高考数学二轮复习 推理与证明（含解析）试题

强化训练

一、选择题

1.（文）将正奇数1,3,5,7,…排成五列（如下表），按此表的排列规律，89所在的位置

是（）

第第第第第

一二三四五

列列列列列

1357

1513119

17192123

31292725

A.第一列B.第二列

C.第三列D.第四列

［答案］D

［解析］正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45=4X11+1,故89位于第四列.

（理）（2014•广州市综合测试）将正偶数2,4,6,8,…按下表的方式进行排列，记a,.,表

示第，行第J列的数，若a“=2014,则，+J的值为（）

第1列第2列第3列第4列第5列

第1行2468

第2行16141210

第3彳丁18202224

第4行32302826

第5行34363840

……・・・…・・・・・・

A.257B.256

C.254D.253

［答案］C

［解析］依题意，注意到题中的数表中，奇数行空置第1歹偶数行空置第5歹U；且自

左向右，奇数行的数字由小到大排列，偶数行的数字由大到小排列；2014是数列｛2〃｝的第

1007项，且1007=4X251+3,因此2014位于题中的数表的第252行第2列，于是有，+J

=252+2=254,故选C.

［方法点拨］归纳推理

根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的所有对象都具有这样性质的推

理，叫做归纳推理，归纳是由特殊到一般的推理.

归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，在进行归纳时，要先根据已知的部分

个体，把它们适当变形，使其具有统一的表现形式，便于观察发现其规律，找出它们之间的

联系，从而归纳出一般结论.

2.（2015•广东文，6）若直线4与4是异面直线，上在平面a内，心在平面£内，/

是平面。与平面£的交线，则下列命题正确的是（）

A.1与h,A都不相交B.7与A,4都相交

C.1至多与4，A中的一条相交D./至少与九A中的一条相交

［答案］D

［解析］考查空间点、线、面的位置关系.

若直线A和乙是异面直线，1在平面a内，A在平面B内，/是平面a与平面0的

交线，假如/与1\、A都不相交，则1//lx,I//I2,：.U/h,与7i>A异面矛盾，因此1

至少与人心中的一条相交，故选D.

［方法点拨］演绎推理

根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊性命题为真的推理叫做演绎推理.演绎推理

是由一般性命题到特殊性命题的推理.

（1）演绎推理的特点

当前提为真时，结论必然为真.

（2）演绎推理的一般模式一一“三段论”

①大前提一一已知的一般原理；

②小前提一一所研究的特殊情况；

③结论一一根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

3.（文）若数列｛a｝是等差数列，贝！I数歹1｛4｝（4=』二10廿…,4）也为等差数歹!1.类比

n

这一性质可知，若正项数列｛。〃｝是等比数列，则数列｛4｝也是等比数列，则&的表达式应为

（）

,C1+CH------\-Cnc,Cl•C2.............Cn

A.2B.d/i=

nn

…+d；

=

C.dnD.d„=yjci•c2....c„

［答案］D

［解析］通过审题观察，对比分析得到:

前〃项和S=a\

nSn

己知等差数列｛&｝b尸一算术平均。成等差

n

+/+•••+&

等比数前n项积%=几何

类比项必成等比

dn=y[Tn

列｛以｝…G?平均

故选D.

［方法点拨］类比推理

根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有与另一类事物

类似(或相同)的性质的推理叫做类比推理，类比推理是由特殊到特殊的推理.

进行类比推理时，要抓住类比对象之间相似的性质，如等差数列的和对应的可能是等比

数列的和，更可能是等比数列的积，再结合其他要求进一步确定类比项.

(理)记等差数列｛a,,｝的前〃项和为S,利用倒序求和的方法，可将S表示成首项国、末

项当与项数n的一个关系式，即公式$二〃"一&；类似地，记等比数列｛4｝的前〃项积

为北，且4>0(〃WN’)，试类比等差数列求和的方法，可将。表示成首项山、末项A与项数

〃的一个关系式，即公式方=()

A2土乙R，型」

C.yjbibnD.

