黑龙江省哈尔滨市第九中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学

哈尔滨市第九中学2023—2024学年度下学期2月学业阶段性评价考试高一数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第I卷（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.命题“”否定是（）A. B.C D.3.已知命题，，命题指数函数在上是增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件4.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）．A. B. C. D.5.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）A.300年 B.255年 C.175年 D.125年6.下列选项中两数大小关系错误的是（）A. B.C. D.7.已知实数，则的（）A.最小值为1 B.最大值为1 C.最小值为 D.最大值为8.定义区间的长度均为．用表示不超过x的最大整数．记，其中．设，若用d表示不等式解集区间的长度，则当时，有A. B. C. D.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.存在实数，函数无最小值B.对任意实数，函数都有零点C.当时，函数在上单调递增D.对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根11.已知函数的图象的一个对称中心为，其中，则（）A.直线为函数的图象的一条对称轴B.函数单调递增区间为，C.当时，函数的值域为D.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象12.已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（）A.当，有1个零点 B.当时，有3个零点C.当时，有9个零点 D.当时，有7个零点第II卷（共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.求函数的定义域为________.14.已知函数满足，且，则与的大小关系为__________.15.计算：＝______.16.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是__________四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17已知函数，且（1）求常数的值；（2）求使成立的实数的取值集合．18.设．（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；（2）当时，试解关于的不等式.19.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．20.已知函数，.（1）时，求的值域；（2）若的最小值为4，求的值.21.已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．22.若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域的“阶局部奇函数”.（1）若函数，判断是否为上的“二阶局部奇函数”？并说明理由；（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；（3）对于任意实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合.哈尔滨市第九中学2023—2024学年度下学期2月学业阶段性评价考试高一数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分：150分共2页）第I卷（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解对数不等式和绝对值不等式求出集合、，再根据交集的定义计算可得.详解】由，即，所以，所以，由，即，解得，所以，所以.故选：C2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题“”否定是：.故选：C3.已知命题，，命题指数函数在上是增函数，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据函数是增函数，得到不等式，求出，根据推出关系，得到答案.【详解】由得，故当时，指数函数在上是增函数，因为，，所以p是q的充分不必要条件.故选：A4.若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据关于x的不等式的解集是，利用韦达定理可得，将不等式等价转化为，进而求解.【详解】因为关于的不等式的解集为，所以的两根是或2，由韦达定理可得：，所以可转化为，解得或.所以原不等式的解集为，故选：B.5.某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除．现已知的质量随时间（年）的指数衰减规律是：（其中为的初始质量）．则当的质量衰减为最初的时，所经过的时间约为（参考数据：，）A.300年 B.255年 C.175年 D.125年【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，进而结合对数的运算法则即可求得答案．【详解】依题意可得，即，所以．故选：A．6.下列选项中两数大小关系错误的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指对幂函数及正切函数的单调性可得答案.【详解】因为为减函数，，所以，A正确.因为为增函数，，所以，B正确.因为为增函数，，所以，C错误.因为在区间上为增函数，，所以，D正确.故选：C.7.已知实数，则的（）A.最小值为1 B.最大值为1 C.最小值为 D.最大值为【答案】D【解析】【分析】由基本不等式得出结果.【详解】因为，当且仅当即时取等号；故最大值为，故选：D.8.定义区间的长度均为．用表示不超过x的最大整数．记，其中．设，若用d表示不等式解集区间的长度，则当时，有A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】试题分析：故令f(x)－g(x)<0，可得2≤x≤3，故d＝3－2＝1．选A考点：新定义问题二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）9.下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由诱导公式可判断AC，由二倍角公式、辅助角公式可分别判断BD.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D正确.故选：BCD.10.已知函数，则下列结论正确的是（）A.存在实数，函数无最小值B.对任意实数，函数都有零点C.当时，函数在上单调递增D.对任意，都存在实数，使关于的方程有3个不同的实根【答案】ABD【解析】【分析】取特值结合单调性判断A；分段讨论判断B；举特值分析单调性判断C；分析函数性质，结合图象判断D.