近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 概率与统计

近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编

十、概率与统计

一、单选题

1.（202卜全国（文））为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查,

将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

2.（2021•全国（理））将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

A.-B.—C.一D.-

3535

3.（2021・全国（文））将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

7

4.（2021・全国（理））在区间（0,1）与（1,2）中各随机取1个数，则两数之和大于一的概

4

率为（）

7239

A.-B.—C.—D

93232-?

5.（2021•全国（文））在区间（0，!随机取1个数，则取到的数小于，的概率为（）

<2J3

3211

A.-B.-C.一D.-

4336

6.（2021•全国）有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随

机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1"，乙表示事件“第二

次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两

次取出的球的数字之和是7"，则（）

A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立

C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立

7.（2020天津）从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm）,将所得数据分为

9组：[5.31,5.33）,[5.33,5.35）,.,[5.45,5.47）,[5.47,5.49],并整理得到如下频率分

布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47）内的个数为（）

A.10B.18C.20D.36

8.（2020♦全国（文））设一组样本数据Xl,X2，…，XnX\,10x2,…，10x〃的方差为（）

C.1D.10

9.（2020•全国（文））如图，将钢琴上的12个键依次记为可，。2,…，02.设\<i<j<k<\2.若

修“二3且则称的，ctj,以为原位大三和弦；若的=4且则称勿，a”cik为

原位小三和弦.用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为

A.5B.8C.10D.15

10.（2020.全国（理））在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为PI，P2，P3，P4,

且之P,=l,则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）

<=1

A.P[=2=°。1,P[=凸=0.4B.Pi=p&=0.4,0=凸=1

C.p、=p&=0.2,p2=P；=0-3D.P|=P4=0.3,p2=p3=0.2

11.（2020•全国（文））设。为正方形ABC。的中心，在。，A,B,C,。中任取3点，

则取到的3点共线的概率为（）

12

A.-B.-

55

14

C.—D.一

25

12.（2020•全国（理））某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单

位：℃）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据

（4y,.）（/=1,2,,20）得到下面的散点图：

由此散点图，在10。12至40。（2之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温

度x的回归方程类型的是（）

A.y^a+bxB.y=a+bx2

C.y=a+btxD.y=a+binx

13.（2019•浙江）设则随机变量X的分布列是：

则当。在（0,1）内增大时

A.O（X）增大B.D（X）减小

C.O（X）先增大后减小D.O（X）先减小后增大

14.（2019•全国（文））某学校为了解I000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,

2,1000,从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46

号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是

A.8号学生B.200号学生C.616号学生D.815号学生

15.（2019•全国（理））演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选

手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个

有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是

A.中位数B.平均数

C.方差D.极差

16.（2019•全国（理））我国古代典籍《周易》用“卦''描述万物的变化.每一“重卦”由从

下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一》和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有

重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是

5112111

A.—B.—C.—D.—

16323216

17.（2018•浙江）设随机变量J的分布列如图，则当"在（0,1）内增大时,

A.£＞仁）减小B.增大

C.先减小后增大D.。（为先增大后减小

18.（2018・全国（理））某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，，各成员的支

付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，QX=2.4,

P（X=4）＜P（X=6）,则口=

A.B.C.D.

