全等三角形问题中常见种辅助线作法有复习资料

第页全等三角形问题中常见的协助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段及原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添协助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30,60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特别直角三角形，然后计算边的长度及角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创建边,角之间的相等条件。8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特别直角三角形，或40-60-80的特别直角三角形,常计算边的长度及角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创建边,角之间的相等条件。常见协助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段及原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．遇到角平分线在三种添协助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点经常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线及角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”截长法及补短法，详细做法是在某条线段上截取一条线段及特定线段相等，或是将某条线段延长，是之及特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和,差,倍,分等类的题目．已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特别方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一,倍长中线（线段）造全等例1,（“盼望杯”试题）已知，如图△中，5，3，则中线的取值范围是.例2,如图，△中，E,F分别在,上，⊥，D是中点，试比较及的大小.例3,如图，△中，，E是的中点，求证：平分∠.应用：1,（09崇文二模）以的两边,为腰分别向外作等腰和等腰，连接，M,N分别是,的中点．探究：及的位置关系及数量关系．（1）如图①当为直角三角形时，及的位置关系是，线段及的数量关系是；（2）将图①中的等腰绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二,截长补短1,如图，中，2，平分，且，求证：⊥2,如图，∥，分别平分∠,∠，过点E，求证＝。3,如图，已知在内，，，P，Q分别在，上，并且，分别是，的角平分线。求证：4,如图，在四边形中，＞＝，平分，求证：5,如图在△中，＞，∠1＝∠2，P为上随意一点，求证＞应用：三,平移变换例1为△的角平分线，直线⊥于为上一点，△周长记为，△周长记为.求证＞.例2如图，在△的边上取两点D,E，且，求证：>.四,借助角平分线造全等1,如图，已知在△中，∠60°，△的角平分线相交于点O，求证：2,如图，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于E，⊥于F.（1）说明的理由；（2）假如，，求,的长.应用：1,如图①，是∠的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△中，∠是直角，∠60°，,分别是∠,∠的平分线，,相交于点F。请你推断并写出及之间的数量关系；(第23题图)OPA(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五,旋转例1正方形中，E为上的一点，F为上的一点，，求∠的度数.例2D为等腰斜边的中点，⊥分别交于点。当绕点D转动时，求证。若2，求四边形的面积。例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为；应用：1,已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图1），易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种状况下，上述结论是否成立？若成立，请赐予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图（图1）（图2）（图3）2,（西城09年一模）已知4,以为一边作正方形,使P,D两点落在直线的两侧.(1)如图,当∠45°时,求及的长;(2)当∠变化,且其它条件不变时,求的最大值,及相应∠的大小.3,在等边的两边,所在直线上分别有两点M,N，D为外一点，且EMBEDEquation.3.探究：当M,N分别在直线,上移动时，,,之间的数量关系及的周长Q及等边的周长L的关系．