+0.030)x10=0.69,

成绩在［40,90)时所占的频率为:(0.004+0.010+0.025x2+0.030)x10=0.94,

故75%分位数所在区间为(80,90),设75%分位数为X,

贝iJO.69+(x-80)x0.025=0.75,

解得x=82.4,故8正确；

对于C：低于60分和90分及以上的学生占的频率为：(0.004+0.010+0.006)X10=0.2,

成绩在［50,60)占的频率为0.010x10=0.1,

故按分层抽样，应在［50,60)中抽取的人数为会义10=5人，故C错误；

对于C：估计该校新生成绩在60以下的人数为1000X(0.004+0.010)x10=140.

故估计该校新生成绩合格的人数为1000-140=860人，故D正确.

故选：BD.

对于4：根据所有矩形面积和为1求得a；对于B：先估计中位数所在的大致区间，再根据75%分位

数的求法求解;对于C：计算出成绩在［50,60)在成绩低于60分和90分及以上的学生中所占的比例，

根据分层抽样按比例抽取；对于D：先估计成绩在60分以下的人数再求解.

本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的计算.属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解:因为/(%)+/(,—%)=0,令%=箫出)=0,

所以sing-acosg=0,解得a=故A错误；

所以/(x)=sinx—y/~3cosx=2sin(x—g),

故gO)=2sin(2x+》g{-x)=2sin(-2x+^),x&R,g(-x)=±g(x)均不成立，

故g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故8错误；

g(-号)=2sin(-*+g)=-2,所以g(x)关于直线％=•-浮寸称,故C正确；

当工”为)时，2》+江尊与)，因为y=sinx在育，竽)上为减函数,

故g(x)在区间(睛)上单调递减，故。错误.

故选：ABD.

根据/0)+/穹-％)=0求得。=门，求得"办结合图象变换得g(x),再分析g(x)的奇偶性,

对称性及单调性.

本题主要考查函数y=4sin(3x+9)的图象变换，正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，

属于中档题.

11.【答案】BC

【解析】解：如图所示，圆锥的高SC=/i,底面半径CB=r,母线SB=7公+小

VOC=0D=1,SOB,ODLSB,

；,ASDO〜ASCB,

SOODh.—l1i.I一r-y―■—y

=,CD22

T□HD3DC7OD=T一，•,SB=rh-r,rft—r=vft+r,

得层+2/无=*尼，所以：+《=1,故A错误;

圆锥的体积P=/仃2九，圆锥的表面积S=1(r/i—r)-2nr4-nr2=nr2h,

圆锥的体积与表面积之比为全为定值，故8正确;

1=1+i-2r2h>8,当且仅当"2=热即h=4]=，7时等号成立，

圆锥的表面积S="2八28几，则九=4,r=，"^时圆锥表面积有最小值8zr,故C正确;

当圆锥的表面积最小时，h=4,r=y[~~2»SB=rh—r=3\/-2»AB=2r=SB丰AB,

圆锥的顶角不是60。，故。错误.

故选：BC.

由圆锥的半径r和高九，表示出母线长，利用球内切于圆锥，求出r与h的关系验证选项A；表示出

圆锥的体积与表面积，验证选项B；利用基本不等式求圆锥表面积的最小值，并求此时母线长，

验证选项CD.

本题考查空间几何体内切球问题，考查基本不等式的应用，属中档题.

12.【答案】ABD

【解析】解：设|M&|=m,\MF2\=n,

不妨设点M是G，C2在第一象限内的交点，则m>n,

m+n=2ar,m—n=2a2>所以m=ai+a2，n=-a2>

222

在△&MF2中，由余弦定理可得：\FyF2\=\MFr\+\MF2\-2\MF1\\MF2\COS6,

即4c2=m2+n2-2mncos9=(m+n)2-2mn(l+cosO)=4al-2mn(l+cos9),

2吊-2c2_2bl

所以mn

l+cos0l+cos0

?.06

所以△&MF2面积为S=^mnsind=比彳=比.笋=必tan9

乙1-：rC嗯OSt/叽ZCOS*乙

另一方面，4c2=m24-n2-2mncos6=(m—n)2+277m(1—cos。)=4匿+2mn(l-cos。).