19.（2018•全国（理））如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由

三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边A8,

AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为II,其余部分记为in.在整个图

形中随机取一点，此点取自I,II,III的概率分别记为p”P2,P3,则

A.pi-p2B.pi=p3

C.P2=P3D.p\=pi+pi

20.（2018・全国（文））某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实

现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后

农村的经济收入构成比例.得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是

A.新农村建设后，种植收入减少

B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

21.（2017•全国（理））某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集

并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制

了如图所示的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是（）

A.月接待游客量逐月增加

B.年接待游客量逐年增加

C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

22.（2017•山东（文））下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数

据（单位：件）若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则X和N的值分别为

A.5,5B.3,5C.3,7D.5,7

23.（2017•全国（文））如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形

内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点,

则此点取自黑色部分的概率是

1"1n

A.-B.—C.—D.一

4824

24.（2017♦山东（理））为了研究某班学生的脚长X（单位厘米）和身高了（单位厘米）

的关系，从该班随机抽取io名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线

1010

性相关关系，设其回归直线方程为9=+已知W>=225,Z%=1600,g=4.该

i=li=l

班某学生的脚长为24，据此估计其身高为

A.160B.163C.166D.170

25.（2017•全国（理））如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形

内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点,

则此点取自黑色部分的概率是

1711TC

A.-B.-C.-D.一

4824

26.（2017•天津（文））有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、

紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概

率为

27.(2017•浙江)已知随机变量J满足PC《=l)=pi,P(4=0)=1—i=l,2.若0<pi<p2<

『则

A.E(q)<E&),D&)<D&)B.E&)<E&),D&)>D&)

C.E&)>E&),D©)<D&)D.E&)>E&),D&)>D&)

28.(2011.湖北(理))如图，用K、Ai、A2三类不同的元件连接成一个系统.当K正

常工作且Ai、A?至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、AHA2

二、多选题

29.(2021•全国)有一组样本数据匹，々，…，当，由这组数据得到新样本数据M,%，…，

券，其中X=x,+c(i=l,2,…,"),c为非零常数，则()

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样数据的样本极差相同

30.(2020海南)我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地

连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是

A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加；

B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量；

C.第3天至第11天复工复产指数均超过80%;

D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；

31.(2020•海南)信息熠是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为

1,2,,n,且P(X=i)=p,>0(i=l,2,定义X的信息燃

/=1

H(X)=-fp,log2P,.()

/=1

A.若〃=1,则”(X)=0

B.若〃=2,则H(X)随着P1的增大而增大

C.若p,=』(i=l,2,,〃)，则，(㈤随着〃的增大而增大

n

D.若〃=2〃z,随机变量y所有可能的取值为1,2,.且

尸(y=j)=P/+=1,2,,m),则，(糕H(y)

三、解答题

32.(2021•全国)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A,B两类问题，每位参加比赛

的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比

赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，

该同学比赛结束4类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的

每个问题回答正确得80分，否则得0分，己知小明能正确回答AB

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；

（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由.

33.（2021•全国（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级

品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量

情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附"=——幽处——

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

34.（2021.全国（理））某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品

的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为［和］，样本方差分别记为

S'和S；.

⑴求［y,S：,S；；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果

y-x>2,则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高,

否则不认为有显著提高）.

35.（2020•海南）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行

调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：gg/m3）,得下表:

32184

6812

3710

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO?浓度不超过150”的概率;

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度

与SO?浓度有关？

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)S+d)

36.（2020.北京）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案

一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数

据如下表：

男生女生

支持不支持支持不支持

方案一200人400人300人100人

方案二350人250人150人250人

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（II）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有

2人支持方案一的概率；

（in）将该校学生支持方案二的概率估计值记为p0,假设该校一年级有5oo名男生和

300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为小，试比较Po与

Pl的大小.（结论不要求证明）

37.（2020•海南）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行

调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位：gg/m3）,得下表：

（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO?浓度不超过150”的概率;

（2）根据所给数据，完成下面的2x2列联表：

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度

与SO?浓度有关？

附：心——幽幻——,

（a+/?）（c+d）（a+c）（Z7+d）

38.（2020・江苏）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球.现从甲、

乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复〃次这样的操作，记甲口袋中黑球个

数为X”，恰有2个黑球的概率为p“，恰有1个黑球的概率为

（1）求p\-q\和piqn

（2）求2p„+q„与2p»i+qz的递推关系式和X”的数学期望E（X“）（用n表示）.

39.（2020•全国（文））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级

和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：

锻炼人次

[0,200](200,400](400,600]

空气质量等级

1（优）21625

2（良）51012

3（轻度污染）678

4（中度污染）720

（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率；

（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点

值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2,则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级

为3或4,则称这天“空气质量不好”.根据所给数据，完成下面的2x2列联表，并根据

列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量

有关？

人次900人次＞400

空气质量好

空气质量不好

n{ad-bc)1

(a+b)(c+(/)(«+c)(b+d)

P（烂"）

k

40.（2020•全国（文））某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分

为A,B,C,。四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分

别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.

