2024届四川省成都市某中学高三年级上册一诊模拟考试理科数学试卷及答案

2023-2024学年度2024届高三（上）一诊模拟试卷

本试卷分第T卷（选择题）和第TT卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.

第I卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的）

LE,知集合4=”2--2\-3<0},则集合/的子集个数为（）

A.3B,4C.8D.16

2.已知。为实数，若复数（a+i）（l-21）为纯虚数，则。=（）

A.-2B.一）C.-D.2

3,与y=才有相同定义域的函数是（)

2

A.y=x^B.y=(«)2C.D.y-^x

4,若向量6万满足1恸=6+6)12|2方_昨而,则|可=()

A.2B.JIC.10D.VlO

5.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为蔡，则判断框中填写的内容

可以是（）

6.己知名AceR,则的必要不充分条件可以是《）

A.—B.ac<beC.ac1<he2D.a1<：b1

ab

7.抛物线。：/-2"（〃>0）的顶点为0,斜率为1的直线/过点（2p,0）,且与抛物线C交于

两点，若AQ/8的面积为8石，则该抛物线的准线方程为（）

A.x=-1B.x=—C.x=-2D.x=—5/2

2

&设"以是两条不相同的直线，名夕是两个不重合的平面，则下列命题错误的是（）

1

A.TitnLa,nI!praIIft>NOm1n

B.若•6,则aJLp

C.若秋”是异面直线，mua,Mt/BmuB,"tia,\aali。.

D.若m_Ln,m1/7»则“〃尸

9.某人根据自己爱好，希望从｛%,X,y,Z｝中选2个不同字母，从｛0,2,6,8｝中选3个不

同数字编拟车牌号，要求前3位是数字，后两位是字母，口数字2不能排在首位，字瑾Z和

数字2不能相邻，那么满足要求的车牌号有（）

A.198个B.180个C.216个D.234个

10.己知a-p=g,tana-tan夕=3,6,则cos（a+6）的值,为（）

A.-B.-C.--D.--

2346

11.已知双llll缱C：£_£=l（a>0,b>0）的左焦点为尸，过尸的立线与圆/+），2=/相

b-

切于点0,与双曲线的右支交于点p,若|PQ|=2|国则双曲线C的离心率为（）

A.叵B.巫C.1D.1

3223

12.与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线，关于曲线的法

线有下列4种说法：

①存在一类曲线，其法线恒过定点；

②若曲线y=f的法线的纵截距存在，则其最小值为」；

4

③存在唯••条直线既是曲线y="的法线，也是曲线y=lnx的法线：

④曲线p=sinx的任意法线与该曲线的公共点个数为1.

其中说法正确的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

第TT卷

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

\x-3y+240,

13.若x,7满足约束条件〈X-y40,贝1]z=工-2y的最大值为____________.

Lv>o.

14.（x-2j，）（2x+y）s的展开式中xV的系数为.（用数字作答）

15.半球的表面积与其内最大正方体的表面积之比为.

16.如图，在△/1/右所在平面内，分别以/W,XT为边向外作正方形/W杼,和正方形成痴记

△4BC的内角/I，B>C的对边分别为a,b,c,而枳为S.己知5=3，上L

4

«sinN+csinC=4qsinCsin5,则F//=.

2

三、解答题供70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

17.(12分)在等比数列｛%｝和等差数列｛4｝中，/=24=2,a2=2b2,6=24+2.

(1)求数列｛%｝和｛4｝的通项公式；

(2)令c.4,记数列｛cj的前〃项积为北，其中工=4,证明：

1&(12分)综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一.某高中采用多维评分的方式进

行综合素质评价.下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区

间[90,100)，[70,90),[60,70),[50,60)上，分别对应为d,B,C,。四个等级.为

了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获H等级的学生不参加包评，等级不受，对

其余学生学校将进行一次复评,复评中，原获3等级的学生有上的概率提升为4等级：原

4

获，等级的学生有二的概率提升为8等级：原获。等级的学生有L的概率提升为。等

56

级.用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立.

(1)若初评中甲获得3等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为夕等级的

人数为f,求f的分布列和数学期望；

(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的

概率.