所以mn=邑型==<-,

1-COS01-COS0

S=^mnsine=1-2b2=与

22l-cos0tan|

A星

对于力，因为52=(bib?)?,所以5=瓦尻，故A正确；

乙tan,

对于因为M>?1且M+71=2%,所以小九=二^<(四3)2=。力

l+cos0v271

所以,1)=2—2蜡<14-cosd=2cos24，

afaf2

所以>1-cos?'=siM?,所以ei>sin'qV1,

所以0G(sinp1),故B正确；

当乙F1MF2=9=:时，由4c2=m2+n2-2mncos0,

22aaa

即4c2=(%+a2)+(4—a2)+(%+2)(.i-2)»

31

即3於+度=4c2,所以,+尾=4,

1413

所以1</《丞星=4一理

14

对于C,令1ct=1<§,

则看=](4一1)=-3尸+4t=-3(t-|)2+1e(0,1),

所以(6送2)2e(1,+8),exe2e(1,4-00),故C错误；

1

-

4

记m=||>1,则e£+城=1+3(3m+'),

函数y=3m+\,所以;/=3-a=噜匚>0恒成立，所以函数y=3m+'在(1,+8)上单调递

增，

所以咨+多=1+(3m+>1+；(3+1)=2,

即登4-ef6(2,4-00),故。正确.

故选：ABD.

2

由椭圆和双曲线的焦点三角形面积公式可判断4的真假；由m+71=2al和徵〃=结合基本不

l+cos0

等式可判断B的真假；由条件可得13+方1=4,结合函数的性质可判断C、。的真假.

本题考查椭圆的几何性质，双曲线的几何性质，化归转化思想，是难题.

13.【答案】64

【解析】解：因为在(x-y的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，

所以二项式展开式有7项，所以n=6,

所以二项式为。一：)6,

令x=1,则(1-3)6=(-2)6=26=64,

所以展开式中所有各项的系数和为64,

故答案为：64.

由题意可得二项式展开式有7项，从而可求出n=6,然后令x=l可求出展开式中所有各项的系数

和.

本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题.

14.【答案】0或一g

J2fc+l|

【解析】解：易知圆心(2,0)到直线y=々％+1的距离”二席/

而圆C2：(%-2)2+丫2=5的半径/?=/石，弦长依8|=4,

所以=2VR2—d2,

即仁2^

Ql+k

解得k=0或攵=一全

故答案为：0或-

由题意，根据点到直线的距离公式和弦长公式进行求解即可.

本题考查直线与圆的位置关系，考查了逻辑推理和运算能力.

15.【答案】54

【解析】解：当an+3N2an,即册43时，an+1=an+3,

当。„+3<2an,BPan>3时，an+1=2an,

因为即=16>3,所以%=2a6=32,

若。543,则。6=的+3=16,解得的=13>3,不合要求，舍去；

若%>3,则恁=2a5=16，解得。5=8>3,满足要求，

若。4工3,则=%+3=8,解得4=5>3,不合要求，舍去；

若。4>3,则的=2a4=8,解得。4=4>3,满足要求，

若内43,则。4=%+3=4,解得的=143,满足要求，

若%>3,则以=2a3=4,解得。3=2<3,不满足要求，

若劭工3,则%=。2+3=1,解得做=一2工3,满足要求，

若g>3,则由=2a2=1，解得。2=1<3,不满足要求，

若％43,则02=。1+3=-2,解得%=一543,满足要求，

若的〉3,则02=2%=-2,解得的=一1<3,不满足要求，

综上：S7=%+02+。3+。4+。5+。6+。7=—5—2+1+4+8+16+32=54.

故答案为：54.

先得到册<3时，an+1=an4-3,an>3时，an+1=2an,由怒=16，依次代入求出的,也，。3,

。4，。7，从而求出答案.

本题主要考查数列递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】［e,+8)

【解析】解：易知%>0,y>0,

不妨设/(%)=xex,函数定义域为(0,+8),

可得了(%)=(%+l)e%>0,

所以函数/(%)在(0,+8)上单调递增，

因为e”=xy(2lnx+/ny),

所以％e*=x2y/n(x2y),

即f(x)=f(ln(%2y))，

因为函数f(%)在(0,+8)上单调递增，

所以冗=ln(x2y),

即％2y=

整理得xy=三,

不妨设g(x)=g,函数定义域为(0,+8),

可得g'(x)=(x~2)eX>

当0<x<l时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当%>1时，g'(%)>0,g(x)单调递增，

所以gO)Ng(l)=e,

则孙的取值范围为［e,+8).

故答案为：［e,+8).

由题意，将e*=xy(2lnx4-biy)转化成xe*=x2y/n(x2y),构造函数/(无)=xex,对函数/(%)进

行求导，利用导数得到函数f(x)的单调性，可得盯=9,构造函数g(x)=g,对函数g(x)进行求

导，利用导数得到函数g。)的单调性和最值，进而即可求解.

本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力.

17.【答案】解：（1）证明：设4Z）=CD=P4=2AB=1,因为四边形ABCD为等腰梯形,

所以4O=BC=1,过点。作14B于点H,则4"=：,

所以在Rt/iADH中，/.DAH=60°,连接DB,

由余弦定理可得：

-I

DB2=AD2+AB2-2AD-AB-cos600=1+4-2x1x2x=3,

所以DB=y/_3>

所以4。2+。82=AB2,所以力DJ.DB,

又因为P41平面4BCD,OBu平面4BCD,

所以P41DB,ADnPA=A,AD,P4u面P4D,

所以DB1面PAD,而AEu面PAD,所以DB14E.