图1图2图3（=1\*I）如图1，当点M,N边,上，且时，,,之间的数量关系是；此时；（=2\*）如图2，点M,N边,上，且当时，猜想（=1\*I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（=3\*）如图3，当M,N分别在边,的延长线上时，若，则（用,L表示）．参考答案及提示一,倍长中线（线段）造全等例1,（“盼望杯”试题）已知，如图△中，5，3，则中线的取值范围是.解：延长至E使＝2，连，由三角形性质知<2<故的取值范围是1<<4例2,如图，△中，E,F分别在,上，⊥，D是中点，试比较及的大小.解：(倍长中线,等腰三角形“三线合一”法)延长至G使＝2，连，,明显＝，在△中，留意到⊥，由等腰三角形的三线合一知在△中，由三角形性质知故：<例3,如图，△中，，E是的中点，求证：平分∠.解：延长至G使＝2，连，,明显＝，∠∠由于，故∠∠在△及△中，故△≌△，故有∠∠，即平分∠应用：1,（09崇文二模）以的两边,为腰分别向外作等腰和等腰，连接，M,N分别是,的中点．探究：及的位置关系及数量关系．（1）如图①当为直角三角形时，及的位置关系是，线段及的数量关系是；（2）将图①中的等腰绕点A沿逆时针方向旋转(0<<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二,截长补短1,如图，中，2，平分，且，求证：⊥解：（截长法）在上取中点F，连△是等腰三角形，F是底中点，由三线合一知⊥，故∠＝90°∠＝∠＝90°即：⊥2,如图，∥，分别平分∠,∠，过点E，求证＝解：（截长法）在上取点F，使＝，连∠∠＝180°∠∠＝180°故∠＝∠故有＝从而＝3,如图，已知在△内，，，P，Q分别在，上，并且，分别是，的角平分线。求证：解：（补短法,计算数值法）延长至D，使＝，连在等腰△中，可得∠＝40°从而∠＝40°＝∠故＝又∠＝40°＝∠故＝从而4,如图，在四边形中，＞＝，平分，求证：解：（补短法）延长至F，使＝，连故∠＝∠，＝又＝故在等腰△中故有∠∠＝180°5,如图在△中，＞，∠1＝∠2，P为上随意一点，求证＞解：（补短法）延长至F，使＝，连故＝由三角形性质知应用：三,平移变换例1为△的角平分线，直线⊥于为上一点，△周长记为，△周长记为.求证＞.解：（镜面反射法）延长至F，使＝，连为△的角平分线,⊥知∠＝∠故有故＝在△中有：>从而>例2如图，在△的边上取两点D,E，且，求证：>.证明：取中点M,连并延长至N,使,连.同理.延长交于P,则>>,相加得>,各减去,得>,四,借助角平分线造全等1,如图，已知在△中，∠60°，△的角平分线相交于点O，求证：，证明(角平分线在三种添协助线,计算数值法)∠60度,则∠∠120度;均为角平分线,则∠∠60度=∠∠;∠120度.在上截取线段,连接.又;∠∠.则⊿≌Δ(),∠∠60度.则∠∠∠60度=∠;又;∠∠.故⊿≌Δ(),2,如图，△中，平分∠，⊥且平分，⊥于E，⊥于F.（1）说明的理由；（2）假如，，求,的长.解：(垂直平分线联结线段两端)连接，垂直平分，故＝由于平分∠，⊥于E，⊥于F，故有故△≌△（）故有＝。＝2＝（）/2()/2应用：1,如图①，是∠的平分线，请你利用该图形画一对以所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图②，在△中，∠是直角，∠60°，,分别是∠,∠的平分线，,相交于点F。请你推断并写出及之间的数量关系；(第23题图)OPA(第23题图)OPAMNEBCDFACEFBD图①图②图③五,旋转例1正方形中，E为上的一点，F为上的一点，，求∠的度数.证明：将三角形绕点A顺时针旋转90度，至三角形则又，，所以三角形全等于所以∠∠∠∠∠∠又∠∠∠90所以∠45度例2D为等腰斜边的中点，⊥分别交于点。(1)当绕点D转动时，求证。(2)若2，求四边形的面积。解：(计算数值法)（1）连接，D为等腰斜边的中点，故有⊥，＝平分∠＝90°，∠＝∠＝45°由于⊥，有∠＝90°由于⊥，有∠＝90°从而∠＝∠＝故有△≌△（）故有（2）S△2,S四S△1例3如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交于点M，交于点N，连接，则的周长为；解：(图形补全法,“截长法”或“补短法”,计算数值法)的延长线及的延长线交于点F，在线段上取点E，使＝∵△为等边三角形，△为等腰三角形，且∠120°，

∴∠∠∠60°+30°=90°，

∠180°-∠180°-∠90°，

又∵，，

∴△≌△，

∴∠∠，，

∠∠∠∠∠∠∠120°-60°=60°，

∵在△和△中，

∠∠60°∵在△和△中，

∠60°-

∠60°-

∠∠(∠∠)

∠∠30°的周长为6应用：1,已知四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．当绕点旋转到时（如图1），易证．当绕点旋转到时，在图2和图3这两种状况下，上述结论是否成立？若成立，请赐予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（图（图1）（图2）（图3）2,（西城09年一模）已知4,以为一边作正方形,使P,D两点落在直线的两侧.(1)如图,当∠45°时,求及的长;(2)当∠变化,且其它条件不变时,求的最大值,及相应∠的大小.3,在等边的两边,所在直线上分别有两点M,N，D为外一点，且EMBEDEquation.3.探究：当M,N分别在直线,上移动时，,,之间的数量关系及的周长Q及等边的周长L的关系．图1图2图3（=1\*I）如图1，当点M,N边,上，且时，,,