［答案］D

［解析］利用等比数列的性质：若勿+〃=夕+5则"・儿=a•九，利用倒序求积方法

Tn—b\bi....bn,

Tn=bnbn-\....从,

两式相乘得Tn=(b\bM，即Tn=(b\b。\

4.观察下图：

1

234

34567

45678910

则第()行的各数之和等于201E()

A.2010B.2009

C.1006D.1005

［答案］C

［解析］由题设图知I,第一行各数和为1;第二行各数和为9=3*第三行各数和为25

=52；第四行各数和为49=7?；…，.•.第〃行各数和为(2〃-1)2,令2〃-1=2011,解得〃

=1006.

［点评］观察可见，第1行有1个数，第2行从2开始有3个数，第3行从3开始有5

个数，第4行从4开始有7个数，…，第"行从〃开始，有2〃一1个数，因此第"行各数的

和为〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3/?-2)=~~~~■—~~~~=(2/7—1)\

5.已知正三角形内切圆的半径是其高的;，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结

论是()

A.正四面体的内切球的半径是其高的3

B.正四面体的内切球的半径是其高的J

C.正四面体的内切球的半径是其高的：

D.正四面体的内切球的半径是其高的《

5

［答案］C

［解析］原问题的解法为等面积法，即SufExgamr斗，类比问题的解法应为

等体积法，/=4S方=4xjs—r=%,即正四面体的内切球的半径是其高的所以应选C.

6.(文)用反证法证明命题“设a、6为实数，则方程f+ax+方=0至少有一个实根”

时，要做的假设是()

A.方程/+@矛+6=0没有实根

B.方程x：'+ax+8=0至多有一个实根

C.方程f+ax+6=0至多有两个实根

D.方程f+a*+6=0恰好有两个实根

［答案］A

［解析］至少有一个实根的否定为：没有实根.

(理)①已知/+/=2,求证p+qW2,用反证法证明时，可假设0+。》2,②已知a、b

6R,|a|+|引<1,求证方程f+ax+6=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设

方程有一根小的绝对值大于或等于1,即假设b/.以下结论正确的是()

A.①与②的假设都错误

B.①与②的假设都正确

C.①的假设正确；②的假设错误

D.①的假设错误；②的假设正确

［答案］D

［解析］反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定W真假相对，故直

接证明困难时，可用反证法.故选D.

［方法点拨］L反证法的定义

一般地，由证明A9转向证明t与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从

而判断㈱<7为假，推出g为真的方法，叫做反证法.

2.反证法的特点

先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，

或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、公式或已被证明了的结论，或与公认的简单事实等

矛盾.

7.(文)在平面直角坐标系中，设△49C的顶点分别为/(O,a)、B(b,O)、C(c,O),点

P(0,p)在线段｛。上(异于端点)，设a、b、c、。均为非零实数，直线BP、"分别交4C、

四于点E、F,一同学已正确算出应1的方程：(；」)x+d」)y=O,则冰'的方程为：

bcpa

()x+(~—~)y=0.()

Pa

111I

--X

----

8ca

R.

1D.11

-1

1--

6ca

［答案］c

［分析］观察反尸两点可以发现，E、尸两点的特征类似，£■是露与力。的交点，户是

货与的交点，故直线应1与办的方程应具有类似的特征，而y的系数相同，故只有x的

系数满足某种“对称性”，据此可作猜测.

［解析］方法1：类比法

£在〃'上，宦的方程为

1、,11、

(T—)x+(Z----)y=0.

bcpa

尸在4?上，它们的区别在于反，互换.

因而如的方程应为

A1、,11、

(-7)x+(Z----)y=0.

cbpa

括号内应填：

cb

方法2：画草图如右，由对称性可猜想填工一；.事实上，由截距“

°b£

式可得直线心方+?=1，直线仍两式相减得(%3

।1B0\C*

+(41)尸0,|

显然直线与b的交点尸满足此方程，又原点。也满足此方程，故为所求直线〃的

方程.