又因为24=4。，点E为棱PC的中点，所以AE1PD,

DBCPD=D,DB,PDa^PDB,所以AEJ^PDB,

PBu面POB,

所以4E1PB.

(2)过点。作z轴〃P4,建立如图所示的空间直角坐标系，

。(0,0,0),4(1,0,0),8(0,<3,0),C(一"?,0),P(1,O,1),E0,0,》，

所以而=(-怖,?,。)，AE=(―

平面4BC的一个法向量为五=(0,0,1),

设平面4EC的一个法向量为沅=(x,y,z),

(荏•in=—+1z=0

:K，令z=l,则旷二q，%=1,即沅=(1,C,1),

(前-m=--%+—y=0

设面/EC与面ABC所成二面角的平面角为6,QG[O,TT],则

|cosO|=暑普=用与=?，因为二面角为钝二面角，

11|m||n|V1+3+15

所以cos。<0,cos9=—

故面4EC与面ABC所成二面角的余弦值为-

【解析】(1)由线面垂直的判定定理和性质定理证明即可;

(2)利用空间向量的方法求二面角即可.

本题考查二面角相关计算知识，属于中档题.

18.【答案】解：(1)因为?=强+1,由正弦定理可得当等=卬必誓

、'bcosBsinBcosB

所以(sinA-sinB)cosB=sinB^cosA+cosB),

所以sinAcosB-sinBcosB=sinBcosA+sinBcosB,

所以sinZcosB-sinBcosA=2sinBcosB,

所以sin(4—B)=sin2B,

又4B6(O,TT),则力一BW(一兀加)，所以=或4-8=%一28,

若A一B=2B,又C=，且4+8+C=",解得B=A—

6248

若4—B=—则4+B=zr,显然不符合题意，故舍去，

所以人知,A=ln.

(2)由(1)可知4=38,又｛晨笨黑［£<兀，所以。

所以¥VcosB<1，

由正弦定理可得品sinA_sin3B

sinBcosBsinBcosB

sinBcos2B+cosBsin2B

=-----：----------=-4-c-o-s2-^---1=.4cos8----1->

sinBcosBcosBcosB

令t=cosB,则令/(t)=4t-；,

显然〃t)在(号,1)上单调递增，又f(容)/(l)=3,

所以/(t)e(C,3)，即高的取值范围为(C,3).

【解析】(1)利用正弦定理将边化角，再结合两角差的正弦公式、二倍角公式得到sin(A-B)=

sin2B,即可得到力=38,结合三角形内角和求出A,B；

(2)由(1)可得A=3B,即可求出B的取值范围，由正弦定理将边化角，由三角恒等变换公式化简

转化为B的三角函数，结合函数的性质计算可得.

本题主要考查正弦定理及三角恒等变换的应用，考查运算求解能力，属于中档题.

19.【答案】⑴证明：由题意，可得¥=衰=2=1，

a

lttlU1

:数列I｛为是公比为抛等比数列，

anN

噫=1X(W】,

•1•Tn=够(yT，n6N*,

则当nN2时，Tx=W*扔R

虫）“T

此时an=#-=

1n-141砂T

化简整理，得Q"=2忌_1，

・•・当心2时，4=件”

11+Zo^2an-1

=1+/脸（2限l）

1+，092昨1

_2（1+1002。建-1）

1+log2ax

=2,

v瓦=1+log2cii=14-log2l=1,

•・.数列｛%｝是以1为首项，2为公比的等比数列,

n-1

•••bn=l-2=2”-1,n6N*.

⑵由⑴’可得甯三针

则S=—+—4--Hkn~24-n-1

时“2°21222n-22,T

l_0.1,2,,n-2,n-1

]cSn=*+/+/+…+科+”，

两式相减,可得;Sn=、+/+*+・♦・+^^-蒙

扣-(犷T]n-1

一丁

_.1n-1

=1一^1一下

1n+1

=1-h,

.rn+1

c9

•*'Sn=2-^ii^

•••Sn•砥=(2-黠”2"T=2"-(n+1),

71

由Sn-bn<2023,可得2-(n+1)<2023,

即2"-n<2024,

令/(n)=2n-n,neN*,

则尸(n)=2nln2-1>0,neN',

/(n)=2n-n在neN*时单调递增，

又••"(10)=210-10=1014<2023,/(ll)=211-11=2037>2023,

使得Sn-bn<2023成立的最大整数为10.

