四点共圆模型-2024年中考数学核心几何模型重点突破（解析版）

专题26四点共圆模型

内容导航：模型分析-►典例分析T

【模型】如图26T,已知在由点4B、C、D构成的四边形中，乙4cB=N40B=90。n

（1）点4、B、C、。四点在同一个圆上，且AB为圆。的直径。

（2）圆内接四边形的对角互补。

【模型变式】

如图26-2,已知4B为ZM2C和。4BD的公共边，点C、D在4B的同侧，且NC=N。。

图26-2

=点4、B、C、。四点在同一个圆上，且AB为圆。的直径。

【例1】如图，四边形48CD内接于。。，AB=CD,4为命中点，/BDC=60°,则4DB

等于（）

BD

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】根据=/为防中点求出NCBD=NADB=NABD,再根据圆内接四边形的

性质得到NABC+NADC=180。，即可求出答案.

【解析】,・•人为命中点，

­•AB=AD,

AZADB=ZABD,AB=AD,

'：AB=CD,

：.NCBD=NADB=NABD,

•・•四边形4BCD内接于。。，

.\ZABC+ZADC=180°,

.•.3ZADB+60°=180°,

AZADB=40°,

故选：A.

【例2】如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，若。。半径为4,且/C=2N/,贝!

的长为.

【答案】46

【分析】连接OB,OD,利用内接四边形的性质得出NA=60。，进而得出/BOD=120。，利

用含30。的直角三角形的性质解答即可.

【解析】连接OB,OD,过O作OELBD,

:四边形ABCD是。。的内接四边形，ZC=2ZA,

.•.ZC+ZA=3ZA=180°,

解得：ZA=60°,

.-.ZBOD=120°,

在Rt^BEO中，0B=4,

；.BE=2g,

，AC=45

故答案为：473.

【例3】如图，已知必△ABC和RraCDE,AACB=ACDE=90°,乙CAB=LCED,AC=8,

BC=6,点。在边力B上，射线CE交射线BA于点F.

(1)如图，当点尸在边ZB上时，联结4E.

①求证：AE//BC-,

②若EF=出,求BD的长；

(2)设直线AE与直线CD交于点P,若aPCE为等腰三角形，求8尸的长.

【答案】(1)①见解析；②(2)昉的长为詈或30

【分析】(1)①先证明△力BC“△ECD,再证明尸，^AFECFD,推导出

ZFAE=/B,得4E〃BC；

AJ7JE7FF1

②由△AFEsABFC,^―=-=—=-,依次求出4B、AE,AF、职的长，再根据

BCBFCF2

勾股定理求出CE的长，再求出BD的长；

(2)分三种情况讨论，一是PE=CE,可证明，求出4P的长，在RtaEAC

中根据勾股定理求出NE的长，再根据相似三角形的性质求出2月的长；二是PC=EC,可

证明80=BC=6,则AE=AP=AD=4,根据相似三角形的性质可求出BF的长;三是PE=

PC,可证明此时射线CE与射线84没有交点.

【解析】(1)①证明：如图1,・・・/ZC5=NCDE=90。，NCAB=NCED,

:.AABCsAECD(//),

ZB=ZECD,

•;/CAF=/DEF,ZAFC=/EFD,

:./\CAF^/\DEF(44),

.AF_CF

「AFEF

AFDF=EFCF,——二——，

CFDF

ZAFE=ZEFD,

:.AAFESACFD(SAS),

・•・ZFAE=/ECD,

・•.NFAE=NB,/.AE//BC.

②如图1,•.•石尸=’。尸，

2

•・•AE//BC

：./BAE=/CBA

XVZAFE=ZBFC

.*.△AFE〜ABFC(AA)f

.AEAF_EF

'^C~^F~~CF~2,

AC—8,BC—6,

:.AB=V82+62=10，

AE=-BC=-x6=3AF=-AB=-xlO=—BF=-AB=-x10=—

22f333f333

・・・AE//BC

I.ZEAC=180°-NACB=90。，

:.CE=M+32=。，

口口'「口回『2「口2773

3333

VZK4C=ZCDE=90°

:・C、4、E、D四点共圆，

：.ZCEA=ZCDA

:.AAEFs^DCF(AA)