【详解】函数的定义域为R，函数图象由函数的图象向右平移1个单位而得，函数在R上是增函数，对于A，当时，函数在上单调递增，当时，，当时，，此时函数无最小值，A正确；对于B，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，因此对任意实数，函数都有零点，B正确；对于C，取，当时，在上单调递增，当时，在上单调递增，而，此时函数在上不单调，C错误；对于D，对任意，函数在上单调递减，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为，显然恒有，当时，直线与函数的图象有3个交点，因此方程有3个不同的实根，D正确.故选：ABD思路点睛：涉及给定函数零点个数求参数范围问题，可以通过分离参数，等价转化直线与函数图象交点个数，数形结合推理作答.11.已知函数的图象的一个对称中心为，其中，则（）A.直线为函数的图象的一条对称轴B.函数的单调递增区间为，C.当时，函数的值域为D.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象【答案】ACD【解析】【分析】先根据题意求出函数的解析式，利用整体代入的方法判断函数的对称轴即可判断A；利用整体代入的方法求解函数单调递增区间即可判断B；利用整体思想，求出函数的值域即可判断C；根据三角函数的平移伸缩变换求出平移后的解析式即可判断D．【详解】由函数的图象的一个对称中心为，则，得，即，，又，得，所以．对于A，当时，，所以直线为函数的图象的一条对称轴，故A正确；对于B，令，，解得，，故B错误；对于C，由，则，所以，故C正确；对于D，将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，故D正确．故选：ACD．12.已知函数，下列关于函数的零点个数的说法中，正确的是（）A.当，有1个零点 B.当时，有3个零点C.当时，有9个零点 D.当时，有7个零点【答案】AD【解析】【分析】设，即有，再按和讨论并作出函数图象，数形结合即可判断得解.【详解】由，得，则函数的零点个数即为解的个数，设，则，二次函数，其图象开口向上，过点，对称轴为，当时，在上单调递减，且，如图，由，得，解得，由，得，解得，因此函数的零点个数是1，A正确，B错误；当时，，作出函数的图象如图，由图象知有3个根，当时，，解得；当时，，解得，当时，，若，则，若，则，此时共有3个解；当时，，此时有1个解，，即有2个解，当时，，此时有1个解，即无解，因此当时，函数的零点个数是7，D正确，C错误.故选：AD【点睛】方法点睛：关于复合函数的零点的判断问题，首先将零点问题转化为方程的解的问题；解答时要采用换元的方法，利用数形结合法，先判断外层函数对应方程的解的个数问题，继而求解内层函数对应方程的解.第II卷（共90分）三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.求函数的定义域为________.【答案】【解析】【分析】用函数定义域的知识直接求解即可.【详解】由题意得，，解得，故答案为:14.已知函数满足，且，则与的大小关系为__________.【答案】【解析】【分析】利用题意得到，，可知在单调递减，在单调递增，然后分，，三种情况进行讨论，即可得到答案【详解】因为满足，所以关于对称，因为，所以，解得，因为，所以，故在单调递减，在单调递增，当时，，所以，即；当时，，所以，即；当时，，所以，即，综上所述，故答案为：15.计算：＝______.【答案】【解析】【分析】由题意由两角差的正切公式即可得解.【详解】由题意．故答案为：．16.已知函数在区间有且仅有个零点，则的取值范围是__________【答案】【解析】【分析】由可得，由可得出的取值范围，由已知条件可得出关于的不等式，解之即可.【详解】由，可得，当时，，因为方程在区间有且仅有个实根，则，解得.因此，实数的取值范围是.故答案为：.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.已知函数，且（1）求常数的值；（2）求使成立的实数的取值集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦差角公式、余弦差角公式、辅助角公式化简函数并求值即可；（2）根据题意并结合正弦函数图象相关知识列出不等式求解即可.【小问1详解】，所以【小问2详解】由（1）知，，由，即所以，所以，所以，则使成立的实数的取值集合为18.设．（1）若不等式有实数解，试求实数的取值范围；（2）当时，试解关于的不等式.【答案】（1）（2）答案见解析【解析】【分析】（1）依题意不等式有实数解，分、、三种情况讨论，当时需，即可求出参数的取值范围；（2）原不等式可化为，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【小问1详解】依题意，有实数解，即不等式有实数解，当时，有实数解，则符合题意.当时，取，则成立，符合题意.当时，二次函数的图像开口向下，要有解，当且仅当，所以.综上，实数的取值范围是.【小问2详解】不等式，因为，所以不等式可化为，当，即时，不等式无解；当，即时，；当，即时，；综上，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为，当时，原不等式的解集为．19.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力．某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间x（单位：天）的函数关系近似满足（k为常数，且），日销售量（单位：件）与时间x（单位：天）的部分数据如下表所示：10152025305055605550已知第10天的日销售收入为505元．（1）给出以下四个函数模型：①；②；③；④．请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；（2）设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值．【答案】19.选择模型②：，20.441【解析】【分析】（1）由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，所以选择模型②：.由，确定，，确定的值，就可确定;（2）由第10天的日销售收入为505元确定，根据题意确定的解析式，分别用基本不等式和函数单调性求得最小值.【小问1详解】由表格中的数据知，当时间x变长时，先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型．所以选择模型②：，由，可得，解得，由，解得，，则日销售量与时间x的变化的关系式为．【小问2详解】因为第10天的日销售收入为505元，则，解得．由（1）知，由

，当，时，，当且仅当时，即时等号成立，，当，时，为减函数，所以函数的最小值为，综上可得，当时，函数取得最小值441．20.已知函数，.（1）时，求的值域；（2）若的最小值为4，求的值.【答案】20.21.【解析】【分析】（1）设可将原函数转化为二次函数，结合二次函数性质计算即可得；（2）设可将原函数转化为二次函数，对的取值进行分类讨论，结合二次函数性质计算即可得.小问1详解】由题意得，，，令，，，当时，，，在上单调递增，故，故的值域为；【小问2详解】由（1）得，，对称轴，①当时，在上单调递增，，解得；②当时，在上单调递减，在上单调递增，无解，舍去；③当时，在上单调递减，，解得，舍去；综上所述，.21.已知函数对任意实数恒有，且当时，，又．（1）判断的奇偶性；（2）判断在上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）为奇函数；（2）在上单调递减，证明见解析；（3）.【解析】【