福建省海滨学校、港尾中学2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题含解析

福建省海滨学校、港尾中学2023-2024学年高二数学第一学期期末综合测试试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若数列｛4｝满足（"T）%=2,则％=（）

A.2B.6

C.12D.20

,、111

2.数列｛4｝满足％=1,对任意“eN*，都有。用=1+4+”,则一+一+——=（）

99

A.—B.2

98

9999

C.—D.-----

50100

2222

3.已知椭圆G：T+A=i（ai>4>°）与双曲线。2：*—*=1（%>0也>°）有相同的焦点片、B，椭圆G的

离心率为6,双曲线的离心率为e,,点尸为椭圆G与双曲线C的交点，且""=三，则当工+且取最大值

3G02

时G+02的值为（）

4.在区间［1,5］内随机取一个数加，则方程根27+4y2=i表示焦点在y轴上的椭圆的概率是

31

A.-B.-

55

13

C.一D.-

44

v2y2

5.过双曲线当一=1(a>0,%>0)的左焦点F(—c,0)作圆O：必+72=层的切线，切点为E,延长FE交双曲线于

a~b2

点P,若E为线段尸尸的中点，则双曲线的离心率为()

D.若上1

C忑+1

2

6.若双曲线经过点(-百,6),且它的两条渐近线方程是丁=土3无，则双曲线的方程是()

2

y2

A.±--x2=lB.--J2=1

99

2222

cl-土=1D.土-匕=1

273273

7.“国=计'是"=y"的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线必=一8》,已知水利人员在某个时刻测得水面宽|AB|=8m,则此时

C.4mD.2m

9.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之栗五斗・羊主曰：“我羊食

半马•”马主曰：“我马食半牛•”今欲哀偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾

苗的主人要求赔偿5斗栗•羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半•”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半

■”打算按此比率偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人各应偿还栗a升，6升，c升，1斗为10升，则下

列判断正确的是(

A.a,b,。依次成公比为2的等比数列，且〃=—

7

B.a,b,c依次成公比为2的等比数列，且。=竺

7

C.a,b,c依次成公比为工的等比数列，且。=笆

27

D.a,b,c依次成公比为工的等比数列，且。=笆

27

10.在ABC中，内角A,3,C所对的边为a,4c,若a=2,cosA=-,sinB=3sinC,则。=()

3

A-B.叵

22

C.逑D.2A/2

11.过两点(—2,4)和(4,-1)的直线的斜率为()

65

A.-B.-

56

65

D.----

56

12.直线4：%-如一2=0与直线心如+y+2=0交于点。，机是实数，。为坐标原点，贝！的最大值是。

A.2B.2加

C.2A/3D.4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

Y2y2

13.已知椭圆C：T+=l(a〉6〉0)的离心率为娓

ab2

(1)证明：a=yf3b;

9V3

(2)若点“—在椭圆C的内部，过点”的直线/交椭圆。于P、。两点，”为线段PQ的中点，且

OP±OQ.

①求直线/的方程；

②求椭圆C的标准方程.

14.已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.9,超过12岁的概率为0.6,那么该地区内，一只寿命超过10岁的猫

的寿命超过12岁的概率为.

15.已知点P是椭圆0+4=1（。〉6〉0）上的一点，片,月分别为椭圆的左、右焦点，已知N£P鸟=120。，且

ab

\PF{\=3\PF2\9则椭圆的离心率为.

16.随机变量X的取值为0,1,2,若尸（X=0）=g,EX=1,则。X=

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某高校自主招生考试分笔试与面试两部分，每部分考试成绩只记“通过”与“不通过”，两部分考试都“通过”

者，则考试“通过”，并给予录取.甲、乙两人在笔试中“通过”的概率依次为050.6,在面试中“通过”的概率依次为

0.4,0.3,笔试和面试是否“通过”是独立的，那么

（1）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，谁获得录取的可能性大？

（2）甲、乙两人都参加此高校的自主招生考试，求恰有一人获得录取的概率.