［方法点拨］类比推理是由特殊到特殊的推理，是两类类似的对象之间的推理，其中一

个对象具有某个性质，则另一个对象也具有类似的性质.在进行类比时，要充分考虑已知对

象性质的推理过程，然后仿照推导类比对象的性质.

(理)在中，CALCB,斜边四上的高为才则《=与+4；类比此性质，如图，

/?1LACD

在四面体？一4兆1中，若为、PB、"'两两垂直，底面46C上的高为力，则得到的正确结论为

()

B

.1_A,J_,A.

A，FA肝A（^BEB.!T=P#+PE+PG

r1J_J__L__1_11

=++D，

/J'ACBd产丽+丽+记

［答案］D

［解析］本题考查了合情推理的能力.

连接C。并延长交48于点〃，连接加，

B

由已知可得/TJ_月9,在直角三角形W中，DC-h^PD-PC,

则"4+1♦h=PD*PC,

1P4+PE

所以¥=祈衣

=J!

-万十/#

容易知道4区L平面PDC,

所以相，如，

在直角三角形力心中，AB>PD=PA>PB,

所以<P#+P9•PD=PA•PB,

聚磊=/+/’故"=*+焉+*•（也可以由等体积法得到）•

［点评］上述解答完整的给出了结论/=卷+焉的证明过程，如果注意到所给结

论是一个真命题，可直接用作条件，则在Rt△为8中，有*=*+焉，在Rt△加C中，有

齐表+晟即可得出结论.

8.（文）正方形力驱的边长是a,依次连接正方形4式。各边中点得到一个新的正方形,

再依次连接新正方形各边中点又得到一个新的正方形，依次得到一系列的正方形，如图所

示.现有一只小虫从/点出发，沿正方形的边逆时针方向爬行，每遇到新正方形的顶点时，

沿这个正方形的边逆时针方向爬行，如此下去，爬行了10条线段.则这10条线段的长度的

平方和是（）

1023210232

A，2048aB,768a

C

-能D-4096

（答案］A

［解析］由题可知，这只小虫爬行的第一段长度的平方为4=（5?）2=1才，第二段长度

的平方为式=（半a）?：，］,…，从而可知，小虫爬行的线段长度的平方可以构成以#=；/

1%口-31023a2

为首项，£为公比的等比数列，所以数列的前10项和为S°=--------;——=琮苦—

Z1ZU4o

1--

2

3

（理）对于大于1的自然数加的三次幕可以用技术进行以下方式的“分裂"：2，=

ri3

f7

15

33=，9,43=j,…，仿此，若方的“分裂数”中有一个是59,则%=（）

11

119

A.7B.8

C.9D.10

［答案］B

［解析］由2'3比43的“分裂”规律可知”的分裂共有"项，它们都是连续的奇数，其

第一个奇数为（卬-2）5+1）+3,当勿=8时，第一个奇数为57,故勿=8,此时屋=57+59

+61+63+65+67+69+71.

二、填空题

9.（文）（2015•南昌市二模）观察下面数表：

1,

3,5,

7,9,11,13,

15,17,19,21,23,25,27,29.

设1027是该表第勿行的第〃个数，则等于一

［答案］13

［解析］由数表知第?行最后一个数为第S，个奇数，其中6=1+2+22+…+2~'=2,

-1,易得第9行最后一个奇数为2（2'—1）-1=1021,故1027为第10行的第3个数，.•.必

+77=13.

（理）（2015•河南八市质量监测）己知不等式l+；+Hl+„+W…,

444丫J4y104

照此规律，总结出第〃（〃GN*）个不等式为...

［答案］i+州+H“+J.1

［解析］由于i+J〈*i+；+9l，i+；+J+J4所以可以写为i+京小1~1

勺乙a3jT：u1oT：乙乙

+^+^2<-^—1—1+4+—照此规律,所以第〃个不等式为1+J+J+3+…

+-1—<^±1

+n+1

99QQ44hh

10.（文）已知2+w=2"Xw，3+^=3"X-,4+—=42X—,,,,,若9H■-=9，X-（a、b

33881515aa

为正整数），则a+6=____.