,AFCF

EFDF

•Annrrrrr日nnoA/732A/73

..AF-DF=CF-EF,即——DF=------x---------

333

73

解得。尸=正，

•・•DE1PC,

/.PD=CD,

•・.AP//BC,

AP=/BCD,/PAD=ZB,

.\Z\PAD^Z\CBD(AAS),

AP=BC=6,

:.CE=PE=AE+6,

•・•NCAB=NCED

・・・C、E、4、。四点共圆

又TNCDE=90°

ZCAE=90°

：.AE2+AC2=CE2,

/1+82=(/£+6『,

•••AE=p

•・•AE//BC,

：.AAFEs△BFC

7

.AF_AE_J_2_

'BF~BC~6-18

.BF-107

BF-18,

AP=AE.NACE=NACP,

设DE交ZC于点G,

vZCEG=ZDAG,ZCGE=ZDGA,

.△CEGs八DAG,

/ACE=ZADE=ZACP,

•・•NBDC+NADE=90。,/BCD+/ACP=90。,

・•・ZBDC=NBCD,

BD=BC=6,

•・•/ADP=ZBDC,NP=/BCD,

・•・ZADP=/P,

AE=AP=AD=10-6=4,

*:/\FAE^/\FBC,

.AFAEA_2

…而一瓦一》一3

.BF-10_2

••~~J

BF3

:.BF=30；

如图4,PE=PC,则

:AACE义ADEC,

/ACE=/DEC=ABAC,

CE//AB,

・•・射线CE与射线BZ没有交点，

综上所述，B尸的长为詈或30.

一、单选题

1.如图，无△43C中，AB=BC,ZABC=90°,O为/C的中点，K为BC上一点、,NC±

BC,且NC=BK,AK分别交BN、OB于■M、F,AC交BN于E,连接（W,下列结论：①

AK工BN；②OE=OF；③/OMN=45°；④若/OAF=NBAF,则”=士其中正确结论的

AF2

个数有（）

A.1个B.D.4个

【答案】D

【分析】根据K型全等和八字形倒角可证①正确；根据△NBC是等腰直角三角形，。为/C

的中点，可得8。三线合一，可证△O3E丝△CMF（4SrN）,得出②正确；根据

AMB+ZAME=\^°,可得/4WE+/BO5M80。，可证£、M、F、。四点共圆，然后根据同

弧所对的圆周角相等，可得③正确；取/歹的中点G连接OG,易得OG是直角三角形/O9

的中线，根据NA4O45。，ZOAF=ZBAF,NOAF+/BAF=/BAC,易证0M=OG=]4F,可

证④正确.

【解析】解:①,・,NCJL5C,

・•・ZBCN=90°,

*.*/ABC=90。,

：.NBCN=/ABC,

•：AB=BC,NC=BK,

：.LABKm丛BCN(SAS)f

/KBM=/BAM,

丁ZABC=ZKBM+ZABM=90°,

・•・ZABM+ZBAM=90°,

•・•ZABM+ZBAM+ZAMB=180°,

ZAMB=90°,

.\AK.LBN；

@U：AB=AC,NABC=90。，

・・・AABC是等腰直角三角形，

・・•。为4C的中点，

：.BO是等腰直角三角形Z5C的中线垂线角平分线，

1

：.OB=OA,ZBOE=ZAOF=90°,/OBC=^/ABC=45。,/BAC=45。,

•：/OBC=/KBM+/OBE=45。,/BAC=/BAM+/OAF=45。,/KBM=/BAM,

：.ZOBE=ZOAF,

：.△OBEQdOAF(ASA),

：.OE=OF；

@VZBOE=90°,OE=OF,

・・・△OEF是等腰直角三角形，

：.ZOFE=45°,

VZAMB=90°,ZAMB+ZAME=180°,

：.ZAME=90°,

：.ZAME+ZBOE=lSO°f

；.E、M、F、。四点共圆，

：.ZOMN=ZOFE,

：・NOMN=45。；

④如图，取4斤的中点G连接OG,

・・•NABF=90。,

：.OG是直角三角形4。尸的中线，

：.OG=AG=^AF,

：.ZGOA=ZOAM,

VZBAC=45°,ZOAF=ZBAF,ZOAF+ZBAF=ABAC,

：.ZOAF=22.5°,

：.ZGOA=22.5°f

•・•ZOGM=ZGOA+ZOAF.