该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本

费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种

（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；

（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂

家应选哪个分厂承接加工业务？

41.（2020•全国（理））甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负

两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空

者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两

人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先

比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

42.(2020•全国(理))某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量

有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这

些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(如如《=1,2,

20),其中x,和)，，分别表示第，.个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数

20202020

量，并计算得\>,=60,Z〉；=1200,£(七一无了=80,2()，一歹)2=9000,

1=11=11=11=1

20

-菊(其一切=800.

i=l

(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种

野生动物数量的平均数乘以地块数)：

(2)求样本8,>•,)(/

(3)根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得

该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明

理由.

力(苍-亍)(凹一歹)

附：相关系数正下泊"

一9f

Vi=li=l

43.(2019•江苏)在平面直角坐标系xOy中，设点集={(0,0),(1,0),(2,0),…,5,0)},

纥={(0,1),5，1)},。”={。2),(1,2),(2,2),.,(〃,2)},〃eN*.令B„\\Cn.

从集合Mn中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离.

(1)当”=1时，求X的概率分布；

(2)对给定的正整数〃(»>3),求概率P(X<n)(用〃表示).

44.(2019•北京(文))改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移

动支付已成为主耍支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使

用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付

方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(I)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数；

（II）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元

的概率；

（1ID已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随

机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元.结合（H）的结果，能否认为样本

仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

45.（2019•北京（理））改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移

动支付己成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使

用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A,B两种支付方式都不使用的

有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：

(0,10001(1000,2000]大于2000

交付金额（元）

支付方式

仅使用A18人9人3人

仅使用B10人14人1人

（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概

率；

（II）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个

月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；

（III）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中，

随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果，能否认为样

本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.

46.（2019•全国（理））为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：

将200只小鼠随机分成A,3两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，8组

小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用

某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

记。为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到尸（C）的估计

值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中。力的值：

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表).

47.(2019•天津(文))2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教

育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.

某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述

员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.

(I)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？

(II)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为

A,B,C,D,E,/.享受情况如下表，其中表示享受，“x”表示不享受.现从这6人中

随机抽取2人接受采访.

员工

ABCDEF

项目

子女教育OOXOX0

继续教育XXOXOO

大病医疗XXXOXX

住房贷款利息OOXXOO

住房租金XXOXXX

赡养老人OOXXXO

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;

(ii)设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生

的概率.

2

48.(2019•天津(理))设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为一.

3

假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.

(I)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分

布列和数学期望；

(II)设〃为事件”上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：

30之前到校的天数恰好多2”，求事件〃发生的概率.

49.(2019•全国(文))某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查

了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布

表.

y的分组

企业数22453147

(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业

比例；

附：V74«8.602.

50.(2019•全国(文))某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾

客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

满意不满意

男顾客4010

女顾客3020

(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

n{ad-bc'y

(a+/?)(c+d)(a+<?)(/?+d)

P(HX)

k

51.(2019•全国(理))

X个球该局比赛结束.

⑴求P(X=2)；

(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.

52.(2019•全国(理))为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新

药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试

验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，

再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止

试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施

以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得一1分；若施以乙药

的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得一1分；若都治愈或都未治

愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为a和夕，一轮试验中甲药的得分

记为X.

(1)求X的分布列；

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p,6=0,l,,8)表示“甲药的累计得分

为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则Po=°，〃8=1，Pi=aPi+bpi+cpi+i

(，=1,2,,7),其中a=P(X=—1),8=P(X=0),c=P(X=l).假设a=0.5,

£=0.8.

⑴证明：｛p,+「pJ(i=0,L2,,7)为等比数列；

(ii)求〃4,并根据P4的值解释这种试验方案的合理性.

53.(2018•北京(理))电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数14050300200800510

好评率

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(I)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的

概率；

(II)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(III)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“4=1”

表示第k类电影得到人们喜欢，’4=0”表示第左类电影没有得到人们喜欢(；1,2,

3,4,5,6).写出方差%,%,%,D4,。女的大小关系.