19.(12分)如图，平面四边形4BCD中，BC//AD,^ADC=90\ZABC=120,E是3上

的一点，4B=BC=2Z)及F是EC的中点，以EC为折痕把△KDC折起，使点。到达点p

的位置，旦尸C_L3F.

3

(1)证明t平面PECJ■平面；

(2)求直线PC与平面R4B所成角的正弦值.

20.(12分)在平面直角坐标系xOy中，0为坐标原点，动点。(吃力与定点F(VIo)的距离

和0到定直线工=勺巨的距离的比是常数也，设动点。的轨迹为曲线C.

32

(1)求曲线C的方程；

(2)已知定点PRO),-2<t<0.过点户作垂直于*轴的直线入过点?作斜率大于。的直

线r与曲线C交于点G,H,其中点C在彳轴上方，点〃在X轴下方.曲线。与“轴负半轴

交于点发,直线4G，NH与直线，分别交于点四川若4aM〃四点共圆，求£的

值.

21.(12分)设函数尸(x)=(1-2)cosx+2cosa-”■—吧乌，其中“《(。，巴).

x-a2

(D若4=1,讨论F。)在(”令上的单调性，

⑵当xe时，不等式F(x)<0恒成立，求实数；I的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系x分中，已知直线♦的参数方程为卜="c°sa［为参数)，4为7的倾

卜=l+£sina

斜角，且ae(0/),以坐标原点为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐

标方程为/2

i+cos'e

(D求曲线C的直角坐标方程，

(2)若直线，与曲线C交于48两点，点尸(0,1)恰为线段3的三等分点，求sina.

23.(10分)选修4-5,不等式选讲

已知=|2x+s|(附eR).

(D当加=0时，求不等式/(x)+|x-2|<5的解集，

⑵对于任意实数x,不等式|2.2|-/卜)〈〉成立，求加的取值范围.

4

参考答案(理科)

—、单选题：共12道，'题，每题5分，共60分.

123456789101112

CADBCCADADBD

二、填空题：共4道小题，每题5分，共20分.

31t_

13,T14,-7015.-16.35/2

4

三、解答题：共5道大题，共70分.

17.,(12分)解：

(1)设数列｛斯｝的公比为q，数列出曷的公差为d,

由m=2bi=2,有。1=2,&i=l>

又由。2=»2，有2q=2(小4)，有9=方1,

又由㈤=乃3+2,有2#=2(l+2d)+2,有/=2由2

可得J=2q,得q=2或q=0(舍去)，d—1»

故勺=2"，瓦i=M

(2)证明，由(1)知:c=-=—,力GN,

n“册2”

i（w+1）2n22/7+1-W2

则mr-q=-―滑~源~

当W>3时,Olli-C||<0»即G3>C4>C5>C6>C7>***>0»

而Cj,4=1,G=""=L当卸?4时，有\*二%〃vl,

28Tn

则彳1=转1=钙9=正七=9正乜乜>…，故心记9・

18.（12分）解*

C1）4的所有可能取值为。，L2,3,

1/144<144111414

^=0）=-x-x-=_,P（^=l）=-x-x-+-xC2.-x-=->

*TJF。Jp

P（^=2）=-xC^-lxi+Ax-xi=-.P（^=3）=7xix1=—>

74554554v7455100

:.&的分布列如下:

0123

414£3

p

25254Too

L/F、141911523

25210010020

（2）记事件4为“该学生复评晋级”，事件8为“该学生初评是"，

,..P（AB）015X718

P（B\A）=\/=------：------T-------=—.