：.ZOGM=45°,

•：/AME=/OMN+/OMG=9。。,/OMN=45。,

：.ZOMG=45°,

：.ZOMG=ZOGM=45°,

：.OM=OGf

：.OM=^-AF,

2

.OM_1

••——.

AF2

故选：D.

2.如图，在瓦△/BC中，/ACB=90°,4C=BC=4,将△43C绕点/沿顺时针方向旋转

后得到直线8。、CE相交于点。，连接则下列结论中：①AABDs^ACE；

②NCOD=135°；®AO±BD；④△/0C面积的最大值为8,其中正确的有（）

D

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】①由旋转性质证明△4BDACE即可判断；

②由①的结论可得，ZABD=ZACE,进而得到/BOC=/C48=45。，即可判断4。。;

③证明△ABD为等腰三角形即可判断；

④由题意直线8。、相交于点0,当2D，4c时，△40C的面积最大，通过勾股定理计算

求出最大值，进而进行判断

【解析】①由旋转的性质可知：AC=BC=4E=DE=4,AB=AD=4位

ABAD广

——=——=V2

ACAE

•••ZDAE=NCAB=45°

ZDAE+ZEAB=ZCAB+/EAB

即ZBAD=ZCAE

•••△ABD-△ACE

故①正确

②设CEMB相交于点F,如图：

由①△ABD-△力CE,可得=

又NBF0=ZCFA

ZB0C=ZCAB=45°

•••^COD=135°

故②正确

③NB0C=ZCAB=45。，

.•・可知4B,C,。四点共圆，

则/B。力=ZBCA=90°

即4。1BD

故③正确

④设。到力C的距离为〃，

-：AC=4,以4c为底边，当〃最大时候，△/0C面积的才最大，

由③可知△4BD是等腰三角，0D=0B

•••BC14C,当。点到4C的距离最大时即当4D，/C时，力最大

即当旋转角度45。时，过。作。G14C于点G,如图，

由②可知4。。=135°

由③可知力。1BD,

：.ZAOC=45°

AB=AD,ZBAD=45°

1

ZABD=-(180°-45°)=67.5°

由①可知△力BD-AXCF

ZACE=/ABD=67.5°

ZOAC=180°一ZOCA-ZAOC=67.5°

•••OA=OC

1

•••CG=GA=-AC=2

在RSBDE中，BE-AB-AE=4V2-4,DE=4

BD=dBE2+DE2=J(4V2—4)2+42=4V4-2V2

在Rt△力。。中，AD=4V2,OD=\BD=2V4-2V2

AO=JAD2-OD2=J(4&)2-(2V4-2V2)2=2V4+2V2

在历/XOCG中，

OG=y/AO2-CG2=V16+8V2-4=V12+8V2=2V2+2

11

SAAOC=24。xOG=—x4x(2A/^+2)=4V^+4

cGA

故④不正确

综上所述：①②③正确，共计3个

故选C

3.如图，圆上有力、B、C、D四点，其中NB力。=80。，若弧4BC、弧40C的长度分别为7T、

Un,则弧B/W的长度为

A.4乃B.D.157r

【答案】C

【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得NC=100。，然后根据圆周角定

理可得弧BAD所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得.

【解析】•••弧ABC、弧/WC的长度分别为7万、117T

二圆的周长为7兀+11兀=18兀

•­•ZBAD=80°

.〔”=100。（圆内接四边形的对角互补）

.,.弧BAD所对圆心角的度数为2NC=200°

则弧B4D的长度为187rx猾=10兀

360

故选：C.

二、填空题

4.在综合实践课上，老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方

形边上.小红利用两张边长为2的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一

个面积最小的正三角形.则这两个正三角形的边长分别是.

【答案】2遥-2或，2.