18.（12分）设椭圆C：・+#=1（。〉6〉0）的左，右焦点分别为4,B，其离心率为乎，且点（2,J5）在。上.

（1）求C的方程；

（2）。为坐标原点，尸为C上任意一点.若M为。工的中点，过M且平行于0P的直线/交椭圆C于A,B两点,是

否存在实数X,使得/l|OP|2=|MA|-|M3|?若存在，求彳值；若不存在，说明理由.

19.（12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：£+*.=1（a＞方＞0）的左、右焦点分别为耳，耳，其离心率e=逑，

a2b23

且椭圆C经过点M（30,、历）.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点M作两条不同的直线与椭圆C分别交于点A,B（均异于点M）.若的角平分线与y轴平行，试探究

直线A3的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.

20.（12分）在直角坐标系中，点P到两点M（0,一0）、N（0,6）的距离之和等于4,设点尸的轨迹为C,直线

y=Ax+l与。交于A、3两点

（1）求曲线。的方程；

（2）若0A_L03，求左的值

21.（12分）如图，在四棱锥A—BCDE中，四边形BCDE为平行四边形，且BC=2,ZCBE=45°,三角形ABE

为等腰直角三角形，且A5=2,ZBAE=90°.

（1）若点。为棱比的中点，证明：平面ACD，平面AOC；

（2）若平面ABE，平面3CDE,点R为棱8C的中点，求直线■与平面AD石所成角的正弦值.

22.（10分）已知｛4｝是等差数列，｛〃｝是各项都为正数的等比数列，%=%=1,再从①4+%=10；②与4=4；

③4=%这三个条件中选择，两个作为已知.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）求数列出｝的前八项和.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

〃+1

【解析】由已知条件变形可得<二-7,然后累乘法可得与，即可求出〃4

n-1

/、/、4〃〃+1

详解】由（"T）%=5+1）。“-1得丁=；^7,

an-\儿L

a.a^345〃+lz

cin—%,—,—xx------=2x—x—x—xx-------=〃（〃+1）（几>2）,

%a2an_x123n-1

...〃4=4（4+1）=20.

故选：D

2、C

〃5+1）1222

【解析】首先根据题设条件可得％+1-q=〃+1,然后利用累加法可得册=，所以一二（=———

最后利用裂项相消法求和即可.

【详解】由％+1=1+。〃+〃，得=〃+1,则

/\/\/\/xn（n+l）

an=（。〃_。-1）+（。〃一1一%一2）++（。2_%）+〃1=〃+（〃_1）++1=-，

122_2

所以莉而

ZTn〃+1

99

ClyCL?55

故选：C.

【点睛】本题考查累加法求数列通项，考查利用错位相减法求数列的前〃项和，考查逻辑思维能力和计算能力，属于

常考题.

3^D

13,

【解析】由椭圆的定义及双曲线的定义结合余弦定理可得为,电，c的关系，由此可得？+?=4,再利用重要不

qe2

等式求最值，并求此时的G+G的值・

【详解】设尸为第一象限的交点，|尸片|=加、\PF2\=nf

则加+〃=2。］、m-n=2a2,解得m=ax+a2>n=ax-a29

m2+/_4c2i

在尸耳月中，由余弦定理得：cosN4P鸟=整型——

122mn2

222222

***m+n—mn=4c，；・(％+^z2)+(%—a2)—(%+a2)(%-%)=4c,

即,+立<2>/2,当且仅当工=正，即c=正，62=逅时等号成立,

ex%exe222

此时G+e2=正产

故选：D

4、D

【解析】若方程加2—+4/=1表示焦点在y轴上的椭圆，贝!b/>4,解得机>2,2<m<5，故方程

5-93

+4/=1表示焦点在y轴上的椭圆的概率是P=--=-,故选D.

5—14

5、A

【解析】设歹,为双曲线的右焦点，连接。E,PF',根据圆的切线性质和三角形中位线得到|OE|=a,\PF'\=2a,利用

双曲线的定义求得|PR=4a,得到|E尸|=2a,在RSOE尸中，利用勾股定理建立关系即可求得离心率的值.