【解析】(1)先根据题意计算出?的值，再由｛刍｝是公比为4的等比数列即可求出多的表达式，从而

alan乙an

可求出〃与斯的关系q-W(；)"T，当n>2时，可得"_]=欣两式相除可得厮=2吗_r

再结合垢=1+1〃2即利用等比数列的定义可证得结论，从而可求出数列｛b｝的通项公式；

(2)由(1)可得隼包=品，然后利用错位相减法可求出又，则得S“•勾=2"-6+1),再利用

函数的单调性解271-(n+1)<2023即可.

本题主要考查了数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题.考查了整体思想，函数思

想，转化与化归思想，错位相减法，对数的运算，换元法，不等式的运算，等比数列的通项公式

与求和公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题.

20.【答案】解：(1)选手4参加了比赛，该班级所有可能的首发队员的样本空间：

｛(4,B,C,D),(4B,C,E),(4B,D,E),(4,C,D,E)｝；

(2)在第二轮比赛时，设1分队伍为4,A2,A3,A4,其中心代表二(4)班，

0分队伍为四,B2,B3,B4,其中殳代表二(3)班，

在1分队伍中比赛后4失败，其概率为:，在0分队伍中比赛后为胜利，其概率为：，

在第三轮比赛中进入1分队伍的不妨设有4，人4,B3,反四支队伍，

抽签后所有可能对手情况有G43B3M4B4)，(43B4M4B3)，(444,8384)共3种，

X4,为重新遇上的情况只有(484,4483),

故其概率为g,

综上：两队在第三轮重新遇上的概率为2x^x4=今；

(3)设从5人中任选一人是五、六、七级棋士的事件是4，4,必，则。=A5\JA6(JA7,且为，A6,

出两两互斥，P(4)=|=0.4,P(/l6)=I=0.4,P(X7)=I=0.2,

设8="任选一名自团同学，该同学被选上“，

则P(B)=£7=5。(4)•P(B|4)=0.4x0.8+0.4x0.6+0.2x0.5=0.66.

X可能的取值有：5,6,7,

一P(45)P(BA)_04X0.8_16

尸(X_b)-p(B)-0.66-33，

=P(46>P(B|46)=04x0.6=12

k~0J~p(B)—0.66—33，

=P(47)・P(B®)=02x0.5=_5_

k~~p(B)—0.66~331

X的分布列为:

X567

p16125

333333

【解析】(1)根据题意列举即可；

(2)两个班级进入第三轮的1分队伍的概率均为今在第三轮中两班级再重新遇上的概率为去从而

得到答案；

(3)根据条件概率与贝叶斯公式求解.

本题考查了离散型随机变量的分布列和条件概率与贝叶斯公式，属于中档题.

21.【答案】解:(1)依题意设4式一见0),A2(a,0),

若0<a<l,此时0<4AM142<]，>p

^MA2AX

贝iJtan/MAzAi<0，X.anz.MArA2>0,不符合题意，a>1,

则tanNMAiA2=[Zj不，tanZ_MA2Al=~~j'，

又3ta九力遇2=tanzJVf&ai，,•,含=Ep解得a=2,

又e=(=2,・・・c=4,则匕=7十一曲=2，3,

可得双曲线C的方程为1―1；

412

⑵由⑴可知直线M&：y=y(x+2),MA2：y=-m(x-2),

fy=y(x+2)244

联立｛/y2,得(3—拳)刀2—/2工—严2-]2=0.

(彳一运=1

由根与系数的关系得XB=-2(1+元鼻)，

由出>2,得一2(1+>2.解得0<m2<27；

y=—m(x—2)

联立了2,得(3-m?)/+4血2工一462-12=o.

-------y--=1

1412

由根与系数的关系得牝=2（1+3）,

由和>2，得2（1+方为）>2,解得m2>3.

综上可得3<m2V27.

6S4一96m2

XX

B+C=2(1+为)-2(1+府方)(m2—27)(m2—3)*

(m2+27)(m2+3)

XBXC-4(m2-27)(m2-3)'

又％_5.遇2_|M4i||MA2l_1_(_2)2-1______3_______

$2S&MBC\MB\\MC\XQ-1Xf-1孙％C-(%B+%C)+T

而出XC-(XB+Xc)+1=一4券鬻篝-(2券1幻+1

°cv°(mz-27)(niz-3)(mz-27)(mz-3)

_3(加2+9)2

(27—?n2)(m2-3))

22

.S]_^£S,MA1A2_3_(27—7n)(m—3)

S?S&MBC如祝一(砧+和)+1(m2+9)2'

v3<m2<27,令?n?+9=3te(12,36),

.£1_(36-t)(I2)=-/+48£-36><12=_1+48(1—4-),

再令;I.则;le焉》唱=-1+48("9"),

当"2时，（F）maz=5）可得当m=±3时，救2=:

1802>23

即3的最大值为

以3

【解析】(1)设