【分析】设4FFG为正方形N8CD的一个内接正三角形，不妨假设RG分别在/£CD上,

E在/D上，作aEPG的高EK,可得点E,K,G,。四点共圆，从而得点K为一个定点,

当G尸最大时，△EFG的面积最大，当G尸最小时，△EFG的面积最小，进而即可求解.

【解析】解：设△EFG为正方形/BCD的一个内接正三角形，不妨假设RG分别在

CD上,E在/D上，如图，作△EFG的高EK,

ZEKG=ZEDG=90°,

...点£,K,G,。四点共圆，

ZKDE=ZKGE=60°,

同理：ZKAE=ZKFE=60°,

.,.△K4D是一个正三角形，点K为一个定点，

•.•正三角形的面积取决于它的边长，

...当G尸最大时，△EFG的面积最大，当G尸最小时，△EFG的面积最小,

.•.当KF_L/2时，FG最小，即尸G最小，此时，FG=AD=2,

当点厂与点2重合时，KF最大,即尸G最大，此时aFFG的面积最大,

过点K作的平行线交/。于点“，交BC于点N,

：.MK为△KAD的高，

Z.MK=DKsm600=ADsm600=V3,

：.KN=AB-MK=2-百，

为3G的中点，N为8C的中点，

：.CG=2KN=4-2y/3,

22

：.FG=y]pC2+CG=心+（4-2V3）=2V6-2V2-

B(F)

N

故答案是：2返一2或，2.

5.如图，已知在扇形4。8中，4408=120。，半径。4=0B=8.尸为弧AB上的动点，过点

尸作PM_L04于点M,PNL0B于点N,点、M,N分别在半径。A,0B上，连接MN.点。是

△PMN的外心，则点D运动的路径长为

【答案】y.

【分析】根据点P在弧2B上运动，其路径也是一段弧，由题意可得，点P运动路径所对的圆

心角是60。，连接P。，取P。的中点“，连接MH,NH,根据在RtAPMO和RtAPNO中，点H

是斜边P。的中点，可证得点P,M,0,N四点均在同一个圆，即。〃上，过点H作HK1MN,

垂足为点K,由垂径定理，ZMHK=60°.MH=4,可求得MN=2MK=4百，再根据点//

和点。重合，得到点。运动路径所对的圆心角是60。，根据弧长公式可求解.

【解析】解：点P在弧2B上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，

当点M与点。重合时，NPMB=30。，

当点N与点。重合时，ZPNA=30°,

・••点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°,

如图，连接P。，取P。的中点连接MH,NH,

•••在RtAPMO和RtAPNO中，点耳是斜边P。的中点，

MH=NH=PH=0H=/。=4,

・•・根据圆的定义可知，点P,M,0,N四点均在同一个圆，即。〃上,

又•.•NMCW=120°,ZPM0=/PN0=90°,

；.EMPN=60°,/MHN=2/MPN=120°,

过点”作HK,MN,垂足为点K,

由垂径定理得，MK=KN/MN,

二在RtAHMK中，NMHK=60。，MH=4,则MK=2四，

MN=2MK=4V3,

：b是/PMN的外接圆的圆心,

.・.点。是以点。为圆心,OP=4为半径，

・•・点P运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°,

.•.点。运动路径所对的圆心角是120°-30°-30°=60°,

.••点。运动的路径长为曙=v.

lot)3

故答案是：y.

6.如图，将△2BC绕点川顺时针旋转25。得到△AEF,EF交BC于点N,连接AN,若“57°,

贝INANB=.

4

【答案】102.5°

【分析】先根据旋转的性质得到NC4F=25。，乙CNF=KENB=25°,得到点A、N、F、C

共圆，再利用4NC=4FC=77.5。，根据平角的性质即可得到答案；

【解析】解：如图，AF与CB相交于点O,连接CF,

根据旋转的性质得到：

AC=AF,NF=NC=57°,Z.CAF=25°,/CNF=/ENB=25°,

.•.点A、N、F、C共圆，

ZACF=ZAFC=180°~25°=77.5°,

2

又：点A、N、F、C共圆，

/.NANC=ZAFC=77.5°,

:./ANB=180°-77.5°=102.5°(平角的性质),

故答案为：102.5。

三、解答题

7.在等边△4BC中，。是边力C上一动点，连接BD,将BD绕点。顺时针旋转120。，得到DE,

连接CE.