【详解】不妨设E在x轴上方，尸为双曲线的右焦点，连接OE,PF',如图所示：

因为尸尸是圆。的切线，所以。ELPE,

又E,。分别为尸尸，尸尸，的中点，所以|OE|=；|PP|,

又|OE|=a,所以|PF[=2a,

根据双曲线的定义，\PF\-\PF'\^2a,

所以|P*=4"，所以|EF|=2a,

在RtAOEF中,|OEF+囚尸F=|o尸|2,

即层+4层=,2,所以e=6,

故选A.

【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，联想到双曲线的另一个焦点，作辅助线，利用双曲线的定义是求解离心率

问题的有效方法.

6、A

【解析】根据双曲线渐近线方程设出方程，再由其过的点即可求解.

【详解】渐近线方程是丁=土3%,设双曲线方程为V—9x2=%,

又因为双曲线经过点（—石,6）,所以有6z—9x（-厨=9=2,

2

所以双曲线方程为V—9^=9,化为标准方程为5-丁=1.

故选：A

7、B

【解析】因W=%=y但％=V=国=可

8、D

【解析】代入计算即可.

42

【详解】设〃点的坐标为（4,y）,由抛物线方程j?=-8y得y=t=—2,则此时刻拱桥的最高点到水面的距离

—8

为2米.

故选：D

9、D

【解析】由条件知。，b,C依次成公比为工的等比数列，三者之和为50升，根据等比数列的前"项和，即

2

c+2c+4c=50n。=笆.故答案为D.

7

10、B

【解析】利用正弦定理角化边得到匕=3c,再利用余弦定理构造方程求得结果.

【详解】sinB=3sinC,:.b=3c,

由余弦定理得：a2=b2+c2—2Z?ccosA-8c2=4，­•=~»:.c=•

22

故选：B.

11、D

【解析】应用两点式求直线斜率即可.

4-（-1）5

【详解】由已知坐标，直线的斜率为左二—3二-二.

—2—46

故选：D

12、B

【解析】求出两直线的交点坐标，结合两点间的距离公式得到1001=^^,进而可以求出结果.

2-2m-2-2m

【详解】因为/1：%一如一2=0与/2：如+丁+2=0的交点坐标为。

1+机2'1+m2

2

2—2mVf—2—2m8（l+m）2A/2

所以|。。|=

1+m2JI1+m2（1+*J1+m2

当相=0时，=20,

QIQ|Imax

所以|Q21的最大值是2&，

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

LLf

13、（1）证明见解析；（2）①氐—y—6=0；②事+丁=1.

【解析】（1）由2=炉？可证得结论成立；

a

（2）①设点P（玉,%）、Q（x2,y2）,利用点差法可求得直线/的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；

②将直线/的方程与椭圆C的方程联立，列出韦达定理，由OPLOQ可得出OP-OQ=0,利用平面向量数量积的坐

标运算可得出关于/的等式，可求出尸的值，即可得出椭圆。的方程.

a2-b1等•一冬因此，”后

【详解】（1）e=-

a2a2

22

（2）①由（1）知，椭圆。的方程为*+£=1,即/+3/=3/,

、2

当但9<3/,可得"述.

”15）在椭圆C的内部时,+3-

10710

再+%2_9

丁〜厂，所以，4.心,

设点P（WK）、。（尤2,%），则，

%+%=13再+々9

-记

尤2+3y2=3b2

由已知可得＜J+3,=3必，两式作差得（％+々）（％_/）+3（%+%）（%_%）=°，

肝以M—%/+%_l

==x=G,

XL?3（%+%）3

所以，直线/方程为y-,即y=6x-y/3.