［答案］89

［解析］观察前三式的特点可知，3=22-1,8=32-1,15=42-1,故其一般规律为〃+

nn99

~~~~=«X——7■，此式显然对任意都成立，故当〃=9时,此式为9+正=81X正，

n—1n—18080

a=80,6=9,a+6=89.

（理）观察下列等式

12-1,

12-22=-3,

12-22+32=6,

12-22+32-42=-10,

照此规律，第〃个等式可为.

［答案］12-22+32-42+-+(-l)"+,n2=(-l),,+l-n(nebT)

［解析］观察上述各式等号左边的规律发现，左边的项数每次加1,故第〃个等式左边

有〃项，每项所含的底数的绝对值也增加1,依次为1,2,3,…，n,指数都是2,符号成正

负交替出现可以用(-1)用表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右

边可以表示为

H2222n+l2+

(-1产・〃”2,所以第"个式子可为1-2+3-4+-+(-l)/7=(-1)"

nc+1

2

三、解答题

11.(文)(2015•江苏，16)如图，在直三棱柱［a'-45G中，已知4LL

BC,a'=3；.设力4的中点为〃，&CCBC\=E.

求证：(1)〃£、〃平面44GG

(2)8GJ_4反

分析］考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理.

(1)由三棱锥性质知侧面班GC为平行四边形，因此点£为8c的中点，从而由三角形

中位线性质得瓦〃4C,再由线面平行的判定定理得比1〃平面44GC；(2)因为直三棱柱4JC

一4AG中式一制，所以侧面烟GC为正方形，因此又AC1,BC,4C1.CG(可由直

三棱柱推导)，因此由线面垂直的判定定理得/入平面防GC,从而再由线面垂直

的判定定理得6G，平面ABC进而可得BGLAB^.

［证明］(1)由题意知，后为5c的中点，

又〃为4s的中点，因此应、〃4C

又因为质平面44GC,平面A44C,

所以DE//平面/4GC.

(2)因为棱柱48C—46G是直三棱柱，

所以平面ABC.

因为/比平面/8G所以

又因为4C」一式；CGu平面比匕5,收平面比匕儿BCCCC、=C,

所以力入平面BCCB.

又因为阅u平面BCC^Bx，所以8UL4C

因为6C=CG,所以矩形8CC心是正方形，因此8c.

因为AC,B\Cu平面BxAC,ACnBxC=C,所以6G_L平面RAC.

又因为平面BiAC,所以BGLAB、.

(理)(2015•商丘市二模)如图，已知四棱锥尸一4庞》的底面为菱形，NBCD=120°,AS

=PC=2,A—BP=®

(1)求证：ABIPC；

(2)求二面角6—PC—。的余弦值.

［解析］⑴证明：取用的中点0,连接AO,CO,AC.

"：AP=BP,:.POLAB.

又四边形/版是菱形，且/况9=120°,

...△4%是等边三角形，；.CO_LA8

又。0nPO=0,：.ABL平面PCO,

又旌:平面/TO,：.ABVPC.

(2)由49=/T=2,AP=B-R易求得出=1,0C=木,

:.o户+od=pC,OPVOC.

以。为坐标原点，以%,OB,。分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系号-xyz,

则8(0,1,0),以小，0,0),P(0,0,1),。(小，一2,0),

:.反=淄,-1,0),1=(4,0,-1),DC=(0,2,0).

设平面%0的一个法向量为m=(1,y,z),则m_L南G庆,

n\"PC=y[i-z=0

*'•z=yf3ry=OfZ2i=(1,0,，^3).

、/7i•DC=2y=0

设平面好的一个法向量为几=(1,b,。)，则CBC,

m•PC=y[^-c=O

，；.c=小,b=小,

也•衣=木一b=0

・••生=（1,小,小）.

m・m______42布

cos<z?i,ni）

~\n,•m12义巾―7

•..二面角B—PC—D为钝角,

二二面角8—A”。的余弦值为一绡