E

/jJzA

/\I

/\\

/\1

BC8

图1

(1)如图1,当B、A、E三点共线时，连接4E,若AB=2,求CE的长；

(2)如图2,取CE的中点F,连接DF,猜想2。与DF存在的数量关系，并证明你的猜想；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接8E、"'交于G点.若GF=D凡请直接写出

BE

的值.

【答案】(1)近；(2)AD=2DF；证明见解析；(3)立

3

【分析】(1)过点C作于点根据等边三角形的性质与等腰的性质以及勾股定理

求得CH=W，进而求得8。=百，在中，HE^AH+AE^2,CH=痘,勾股

定理即可求解；

(2)延长DF至K,使得FK=DF,连接EK,KC,过点。作DP||BC,交力8于点P,根据平行

四边形的性质可得，乙EDA=LKCA,证明△4PD是等边三角形，进而证明△4BD^AACK,

即可证明△力KD是等边三角形，进而根据三线合一以及含30度角的直角三角形的性质，可

得4。=2DF；

(3)过点。作DM1BE于点M,过点。作DN1AB,连接MF,交AC于点”，过点。作DN1AB,

交BE于点、R,过点R作RQ1BD于点Q,先证明NEMF=45。，结合中位线定理可得NEBC=

45°,进而可得NNBD=45。，设力N=DF=1,分别勾股定理求得4F,ND,BD,MB,进而根

据CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF求得CD+AB,即可求得迫空的值

BE

【解析】(1)过点C作CH14B于点H,如图

E

•.•将BD绕点。顺时针旋转120°,得到DE,

•••BD=DE,NBDE=120°

•••/DBE=NDEB=30°

•・•△ABC是等边三角形

•••/.ABC=60°,AB=AC,AH=^AB=1

:.CH=拒

•••/CBD=ZABC-ZABD=30°

1

・••BD1AC,AD=DC=-AB=1

2

:.BD=C

•「ZBAC=60°

・•・NEAD=120°

・•.NADE=180°-ZEAD-ZAED=30°

・•・ZAED=NADE

AE=AD=1

在Rt△£>”(?中，HEAH+AE2,CH=痘

：.EC=JHE2+HC2=J22+(V3)2=V7

(2)如图，延长OF至K,使得FK=D凡连接EK,KC,过点。作。PIIBC,交48于点P,

E

•・•点尸是CE的中点

・•.FE=FC

又FK=DF

・・・四边形CDFK是平行四边形

ED=KC,ED||KC

・•.ZEDA=/KCA

•・,将3。绕点。顺时针旋转120°,得到OE,

・•・BD=DE,/BDE=120°

BD=KC

・・・△ZBC是等边三角形

・•・AB=AC

•・・PD||BC

/.ZAPD=/ABC=60P,NCBD=/PDB，

・•・△4尸。是等边三角形

AD=AP

vAB=AC

DC=PB

设d)=a,则=

・•・Z.ABD=Z.APD-乙PDB=60°-a,ZADB=60。+a

ZADE=NBDE-NADB=120°-(60+a)=60。-a

・・・ED||KC

・•・ZACK=ZADE=60°-a

・•.NABD=ZACK

ABD=△ACK

•••AK=AD,ZKAC=ZDAB=60°

・•.△ZKD是等边三角形

•・•DF=FK

・•・/LFAD=-2LKAD=30°,AF1DF

2

1

DF=-AD

2

即4。=2DF

(3)如图，过点。作于点M,过点。作ON148,连接MR交4C于点打，过点。

作ONLZB,交BE于点、R,过点火作RQ180于点Q,

・•.NGMD=NGFD=90°

・・・B,D,产,G四点共圆

・•・NFGD=ZFMD

由(2)可知4F1DR,ZFAD=30°

・•・ZADF=60°

•・•FG=FD

・•.NFDG=NFGD=45°

ZFGD=ZFMD=45°

•・•将3。绕点。顺时针旋转120°,得到O&

・•.BD=DE,ZBDE=120°

1

・・.MB=ME=-BE

2

・••尸是EC的中点，

•••时/是^的中位线

・•・MF||BC

・•.NEBC=NEMF=45°