I1°

所以，直线/的方程为氐-y-G=0；

x2+3y2=3bl

②联立厂/.,消去》可得10f—18X+9—3尸=0.

y=V3（x-l）

A=182-40（9-3Z?2）=120Z22-36>0,

99-3b-

由韦达定理可得石+x2=—,

10

又OPA.OQ,而OP=（&yJ,OQ=（x2,y2）,

一）

:.OPOQ=xlx2+%%=%/+6（%-1）-A/3（x2-1）=4x^23（%+X2+3

2（9—3必）—27+156—6必八

55

解得廿=1合乎题意，故储=3^=3，

因此，椭圆。的方程为二+y2=i.

3-

【解析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】设事件A：猫的寿命超过10岁，事件已猫的寿命超过12岁.

依题意有P（A）=O9,P（B）=P（BoA）=0.6,

则一只寿命超过10岁猫的寿命超过12岁的概率P（B\A）=用;=^|=|

、2

故答案为：I

15、叵

4

【解析】设|PM|=x,|W|=3x,2a=4x,由余弦定理知（2。-=13必，所以工=巫，故填史.

a44

2

16、-##0.4

5

【解析】设出概率，利用期望求出相应的概率，进而利用求方差公式进行求解.

14/4183

[详解]设P(X=l)=a,则p(X=2)=]——a=――a,从而EX=a+2R—a=三―a=1,解得：tz=-,

5515J55

,i,3,io

所以DX=(O_l)

2

故答案为：!

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)甲获得录取的可能性大；

(2)0.308

【解析】(1)利用独立事件的乘法公式求出甲、乙两人被录取的概率并比较大小，即得结果.

(2)应用对立事件、独立事件的概率求法，结合互斥事件的加法公式求恰有一人获得录取的概率.

【小问1详解】

记“甲通过笔试”为事件A,“甲通过面试”为事件为,“甲获得录取”为事件4,“乙通过笔试”为事件与，“乙通过面试”

为事件52,“乙获得录取，，为事件5,则

P(A)=p(A)P(4)=0.5X0.4=0.2,P(B)=P(B])P(B2)=0.6x0.3=0.18,即P(A)>P(B),

所以甲获得录取的可能性大.

【小问2详解】

记“甲乙两人恰有一人获得录取”为事件C,则

P(C)=P(AB)+P(AB)=P(A)P(5)+P(A)P(5)=0.2x0.82+0.8x0.18=0.308.

22

18、(1)上+上=1；

84

7

(2)A=—.

8

【解析】(1)列出关于a、b、c的方程组求解即可；

⑵直线/斜率不存在时，易得4的值；斜率存在时，设/方程为丁=左。—1),A(玉联立直线/与椭圆

C的方程，求出|吊4|・|〃3|；求出。尸方程，联立。尸方程与椭圆C的方程，求出|OP『；代入210Pl2=|.|M3|

即可求得九

【小问1详解】

42

——+——=1

“b2

cA/2

由已知可得＜e=—=——

a2

a2=b2+c2

22

解得。=2近力=c=2,.•.椭圆C的标准方程为±+±=1.

84

【小问2详解】

若直线的斜率不存在时，10Pl=2,11=1M31=半,

77

/.|MA||MB|=—=44=>X=一；

28

当斜率存在时，设直线/的方程为丁=左(％-1),人(%,％),5(%2，%)-

y=k{x-V)

2y22%+

联立直线/与椭圆方程x,消去y,得(2产+1)炉一4左2/—8=0,

T+T-

4k2

2左2—8

x.x=--——

122k2+1

'：OP//1,设直线0P的方程为丁=日,

y=kx

联立直线0P与椭圆方程x2y2_>消去y，得(2左2+1)尤2=8,

184

8

解得9

.WOP^x2+y2=(1+

:.IMA|={(%-行+或=y/l+k2(A,-1|,

2

同理|加8|=，1+向尤2-小.,•|M4|-|Affi|=(l+Z:)|(x1-l)(x2-l)|,

7

V(l-x1)-(x2-l)=-[x1x2_(%+冗2)+1]=27+1'

777

.•.|M4|-|MB|=(l+fc2)——,故G|0P『=|朋存在满足条件,

2kl+1oo

7

综上可得，存在4=石满足条件.