12.(文)(2015•昆明质检)已知数列｛a｝满足科=0,“1=a+-----匕一+1.

nn+1

⑴证明：数列卜十)是等差数列，并求数列｛a｝的通项公式；

⑵设数歹的前〃项和为S”证明：SK±.

［解析］⑴丁(&+:+日—(a+力

=&+----二一+1+—TT—品」

n〃十1〃十1n

~n〃+1n〃+1+1-L

.•.数列上,+%是公差为1的等差数列.

又a+l=l,故&+'=〃.

n

即数列⑸的通项公式为a,=/?--.

n

(2)由(1)知&=〃一,，则色=1一二，

nnn

数歹的前〃项和5=〃一«+"_1----

1111

.Tn>-n-----/?T+11-=—nT〃H十"1.

/./?-(Y2+AH----F口<〃-(1------bf--—T7)=/2-

U2nJI2)123J\nn+\)n+1n+1

.•.对VcWN',成立.

刀十1

(理)(2015•湖南文，19)设数列｛4｝的前〃项和为S.已知&=1,生=2,且为+2=35

—Sfl+1+3,

(1)证明：&+2=3a〃；

(2)求S.

［分析］(1)依据已知等式利用a〃=S—S-(〃22)用构造法求解，然后验证当〃=1时，

命题成立即可；(2)利用⑴中的结论先求出数列｛4｝的通项公式，然后通过求解数列｛a｝

的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前刀项和的通项公式.

［解析］⑴由条件，对任意有为+2=35—5^+3,(〃£2)，

因而对任意〃WN*，〃，2,有A+1=3SLI—S+3,(〃WN*),两式相减，得a+2-&rH=

3品一dn+\9即3+2=3&,(〃22),

又ai=l,52=2,所以a=3S—S+3=3a—(己+/)+3=3多,

故对一切〃£N*,4+2=3&.

⑵由(1)知,aW0,所以」上=3,于是数列｛&-｝是首项a=1,公比为3的等比数列,

an

数列｛瓯｝是首项/=2,公比为3的等比数列，所以劭1=3",的=2X3",

于是S”=Hl+a2+j・+d2”=(51+53+,•,+Qin-1)+(/+&+…+&〃)

=(1+3+…+3'1)+2(1+3+・・・+3'1)

qq”-1

=3(1+3+・・・+3〃T)——

R彳“一13〃

从而Szrr-1=Sin—Q,ln)--2X3L*(5X3T—1),

5X3———1,n=2k+l,MN*

2

综上所述，S,=j

O3^—1,n=2k,AGN*

［方法点拨］直接证明

从命题的条件或结论出发，根据己知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性的证

明称为直接证明.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题时常

用的思维方法.

(1)综合法

从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐步的推理论证，最后达到待证

的结论，这种证明方法叫综合法.也叫顺推证法或由因导果法.

(2)分析法

从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结

为判定一个明显成立的条件(已知的条件、定理、定义、公理等)为止.这种证明方法叫分析

法.也叫逆推证法或执果索因法.

13.(文)(2015•邯郸市二模)设函数f(x)=lnx—a(x—2),g(x)=e：

(1)求/'(*)的单调区间；

(2)过原点分别作曲线y=f(x)与y=g(x)的切线入，12,且4,&的斜率互为倒数，试

证明：a=0或4」<水1一±(附：ln2=0.693).

2ee

［解析］⑴f(X)=(—

①当aWO时，对一切x>0,恒有f(x)>0,/tr)的单增区间为(0,+°°)；

②当a>0时,xG(0,加,f(%)>0；xeR+8)时,f

(x)<0.

；.F(x)的增区间为(0,[J,减区间为g，+8).

(2)设过原点与函数/'(*),g(x)相切的直线分别为人尸hx,J2：y=Lx,