54.(2018•北京(文))电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类

电影部数

好评率

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的

概率；

(II)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；

(III)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发

生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加

0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数

的比值达到最大？（只需写出结论）

55.（2018•全国（理））某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项

生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们

随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产

方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：

（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；

（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数"？，并将完成生产任务所需时间超

过〃?和不超过的工人数填入下面的列联表：

超过加不超过机

第一种生产方式

第二种生产方式

（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？

(a+0)(c+d)(cz+c)(0+d)

56.（2018•全国（文））某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：//）

和使用了节水龙头5（）天的日用水量数据，得到频数分布表如下：

未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量

频数

使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表

日用水量

频数

（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图:

（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35根3的概率；

（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组

中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表.）

57.（2018•全国（文））下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额》（单位：

亿元）的折线图.

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了＞与时间变量f的两个线性

回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量，的值依次为1,2,,17）建立模型

①：亍=-30.4+13.5/；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,7）

建立模型②：9=99+17.5r.

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；

（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.

58.（2018•天津（理））已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.

现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.

（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做

进一步的身体检查.

⑴用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；

（ii）设A为事件”抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事

件A发生的概率.

59.（2018•全国（理））某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付

用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产

品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产

品为不合格品的概率都为p（0＜，＜1）,且各件产品是否为不合格品相互独立.

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为了（P）,求/（P）的最大值点P。；

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的P。作为，

的值.已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件

不合格品支付25元的赔偿费用.

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,

求EX;

（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作

检验？

60.(2018•天津(文))已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,

160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬老院参加献爱心活动.

(I)应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？

(II)设抽出的7名同学分别用A,B,C,D,E,F,G表示，现从中随机抽取2名同

学承担敬老院的卫生工作.

(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；

(ii)设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率.

61.(2017・全国(理))为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该

生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验，可以认

为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(〃,b2).

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在("-3b,"+3b)

之外的零件数，求尸(X21)及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(〃-3b,“+3Q之外的零件，就认为这条生

产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

其中方为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,,16.

用样本平均数工作为〃的估计值4,用样本标准差s作为。的估计值3,利用估计值

判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(2-33,&+33)之外的数据，用剩下的

数据估计〃和c

附：若随机变量Z服从正态分布N(〃,b2),则P("—3cr<Z<4+3b)=0.9974,

0.997416x0.9592，J0.008«0.09.

62.(2017•北京(文))某学校艺术专业300名学生参加某次测评，根据男女学生人数

比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成

7组：[20,30),[30,40),[80,90],并整理得到如下频率分布直方图：

(1)从总体的300名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间［40,50）内的人数；

（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相

等.试估计总体中男生和女生人数的比例.

63.（2017•全国（理））（2017新课标全国II理科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网

箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单

位：kg）.其频率分布直方图如下：

（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件:“旧养殖法的箱产量低于50kg,

新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有

关：

箱产量＜50kg箱产量式0kg

旧养殖法

新养殖法

0.0500.0100.001

附：

k3.X4I6.635I0.K2X

2

2_n（ad-bc）

（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

64.（2017.全国（理））某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本

每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处

理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最

高气温不低于25,需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20,25）,需求量为300

瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了

前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温110,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)135,40)

天数216362574

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的

进货量为450瓶时，写出丫的所有可能值，并估计丫大于零的概率.

65.（2017•天津（理））从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独

立，且在各路口遇到红灯的概率分别为1，

234

（1）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和均值.

（2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

66.（2017•山东（理））在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对

人的影响，具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示，

另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心

理暗示的作用，现有6名男志愿者4,A2,A3,A-AS,4和I4名女志愿者8I,Bi,

从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理喑示.

（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含5,的频率.

（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.

67.（2017•山东（文））某旅游爱好者计划从3个亚洲国家Ai,A2,4和3个欧洲国家

Bi,Bi,心中选择2个国家去旅游.

（1）若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；

（2）若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括4,但不包括Bi的概率.

68.（2017•北京（理））为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组

各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的

数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（I）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y