8

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于弦长公式的运用，A8斜率为怎4（%,%）,5（%2，%），M（l,0）,贝!J

*23

|MB|=Jl+k|x2—1|?|MA|=J1+42上一,|^£4卜眼目=（1+左2）|（王—1）（尤2—1）|=（1+左，卜%—（%i+/）+1|,

将弦长之积转化为韦达定理求解.

22

19、（1）—+^=1

364

（2）是，证明见解析

【解析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；

（2）根据题意分别设出直线M4、MB,与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.

【小问1详解】

由e=2，Z,得=号，所以层=9"①，

3cra29

1Q2

又椭圆过点M（30,0）,则二+77=1②'

由①②解得a=6,b=2,所以椭圆的标准方程为工+匕=1

364

【小问2详解】

设直线MA的斜率为展点4（七,％）,3（々；%），因为NAM3的平分线与y轴平行，所以直线M4与"的斜率互为

相反数，则直线MB的斜率为几

y=kx+^2-3^k

联立直线M4与椭圆方程，得

364

2

整理,得(9/+1)X+18亚kQ-3k)x+162/一顺一=L8=0,

鹏同理可得"驾答幺3板,

所以「心翳产

36亚k

--------->X,+X]=

91c+121IC

又M=—kx、+A/2+3y[o.k—(kxy+^2—3A/^左)=—k(x,+/)+6\[^k

12岳

乂—%.94+1=』为定值

所以^AB=36同3为定值.

942+1

2]

20、(1)必+1_=1；(2)k=±L

42

【解析】（1）本题可根据椭圆的定义求出点P的轨迹

（2）本题首先可设A（玉,%）、3（%，%），然后联立椭圆与直线方程，通过韦达定理得出菁尤2=

4十£

-2k

Xi+x=-一丁,最后通过OA_LOB得出演%2+%%二°，代入玉/、为+%2的值并计算，即可得出结果.

2q十/c

【详解】（1）因为点P到两点M（0,-0）、N（o,6）的距离之和等于4,

所以结合椭圆定义易知，点P的轨迹是以点河、N为焦点且2。=4的椭圆,

—_________2

则a=2,c=G，b=Ja2-c2=1'点P的轨迹。：父+乙=1.

4

(2)设A(玉，yj,5(无2,%)，

2

r2，z_=1,、

联立■4一，整理得(4+左2)尤2+2区一3=0,

y=kx+1

-3-2k

则占W=石正，…2二石下

因为。4_L03，所以石々+%%=0,

即/为2+(区1+1)(如+1)=0，整理得(K+1)为%2+4(%+X2)+1=0,

则（"?屋找祸1=。，整理得—1,解得T.

【点睛】关键点点睛：本题考查根据椭圆定义求动点轨迹以及直线与抛物线相关问题的求解，椭圆的定义为动点到两

个定点的距离为一个固定的常数，考查韦达定理的应用，考查计算能力，是难题.

21、(1)证明见解析

⑵述

3

【解析】(1)先证明AOLHE,COLBE,进而证明跖1平面AOC,即可证明平面AOC,从而证明平

面ACD,平面AOC.

(2)以。点为坐标原点，分别以OC,OE,0A所在直线为左轴，V轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

用向量法求解即可

【小问1详解】

因为八45£为等腰直角三角形，点。为棱的中点，

所以

又因为AB=2,ZBAE=9Q0,所以30=0，

又因为在BOC中B0=e，BC=2,NCBO=45°,

所以CO=7BO2+BC--2BO-BC-cosZCBO=叵>

所以8。2+。。2=8。2,所以COLBE,

又因为AOCO=O,所以班1平面AOC,

又因为3C£>£为平行四边形，所以BE"CD,

所以CD,平面AOC,

又因为CDu平面AC。，

所以平面ACD±平面AOC.

【小问2详解】

因为平面平面BCZJE,平面ABE平面BCDE=BE,AO±BE,

所以49