切点分别为力(小，Inm—ax+2a),B'x?,ex2)»

•g(x)-e,••A2—ex2―,••Xi—1rkz-e,••k\一

x-ie

▼e/、1,,1Inxi-axi+2a1

又f(x)-a,:.k\-a--,

xX\X\e

311v,\nx\—ax\+2a1,

得a—,并将它代入一中，

x\ex\e

22

可得Inxi—1+——=0

x\e

2212>—2

1

设方(x)—Inx1+,则方'(x)—2—2

xexxx

・・・/?(x)在(0,2]上单减，在(2,+8)上单增

222

若为e(0,2],V/?(l)=l—>0,A(2)=ln2—^0.693—<(),，汨£(1,2)

eee

而a=‘一’在XiG(1,2)上单减，・•.〈一,〈水1一士

X\e2ee

若小£(2,+°°),A(x)在(2,+8)上单增，且力(e)=0,即矛i=e,得a=0,

综上所述：a=0或水1一1

Zee

(理)(2015•安徽理，18)设“WN*,X”是曲线y=x"+2+l在点(1,2)处的切线与x轴交

点的横坐标.

(1)求数列｛%,｝的通项公式；

(2)记成…息-1,证明：

［分析］考查1.曲线的切线方程；2.数列的通项公式；3.放缩法证明不等式；4.考查

运算求解能力和推理论证能力，分析和解决问题的能力.解答本题(1)可利用导数的几何意

义求解，(2)根据数列的通项公式用放缩法证明不等式.

［解析］(1)/=(/+2+i)'=(2〃+2)ff,曲线在点(1,2)处的切线斜

率为2/7+2.从而切线方程为y—2=(2〃+2)(x—1).令y=0.解得切线与x轴交点的横坐标

1n

X/,=1-7+T=7+T-

(2)由题设和(i)中的计算结果知北=/》“总1

=针铲…(铝广

当〃=i时，方=:.

4r-i22n_1.2n-122n—1J-1n—1.L1

=22

当〃22时，因为X2n-1(-o)=o~-〉Q2=，所以7>(3)~义5

2/72/72z?n22

2n-11

x-x-x----=—

3n4/2

综上可得对任意的"GN*,均有

4〃

14.(2015•新课标I［文，20)已知椭圆aj+%=l(a>6>0)的离心率为半，点⑵啦)

在。上.

(1)求C的方程；

(2)直线/不过原点。且不平行于坐标轴，/与C有两个交点4B,线段46的中点为

M.证明：直线QV的斜率与直线1的斜率的乘积为定值.

［解析］⑴由题意有“下忆乎，4+1=1,解得才=8,4=4,所以椭圆C的方程

(2)设直线/：y=4x+6(AW0,6W0),A(xifyj,Blx?,y》，M(xa,%),把y=4x+6

代入会+?=l得，

o4

(2A2+1)%2+4A^+262-8=0.

故.=乂；左=2%，：,jv=-+b=2；*\'于是直线〃区的斜率儿尸三=一/，即局•女

=-1,所以直线〃"的斜率与直线1的斜率乘积为定值.

15.(文)已知点尸为y轴上的动点，点M为x轴上的动点，点—1,0)为定点，且满足而

+3加0,PM-/=0.

(1)求动点A'的轨迹6的方程；

(2)过点尸且斜率为4的直线/与曲线£交于两点力、B,试判断在x轴上是否存在点C,

使得|。/+|阳2=］初2成立,请说明理由.

［解析］(1)设Mx,y),则由曲叶自小0,得P为助V的中点.

.•.一(0,6，材(一工,0).

.♦.而=(-x,一合，赤=3一合.

2

PM•/F=—x+：=0,即/=4%

・・・动点4的轨迹后的方程为/=4%

(2)设直线1的方程为尸女5一1),

\y=k%—1，,4

由《2、消去x得/—>—4=0.

［y=4xK

4

设力(E,yi)>B(X2，,㈤，则'+%=7，71y2=-4.

假设存在点C(加,0)满足条件，则O=(xi—力，力)，

CB=(XL叫y2),

/.CA•CB=X\X2-m{x\+Xi)+ni+y\y2

=(竿)2—/〃(中)+/—4

=一拿(力+度)2—2力同|+力3

4

=方一)(7+2)—3=0.

k

4

VA=(-2+2)2+12>0,

K

4

，