•・•ZABC=60°

・•・ZABE=ZABC-/EBC=60°-45°=15°

•・•NNBD=ZABE+NEBD=15°+30°=45°

・•.△NBD是等腰直角三角形

ND=NB

ZBAC=60°

・•・ZBAF=ZBAD+ZDAF=90°

v^AFD=90°,DN1AB

・•・四边形/ND尸是矩形

ND=AF,AN=DF

设ZN=DF=1

在RtZkZOE中，AD=2DF=2

・•.AF=JAD2-DF2=V3

・•・AB=ANNB=AN+ND=AN+AF=1V3,

DC=AC-AD=AB-AD=1y/3-2=43-1

在△NBD中,ND=NB=AF=W

・•.BD=&NB=V6

在Rt△MBD中MB=yjBD2-MD2=—BD=—

22

BE=2BM=3V2

•••CD+AB=CD+AC=CD+CD+AD=2CD+2DF=2(V3-1+1)=2怖

CD+AB_2V3_V6

BE=M'T

8.在平面直角坐标系中，抛物线y=3aN-10ax+c分别交x轴于点/、B(/左B右)、交

y轴于点C,1.OB=OC=6.

(1)如图1,求抛物线的解析式；

(2)如图2,点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，其横坐标为连接8C,过点尸作8c

的垂线交x轴于点。，连接CA,设△BCD的面积为S,求S与/的函数关系式(不要求写

出/的取值范围)；

(3)如图3,在(2)的条件下，线段CD的垂直平分线交第二象限抛物线于点E,连接E。、

EC、ED,且/EOC=45。，点N在第一象限内，连接ON,DN||EC,点G在。E上，连接

NG,点、M在DN上,NM=EG,在NG上截取NH=NM,连接W并延长交CO于点R

过点H作HKLFM交ED于点K,连接FK,若/FKG=/HKD,GK=2MN,求点G的坐

标.

图1\/图2\I图3

3568

26

-%+-X+--

【答案】(1)V8455

【分析】(1)待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)分类讨论，过点P作PQ_Lx轴于点Q,①当点。在x轴正半轴时，②当点。在x轴负半轴时,

求得BD=-彩+3+12根据S^BCD=x0C=,x6x(-耨+%+求)即可求得;

(3)延长DN至R,使得NR=EG,连接HR,KM,FR,FG,求得点E,D的坐标，证明△ECD

是等腰直角三角形，设NFKG=/.FMR=a,Z.FKR=20,设EG=a,则GK=2a,MN=

NR=a,证明△FDM=△FDK,△FHK"△GDN,△FRM=△FGK,进而证明四边形FGDR

是正方形，延长DE至勿，使EW=EG=a,则WK=2GK=4a,进而证明四边形WFRK是

平行四边形，求得黑分别过E,G作x轴的垂线，垂足为U,V,根据平行线的分线段

ED5a5

成比例和相似三角形的性质求得点G的坐标

【解析】解：(1)OB=0C=6,

B(6,0),C(0,6),

••・抛物线y=30-10ax+c分别交x轴于点AB(/左8右)、交y轴于点C,

,(3ax62-10ax6+c=0

Ic=6

解得k=V,

(c=6

2

••・抛物线的解析式为y=-|X+1X+6;

o4

(2)如图，过点P作PQLx轴于点Q,①当点。在x轴正半轴时，

6,点P在第一象限对称轴右侧抛物线上,其横坐标为6

,Q（。。），

・・・Z.BOC=90。,。8=0C=6

・•.△OBC是等腰直角三角形

・・・ZCBO=45°

•・•PD1BC

••・NPDQ=45°

即APOQ是等腰直角三角形

35

.•.PQ=OQ=-3产9+£+6

o4

・.•0Q=t

/35\31

•1-0D=0Q—DQ=t---t27+-t+6]=-t72--t-6

\84/84

BD=6—OD=6—(—t2--1—6I=——t2+—t+12

\84/84

②当。在久轴负半轴时，如图，

/375\371

BD-6+0D=64-DQ—0D=6+(—~~t+*yt+6)—t=—1+丁1+12，S4BCD

\84/84

11/371\/371\

——BDXOC=T?X6X(——t4-~t4-12)=3X(一~~t+11+12)