「⑷0.6xl+0,15x1+0.0Sx-Jr.113

456

19.（12分）解：

（1）由BC//4D,44DC=90",/^=BC=2OE，所以平面四边形4BCD为直角梯形，设

AB=BC=2DE=4a，因为//8£?=120匚

所以在此△口>£■中，CD=2yj3a,EC=4a,tanZ.ECD=~=^->则N£CD=30"，又

ZADC=ZBCD=9（f>所以NBCE=60°，山EC=BC="=4a，

所以A2?CE为等边三角形，

又尸是EC的中点，所以B尸1EC，又BF^LPC,EC,PCu平面PEC,ECcPC=C，

则有M-L平面PEC，

而Mu平面ARCE，故平血PEC1平血ABCE-

(2)在RQPEC中，PE=DE=PF=-EC=2a-取E/中点。，所以POJLEF，

2

由(1)可知平面P£CJ•平面48CE，平面尸EUR平面48CE=EC，

所以POJ,平面48CE，

以O为坐标原点，od方向为，轴方向，

建立如图所示的空间宜角坐标系，

则户(0,0,岛),/(26”,-3“,0),8(2由“,4,0),。(0,3“,0)，

PA=(2\/3a,—3a,—73a),PB=(2\(3a,a,—>j3a),PC=(0,3%-Ga),

设平面以8的法向量荷=(.“/)，由kL得的依-姆-/=0,取I，则

眄P3=0|[2&x•+砂-&tz=0,

历=0,0,2）

设直线PC与平面研所成角大小为9，

|ni-PC26a

则sin。=

间元JF+2「-#34+（-Ay

故直线PC与平面PAB所成角的正弦值为由.

20.(12分)解：__________

小-6)+/道2

(1)由题得：-——而—=妥，两边平分并化简得二+/=1，即曲线C的方程.

3I

⑵设点G(*,yJ,

直线GH:蚱A(x-，)(A>0)勺椭圆C的方程片+V=1联立，

2

消去y得(1+42产-胧%+(#"-4)=0.

山丰;大方神8好t4k212—4

由韦必定理：x+x2=--------»x-x2=------

由条件，直线4G的方程为y="一(x+2),直线/目的方程为＞=*半x+2),

甬+2^2+~

于是可得以=坐言'3亭等.

因为4O,M,N四点共圆，由庙交弦定理可知为(-%)=(-改+2)，

化简得7~鬻不=4

(Xj丁2)(三+2)1+2

又乂=外占_，)，yl=k(x2-t),代入整理得：巴斗二/包£)=」_.

为/+2(曰+0)+4t+2

将韦达定理代入化简得，,-4，,即,=-2.

4(g+2)2t+23

21.(12分)解：

.,**.、sinx-sina、cosx(x-a)-(sinx-sina)人

(1)由2=1知，F(x)=cosa-----------------,F(x)=-----------------/--------,令

x-a(x-a)

G(.v)=-cos式x—G)十(sinx-sina)»由G'(x)=sinx{x-〃)>0,知G(x)在(a,g)上单增，

TT

有G(X)>G(G)=0,即/a)>0,亦知尸(x)在(a彳)上单调递增.

(2)tS/(x)=[(1-2)cosx+zlcosa](x-a)-(sinx-sina),且工今，

fXx)=4(cosa-cosx)-(1-比X4—a)sinx,/“(》)=(22-l)sinx+(A-iXx-fl)cosx,

1)当a时，由/”(刈4(2・3—1)$[11>:+(3—1)(工一4)854=-3(>:-1)8$*<0,知

f'(x)在(。,微)上单减，有r(x)</'(a)=0,亦知f(x)在(a,1)上单减，有

/(X)</(A)=0,即?。)=侬<0,满足题设；

x-a

2)当：<4vl时,对xe(a,&),

22

/,z(x)=(2A-l)smx+(2—-a)cosf>(2A-l)sina十(A-l\x-a),

取6=min{—,a+sina},当xc(a,b)时，ff，(x)>0,知ff(x)在(a,b)上单增,

有/'(x)>/,(a)=0,亦知/(x)在(a,b)上单增，有/(x)>/(a)=0,即

尸(汾=以4>0,不满足题设；

x-a

3)当221时，对工£(♦,/),f\x)=2(cosa-cosx)-(1-A)(x-^)sinxcosa-cosx>0,

知/(X)在(aj)上单增，有〃幻“(。)=0,即产⑺=&>0,不满足题设；

2x-a

综上，仅当；IV1时，满足题设.

2

3

22.Q0分)解:

【详解】⑴由曲线C的极坐标方程为"二£万，可得02+/cos%=2,又由x=/?cosay=psin8,

代入可得2x2+y2=2,即曲线C的直角坐标方程为V+