22\84)\84)

93

=--t2+-t+36

84

综上所述：S=—+：力+36(JVt<6)

o43

(3)如图，延长DN至火，使得NR=EG,连接HR,KM,FR,FG

VNEOC=45°

；.E至k,y轴的距离相等，且在第二象限，即点E在y=-久上,

35

y=——%2+—x+6

J84

y=­x

解喉二仁二

•••F(-2,2)

C(0,6)

EC=,22+(6-2/=2V5

••・E在线段CD的垂直平分线上，

•••ED=EC=2V5

设。(d,O)(d>0),则=(d+2尸+22=(275)2

解得d=2

.-.£>(2,0)

•••CD=V22+62=2V10

•••CD2=40,ED2+EC2=40

••.△EC。是等腰直角三角形

/EDC=45°

・・•DN||EC

・•・ND1ED

・•.ZRDC=45°

•・•HK1FM,/EDR=90°

・•・/HKD+/HMD=180°

又/HMD+/HMR=180°

・•・NHKD=NHMR

・・•NFKG=NHKD

・•・/FKG=/FMR

设乙尸KG=乙FMR=a,/FKR=23

贝MFKG+乙FMR+NFKR=2a+2/?=180°

即a+S=90°

•・•NM=NH

・•.NNHM=NNMH=a

・•・(MNH=180°-Z.NMH-Z.NHM=180°-2a=20NMNH=2s

•・•NH=NR

・•・/NRH=0

•・•(KDR=90。,乙HKD=a,HRD=0,a+夕=90。

・•.K,",R三点共线

设EG=a,贝UGK=2Q,MN=NR=a

在4尸0时与4FOK中

NFMD=180°-NFMR=180°-a,/FKD=180°-NFKG=180°-a,

・•.NFMD=NFKD

vZRDG=90。,NFDG=45°

・•・/FDM=/FDK=45°

又FD=FD

FDM=△FDK

・•.FK=FM,KD=MD

・・・MD+MR=DK+GK

即GO=RD

KDM,△GOR是等腰直角三角形

在四边形FKOM中，ZKDM=90。,/FKD=FMD=180°-a

・•・NKFM=360°-90°-2(180°-a)=2a—90。=2a—(a+s)=a—£

在^FHK与AGDN中

•・•NFHK=NGDN=90。,NFKH=NGND=2/?

/.△FHKsAGDN

・•・NNGD=/KHF="6

•・•/HGK=/HFK,HK=HK

・・.G,K,H,F四点共圆

•・•HK1FM

・•・NFHK=90°

・•・/FGK=90°

・・.NGFK=90°-NFKG=90。-a=0

在^FRM与八FGK中

MR=KG=2a

/FKG=/FMR=a

FM=FK

・•.△FRM=△FGK

・•・/RFM=NGFK=0

・・・NGFR=2/?+/KFM=2/7+a-/?=a+/?=90。

・•・/RFG=NFGD=NGDR=90°

・•・四边形FGDR是矩形

又GD=DR

・•・四边形FGDR是正方形

如图，延长DE至W,使EW=EG=a,则WK=2GK=4a

c

•・•FG1WK

・・・NKFG=ZWFG=/?

・•.ZWFH=ZWFG+NGFK+ZKFM=/?+£+仇一3=90。

・•.WF||KR

又FE||GD

・•・四边形WFRK是平行四边形

・•.FR=WK=4a

・・•四边形FROG是正方形

・•.GD=FR=4a

・•・KD=GD-GK=4a-2a=2a

.・.ED—EG+GD=5a

EGa1

ED5a5

,•丽―丽

・・・以一2,2),D(2,0)

•••DU=xD—xE=4

x-x1

•GE___

-4-5

解得%G=-|

・・・EU||GV

EUD-△GVD

GV_VD_4

•‘丽=丽=M

48

•••yc=5=5

68

9.定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为

该三角形第三个内角的遥望角.

(1)如图1,/£是△48C中//的遥望角.

①若//=40。，直接写出/£的度数是」